利用极限定义证明limx明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-01-31 11:40 标签： 用函数极限的定义证明
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如何用极限的定义证明极限?（如何用ε-δ语言证明函数的极限?）
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证题的步骤基本为：任意给定ε>0,要使|f(x)-A|
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对于任意给定的ε>0,存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x0)-A|<ε .证毕“当0<|x-x0|<δ时”
这句话的意思就是x无限趋近于x0，但不相等，仔细体会下“|f(x0)-A|<ε”
这句话就是f(x0）无限趋近于A如果是一个证明题
要根据什么求出δ的值 ？举个例子：
证明极限x在趋近于1时，极限为2
举个例子：
证明极限x在趋近于1时，极限为2
思路：存在δ>0，当0<|x-1|<δ时，f(x)-2|=|2x-2|=2|x-1|0,存在δ=1/2ε，当0<|x-1|<δ时，有|f(x)-2|=|2x-2|=2|x-1|<2δ=ε
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用极限的定义证明
于是，对任意的ε&n&ε
得n&(x-1)]=5成立，证毕。
对任意的ε&0，解不等式
│(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)&#47，有│(x^2+1)/(x-1)-5│&3;1,0&x-2&lt,4&#47，当0&ε;0;ε]，当n&N时;4&#47，总存在正整数N≥max[2，取正整数N≥max[2;(x-1)│&2;(n^2-1)-3│&lt，则n-1&2;(n^2-1)]=3成立，证毕;0;2│x-3│&ε
得│x-3│&ε/2，取正数A≤min{1;((n+1)(n-1))&(n^2-1)]=3
证明：首先限定n&gt，总存在正数A≤min{1,ε/2};ε
即 lim(x-&3)[(x^2+1)&#47,ε&#47：首先限定│x-3│&1，则1&x-1&ε
即 lim(n-&∞)[(3n^2+2n)/│x-3│&A时。（2）证明lim(n-&∞)[(3n^2+2n)&#47,4&#47。
对任意的ε&0，解不等式
│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4&#47，有│(3n^2+2n)/4&#47（1）证明lim(x-&2}
于是，对任意的ε&3)[(x^2+1)/(x-1)]=5
采纳率：96%
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用极限定义证明lim(x→∞)1/(x+1)=0回答正确清晰可追加分
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用极限的定义证明：　　对任给的 ε>0,为使　　　　|1 /(x + 1)| X 时,有　　　　|1 /(x + 1)|
那个|1 /(x + 1)| <= 1/(|x|-1) 是怎么得到的
因为 |x + 1| >= |x| - 1，所以 |1 /(x + 1)| <= 1/(|x| - 1)。
可明白没？
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由|1/(x+1)|<ε，得1/ε<|x+1|M是|1/(x+1)|<ε，由定义极限为0
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用定义证明函数极限方法总结日期：
用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式limf(x)?c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节x?a不同。方法1：从不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分条件)x?a?h(?)，从而得??h(?)。方法2：将f(x)?c放大成??x?a?，解??x?a???，得x?a?h(?)，从而得??h(?)。部分放大法：当f(x)?c??f(x)?c不易放大时，限定0?x?a??1，得?h(?)，取??min??1,h(?)?。?x?a?，解??x?a???，得：x?ax??用定义来证明函数极限式limf(x)?c，方法：方法1：从不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分条件)x?h(?)，从而得A?h(?)。方法2：将f(x)?c放大成?A?h(?)。?x?a?，解??x?a???，得x?h(?)，从而得部分放大法：当f(x)?c不易放大时，限定x?A1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?h(?)，取A?max?A1,h(?)?。平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：lim(2x?3)?7。x?2证明：???0，要使：(2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2??2，取???2，即可。x?12x?x?122例2 证明：limx?1?23。分析：因为，x?12x?x?122?23?x?12x?1?23?x?132x?1放大时，只有限制0?x?1?1，即0?x?2，才容易放大。证明：???0，限制0?x?1?1，即0?x?2，要使； x?12x?x?122?23?x?12x?1?23?x?132x?1?x?13?2x?1??x?13??，只要x?13??，即0?x?1?3?，取??min(1,3?)，即可。例3证明：limx?a?（a?1）。 1?a21?a2证明：???0，限制0?x?a?，所以x??1，要使： ??????，??，即可。 ??只要 ??，即0?x?a?2?1?a,，取??min??2?2?x3, x?1例4 设f(x)??，证明:limf(x)?1。x?12, x?1?证明：当x?1时，f(x)?1?x3?1?x?1x2?x?1?x2?x?1?7。???0，要使：f(x)?1x1x??12?7x??，1 ?只要7x?1??，即x?1??7???，取??min??，当0?x?1??时，有：?7?f(x)?1??，fx(?)?limx?11x?a时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！错解：设x?1，则x2?x?1?3，要使：?32f(x)?1?x?1x?x?1?3x?1??，只要0?x?1?，取??min?1,?????， 3?当0?x?1??时，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。x?1例5 证明:lim12x?1x?1?1。证明：考察12x?114?1?2x?12x?1，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?11212限制0?x?1?12x?1，则2x?1?1?2x?1?1?2x?12x?1?，。???0，要使：?4?1??4x?1??，只要4x?1??，即x?1?，取??min?1?1??,?，当0?x?1??时，有：?1??， 442x?1??1??lix?12x?1。114说明：在以上放大f(x)?A（即缩小2x?1）的过程中，先限制0?x?1?得：2x?1?12，则。其实任取一个小于?m12的正数?1，先限制0?x?1??1，则122x??1?x?1?1??12?0（如果是限制0?x?1?或0?x?1?1，则不能达到以上目的）。例6 证明:limx4x?7x?2?2。证明：考察18x4x?7?2?7x?24x?774，?14x?7仅在x?74的邻域内无界，所以，限制120?x?2?（此邻域不包含x?点），则4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。???0，要使：x4x?7?2?7x?24x?7?7x?21?4x?2?14x?2??，只要14x?2??，即x?2??14，取??min?,?1x?2??， ?，当0?x?2??时，有：4x?7?814?x?2。???lix?24x?7x例7 用定义证明极限式：lima?1，（a?1）x?0证明：???0（不妨??1），要使：xa?1???1???a?1??x?loga?1????x?loga?1???（由对数函数。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0， f(x)?logax是单调增函数）当0?x?0??时，有：ax?1??。故limax?1。证毕x?0例8 设f(x)?0，limf(x)?A，证明：limx?x0x?x0?n?2为正整数。证明：（用定义证明）因为，f(x)?0，由极限保不等式性知，A?0；当A?0时，???0，由limf(x)?A，知：???0，当0?x?x0??时，有：f(x)?A??x?x0???f(x)?An?1?n?2???n?2?n?1 ?f(x)?An?1??n?1，故：limx?x0?当A?0时：???0，由lim(f)x0?x?x0，知：???0，当0?x?x0??时，有：f(x)????0?，故：limx?x0?0。证毕 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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