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曲线和方程教案
《 课 堂 教 学 设 计》课题：曲线和方程（1）一：教学目标?知识与技能目标 （1） 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； （2） 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念； （3） 学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力 与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。 ?过程与方法目标 （1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的 直观认识； （2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程， 探索出结论并能有条理的阐述自己的观点； （3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的 思想方法，提高思维品质，发展应用意识。 ?情感与态度目标 （1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律； （2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认 识到数学是解决实际问题的重要工具； （3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和 创造性。二：教材分析1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认 识（特别是二元一次方程表示直线） ，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方 程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。所以本节课采用了复习引入课题， 从特殊到一般的方法让学生易于接受。在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概 念的内涵。在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。 2、教学重点 “曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。1（本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个 关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于学生已经具备了用方程 表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困 惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进 行探索，自然地得出定义。为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的 对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其 理。 ） 3、教学难点 怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。 （因为学生在作业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证 方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。为了突破难点，本节课 设计了三种有层次的例题：例 3 是概念的直接运用，例 4 是证明曲线的方程，例 5 是概念 的逆向运用。通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺一不可。 ）三：学情分析此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对 应关系，已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一 次方程表示直线） ，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是 由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。学生在学习时容易产生的问 题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲 线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。本节课的教学目标也 只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作“曲线的方 程”和“方程的曲线”两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。四：教学方法1、教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生 的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完 成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法： (1)引导探索、发现规律。通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系，来得出曲 线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。 (2)尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。这样更能突出重点、解决难点，使学 生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。22、学法：教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动 探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： (1)观察分析：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题。 (2)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而巩固对概念的理解，找出未掌握的内容 及其差距。五：教学活动程序1、承上启下，提出课题 师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应 关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何 一个二元一次方程也表示着一条直线。下面看一个具体的例子： 例 1：画出方程 x ? y = 0 表示的直线YyYOXO X(1)（2）借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都 是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线 上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么 直线 （ 图形 ） 方程（数量） 方程（数量） 。类比方程 y = x 2 与如图所示的抛物线。这条抛物线是否与这个二元方程 y = x 2 也能建 立这种对应关系呢？ （按照例 1 的分析方式的得出答案是肯定的.） 推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节 课的内容：曲线和方程。 （板书课题） 现在请同学们思考这样的问题：?F(x,y)=03方程 F ( x, y ) = 0 的解与曲线 C 上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程 F ( x, y ) = 0 表 示曲线 C，同时曲线 C 也表示着方程 F ( x, y ) = 0 ,为什么要具备这些条件？ （将问题重述一遍，使每个学生听清楚。学生思考，讨论，口答） （说明：运用学生熟知的旧知识，由特殊到一般，既提出了课题，又为形成曲线和方 程的概念提供了实际模型。但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学 生思维的机会，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和 积极性。 要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。 这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的事实已有了初步的认识为前提，它可 以说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高 潮” 。在思考题的后面加上了“为什么”的问题。是为了给那些还记着“直线的方程”的定 义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度。 ）2、运用反例，揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系： “曲线上的点的坐标都是方程的解” ； 有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ；还有的同学虽 用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反 映的是不是同一个事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把例 1 中曲线和方程的这种对 应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列例题。 （说明：在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但 不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入 探索。 ） 例 2:用下列方程表示如图所示的曲线 C，对吗？为什么？ （1 ） x ? y = 0 （2 ） x 2 ? y 2 = 0 （3 ） x ? y = 0 （学生思考，回答） 师：方程（1）（2）（3）都不是表示曲线 C 的方程。第（1）题中曲线 C 上的点不全 ， ，O X Y4是方程 x ? y = 0 的解。例如点 A(?2,?2) ， B (? 3 ,? 3 ) 等，即不符合“曲线上的点的坐标 ，但是 都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解” 以方程 x 2 ? y 2 = 0 的解为坐标的点却不全在曲线 C 上。例如 D(2,?2) 、 E (? 3 , 3 ) 等，即不 符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程x ? y = 0 的解坐标的点，如 G (?3,3) 、 H (? 2 , 2 ) 等不在曲线 C 上，又有曲线 C 上的点，如 M (?3,?3) 、 N (?1,?1) 等的坐标不是方程 x ? y = 0 的解。事实上， （1）（2）（3）中各方 、 、 程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。YYYOXOXOX(1)(2)(3)师： 上面我们既观察、 分析了完整地用方程表示曲线， 用曲线表示方程的例 1； 又观察、 分析了例 2 中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。假如我们把例 1 这种能 完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程” 下个定义了。 （说明：在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。反例 一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是 出于这样的考虑： （1）相信学生已经有了用方程表示曲线的经验，已能从直觉上识别哪个 方程能表示哪条曲线（当然是简单的例子） ，哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻 辑形式确切地加以陈述，给概念以定义； （2）将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾， 避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，这就是产生“曲线的方程” 和“方程的曲线”的定义的过程。 ） 3、讨论归纳，得出定义 师：在下定义时，针对例 2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点” ，以及（2）5中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？ （学生口答） 师：为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“ “曲线上的点的坐标都是方程的解” （板书） ；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上， 必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” （板书） 这样我们可以对“曲线的方程”“方程的曲线”下这样的定义： 、 在直角坐标系中， 在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y ) = 0 的实数解建立了如 下关系： 下关系： （1） 曲线上的点的坐标都是方程的解； ） 曲线上的点的坐标都是方程的解； （2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 ） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 （说明：在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识，给对象以明 确的定义已是水到渠成，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并有 意识地训练学生依据知觉的分散的已知知识给概念下定义的创造能力。 ）4、变换表达，强化理解师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作 C；一个二元方程的解可以作 为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作 F。请大家思考：如何用集合 C 和 F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识 “曲线的方程”和“方程的曲线”定义。 （说明：这是本节课第二个思维的“热点” ，将促使学生对曲线和方程关系的理解得到 强化，是认识上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋于 简化。 ） （学生思考、口答） 师：关系（1）指点集 C 是点集 F 的子集；关系（2）指点集 F 是点集 C 的子集。这样， 根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线” ，即 （板书）(1)C ? F ? ====＞ ? ＜====＞ C = F 。 ( 2) F ? C ?5：初步应用，反复辨析。 （说明：数学概念是要在运用中的以巩固，通过运用与练习，可以纠正错误的认识，6促使对概念的正确理解，通过反复重现，可以不断领悟，加强识记。这里安排的“初步应 用” ，目的也在于帮助学生正确理解概念，通过解题辨析“两个关系” ，实现本节课的教学 目标，为此，题目中的“曲线”与“方程”都力求简单。 ） 例 3：下列各题中，图所示的曲线 C 的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合 关系（1）还是关系（2）？Y AYO B O C XX曲线 C 为 ?ABC 的中线 AO 方程 x = 0曲线 C 是到坐标轴距离相等的点组成的直线 方程 x ? y = 0YOX曲线 C 是过点（4，1）的反比例函数图象 方程 y =4 x学生回答： 1）错。不符合定义中的（2） （ ，即 C ? F , 但F ? C ; （2）错。不符合定义中的（1） ，即 F ? C , 但C ? F , ; （3）错。不符合定义中的（1）和（2） ，即 C ? F , 且F ? C ; 例 4：解答下列问题，并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？ （1） 点 A(3,?4), B (?2 5 ,2) 是否在方程为 x 2 + y 2 = 25 的圆上？ （2） 已知方程为 x 2 + y 2 = 25 的圆过点 C ( 7 , m) ，求 m 的值。 （学生练习、回答，老师纠错、小结。 ）7师；依据关系（2） ，可知点 A 在圆上；依据关系（1） ，可知点 B 不在圆上；依据关系 ，求得 m = ±3 2 ； （2） 例 5：证明以坐标原点为圆心，半径等于 5 的圆的方程是 x 2 + y 2 = 25 。 （说明： 课本上原有例题： 证明圆心为坐标原点， 半径等于 5 的圆的方程是 x 2 + y 2 = 25 ， 并判断点 M 1 (3,?4), M 2 (?2 5 ,2)是否在圆上 。处理时将有些要求分散到了例 3 与例 4 中，例5 的要求集中在“证明”上。这样安排的意图是先集中注意力于概念的领会上，对证明过程 中在表述上遇到的一些困难，留在这里解决，层层深入。 ） 师： （学生练习过程中，适时插话。 ） 与刚才判定时一样，证明也要紧扣定义分两步进行；关系（1）（2）中， 、 “点”与“解” 指的都是有关集合中的全体元素，我们只要用 ( x0 , y 0 ) 表示“任意一个” ，以此代表“全体” 即可，这种方法为数学证明中常用。 证明： （略）三：小结师：本节课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”“方程的曲线”的定义， 、 在领会定义时，要牢记关系（1）（2）两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程 、 的曲线”的必要条件，两者都满足了， “曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。即： 如果曲线 C 的方程是 F ( x, y ) = 0 ，那么点 P0 ( x0 , y 0 ) 在曲线 C 上的充要条件是 F ( x, y ) = 0 。 曲线和方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来。在 此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。 （说明：小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，使学生的认识再上一个台阶， 另一点意在建立曲线的方程和方程的曲线概念之后， “画龙点睛” ，不失时机地“点”一下 “解析几何”的基本思想，使之逐步转变为学生的思想。 ）四：作业教材 72 页习题 7.6：1、2、题8拒绝访问 | www.gkstk.com | 百度云加速
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8数学教案电子稿之第08章圆锥曲线方程.doc 93页
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第八章圆锥曲线方程教材分析
本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用 全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：
8．1椭圆及其标准方程 3课时
8．2椭圆的简单几何性质 4课时
8．3双曲线及其标准方程 2课时
8．4双曲线的简单几何性质 3课时
8．5抛物线及其标准方程 2课时
8．6抛物线的简单几何性质 2课时
小结与复习 2课时
一、内容与要求
(一)本章的教学内容
圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念
我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用
在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出 所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用
本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点
(二)教学要求
本章的教学要求归纳起来有以下几点：
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；
2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；
3．进一步掌握坐标方法；
4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点
解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高 坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准
二、本章的主要特点
(一)突出重点
1．突出重点内容
本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线
因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上
通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法 这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成 在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高
在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质
以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质
2．突出坐标方法
要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成 根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点 例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的
(二)注意内容的整体性和训练的阶段性
高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益
(三)注意调动学生学习的主动性
教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的 学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的
目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路
例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动
又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲
教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后
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2014届江苏省灌南高级中学高考数学一轮复习学案：《函数与方程》
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