拉姆齐定价法与多产品定价法的区别，举例说明_百度知道
拉姆齐定价法与多产品定价法的区别，举例说明
某超市，有些产品价格比同类超市较低，有些产品比同类超市较高，请问它是采取什么样的定位法？并举列说明
我有更好的答案
靠高定价商品盈利，用低定价商品吸引客流。拉姆齐定价法在公共品定价中常见不知道对你还有用么，但是回答一下吧。拉姆齐定价法类似于三级价格歧视，需求弹性大的收费就低，弹性小的收费就高。与多产品定价法的主要区别是该方法指的是一个商品面对不同群体的不同收费，多产品定价法在消费经济学中常见，总归会买点别的，大概就这意思。便宜定价的东西大多为生活必需品，高定价的是不常买的商品，当然也不是定死的。多产品定价法近似于一种促销，例如以相对其它超市便宜的鸡蛋吸引客流，有更高客流后
采纳率：12%
那就得恭喜你啦很幸运看到你的问题。但是又很遗憾到现在还没有人回答你的问题。也可能你现在已经在别的地方找到了答案。或者别人没有遇到或者接触过你的问题，那里的人通常比较多，所以帮不了你。建议你去问题的相关论坛去求助，没人会。可能是你问的问题有些专业了，也比较热心，可能能快点帮你解决问题
为您推荐：
其他类似问题
拉姆齐的相关知识
换一换
回答问题，赢新手礼包
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。《拉姆齐模型》_优秀范文十篇 www.fanwen99.cn
优秀范文《拉姆齐模型》日期：
范文一：拉姆齐模型1-2第三章 无限期界模型（拉姆齐模型） 一、问题的提出 在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当s?sgold时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当s?sgold时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响c cgold那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。 二、模型假定 1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质 4．忽略资本的折旧 5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系： 三、厂商行为 沿用新古典生产函数Y?F(K,AL) 根据欧拉定理，Y??Y?YK?AL ?K?(AL)其中，资本的边际产品为：有效劳动的边际产品为：?Y?f'(k)?r（真实利率） ?K?Y?f(k)?kf'(k)?w（工资率）?(AL)四、家庭行为 总人口为L，以速率n增长，L(t)?L(0)ent； 家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：U??t?oeu[C(t)]???t?L(t)L(0)?(??n)tdt??t?oeu[C(t)]dt HH其中，C(t)为每个家庭成员的消费，u(?)为即期效用函数，?为贴现率（?越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。注意：e??tu[C(t)]表示将第t期的消费的效用按照?贴现到第0t??期，即u[C(t)]?limu[C(0)](1??)t?u[C(0)]e?t，。即期效用函数的形式为：C(t)1??u[C(t)]?，??0，??n?(1??)g?01??该函数具有以下三个特点： （1） 边际效用弹性不变，为??。du'Cu''C定义边际效用弹性????????。dCu'u'（2）跨期替代弹性不变，为1/?，表示相对风险回避系数不变。 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：???d(C1/C2)/d(P1/P2) (C1/C2)/(P1/P2)u'(C1)P1??? 由消费者均衡条件得：u'(C2)P2代入得，???d(C1/C2)u'(C1)/u'(C2) d[u'(C1)/u'(C2)]C1/C2其中，u'(C1)/u'(C2)?MRS（边际替代率） 图解： C1d[u'(C1)/u'(C2)]d(C1/C2)可见，是射线比率的变化率，是切u'(C1)/u'(C2)C1/C2线斜率的变化率。令时间1趋近于2，得到瞬时弹性???回避系数）u'(C)（常数相对风险u''(C)CC(t)1??根据u[C(t)]?有：1??u'(C)?C??，u''(C)???C???1，则??1/?1??1??C11C2例如：一个两期的效用函数为U?，可以证明?1??1??1????1/?（思考：为什么？）。常数替代弹性意味着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。但?决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，?越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。（3）边际效用u'(C)为正；当?1时，边际效用随C增加而减少。（4）??n?(1??)g?0是为保证效用不发散（受到约束）。考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：A(t)?A(0)egtC(t)?A(t)c(t)[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得：C(t)1??[A(t)c(t)]1??u[C(t)]??1??1??1??[A(0)egt]1??c(t)1??c(t)??[A(0)]1??e(1??)gt1??1??再代入家庭效用函数，得：U??t?oeu[C(t)]??t?oe??(??n)t???t?L(t)L(0)?(??n)tdt??t?oeu[C(t)]dt HH{[A(0)]1??e(1??)gtc(t)1??L(0)}dt 1??H?[A(0)]1??L(0)??(??n)t(1??)gtc(t)1??edt e?t?oH1??L(0)??[(??n)?(1??)]gtc(t)1??dt e?t?oH1??c(t)1??dt 1???[A(0)]1???B?t?oe???t其中，B?[A(0)]1??L(0)，????n?(1??)g?0（收敛条件） H 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。定义R????or(?)d?，因此在0期投资的1单位产品在t期产生teR(t)单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。e?R(t)为现值因子。当r不变为r时，则R=rt。（思考：如果r是变动??的，平均r怎样表示？）家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为：?t?0e??R(t)L(t)K(0)??R(t)L(t)C(t)dt???t?0eA(t)w(t)dtHHH类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有：A(t)?A(0)egtC(t)= A(t)c(t) K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得：?R(t)ec(t)?t?0?A(t)L(t)A(0)L(0)??R(t)A(t)L(t)dt?k(0)??t?0ew(t)dt
HHH再考虑有效劳动的增长，A(t)L(t)?A(0)L(0)e(n?g)t， 代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：?R(t)(n?g)t?R(t)(n?g)tec(t)edt?k(0)?eew(t)dt ?t?0?t?0?? 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。 已知?K(0)??R(t)L(t)L(t)?R(t)??t?0eA(t)w(t)dt??t?0eC(t)dt?0，故 HHHK(0)??R(t)L(t)??t?0e[w(t)?c(t)]A(t)dt?0 HH将积分改写成为极限形式，有：K(0)v?R(t)L(t)lim??t?0e[w(t)?c(t)]A(t)dt}?0 v??HH定义第v期的家庭资本持有量的总和为：vK(v)L(t)R(v)K(0)?e??t?0eR(v)?R(t)[w(t)?c(t)]A(t)dt HHH右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。整理有：K(v)K(0)v?R(t)L(t)?eR(v)??t?0e[w(t)?c(t)]A(t)dt} HHHK(0)v?R(t)L(t)?R(v)K(v) ??t?0e[w(t)?c(t)]A(t)dt?eHHH代入极限形式的预算约束得：v??lime?R(v)K(v)?0，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 H由于K(v)?e(n?g)vk(v)因此，lime?R(v)e(n?g)vk(v)?0v??根据前面的推导已知a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：U?B?t?oe???tc(t)1??dt 1???b．跨期预算约束：?t?0e??R(t)c(t)e(n?g)tdt?k(0)??t?0e?R(t)e(n?g)tw(t)dt（均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：??B?t?oe???t??c(t)1???R(t)(n?g)tdt??[k(0)??t?0eew(t)dt??t?0e?R(t)c(t)e(n?g)tdt]1??求解最优的c(t)使?最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为：Be??tc(t)????e?R(t)e(n?g)t两边取对数得：lnB??t??lnc(t)?ln??R(t)?(n?g)t两边再对 t求导数，有：c(t)??????r(t)?(n?g)c(t)因此，?c(t)?r(t)?n?g???r(t)?n?g?[??n?(1??)g]??c(t)????r(t)????g? 这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。对欧拉方程的理解：c(t)r(t)????gr(t)?????g c(t)??c(t)c(t)A(t)r(t)???g???c(t)c(t)A(t)?已知，C(t)=c(t)A(t)????则C(t)c(t)A(t)r(t)????? C(t)c(t)A(t)??????因此，当r(t)??时，C(t)>0；当r(t)??时，C(t)此外，欧拉方程还说明了r与?之间的关系与区别（思考：是怎样的关系和含义？） 五、稳态均衡 1．k的动态学（k的微分方程）与索洛模型一样，k的稳态的条件是实际投资等于持平投资。实际投资为f(k)?c，持平投资为（n+g）k（没有考虑折旧）。因此，k?f(k)?c?(n?g)k（思考：该式表明f(k)的用途是什么？） k当k?0时，c?f(k)?(n?g)k根据黄金律规则，当f'(kgold)?(n?g)时，c最大，c随着k的增加先增加后下降。再考虑非稳态的情况，当c超过使k?0时的水平时，k?0；当c低于使k?0时的水平时，k?0。（思考：为什么？） 图示：??????2．c的动态学（c的微分方程） 将r(t)?f'(k(t))代入欧拉方程，得：c(t)f'k((t))????g ?c(t)?当c(t)=0时，f'(k*(t))????g再考虑非稳态的情况，当k>k*时，f'(k(t))????g，则c(t)0。图示： ????3. k和c的动态学（k和c的微分方程组和横截面条件共同构成）（1）综合上两图，有以下相位图： k（2）图中k*?kgold【证明】f'(kgold)?(n?g)，f'(k*(t))????g，而收敛条件??n?(1??)g?0，故f'(kgold) （3）鞍点路径（或稳定臂） 根据相位图描绘在(c, k)空间上从初始值(c0, k0)的动态调整轨迹，然后在动态轨迹中排除会使最终资本存量为负和超过资本黄金存量的轨迹，得到鞍点路径（或稳定臂）。因为：（1） 最终资本存量必须为正；（2）超过资本黄金存量会使e?R(v)e(n?g)vk(v)发散（思考：为什么？），即家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭效用最大化的目标不一致。因此，鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于任意k0，c0必须等于鞍点路径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点E。六、平衡增长路径 均衡点E(c*,k*)的解为：f'(k*)????gc*?f(k*)?(n?g)k*因此模型中的各个变量的长期变动如下：结论：将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路径的描述。因此，索洛模型关于经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为常数的假定。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根源。 七、修正的黄金资本存量 定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡增长路径是不可能的。【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平c*。【证明】c*图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：c(gold) t
ts较大的提高
s较小的提高八、比较静态和动态转移：贴现率的变动 贴现率?变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。 比较静态：由c的稳态条件f'(k*)????g可知，当贴现率?下降时，k*提高，因此c(t)=0线右移，导致c和k*都增加。 ?图示： 动态转移：k连续变化，而c瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新均衡点E’。思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。九、基本结论 1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生化了。4．拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。5．拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。 作业：（对比较静态的扩展）考虑当其他外生参数n、g和?上升时，kc(t)f'k((t))????g由?f(k)?c?(n?g)k?0和??0共同决kc(t)?定的拉姆齐模型中的稳态均衡会发生怎样的变化？ ??
范文二：拉姆齐定价模型公用事业大都是自然垄断的行业，其定价受到政府主管机关的管制。公用事业的定价与补贴机制是公用事业良性发展问题的核心。由于公用事业的边际成本递减，边际成本定价法会导致企业的亏损，而平均成本定价法则会导致社会福利的净损失。拉姆塞定价实际上是一种价格歧视，但它与获得垄断利润最大化为目的的第三级价格歧视不同，其价格的差别是以回收成本为目的，因此是一种管制上容许的价格歧视。在盈亏平衡约束下,次优的定价方法是实现消费者剩余的最大化。引用拉姆塞定价模型，令公用事业企业对n个不同市场（用户群）的需求逆函数：pi=p(qi)第i市场上的消费者剩余为:qiSt= pi（qi）dqi-pi(qi)*qi 引入拉格朗日乘数?：qi0nπ= pi qi dqi-pi qi *qi-?( pi qi *q-c(qi)) t-1经计算得： 整合有：p1-mc1p1p2pi-mc?+1*?= =?2式中:pi表示第I 时段的价格水平；mci表示第I 时段的边际成本；qi表示第I 个时段的客流量；εi表示pi对应的价格弹性。 图4-4 拉姆塞定价模型图示客流时间分布不均衡有3种情况，季节性或短期性客流不均衡（如旅游的旺淡季）；全日客流不均衡（不同线路工作日和双休日的客流变化）；不同时段客流不均衡（随人们的生活节奏和出行特点而变化）。由于第1种情况规律性差，变化随机性大（如城市主办某一项重大活动），所以轨道交通余能利用的分时段票价主要针对后两种情况。客流的空间分布不均衡也有3种情况:各条线路客流的不均衡，由于城市经济功能区、生活功能区与生态功能区的布局之间关系的差异而形成；上下行方向客流不均衡；各个车站乘降人数不均衡（与车站周边土地开发强度有关）。而拉姆塞模型的含义为：需求弹性越小的市场，定价可以超出其边际成本的比例就越大，即越是在高峰时间，地铁票价越可以涨价可以凭此在最大化乘客满意度的情况下，根据弹性大小适当调整，设定最为适当的价格。由于高峰期乘坐地铁的人群弹性较小，乘客对于价格变化较为迟缓，如图4-3-4中D1，针对这一人群可以更大幅度的调整价格；而对于非高峰时期的人群，价格弹性相对较大，需求曲线如图D0比较容易产生波动。同理，对于远程的乘客，相对弹性比较小，可选择的出行方式比较单一，地铁的依赖性较高，从而在拉姆塞模型中，位于D点；但同时由于边际成本递减原理，远程的顾客可以适当在计程的计价方式中，减少每公里价格，以刺激需求，鼓励使用公共交通。比如，乘客在前10公里每3公里加价1元，而之后每5公里加价1元，这样可以更多的惠及居住在城市外层的市民，并且在。这一点在调查数据操作中得到了更加具体的验证，并作为理论性模型为需求模型建模提供了支撑。
范文三：01--高级宏观：拉姆齐模型这里所有的材料都不归属于我，除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的对下面的资料做任何的修改和编辑，只要你正确标出她的来源。———— 无名氏 第一章 拉姆齐模型1Frank Plumpton RamseyFrank Plumpton Ramsey (), Britishmathematician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics. 第一节
社会计划者解代表性行为人假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭，人口出生率为n>0。假定在时间t=0，人口被标准化为1，那么t期人口L(t)=ent。 生产假定存在不变规模收益生产函数：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))
技术进步由A(t)=egt给定总资本积累方程如下：K(t)=F(K(t),A(t)L(t))-δK(t)-C(t)
定义c(t)=C(t)K(t)C(t)，k(t)=为人均消费和人均资本，ce(t)=为每有L(t)L(t)A(t)L(t).该讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti和Dirk,kruger的讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数。这归功于Ramsey (1928)，Cass（1965）和Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。效劳动单位人均消费，ke(t)=可变为：k(t)为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程A(t)ke(t)=f(ke(t))-ce(t)-(n+δ+g)ke(t)
(1.3) 代表性行为人的最大化问题.max.c(t),k(t)0∫∞e-?tU(c(t))dts.t.ke(t)=f(ke(t))-ce(t)-(n+δ+g)ke(t)
给定ke(0)=ke0 转化：假定效用函数为CRRA，例如?c1-θ,θ≠1??1-θU(c)=?ln(c),θ=1???其中θ是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。 那么eU(c(t))=e-ρt-ρtgt1-θc(t)1-θ-ρt(ce(t)e)=e=e-(ρ-(1-θ)g)tU(ce(t))
(1.4) 1-θ1-θ定义γ=(ρ-(1-θ)g)为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述为： ce(t),ke(t)0.max∫∞e-?tU(ce(t))dttke(t)=f(ke(t))-ce(t)-(n+δ+g)ke(t)
s..给定ke(0)=ke0显然为了使目标函数存在最大值，必须有γ>0 社会计划者解第一步：构造现值汉密尔顿函数2H(ce,ke,λ;t)=e-?tU(ce(t))+λ(t)[f(ke(t))-ce(t)-(n+δ+g)ke(t)]
(1.5)第二步 ：最大值的三个必要条件：1．关于控制变量ce(t) 2汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。?H(ce,ke,λ;t)=0
(1.6)?ce2．关于状态变量.?H(ce,ke,λ;t)(1.7)
λ(t)=-?ke3．关于乘子（也是资本的现值影子价格），横截性条件（TVC）。 limλ(t)ke(t)=0
(1.8)t→∞将上述一阶条件展开，可得：'(e-γtUce(t))=λ(t)
(1.9)λ(t)/λ(t)=f'(ke(t))-(n+δ+g)
(1.10) limλ(t)ke(t)=0
(1.11)t→∞.第三步：化简1．利用(1.9)和(1.10)消除λ(t) 首先 在(1.9)两边对t求导:..λ(t)=eU''(ce(t))ce(t)-γe-γtU'(ce(t))
(1.12) 再次利用（1.9），可得-γtλ(t)U''(ce(t))ce(t)=-γ
(1.13) λ(t)U'(ce(t))最后，利用（1.10）消除λ(t).. U''(ce(t))ce(t)-γ=-[f(ke(t))-(n+δ+g)]
(1.14)U'(ce(t))..我们将（1.14）变换，表示为跨其替代弹性和真实利率的关系：
ce(t)ce(t)U''(ce(t))=-ce(t)[f'(ke(t))-(n+δ+g+γ)]
(1.15)U'(ce(t))ce(t)U''(ce(t))，而跨其替代弹性σ=1/θ。U'(ce(t))根据定义，相对风险厌恶系数θ=-一个相关的概念是跨期替代弹性：
σ=[cs/ctd[u'(cs)/u'(ct)]-1]
(1.16)-u'(cs)/u'(ct)d(cs/ct)跨期替代弹性是cs/ct比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当s→t时，σ=-将（1.15）变为u'(c)，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可
cu''(c).χc(t)=ce(t)f'(ke(t))-(n+δ+g+γ)(1.17) =ce(t)θ其中χc(t)是t期的消费增长率。2．重新表述关于(ce,ke)的非线性差分方程
χc.e(t)f'(ke(t))-(n+δ+g+γ)c(t)=c(t)=θek.e(t)=f(ke(t))-(n+δ+g)ke(t)-ce(t)=0
稳态的描述稳态可以表示为：.χt)c(t)=ce(c)=f'(ke(t))-(n+δ+g+γ)σ=0
e(tk.e(t)=f(ke(t))-(n+δ+g+γ)ke(t)=0
或者表示为：f'(ke(t))=n+δ+g+γ
ce(t)=f(ke(t))-(n+δ+g)ke(t)
(1.19)(1.20)
(1.21)(1.22)
(1.23) ceB'ce0ce''c0ke0ke*kegoldke**ke图1－2 拉姆齐模型中的相位图 第二节
市场分散解 注意，第一节和第二节在使用符号上的区别有效变量 技术增长率 时间第一节第二节ce(t), ke(t)c(t), k(t)^^gc(t), k(t) ct, kt请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。 1．效用函数拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定人口Nt增长率为n，劳动力Lt等于人口数。假定初始人口为1，因此Lt=ent
2－1假定 Ct是t期的总消费，因此人均消费为c(t)=C(t)/L(t)。家庭效用函数为3U0=∫u(ct)e-(ρ-n)tdt
2－2 ∞其中ρ为主观贴现率，u'(0)=∞，u'(∞)=0。假定ρ>n4，以保证当c为常数时，U0是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此收益率都为rt。同时存在竞争的劳动力市场，工资为wt。假定总资产为At，平均净资产为at=At/Lt，资产收益为rtat。因此家庭的预算约束为.at=wt+rat-ct-nat5
2－3 2．非蓬齐对策条件（意义）(rv-n)dv∫0lim[ate]≥0
2－4-tt→∞这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于rt-n，因此总债1t务的增长速度不能超过rt。我们定义rt=∫rvdv，因此2－4又可被写为t0 -t(rt-n)[a(t)e]≥0
2－4’ limt→∞3．汉密尔顿函数与一阶条件家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U0。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：H=u(x)e-(ρ-n)+u[w+(r-n)a-c]
2－5 其中u是资产的影子价格。一阶条件为 ?H=0=>u=u'(c)e-(ρ-n)t
2－6 ?c..?H=>u=-(r-n)u
u=-?at→∞lim[utat]=0
2－8 其中2－7是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8是横截条件。现在我们来求出最优的消费变化。2－6两边对时间求导得3这种效用函数，这里的ρ等价于上一节中的ρ=ρ第一节＋n。因此本节稳态解的结论与第一节比较时，要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用法。第二节的这种用法又被称为Benthamite felicity function（幸福函数） 4其实是根据横截条件推出的。5 At=wtLt+rtAt-Ct，因此a=d(..AtAtLt-AtLtAtLtAt=-=w+ra-c-na /dt=LtLt2LtLtLt......u=u''(c)ce-(ρ-n)-(ρ-n)u'(c)e-(ρ-n)t
2－9 由2－6，知e-(ρ-n)t=u/u'(c)，代入到2－9并将2－7代入2－9，得：r=ρ-[u''(c)cc]()
2－10 u'(c)c.-u''(c)c为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性： u'(c)cs/ctd[u'(cs)/u'(ct)]-1]
2－11-u'(cs)/u'(ct)d(cs/ct)σ=[跨期替代弹性是cs/ct比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数6。 。因此2－10可以写为.r=ρ+或1c()
σc c=σ(r-ρ)
c.跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES）c1-θ-1u(c)=，θ>0,θ≠1；u(c)=logc，θ=1
2－131-θ其中-θ是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性σ=1/θ。因此2－12变为 cr-ρ=
2－14 cθ.对2－7积分得：u(t)=u(0)e-t(t-n)，u(0)>0
2－15 因此2－8变为6实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在u'(ct)1+r=u'(ct+1)1+ρ，ρ是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为ct+1(1+r)=[]，θ=1/σ(1+ρ)ct。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。lim[ate-t(t-n)]=0
2－16t→∞即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。当atrt-n的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过rt-n的债务。因此2－4是信贷市场均衡的结果。 4．消费..由d[ae-(r-n)t]/dt=ae-(r-n)t-a(r-n)e-(r-n)t，将at-(r-n)at=wt-ct两边同乘e-(r-n)t得：∫即T (d[ate-(-n)t]/dt)dt=∫wte-(-n)tdt-∫cte-(-n)tdt TTTTaTe-(n)T+∫cte-(-n)tdt=∫wte-(-n)tdt-a(0)
2－17 当T→∞，利用2－16，可得 ∫∞ cte-(-n)tdt=∫wte ∞-(-n)tdt+a(0)=w(0)+a(0)=W
2－18~由2－14可得ct=c0e(1/θ)[t-ρ]t
2－19 将2－19代入到2－18得；c(0)=W/(∫e[rt(1-θ)/θ-ρ/θ+n]tdt)
2－20 ∞5．厂商Yt=F(Kt,AtLt)=F(Kt,Lt)
2－21其中A(t)=e，Lt=AtLt。写成人均的形式为γt^^Yt=Ltyt=Ltf(kt)
2－22 其中f(kt)=F(Kt/AtLt,1)。具有下列关系77^^^^^固定L，Y对K求导；固定K，Y对L^^^^?Yt?Yt=f'(k)， =[f(kt)-ktf'(kt)]eγt
2－23 ?Kt?Lt并满足f(0)=0，f'(0)=∞，f'(∞)=0（Inada条件） 利润函数为^^^Πt=Lt[F(Kt,Lt)-Rtkt-wte-γt]
其中Rt是厂商向居民租赁资本的租金，Rt=rt+δ。给定Lt，利润最大化为：^f'(kt)=rt+δ
2－25 为了维持零利润，将2－25代入2－24，有^[f(kt)-ktf'(kt)]eγt=wt
2－26 6．均衡^^^1）．定义c=ce-γt，因此
(ct)/(ct)=ct/ct-γ=.^^.^f'(kt)-δ-ρ-θγ^θ2－27．在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此at=kt。2）因此跨期预算约束可以写为.kt=wt+rkt-ct-nkt
因为kt=kte-γt，所以^kt=wte.^.^-γt+(r-n-γ)kt-ct
2－29^^将2－25和2－26代入2－29，得kt=f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct
2－30 ．利用kt=ke3）^^^^-γt，f'(kt)=rt+δ，以及2－16，TVC条件变为^-t^^(f'(kv)-δ-γ-n)dv]=0
lim[ke∫0t→∞2－27和2－30构成在(c,kt)上的动态系统。 ．在稳态中，有ct)/(ct)=0， (kt)/(kt)=0，因此 4）.^^.^^^^f'(kt)=δ+ρ+θγ
2－32^^f'(kt)=δ+ρ+θγ，被称为是修正的黄金律。ct=f(kt)-(γ+n+δ)kt
2－33^^^c^Bc'0c0^^^c''0k0^k^*k^goldk^**k^图1－2 拉姆齐模型中的相位图稳态中的消费、投资人均增长率等于γ。2－32，2－33刻画的稳态需要满足TVC，因此2－31中，r=f'(k)-δ>γ+n，即稳态中的资本回报率大于增长率。从2－32可知*^*ρ>n+(1-θ)γ
3－34 或者
ρe=ρ+θγ>n+γ
其中ρe被称为有效主观贴现率8。
由3－33可知消费在f'(kt)=γ+n+δ
3－35时达到最大。3－34保证了k8^^*^gold，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资这是由于消费以γ速度增长，所以边际效用递减。本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现率ρ+θγ，消费者又不希望牺牲当前的消费。（分析ρ，θ降低的影响）。分析：c'0（储蓄不足，违反欧拉方程，从2－32可以看出路径变化），c0（均衡路径），c''0（储蓄过多，违反TVC） 详细说明：^^^1）考虑低于DD的路径，例如初始位置在c''0，那么k会超过黄金律资本存量,此后真实利率低于n+γ，从而e-tte(n+γ)t上升，所以e-tte(n+γ)tkt发散，因此^lime-rtte(n+γ)tkt=∞，因此违反了横截条件。或者根据Blanchard和Fischer（1989）t→∞第二章附录2。［注意Blanchard和Fischer（1989）是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是一样的］2）当高于DD的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。 对2－30，kt=f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct进行全微分得：.^^^^ dkt=[f'(kt)-(γ+n+δ)]kt-ct(γ+n+δ)和ct>0， dt2^^^^2^.^.^.^因此kt会在有限的时间变为0（B点），因为在B点，kt为零，经济必须移到原^点，因此ct由一个正值变为零，这种跳跃违背了（2－12）^cc^.^=σ(r-ρ)，因为（2－12）左式为负，右边为无穷大，因此违反了欧拉方程的当kt→0，r→∞，条件（2－12）。 7．鞍点路径的形状高θ，跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。低θ，跨期替代率高， 作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。^*^k*θhighkθlow图2－2
θ对鞍点路径的影响k^8．储蓄对于C－D生产函数f(k)=Akα，均衡的储蓄率为^^s*=α(γ+n+δ)/(ρ+θx+δ)
3－36 （证明，详细见Barro＆Sala-I-Martin 1995，P89, AppendixB）两种效应：替代效应，消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低，但是较大的跨期替代弹性，更有助于储蓄。收入效应，有助于储蓄，因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率上升） 当1/θ=s*，固定储蓄率，如Solow－Swan模型当1/θ>s*，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在s*之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。 当1/θ9．资本存量和产出的路径.^由2－27和资本增加导致利率下降， (ct)/(ct)单调下降。^.^类似，(kt)/(kt)也单调下降。因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。^通过线性化可知：(yt)/(yt)=[ktf'(kt)/f(kt)].[(kt)/(kt)]即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。 10.另一种机制（社会计划者解）∞.^^^^^.^^效用函数可写为U0=∫u(ct)e .^^-(ρ-n)t+γt-θγtdt=∫u(ct)e-[ρ-n-γ(1-θ)]tdt，实际主观0^^∞^贴现率为ρ+θγ。资本积累为kt=f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct。因此社会计划者问题为：^maxU0s.j.
kt=f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct
2－37 这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，.^^^^Romer（1986）和Lucas（1988）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。 11．收敛（convergence），收敛的速度和稳态附近的分析 考虑如下问题：c1-σ生产函数为F=Ak，k0给定。效用函数为U=，资本积累为1-σαkt=Aktα-(n+δ)kt-ct。不考虑人口增长和技术进步。 最大值问题表示为：.max∫e ∞-(ρ-n)tct1-σ1-σs..tkt=Aktα-(n+δ)kt-ct
现值汉密尔顿函数为
H=e-(ρ-n)t.ct1-θ+u[Aktα-(n+δ)kt-ct]
2－37 1-θ最优化的必要条件是Hc=0u=c-θe-(ρ-n)t
2－38.Hk=-u=u[αAktα-1-(δ+n)]
lim[utkt]=0
2－40t→∞因此可以写为：将2－38微分，并用.u=-[αAktα-1-(δ+n)]代入得到 u.c(αAktα-1-δ-ρ)2－41
=θcck在稳态=0，=0。由2－41，稳态中αAktα-1-δ-ρ=0，因此ck..αA1-1αk=()
2－42ρ+δ*k=0c*=A(k*)α-(δ+n)k*
2－43 k.同时如果满足横截条件，因此从2－31，令γ=0，有αA(kt*)α-1>(δ+n)，因此（和2－34比较，就可以知道技术进步下TVC由αA(kt*)α-1=ρ+δ必须有ρ>n。条件的变化）分析稳态附近的均衡，简化分析9，假定n=0，δ=0。那么在稳态有αA1-1αkt=Akt-ct；k=()
2－44ρ.α*c=.(αAktα-1-δ-ρ)cθααA1-；c=A()α
2－45ρ*在稳态附近进行一阶泰勒展开，［Barro和Sala-I-Martin（1995）书中使用了对数线性展开，方法接近］，有10：910Blanchard和Fischer（1989）第二章附录B也作了类似的分析，这部分的处理来自Zilibotti的习题。
因为在稳态附近，有??^*.?ρ+(1-θ)γ-n-1??^??f'(k?**1-t)-(γ+n+δ)??kt-k???kt-k??kt??**?^^=?????^*^*^?.?=?**??ct-cf''(kt)ccct-???0??f''(kt)cf'(kt)-δ-ρ-θγ???ct?????θ???θθ??，又因为该例中γ=0,n=0,δ=0，所以容易得出2－46。αA(kt*)α-1?.??kt?.?=?α(α-1)A(kt*)α-2c*????ct?????θ-1?*??kt-k?
2－46 ?*?tcc-0?????在稳态时，有ρ=αA(kt*)α-1，同时利用2－44，2－45有ρ?.??kt?.?=?ρ2(α-1)??ct???????αθ这个方程的特征值11满足-1?*??kkt-?
?*??0??ct-c???ρ-λdet?ρ2(α-1)???αθ这个二项式存在两个根-1?2?=0=>λ2-ρλ+ρ(α-1)=0
2－48αθ-λ??? λ=2－49其中λ1=>0；λ2=因此2－46的解是kt=a1eλ1t+a2eλ2t+k*
2－50 因为λ1>0，所以a1>0，将产生资本的爆炸性增长，对应图1－2中的c''0，违反了TVC；当a1^^kt=a2eλ2t+k*
2－51因为当t=0，存在k0=a2+k*，所以a2=k0-k*。代入到2－51得kt=(k0-k*)eλ2t+k*=k0eλ2t+(1-eλ2t)k*
系统的稳定性要求(ct,kt)必须在动态系统的稳定特征向量上（由λ2决定的特征向量），因此有11定义ρ?J=?ρ2(α-1)???αθ-1??，λ为解多项式|J-λI|=0的根。 0??? kt
2－53 这也就是线性化的鞍点路径。稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对2－50微分，移项可得.ktλ2(k*-k)eλ2tβ=*==-λ2
2－54k-kt-(k*-k)eλ2t［考虑折旧、人口增长和技术进步见Barro和Sala-I-Martin（1995）第二章附录1］12.拉姆齐模型中的政府也可见Romer（1996）第二章，或Blanchard和Fischer（1989）第二章
1．一次总付税。因为征税不会对经济构成扭曲，所以可以集中考虑支出。稳态的条件变为：^f'(kt)=δ+ρ+θγ
ct=f(kt)-(γ+n+δ)kt-gt
2－56 其中gt为人均有效支出。现在我们分四种情况考虑12^^^^^情况1： 冲击是永久性的，未被预期到，处于稳态基本特征（1）考察g对稳态的影响，从2－25可以看出，稳态的资本存量独立于政府支出，因此稳态的人均产出也独立于政府支出。因此政府支出一对一的抵消了私人消费。因此存在完全的财政挤出效应，政府支出只是改变了需求的结构，但是并不对均衡总产出有影响。相位图的分析，见图2－3。因为经济最初处于稳态，因为是未预期到的，居民感到自己的收入减少了τ=g，因此从原来的稳态移动到新的稳态在瞬间完成。12根据(a)冲击在t=0前，如T情况2： 未预期，低于稳态 情况3： 永久性冲击，被预期到，稳态经济在趋于原来的稳态的过程中，鞍点路径发生变化。现在最永久性冲击，优路径处于新的鞍点路径上。这意味着消费的降低和继续增加。因为g事先被预期到，所以即使支出还没发生，但是由于消费者的消费平滑动机，已经进行了新的最优化，这个过程减少了当前的消费，因此增加了资本积累，并形成了新的鞍点路径。当政府支出付诸实施时，居民的有效收入减少时，居民的消费在新的鞍点路径趋于新的稳态时下降。情况4： 暂时性冲击，未被预期到，稳态当g增长一段时间，消费下降，但低于g，资本最初下降，但逐渐恢复到原来的鞍点路径上。直觉如下：因为暂时性的政府税收并不对代表性居民一生的财富有实质性的影响。又因为家庭偏好于消费平滑，因此愿意在征税期间减少的储蓄和资本积累，直到经济重新收敛于稳态。 k'图2－3
一次总付税下，公共支出的影响 2．李嘉图等价1313我们会在迭代模型中，详细讨论李嘉图等价问题对以上我们学到的模型，做个简单的修改，如下：1．政府的预算方程为：dbt+nbt=gt-τt+rtbt
2－57dtdbt其中dt+1-dt为t期新发行的国债dt2．家庭的预算方程为dat+nat=wt+rtat-τt
ct+dt这里at=kt+bt，其中kt是私人资本积累，我们不考虑私人债券。政府的跨时约束为：∞-b0+∫e ∞--rtgtdt=∫eτtdt
（2－59）0∞-∞-rt-家庭的跨式约束为：∫ ectdt=a0+∫ewtdt-∫eτtdt
（2－60） ∞--rt-rt∞-rt-所以结合2－59和2－60， 可得：∫ ectdt=k0+∫ewtdt-∫e -rt∞-rt-∞-rt-gtdt
（2－61）因此对于一个给定的支出路径gt，融资方式，无论是一次性总税收税收还是发行债务不会影响资源分配，这就是李嘉图等价。 3．扭曲性税收假定政府的预算方程为 τKra=z其中τK为资本收益税。家庭的预算变为dat+nat=wt+(1-τK)rtat+zt
ct+dt因此稳态的条件变为(1-τK)(f'(kt)-δ)=ρ+θγ
ct=f(kt)-(γ+n+δ)kt
可以看出由于现在资本收益下降，居民减少储蓄，增加消费，降低资本积累。因此，较高的资本收益税，使得ct=0线向左移，出现消费向上的瞬间调整。这可以从图2－4中看出，如从A到达新的鞍点路径，BB'，然后沿着鞍点路径移动，最终停留在一个比以前更低的生产和消费的稳态位置。.^^^^ k'图2－4
资本税的影响 13．附录1.现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数 现值： H=u(x)e-(ρ-n)+u[f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct]^^^或者写为H=eq=ue(ρ-n)t-(ρ-n){u(x)e-(ρ-n)+q[f(kt)-(γ+n+δ)kt-ct}，其中^^^^，定义当前值汉密尔顿函数为H=He-(ρ-n)t。?H^^^^.?H同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出：
一阶条件仍然为^=0^=-u ，?c?kTVC变为?H?c=0，?H?k^^=(ρ-n)q-q
2－64.q(T)e-(ρ-n)Tk(T)=0
2－65附录2拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则 Blanchard＆Fischer（1989）第二章
范文四：拉姆齐模型第三部分2．7政府购买的影响单位有效劳动的平均政府购买G(t)=一次性税收家庭的优化行为： max???tc?t?U?B?edtt?0c?t?1??s.t. 1????t?0e?R(t)c(t)e(n?g)dt?k(0)??e?R(t)[W(t)?G(t)]e(n?g)tdtt?0?根据和前面相同的推导过程可以得到c的运动方程：
（欧拉方程实际只和效用函??c?t?f?k?????g?ct?数有关）k的运动方程变为：??t??f?k?t???c?t???n?g?k?t?-G(t) k 政府购买的永久性变化图2。8由于政府购买和税收的永久性增加会降低家庭的一生财富，因此，消费立即下降一个等于G的增加量，经济立即处于新的平衡增长路径上，资本存量和真实利率不受影响。 政府购买的暂时性变化c瞬时下降较小的量；然后由于家庭预期G将下降，家庭会增加消费和降低资本持有量（由于r?f'(k)，因而利率上升）；经济延鞍点路径回到旧的平衡增长路径（利率再逐步下降到f'(k)? 经验应用：战争与真实利率 2．8李嘉图等价政府购买可以通过税收或债务融资的方式平衡。政府预算约束：政府购买的现值必须小于等于初始财富加税收收入的现值。（假设以等号形式满足） *???g）。??t?0e?R(t)[G(t)e(n?g)tA(0)L(0)]dt???R(t)t?0?b(0)A(0)L(0)??e即：[T(t)e(n?g)tA(0)l(0)]dt?t?0 ??t?0e?R(t)G(t)e(n?g)tdt??b(0)??e?R(t)T(t)e(n?g)tdt 以极限形式表示为：lime?R(t)e(n?g)sb(s)?0 s??政府未清偿的债务必趋于0。 家庭效用函数不变2.14，预算约束为：??t?0e?R(t)c(t)e(n?g)tdt?k(0)?b(0)??e?R(t)[w(t)?T(t)]e(n?g)tdtt?0?代入政府预算约束中的税收的现值得到：??t?0e?R(t)c(t)e(n?g)tdt???R(t)t?0k(0)??ew(t)e(n?g)tdt??et?0??R(t)G(t)e(n?g)tdt家庭的优化行为：max???tc?t?U?B?edtt?0c?t?1??1???s.t.?t?0e?R(t)c(t)e(n?g)tdt???R(t)t?0k(0)??ew(t)e(n?g)tdt??et?0??R(t)G(t)e(n?g)tdt 家庭效用函数不变，因而，c的动态学不变 ??t?f??k?????gc?ct?k的运动方程变为：??t??f?k?t???c?t???n?g?k?t?-G(t) k结论：政府购买是以税收融资还是以债务融资（未来再用增加税收偿还债务）不影响经济。此即债务和税收之间的李嘉图等价：政府融资决策的无效性。 流动性约束假设在t0时刻，如果利率为政府债券利率rb，家庭会借款以增加消费。但是，实际上利率为rm，因而家庭受到流动性约束，不能借款，消费不能增加。 不过，现在政府发行债券，代替家庭借款了，因而家庭就能够增加消费了。
范文五：拉姆齐模型(无限期界模型)第二章
拉姆齐模型（无限期界模型） 一、问题的提出在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当s>sgold时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当s图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响c cgold那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。二、模型假定1．完全竞争市场结构2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3．家庭和个人完全同质 4．忽略资本的折旧 5．暂不考虑政府行为在简单经济中，家庭与厂商之间的关系： 三、厂商行为沿用新古典生产函数Y=F(K,AL)?Y?Y根据欧拉定理，Y=AL K+?K?(AL)?Y其中，资本的边际产品为：=f'(k)=r（真实利率）?K有效劳动的边际产品为：?Y=f(k)-kf'(k)=w（工资率）?(AL)四、家庭行为总人口为L，以速率n增长，L(t)=L(0)ent； 家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动；资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。 定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：U=∫t=oe∞-ρt∞L(t)L(0)-(ρ-n)tdt u[C(t)]dt=∫t=oeu[C(t)]HH其中，C(t)为每个家庭成员的消费，u(o)为即期效用函数，ρ为。 贴现率（ρ越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）注意：e-ρtu[C(t)]表示将第t期的消费的效用按照ρ贴现到第0期，即u[C(t)]=limu[C(0)](1+ρ)t=u[C(0)]eρt，。t→∞即期效用函数的形式为：C(t)1-θu[C(t)]=，θ>0，ρ-n-(1-θ)g>01-θ该函数具有以下三个特点： （1） 边际效用弹性不变，为-θ。du'Cu''C=-=-θ。 定义边际效用弹性ξ=-dCu'u'（2）跨期替代弹性不变，为1/θ，表示相对风险回避系数不变。 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：d(C1/C2)/d(P1/P2)σ=-(C1/C2)/(P1/P2)由消费者均衡条件得：u'(C1)P1==λu'(C2)P2d(C1/C2)u'(C1)/u'(C2)代入得，σ=-d[u'(C1)/u'(C2)]C1/C2其中，u'(C1)/u'(C2)=MRS（边际替代率） 图解： C1可见，d(C1/C2)d[u'(C1)/u'(C2)]是射线比率的变化率，是切C1/C2u'(C1)/u'(C2)线斜率的变化率。令时间1趋近于2，得到瞬时弹性σ=-回避系数）u'(C)（常数相对风险u''(C)CC(t)1-θ有：
根据u[C(t)]=1-θu'(C)=C-θ，u''(C)=-θC-θ-1，则σ=1/θ1-θ1-θ1C2C1例如：一个两期的效用函数为U=，可以证明+1-θ1+ρ1-θ。 σ=1/θ（思考：为什么？）常数替代弹性意味着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。但θ决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，θ越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。（3）边际效用u'(C)为正；当θ1时，边际效用随C增加而减少。。 （4）ρ-n-(1-θ)g>0是为保证效用不发散（受到约束）考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有：A(t)=A(0)egtC(t)=A(t)c(t)[注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得：C(t)1-θ[A(t)c(t)]1-θu[C(t)]==1-θ1-θ1-θ[A(0)egt]1-θc(t)1-θ()ct==[A(0)]1-θe(1-θ)gt1-θ1-θ再代入家庭效用函数，得：U=∫t=oe∞-ρt∞L(t)L(0)-(ρ-n)tu[C(t)]dt=∫t=oeu[C(t)]dtHH=∫t=oe∞-(ρ-n)t{[A(0)]1-θe(1-θ)gtc(t)1-θL(0)dt 1-θH=[A(0)]1-θ=[A(0)]∞1-θL(0)∞-(ρ-n)t(1-θ)gtc(t)1-θedt e∫t=o1-θHL(0)∞-[(ρ-n)-(1-θ)]gtc(t)1-θdt e∫to=1-θHc(t)1-θdt 1-θL(0)，β≡ρ-n-(1-θ)g>0（收敛条件） H=B∫t=oe-βt其中，B≡[A(0)]1-θ 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。定义R=∫tτ=or(τ)dτ，因此在0期投资的1单位产品在t期产生eR(t)单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。e-R(t)为现值因子。当r不变为r时，则R=rt。（思考：如果r是变动--的，平均r怎样表示？）家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为：∫t=0e∞-R(t)L(t)K(0)∞-R(t)L(t)C(t)dt≤+∫t=0eA(t)w(t)dtHHH类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有：A(t)=A(0)egtC(t)= A(t)c(t)K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得：-R(t)ec(t)∫t=0∞A(t)L(t)A(0)L(0)∞-R(t)A(t)L(t)dt≤k(0)+∫t=0ew(t)dt
HHH再考虑有效劳动的增长，A(t)L(t)=A(0)L(0)e(n+g)t， 代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得：∫t=0e∞-R(t)c(t)e(n+g)tdt≤k(0)+∫t=0e-R(t)e(n+g)tw(t)dt∞ 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。 已知∞K(0)∞-R(t)L(t)L(t)A(t)w(t)dt-∫t=0e-R(t)C(t)+∫t=0edt≥0，故HHHK(0)∞-R(t)L(t)+∫t=0e[w(t)-c(t)]A(t)dt≥0 HH将积分改写成为极限形式，有：K(0)v-R(t)L(t)lim{+∫t=0e[w(t)-c(t)]A(t)dt}≥0 v→∞HH定义第v期的家庭资本持有量的总和为：vK(v)L(t)R(v)K(0)=e+∫t=0eR(v)-R(t)[w(t)-c(t)]A(t)dt HHH右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。整理有：vK(v)L(t)-R(t)R(v)K(0)=e{+∫t=0e[w(t)-c(t)]A(t)dt} HHHK(0)v-R(t)L(t)-R(v)K(v)dt=e[w(t)-c(t)]A(t)+∫t=0e HHH代入极限形式的预算约束得：v→∞lime-R(v)K(v)≥0，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 H由于K(v)=e(n+g)vk(v)因此，lime-R(v)e(n+g)vk(v)≥0v→∞根据前面的推导已知a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）：U=B∫t=oe∞-βtc(t)1-θdt 1-θ∞b．跨期预算约束：∫t=0e∞-R(t)c(t)e(n+g)tdt≤k(0)+∫t=0e-R(t)e(n+g)tw(t)dt（均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：Ω=B∫t=oe∞-βt∞∞c(t)1-θdt+λ[k(0)+∫t=0e-R(t)e(n+g)tw(t)dt-∫t=0e-R(t)c(t)e(n+g)tdt]1-θ求解最优的c(t)使Ω最大，对c(t)求导数，得到一阶条件为：Be-βtc(t)-θ=λe-R(t)e(n+g)t两边取对数得：lnB-βt-θlnc(t)=lnλ-R(t)+(n+g)t两边再对 t求导数，有：-β-θ因此，c(t)=-r(t)+(n+g) c(t)oc(t)-r(t)-n-g-β-r(t)-n-g-[ρ-n-(1-θ)g]==θθc(t)o=r(t)-ρ-θgθ 这就是描述c调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。对欧拉方程的理解：c(t)r(t)-ρ-θgr(t)-ρ==-gθθc(t)c(t)c(t)A(t)r(t)-ρ+g=+=θc(t)c(t)A(t)已知，C(t)=c(t)A(t)ooooC(t)c(t)A(t)r(t)-ρ则=+=θC(t)c(t)A(t)因此，当r(t)>ρ时，C(t)>0；当r(t)此外，欧拉方程还说明了r与ρ之间的关系与区别（思考：是怎样的关系和含义？）ooooo 五、稳态均衡1．k的动态学（k的微分方程）与索洛模型一样，k的稳态的条件是实际投资等于持平投资。实。因此， 际投资为f(k)-c，持平投资为（n+g）k（没有考虑折旧）k=f(k)-c-(n+g)k（思考：该式表明f(k)的用途是什么？）k当k=0时，c=f(k)-(n+g)k在稳态中，使消费达到最大水平的单位有效劳动力所拥有的资本存量水平被定义为资本存量的黄金规则水平。根据黄金律规则，当f'(kgold)=(n+g)时，c最大，c随着k的增加先增加后下降。再考虑非稳态的情况，当c超过使k=0时的水平时，k0。oooooo2．c的动态学（c的微分方程） 将r(t)=f'(k(t))代入欧拉方程，得：c(t)f'k((t))-ρ-θg =θc(t)当c(t)=0时，f'(k*(t))=ρ+θg再考虑非稳态的情况，当k>k*时，f'(k(t))ρ+θg，则c(t)>0。图示： oooo3. k和c的动态学（k和c的微分方程组和横截面条件共同构成）（1）综合上两图，有以下相位图： k（2）图中k*11【证明】f'(kgold)=(n+g)，f'(k*(t))=ρ+θg，而收敛条件ρ-n-(1-θ)g>0，故f'(kgold) （3）鞍点路径（或稳定臂） 根据相位图描绘在(c, k)空间上从初始值(c0, k0)的动态调整轨迹，然后在动态轨迹中排除会使最终资本存量为负和超过资本黄金存量的轨迹，得到鞍点路径（或稳定臂）。因为：（1） 最终资本存量必须为正；（2）超过资本黄金存量会使e-R(v)e(n+g)vk(v)发散（思考：为什么？），即家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭效用最大化的目标不一致。因此，鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、资本存量非负和家庭预算约束的要求。对于任意k0，c0必须等于鞍点路径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点E。 12六、平衡增长路径均衡点E(c*,k*)的解为：f'(k*)=ρ+θgc*=f(k*)-(n+g)k*因此模型中的各个变量的长期变动如下： 绝对量 变量 含义 平衡增长速度备注证明 K 资本存量L 劳动力A 知识或技术 AL 有效劳动Y 总产出F(cK,cAL)=cF(K,AL)C 总消费 k(Y/AL)有效劳动的平均资本0 k=k*K/L 人均资本 相 y(Y/AL)有效劳动的人均产出对 Y/L 人均产出 量 c(Y/AL)有效劳动的人均消费0 c=c*C/L 人均消费K/Y 资本产出比储蓄率结论：将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路径的描述。因此，索洛模型关于经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄率为常数的假定。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依然是人均产出持续增长的唯一根源。 七、修正的黄金资本存量定理1：在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*，且低于索洛模型中的黄金资本存量k*, 因此k*被称作“修正的黄金资本存量”。定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡 13增长路径是不可能的。【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化的家庭将降低储蓄，使k收敛于k*，且k*定理3：经济不收敛于产生最大c（即c(gold)）的平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平c*。【证明】c*0，它表明贴现率较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。图示（在索洛模型中当s低于s(gold)时提高s的影响）：c(gold) s较大的提高
s较小的提高八、比较静态和动态转移：贴现率的变动贴现率ρ变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。当贴现率ρ下比较静态：由c的稳态条件f'(k*)=ρ+θg可知，降时，k*提高，因此c(t)=0线右移，导致c和k*都增加。 14o 动态转移：k连续变化，而c瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新均衡点E’。思考：在动态转移过程中ρ、ln(Y/L)、c、k、s的轨迹是什么？ 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。九、基本结论 1．拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。2．索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。3．拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，因此c和k是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决 15定被内生化了。4．拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。5．拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。 思考：（对比较静态的扩展）考虑当其他外生参数n、g和θ上升时，由kc(t)f'k((t))-ρ-θg=f(k)-c-(n+g)k=0和==0共同决kθc(t)oo定的拉姆齐模型中的稳态均衡会发生怎样的变化？16