【图文】2.1.2数列的递推公式练习题_百度文库
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2.1.2数列的递推公式练习题
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高中数学典型例题解析（第四章数列）
第四章& 数列
§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.
5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n&2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=
a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.
6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.
正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
&[例2] 已知数列的前n项之和为①
求数列的通项公式。
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.
正解：&&&& ①当时，
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
经检验 时 &也适合，
&&&&&&&&&&&&
[例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于&&&&&&&&&& 。
错解：S30= S10·2d. &d＝30，
S30+d =100.
错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
正解：由题意：得
代入得S40 ＝。
[例4]等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；
错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
错因：误认为
[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－5n，求数列的前n项和；
错解：由an0得n5
前5项为非负，从第6项起为负，
Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)
当n6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n6起”的和.
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： &&&
[例7]已知：&（）& （1） 问前多少项之和为最&&&& 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
&解：（1）& &&&&&∴
当近于0时其和绝对值最小
&&令：& 即 1024+
&&&&∵ &&&&&∴
[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （）
&证明：依题意&&&&
∴ &&&&&&&∴&& （获证）。
四、典型习题导练
1．已知，求及。
2．设，求证：。
5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.
6.在等差数列中， ，则 （&&&&&&
A．72　　B．60　　C．48　　D．36
7. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
8.已知数列成等差数列，且，求的值。
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常
数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
3.等比数列的前n项和公式：&
二、疑难知识导析
1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.
2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.
3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.
5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.
6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q&0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点.
7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。
A.等差数列　　　
B.等比数列　　
C.既不是等差数列，也不是等比数列
D.既是等差数列，又是等比数列
为等比数列，即B。
错因：忽略了中隐含条件n＞1.
正解：当n＝1时，a1=S1＝
既不是等差数列，也不是等比数列，选C。
[例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.
错解：S30= S10·q 2. &q 2＝7，q＝，&S40=
错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.
正解：由题意：得，
[例3] 求和：a+a2+a3+…+an.
错解：&a+a2+a3+…+an＝.
错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.
正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;
&&当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;
当a1时，&a+a2+a3+…+an＝.
[例4]设均为非零实数，，
求证：成等比数列且公比为。
证法一：关于的二次方程有实根，
& 则必有：，即，∴非零实数成等比数列
& 设公比为，则，代入
& ∵，即，即。
证法二：∵
∴，∴，且
∵非零，∴。
[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。
&∵，∴前七项之积&
[例6]求数列前n项和
& 解：&&&&&&&&&&&&&&
两式相减：
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，
问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？
&&& (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
& a1= 0.2 （kg）,&& a2=×0.2（kg）,&&& a3=
()2×0.2（kg）
&由此可见：an=
()n-1×0.2（kg）,&& a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。
&&& (2)由(1)得{an}是等比数列&&&
a1=0.2 ,&&& q=&
答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1.求下列各等比数列的通项公式：
2)a1=5, 且2an+1=-3an
3)a1=5, 且
2.在等比数列，已知，，求.
3.已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
4.设数列为求此数列前项的和。
5.已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn
6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？
7.在等比数列中，，求的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
&1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, ; 等比数列中，an=amqn-m;
4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：aman=apaq；
5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；
8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
三、经典例题导讲
[例1]设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。
错解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
& 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.
正解：欲证
由对数函数的单调性，只需证＜
由已知数列是由正数组成的等比数列，
则－＝&＝－＜0；
& 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球　每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.
即＝199（米）
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为
＝300（米）
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.
错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.
正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，
1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，
2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，
17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，
a(1+r)18+ a(1+r)17+&
…+ a(1+r)1
答：取出的钱的总数为。
&[例4]求数列的前n项和。
& 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则
&&&&& &&当时，
[例5]求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则
[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，
求数列{an}的前n项和
& 解：取n =1，则
又由 &可得：
[例7]大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a，则
当n为奇数时，取&& S达到最小值
当n为偶数时，取&& S达到最大值&
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
3．已知数列中，是它的前项和，并且，
& （1） 设，求证数列是等比数列；
& （2） 设，求证数列是等差数列。
4.在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形。 5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值
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Option ExplicitFunction f(n As Integer) As Long If n = 1 Then f = 1 ElseIf n = 2 Then f = 1 Else f = f(n - 2) + f(n - 1) End IfEnd FunctionSub command1_click()
∵斐波那契数列有一个性质：一个固定的正整数除所有的斐波那契数,所得余数组成的数列是有周期的.∴先确定正整数8除斐波那契数的周期：项数 斐波那契数 除以8的余数1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 5 5 6 8 0 7 13 5 8 21 5 9 34 2 10 55 7 11 89 1 12 144 0
u=(1+sqrt(5))/2v=(1-sqrt(5))/2那么Fibonacci数列A(n)的通向公式是A(n)=[u^n-v^n]/sqrt(5).求和的话只不过用到了等比数列求和,你自己算.推导很简单,u,v是方程x^2=x+1的两根,Fibonacci数列的递推公式是A(n+2)=A(n+1)+A(n)于是经简
此数列每一项除以8之后的余数有个周期1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,1,1.此周期是122008除以12得到余数是4因此答案是3!
每一项除以8的余数,构成循环数列1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0所以第2008项除以8的余数为3
#includelong int fn(int);void main(){printf("%d",fn(10));}long int fn(int m){if ((1 == m) | (2 == m))temp = 1;elsetemp = fn(m - 1) + fn(m -2);retu
帮你写好了.unsigned&int&fib(unsigned&int&n)&{\x09if&(n&==&1&||&n&==&2)&{\x09\x09return&1;\x09}\
用先设为等比数列再求解的方法,详细请见图片.
答案：668因为从3开始,每3个数有一个偶数（只有奇数＋奇数才得偶数）,所以从3开始有7个偶数,再加上“2”,所以一共是668个偶数.
1+2=32+3=53+5=8依次类推明白.前两个数的 和等于第三个数
找规律（从第一项起除以3的余数）：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,……周期为+3所以余数为2
要说倒推也只能这么搞了：用an表示数列第n项a20=a19+a18=2a18+a17=3a17+2a16=5a16+3a15=8a15+5a14...发现系数暗合1,1,2,3,5,8...看出a20=an*a(21-n)+a(n-1)*a(19-n)算得a10=a9+a8=55,a11=a10+a9=89因此a20=
*求斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…的前30项的和.该数列从第3项开始每项等于前两项之和.3524577 SET TALk OFF CLEA S=2 F1=1 F2=1 I=2 DO WHILE I
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main(){int i,n,s=1,f[]={0,1,1};printf("Please input the number of terms:");scanf("%d",&n);if(n==0){s=0;f[2]=0;}for (i=2;i
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