函数方程两边除x可以吗？普通方程会漏根，可是函数方程呢？【数学吧】_百度贴吧
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函数方程两边除x可以吗？普通方程会漏根，可是函数方程呢？
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函数基本概念
函数集合 §1.1 1． 集合(Set) ． 一般地，具有某种特点的一类对象的全体就称为一个集合。集合中的每个对象称为这个 集合的元素。 下面是一些常用的数集及其记法。 自然数集，记作N. 非负整数集内排除 0 的集，也称正整数集，记作 N* 或 N + 全体整数的集合通常简称整数集，记作 Z； 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q； 全体实数的集合通常简称实数集，记作R。 集合的元素常用小写的拉丁字母表示，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作a ∈ A；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作 a ? A 。 集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。 列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法。 例如{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。此集合含有元素10 个。一般地，含有有限个元素 的集合叫做有限集。 描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 例如，函数 f ( x ) = lg( x ? 2) 的定义域可以表示为 x ∈ R x & 2 。 集合{x | x & 2}的元素有无限个。一般地，含有无限多个元素地集合叫做无限集。 再看个例子，方程 x + 1 = 0 的所有实数解组成的集合，可以表示为2{}{x ∈ R : x2+1 = 0}这个集合是没有元素的。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 Φ 。 2．子集、交集、并集、补集 I．子集 集合与集合之间，存在着“包含”与“相等”的关系。 先看集合与集合之间的“包含”关系。 设A = {1, 2,3}, B ={1,2,3,4,5}, 集合A 是集合B 的一部分，我们就说集合B 包含集 合A。 我们规定：空集是任何集合的子集。 集合A 与集合B 的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B。是集合B 的元素，同时 集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，记作A=B。 我们还常常涉及“真子集”的问题。 集合A 是集合B 的真子集(proper set)，记作A ? B （或B ? A）. 显然，空集是任何非空集合的子集。 II． 全集与补集 一般地，设S是一个集合，A是S 的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合， 叫做S中子集A的补集(complementary set) （ 或余集） 记作 A ，c，Ac = x x ∈ S , 且x ? A 。{}例如，如果S={0，1,2,3,4,5,6，7，8，9},A={1,3,5，7，9},那么 Ac={0，2,4,6，8}。III．交集、并集 一般地，由所有属于集合A且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A与B的交集 (intersection)，记作A∩B（读“A交B”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集(union)， 记作A∪B（读“A并B”）,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 例1 设A={x|x& 2}，B={x|x& 3} ，求A∩B 。 解： A∩B ={x|x&2}∩{x|x&3}={x|2&x&3}。 例2 设A={ x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形} ，求A∩B。 解：A∩B = {x|x是等腰三角形} ∩ {x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}。例3A={4,5,6,8} ，B={3,5,7,8}，求A∪B 。 解： A∪B ={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。 集合中的元素是没有重复现象的， 两个集合的并集中， 原两个集合的公共元素只能出现 一次，不可写成A∪B ={3,4,5,5,6,7,8,8}。 例4 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形} ，求A∪B。 解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。 例5 A = {x | ?1 & x & 2} , B = {x |1 & x & 3},求A∪B 。 解： A∪B ＝{x | ?1 & x & 2} ∪ {x |1 & x & 3}＝{x | ?1 & x & 3}。 形如2n(n∈Z) 整数叫做偶数，形如2n +1(n∈Z) 的整数叫做奇数。全体奇数的集合 简称奇数集(the set of all odd numbers)，全体偶数的集合简称偶数集(the set of all even numbers)。习题1.11. 下列各小题中，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来， 然后指出它是有限集还是无限集。 (1) 世界上最高的山峰； (2) 由1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）组成的一切自然数； (3) 平面内到一个定点O的距离等于定长l(l &0)的所有的点P。 2. 写出集合{a,b,c}所有的子集，并指出其中那些是它的真子集。x ? 5 并把结果用集合表示出来; 2 (2) 解不等式3x +2&4x?1，并把结果用集合表示出来。 4. (1) 设A={x|x&5},B={x|x≥0},求A∩B ； (2) 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B ； (3) 设A={x|x≥?2},B={x|x≥3},求A∪B ； (4) 设A={x|x是平行四边形} ，B={x|x是矩形} ，求A∪B。3. (1) 解方程 x + 3 =21.2函数1． 函数 定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与 它对应，那么就说y是x的函数(function)，x叫做自变量。 记作y= f(x)， x∈D。 其中，x叫做自变量(argument)，x的取值范围D叫做函数的定义域(domain)；与x对应的 y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈D}叫做函数的值域(range)。 一次函数f(x) =ax+b(a≠0)的定义域是R。值域也是R。对于R中的任意一个数x，在R 中都有一个数y=ax+b(a≠0)和它对应。 函数除用f (x)表示外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示。而且研究函数常常用到区 间(interval)的概念，如[a,b]，(a,b)，[a,b]，(a,b)，(?∞,+∞)，[a,+∞]等。 例1 求下列函数的定义域： （1） f ( x ) = （2） f ( x ) =3x + 2 ；x +1 +1 。 2? x 2 ? 2 ? 时， 根式才有意义， 所以， 这个函数的定义域是 ?? ,+∞ ? 。 3 ? 3 ?分析：函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。 解： 因为3x +2≥0， x ≥ ? （1） 即（2 使根式 x + 1 有意义的实数x的集合是{x|x≥ ?1}，使分式1 的实数x的集合是{x|x≠2}，所以，这个函数的定义域是[?1,2]∪(2,+∞)。 2? x2 例2已知函数 f ( x ) = 3 x ? 5 x + 2 求f (3) ， f ( ? 2 ) ， f (a)，f(a+1)。解： f (3) = 3×3 ?5×3+2 =14 ；2f (? 2 ) = 3 × (? 2 ) 2 ? 5 × (? 2 ) + 2 = 8 + 5 2 ； f (a) = 3 × a 2 ? 5 × a + 2 ； f (a + 1) = 3 × (a + 1) 2 ? 5 × (a + 1) + 2 = 3a 2 + a习题1.21. 画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）， 已知： （1） A ={1,2,3,4}， B = {2, 4,6,8}，对应关系是“乘2”； （2）A={x|x&0}， B = R，对应关系是“求算术平方根”； （3）A={x|x≠0}， B = R，对应关系是“求倒数”； （4） A ={∠α|0 & ∠α≤90 }，B={x|x≤1}，对应关系是“求余弦”。 2. 已知函数f(x)=3x+5， x ∈R，求f(?3)， f(?2)， f (0) ， f (1) ， f (2) 以及函数的值域。 3. 选择题：0 03下列四组中的函数f (x)，g(x)，表示同一个函数的是（ ） （A） f(x) =1,g ( x) = x 2 ；（B） f (x) =x?1, g ( x) =2 4 3x2 ?1； x3（C） f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )，（D） f ( x ) = x , g ( x ) =x94. 画出下列函数的图象，并说出定义域、值域： （1）正比例函数y = 3x ； （2）反比例函数 y =8 x（3）一次函数y = ?4x+5； （4）二次函数 y = x 2 ? 6 x + 7 . 5. 求下列函数的定义域： （1） f ( x ) =6 x+4 ； （2） f ( x ) = ； x+2 x ? 3x + 22 3（3） f ( x ) =4x + 8 3x + 2； （4） f ( x ) =3x ? 1 + 1 ? 2 x + 4 ；（5） f ( x ) =x 2 ? 9 ； （6） f ( x) =4 ? x2 x ?11.3 函数的单调性(monotone)为了研究函数的性质，按照列表、描点、连线等步骤分别画函 数 y = x 2 和 y = x 3 的图象。 函数 y = x 2 的图象如图1-1，函数 y = x 3 的图象如图1-2 图1.1 图1.2 现在研究函数的单调性。 从函数 y = x 2 的图象（图1.1）出发看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0, +∞) 上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取 x1 , x 2 ∈ [0,+∞ ) ，得到 y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ) 那么当 x1 & x 2 时， y1 & y 2 ， 有 这时我们就说函数 y = x 2 在[0, +∞) 上是增函数。 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间(?∞,0)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取 x1 , x 2 ∈ (? ∞,0 ) ，得到 y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ) ，那 么当 x1 & x 2 时，有 y1 & y 2 ，这时我们就说函数 y = x 2 在(?∞,0)上是减函数。 。3 （图1.2） 看到这个函数在R上是增函数。 如果对于属于定义域I 内 从函数 y = x 的图象4某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 当 x1 & x 2 时， 都有 f ( x1 ) & f ( x 2 ) ， 那么就说f (x) 在这个区间上是增函数(increasing function)（图1-3(1)）； （1） （2） 图1-3 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ，当 x1 & x 2 时，都 有 f ( x1 ) & f ( x ，那么就说f (x)在这个区间上是减函数(decreasing function)（图1-3(2)）。 函数是增函数还是减函数， 是对定义域内某个区间而言的， 有的函数在一些区间上是增 函数，而在另外一些区间上不是增函数。 例如函数 y = x 2 ，当x∈[0,+∞) 时是增函数，当x∈(?∞,0)时是减函数。 如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y= f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性(monotone)， 这一区间叫做y= f(x)的单调区间(monotone interval)。在单调区间上增函数的图象是上升 的，减函数的图象是下降的。 例1． 下图是定义在闭区间[ -5,5 ]上的函数y= f(x)的图象，根据图象说出y= f(x)的 ． 单调区间，以及在每一个单调区间上，y= f(x)是增函数还是减函数。 图 解：函数y= f(x)的单调区间有[?5,?2)，[?2,1)，[1,3) ，[3,5] ，其中y= f(x)在区 间[?5,?2)，[1,3) 上是减函数，在区间[?2,1)，[3,5] 上是增函数。 要了解函数在某一区间是否具有单调性， 从图象上进行观察是一种常用而又较为粗糙的 方法。严格地说，它需要根据单调函数地定义进行证明，下面举例说明。 例2 证明函数f(x) =3x+2在R上是增函数。 证明：设 x1 , x 2 是R上的任意两个实数，且 x1 & x 2 ，则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = (3x1 + 2) ? (3 x 2 + 2) = 3( x1 ? x 2 ) 由 x1 & x 2 ，得 x1 ? x 2 & 0 ，于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) & 0 即 f ( x1 ) & f ( x 2 ) 。所以， f(x)=3x+2在R上是增函数。例3． 证明函数f ( x) =1 在(0, +∞) 上是减函数。 x证明：设 x1 , x 2 是x ∈ (0, +∞) 上的任意两个实数，且 x1 & x 2 ，则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =x ? x1 1 1 ? = 2 x1 x 2 x1 x 2由 x1 , x 2 ∈ (0,+∞ ) ，得 x1 x 2 & 0 ， 又由 x1 & x 2 ，得 x1 ? x 2 & 0 ，5于是 f ( x1 ( ? f ( x 2 ) & 0 ，即 f ( x1 ) & f ( x 2 ) ， 所以，f ( x) =1 在(0, +∞) 上是减函数。 x总结：证明单调性的步骤 （1） 设 x1 , x 2 属于给定区间； （2） 作差 f ( x1 ) = f ( x 2 ) 并判断符号； （3） 根据函数的单调性定义肯定此命题成立。习题1.31． 分下列情况说明函数y=mx+b在(?∞,+∞)上是否具有单调性；如果有，是增函数还是 减函数？ （1）m & 0 ； （2）m & 0 2．画出下列函数的图象，并根据图象说明y= f(x)的单调区间，以及在各单调区间上，函 数y= f(x)是增函数还是减函数。 （1） y = x 2 ? 5 x + 6 ； （2） y ? 9 ? x 2 。 3．判断函数 f ( x) = ? x 3 + 1 在(?∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈(0,+∞) ，函数f (x)是增函数还是减函数？（提示：可利用公式 a 3 ? b 3 = (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) ）。4．证明： （1）函数 f ( x) = x 2 + 1 在(?∞,0)上是减函数； （2）函数f ( x) = 1 ?1 在(?∞,0)上是增函数。 x? ? b? 上是增函数。 2a ? ?5．证明二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a & 0) 在区间 ? ? ∞ = ?1.4 函数奇偶性1．函数奇偶性的概念 一般地，对于函数f (x)的定义域A （1）?x∈A，有f(?x)= ?f(x)恒成立，则f (x)就叫做奇函数 (odd function)； （2）?x∈A，有f(?x)=f(x)恒成立，则f (x) 就叫做偶函数 (even fuction)。 注：对奇偶函数定义的说明 （1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； （2）奇偶函数定义的逆命题也成立，即6若f (x)为奇函数, 则f(?x)= ?f(x)成立； 若f (x)为偶函数, 则f(?x)=f(x)成立。 （3）如果一个函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说f (x)具有奇偶性。 例1 判断下列函数的奇偶性2 2 3 （1） f ( x) = 2 x + ( x ? 1) ? x + 3 ；（2） f ( x) = x + x ? 1 3；（3） f(x) =0； （4） f ( x ) = x + 1 。 解：（1） x ∈R, f (x)=4 所以f(?x)= f(x)=4，即 f ( x ) = 2 x + ( x ? 1) 2 ? x 2 + 3 是偶函数。 （2）定义域x ≠ 0f ( ? x ) = ( ? x 3 ) + ( ? x)所以 f ( x ) = x 3 + x? 1 3?1 3= ?( x 3 + x 3 ) = ? f ( x ) ，?1是奇函数.(3) 定义域为R，又f(?x)= f(x)=0，f(?x)= ?f(x)=0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数。 （4）∵ f ( ? x ) = ? x + 1,? f ( x ) = ? x ? 1∴ f (? x) ≠ ? f ( x)且f (? x) ≠ f ( x) 。所以f (x)为非奇非偶函数。例2 判断函数f ( x) =解：1? x2 的奇偶性 x+2 ?2? 1? x2 ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ?? ? ?1 ≤ x ≤ 1, x ≠ 0 ； ? x + 2 ? 2 ≠ 0 ? x ≠ 0, x ≠ ?4 ?∴定义域为[?1,0)∪(0,1]； ∴ f ( x) =1? x2 1? x2 = ( x + 2) ? 2 x1 ? (? x) 2 1 ? (? x) 2 ∵ f (? x) = =? = ? f ( x) ， ?x x所以， f (x)为奇函数。 说明：用定义判断奇偶性的步骤 （1） 先求定义域，看是否关于原点对称； （2） 再判断f(?x)= ?f(x)或f(?x)=f(x)是否恒成立； 2． 奇偶函数图象的性质 （1） 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个 函数为奇函数； （2） 偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个7函数为偶函数。 注：奇偶函数图象的性质可用于： ①简化函数图象的画法； ②判断函数的奇偶性。 例3 已知函数y= f(x)是偶函数，它在y 轴右边的图象如图，画出y= f(x)在 y 轴左边的图象。 解：画法略 图习题 1.41．判断下列函数的奇偶性： （1） f (x) = ?2x； （2） f ( x) = x ? 2 ；2 2 （3） f ( x) = 1 ? x ； （4） f ( x) = ? x ( x ∈ [? 3,1]) ；（5） f ( x) = 2. 判断4 ? x 2 + ( x ? 2) ；（6） f (x) =2x?1.? x 2 ( x ? 1)( x & 0) ? 的奇偶性. f ( x) = ? 1( x = 0) 2 ?? x ( x + 1)( x & 0) ? 3．已知函数f (x)既是奇函数又是偶函数，求证f(x) =0.4 ． 证明f ( x) =1+ x2 + x ?1 1+ x2 + x +1是奇函数。( 提示： 利用f(x)+ f (?x) =0，即f ( x) = ?1 证明)。 f (?x)1.5 反函数1．反函数的概念 在函数y=2x+6（x∈R）中，x是自变量， y是x的函数，由y=2x+6可以得到式子y ? 3( y ∈ R ) ，这样，对于y 在R中的任何一个值，通过式子 2 y x = ? 3 ， x在R中都由唯一的值和它对应，也就是说，可以把y作为自变量（y∈R），x 2 y 作为y的函数，这时我们就说 x = ? 3( y ∈ R ) 是函数y=2x+6（ x ∈R）的反函数。 2 一般地，函数y= f(x)(x∈A)中，设它的值域为C ，我们根据这个函数中x, y的关系， x=用y把x表示出来，得到 x = ? ( y ) ，x在A中都有唯一的值和它对应，那么， x = ? ( y ) 就表示y 是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数 x = ? ( y ) （y∈C）叫做函数y= f(x)(x∈A)8的反函数(inverse function)，记作 x = f 在函数 x = f?1?1( y) 。( y ) 中，y表示自变量，x表示函数，但在习惯上，我们一般用x表示自变?1量， y表示函数， 用 为此我们常常对调函数 x = f 例如函数y = 2x的反函数为( y ) 的字母x, y ， 把它改写成 x = f?1( y)y=1 x( x ∈ R ) 等。 2从反函数的概念可知，如果函数y= f(x) 由反函数 x = f?1( y ) ，那么函数 y = f?1( x)的反函数就是y = f(x)，这就是说，函数y = f(x)与 y = f?1( x) 互为反函数。从映射的概念可知，函数y= f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射，而它的反函数y= f?1( x) 是集合C到集合A的映射。?1函数y = f(x)的定义域，正好是它的反函数 y = f 正好是它的反函数 y = f?1( x) .的值域；函数y = f(x)的值域，( x) 的定义域。例1 求下列函数的反函数： （1）y=3x?1( x ∈R)； （2） y = x 3 + 1( x ∈ R ) ； （3） y = （4）x + 1( x ≥ 0) ；2x + 3 ( x ∈ R, 且x ≠ 1) 。 x ?1 y +1 x +1 解： (1)由y =3x?1， x = 得 ， 所以， 函数y =3x ?1(x∈R)的反函数是 y = ( x ∈ R) ； 3 3 y=(2)由函数 y = x 3 + 1( x ∈ R ) ，得 x = 3 y ? 1 ，所以，函数 y = x 3 + 1( x ∈ R ) 的反函数是y = 3 x ? 1( x ∈ R ) ；(3) 由函数 y =x + 1 ， 得 x = ( y ? 1) 2 ，所以，函数y = x + 1( x ≥ 0) 的反函数是 y = ( x ? 1) 2 ( x ≥ 1) ；(4) 由函数y=2x + 3 y+3 2x + 3 ， 得x = ，所以，函数 y = (x∈R，且x≠1)的反函数是 x ?1 y?2 x ?19y=x+3 (x∈R且x≠2)。 x?22．互为反函数的函数图象间的关系 一般地，函数y = f(x)的图象和它的反函数 y = f 可以表述为如下性质：若 y = f?1 ?1( x) 的图象关于直线y=x对称。( x) 是函数y = f(x)的反函数则有f (a ) = b ? f?1(b) = a3例2 函数 y = 2 ?4 x ? x 2 ? 3 (1 ≤ x ≤ 2) 的反函数是y = f(x)，?1则f (2) = ___________. 解：设f (2) = x ，则由性质知 f( x) = 2 ，即2 ? 3 4 x ? x 2 ? 3 = 2(1 ≤ x ≤ 2) ，化简得 x 2 ? 4 x + 3 = 0 ，解得x =1，所以f (2)=1.例3 设 f ( x ) =2x + 3 ，函数y = g(x)的图象与 y = f x ?1?1( x + 1) 的图象关于直线y=x对称，求g(3) 的值。 解：设g(3) =x，则 g ?1 ( x ) = 3 ， 因为函数y =g(x) 的图象与 y = f?1( x + 1) 的图象关于直线y = x 对称，所以y = g(x)与?1y= f?1( x + 1) 互为反函数，因此有 g ?1 ( x) = f( x + 1) = 3 ，由反函数的性质得f (3) = x +1，而 f (3) =9 7 求得 x = ，所以 2 2g (3) =7 。 2习题1.51．求下列函数的反函数： （1） y = ?4x +3（ x ∈ R）； （2） y = x 3 + 4( x ∈ R ) ； （3） y = x 2 ( x ≤ 0) ； （4） y = 1 ?2 ( x ∈ R, 且x ≠ ?3) ； x+3 2x ? 3 1 （5） y = ( x ∈ R且 x ≠ ? ) ； 5x + 1 5 4x + 3 3 （6） y = ( x ∈ R , 且x ≠ ) ； 5x ? 3 510（7） y = 3 （8） y =x ?1 + 1( x ∈ R) ； 22 x ? 4 ( x ≥ 2)。2. 已知函数 y =? 5? 25 ? 4 x 2 ( x ∈ ?0, ? ), 求它的反函数。 ? 2?3．已知函数y= 2|x|。 (1) 当x∈[0,+∞) 时，求它的反函数，并指出反函数的定义域； (2) 在同一个坐标系内画出函数y= 2|x|（ x ∈[0, +∞) ）及其反函数的图象；1 x + b与y = ax + 3 互为反函数，求常数a,b的值。 5 1? x * 5．求证函数 y = ( x ≠ ?1) 的反函数是改函数本身。 1+ x*4．已知函数 y =*6．举例说明，在同一个坐标系内：?1（1） y = f ( x )与x = f （2） y = f ( x )与y = f( y ) 的图象有什么关系？ ( x) 的图象有什么关系？?11.6 幂函数1．幂函数的概念 我们已经学习过了这些函数， y = x, y = x , y =21 , y = x 3 等，可以观察一下，上述解析式 x有什么特点。 一般地，我们称形如 y = x α 的函数为幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是 常数（这里我们只讨论α是有理数n的情况）。 我们知道，当n =0时， x n = x 0 = 1( x ≠ 0) ，函数 y = x 0 成为常数函数y=1(x≠0)， 它的图象是平行于x轴并在x轴上方1个单位的一条直线（除去点(0,1)）。 当n =1时，函数 y = x n 就是y =x ，n是其它正整数时， x 的意义是 x = x ? x ? ? ? ? ? xn n（共有n个 相乘），函数的定义域就是实数集R。 当n 是一个正分数时， 我们只研究n是一个既约分数p qp ( p, q是正整数，q & 1) 的情况， qq p这时， x 的意义是 xn= xqp，函数 y = x 的定义域是使 xp q有意义的实数x的集合。当n是一个负整数或负分数时，例如n=?p（p是正整数）或n=?p n （p,q 是互质的正整数，q &1）时， x 的意义分别是 q11x =xn?p? 1 = p , xn = x q = xp1q， 函数的定义域是使xp1 1 或 有意义的实数x的集合。 p q x xp例1 求下列函数的定义域：y = x , y = x , y = x 2 , y = x ?2 , y = x31 31?1 2解： y = x 3 的定义域是R；y = x = 3 x 的定义域是R；11 3y = x 2 = x 的定义域是[0, +∞) ； y = x ?2 = y=x? 1 21 的定义域是(?∞,0)∪(0,+∞)； x2 1 x的定义域是(0, +∞)。=2. 幂函数的图象和性质(graph and property of power function) 现在我们分n &0 和n &0两种情况来研究幂函数的图象和性质。 I ：n &01 1我们在同一个直角坐标下画出 y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = x 2 以及 y = x 3 的图象 （如图1-4） , 图1-4 可以看出，当n &0 时，幂函数 y = x n 有下列性质： (1)图象都过（0，0），（1，1）； (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大。 例2 比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.5 ,1.7 ；（2） 0.71.5 ,0.61.5 。 解：（1）题中的两个值都是幂运算的结果，且指数相同，因此，可以利用幂函数的性质来 判断它们的大小。考察幂函数3 3 5 3 5y = x 5 ，在第一象限内，y的值随x的增大而增大。3 3∵1.5&1.7,∴ 1 .5 5 & 1 .7 5（2）考察幂函数 y = x 1.5 ，同理， ∵0.7&0.6, ∴ 0.7 II： n &01.5& 0.61.5 。12同样地，我们在同一个直角坐标系下画出y =?x ， y = x 图1-5）: 可以看出，当n &0时，幂函数 y = x 有下列性质： (1) 图象都通过点（1，1）；?2以及 y = x?1 2的图象（如(2) 在第一象限内，函数值随着x的增大而减小； (3) 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。 图1-5 例3 比较下列各题中两个值的大小： (1) 2.2? 2 3,1.8?2 3；（2） 0.15 ?1.2 ,0.17 ?1.2 ；（3） ( ?5 ?3 5 ? ) , (? ) 3 。 12 1122解：（1）考察幂函数y=x?2 3，在第一象限内，y的值随x的增大而减小。? 2 3∵2.2&1.8， ∴ 2.2& 1 .8 ；?2 3（2）考察幂函数 y = x ?1.2 ，同理， ∵0.15&0.17， ∴ 0.15?1.2& 0.17 ?1.2 ；（3）可以将其先化归为第一象限的情形，便于使用性质进行判断，5 ? (? ) 3 = 12213(5 2 ) 125 ? 5 ? = ( ) 3 , (? ) 3 = 12 112213(5 2 ) 115 ? = ( ) 3, 112而y=x?2 35 5 5 ? 5 ? & ，因此 ( ) 3 & ( ) 3 ，即 在第一象限内随x的增大而减小，又 12 11 12 11222(?5 ?3 5 ? ) & (? ) 3 。 12 1122. 总结 我们可以对以上的情况作一个总结，具体参见下表： 图习题1.61. 求下列函数的定义域：1（1） y = x ?4 ； （2） y = x 5 ； （3） y = x?3 2；13（4） y = x ； （5） y = x2 33 2； （6） y = x?4 5。2．在同一个坐标系内画出下列各题中两个函数的图象，并加以比较： （1） y = x 3 , y = x 4 ； （2） y = x ?3 , y = x ?4 。 3．比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.3 ,1.5 ； （2） 0.21 ,0.27 。 4．比较下列各题中两个值的大小： （1） 3? 5 2 5 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 5 2 5,3.1 ； （2） 1.1 ,0.9???。1.7 指数函数1．指数(exponent) 在以前的学习中，我们已经学过了指数的概念和运算性质，即对于任意有理数r,s （1） a ? a = ar s r+s(r ,s ∈ Q)；（2） ( a r ) s = a rs (r,s∈Q)； （3） (ab) r a r b r (r∈Q) 2．指数函数的定义 一般地，函数 y = a x ( a & 0且a ≠ 1) 叫做指数函数(exponent function)，其中x是自变量，函数的定义域是R。 3. 指数函数的图象和性质(graph and property of exponent function) 为了研究指数函数 y = a x ( a & 0且a ≠ 1) 的图象和性质，可以先观察 y = 2 和( )x1 2x的图象（如图1-6）： 图1-6 通过图1-6，我们可以总结出一些规律，一般地，指数函数 y = a x 在底数a &1及0&a &1这两 种情况下的图象和性质如下表所示： 图 性质：（1）定义域：R； （2）值域： (0, +∞) ； （3）过点(0,1),即x=0 时，y＝1； （4）当a &1 时，y = ax 在R 上是增函数，反之，当0&a &1时， y = ax 在R上是减 函数。 例1 某种反射性物质不断变化为其它物质，每经过1 年剩留的这种物质是原来的84%，画出 这种物质的剩留量随时间变化的图象， 并从图象上求出经过多少年， 剩留量是原来的一半 （结14果保留一个有效数字）。 解：设这种物质最初的质量为1，经过x年，剩留量为y 。 则 y = 0.84 x 图 从图上看出， y = 0.5 只需x ≈ 4 。 因此，约经过4年，剩留量是原来的一半。 例2 说明下列函数的图象与指数函数 y = 2 的图象的关系，并画出它们的示意图：x（1） y = 2x +1； （2） y = 2x ?2。x +1 x 解：（1）比较函数 y = 2 与y = 2 的关系：y = 2 ?3+1 与y = 2 ?2 相等， y = 2 ?2+1 与y = 2 ?1 相等， y = 2 2+1 与y = 2 3 相等，… …由此可以知道，将指数函数 y = 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数 y = 2 x +1 （如图1-7） 图1-7 （2） 同理， 可以看出， 指数函数 y = 2 x 的图象向右平移2个单位长度， 就得到函数 y = 2 x ? 2 的图象（如图1-7）。 例3 比较下列各题中两个值的大小：?2（1） 1.7 2.5 ,1.7 3 ；（2） 0.8 ?0.1 ,0.8 ?0.2 ；（3） 1.7 0.3 ,0.9 3.1 。 解： （1）考察指数函数 y = 1.7 x ，由于底数1.7&1，所以指数函数 y = 1.7 x 在R上是增函数， ∵2.5&3, ∴ 1.72.5& 1 .7 3 。x x （2）考察指数函数 y = 0.8 ，由于0&0.8&1，所以指数函数 y = 0.8 在R上是减函数，?0.1∵-0.1&-0.2, ∴ 0.8& 0.8 ?0.2 。（3）由指数函数的性质知1.7 0.3 & 1.7 0 = 1,0.9 3.1 & 0.9 0 = 1 ，即 1.7 0.3 & 1 = 1,0.9 3.1 & 1∴1.7 0.3 & 0.9 3.1 。由于 1.70.3与0.9 3.1 不能直接看成某一个指数函数的两个值，因此，（3）题无法用（1）、（2）两题的方法来进行比较。本题在这两个数值问题间找到数值1，使这个两个数值分别与15数值1 进行比较，进而比较出 1.70.3与0.9 3.1 的大小。习题1.71．求下列函数的定义域： （1） y 3? x ； （2） y = 3 2 x +1 ； （3） y = ( ) ； （4） y = 0.7 x 。5x 11 22．比较下列各题中两个值的大小： （1） 3 0.8 ,3 0.7 ； （2） 0.75 ?0.1 ,0.75 0.1 （3） 1.012.7 ,1.013.5 （4） 0.99 3.3 ,0.99 4.5 . 3．已知下面不等式，比较m,n的大小： （1） 2 m & 2 n ； （2） 0.2 & 0.2m n（3） a m & a n (0 & a & 1) （4） a m & a n ( a & 1) 。3 x +1 , y 2 = a ?2 x ，其中a &0 ， a ≠1。确定x为何值时，有（1） y1 = y 2 ； *4. 设 y1 = a（2） y1 & y 2 。 *5. 设 f ( x ) = 3 x ，求证： （1） f ( x ) ? f ( y ) = fx + y ) ；（2） f (x)÷f(y)=f(x?y)。1.8对数与对数函数1．对数的概念 一般地，如果a(a&0,a≠1)的b次幂等于N ，就是 a = N ，那么数b叫做以a为底N的b对数(logarithm)，记作logaN= b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 复习对数的性质： （1）负数与零没有对数； （2） log a 1 = 0, （3）对数恒等式 alog a a = 1 ；log a N=N；（4）常用对数(common logarithm) log10 N = lg N ； （5）自然对数(natural logarithm) log e N = ln N ； （6）底数a的取值范围(0,1) ∪ (1, +∞) ，真数N 的取值范围(0, +∞) 对数运算性质：如果a&0,a≠1,M&0,N&0 ，那么 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ；16(2) log aM = log a M ? log a N ； Nn(3) log a M 证明略.= n log a M (n ∈ R ) 。2．对数函数 (1) 对数函数的定义： 一般地 函数 y = log a x( a & 0且a ≠ 1) 叫做对数函数(logarithmic function)，它是 指数函数 y = a (a&0且a≠1)的反函数。 y = log a x( a & 0且a ≠ 1) 的定义域为(0,+∞) ，值域为(?∞,+∞)。(2) 对数函数的图象 由于对数函数 y = log a x( a & 0且a ≠ 1) 与指数函数y = a x (a & 0且a ≠ 1) 互为反函数，所以 y = log a x 的图象与 y = a x 的图象关于y =x对称。由于指数函数的图象按a &1和 0&a &1分成两种不同的类型，故对数函数的图象也应以1为分界线分成两种情况，a &1和0&a &1。分别以 y = log 2 x 和y = log 1 x 为例画图(如图1-8):2图1-8 一般地， 对数函数 y = log a x 在其底数a &1和0&a &1这两种情况的图象和性质如下表 所示： 函数 底数 图像y = log a x(a & 0且a ≠ 1)a &1图10 & a &1图2定义域 值域 定点 值分布 单调性(0,+∞) (?∞,+∞)（1，0）即x=1时，y=0 当x&1时，y&0;当0&x&1时，y&0 在 (0,+∞ ) 上是增函数 当x&1时，y&0;当0&x&1时，y&0 在 (0,+∞ ) 上是减函数17趋势底数越大，图像越靠近x轴底数越小，图像越靠近x轴例1 求下列函数的定义域： （1） y = log a x ； （2） y = log a ( 4 ? x) ；（3） y = log a (9 ? x ) 。2 2解：（1）因为 x & 0 ，即x≠0，所以函数 y = log a x 的定义域是{x|x≠0}；2 2（2）因为 4 ? x & 0 ，即 x & 0 ，所以函数 y = log a ( 4 ? x) 的定义域是{x|x&4}； （3） 因为 9 ? x & 0 ， 即 ? 3 & x & 3 ， 所以函数 y = log a (9 ? x ) 的定义域是2 2{x|?3&x&3}。例2 比较下列各组数中两个值的大小： （1） log 2 3.4, （2） log 0.3 1.8, （3） log a 5.1,log 2 8.5 ；log 0.3 2.7 ； log a 5.9(a & 0, a ≠ 1) 。解：（1）考察对数函数 y = log 2 x ，因为它的底数2&1，所以它在(0,+∞)上是增函数， 于是 log 2 3.4 & log 2 8.5 图 (2) 考察对数函数 y = log 0.3 x ，因为它的底数为0.3，即0&0.3&1,所以它在(0,+∞)上是减 函数，于是 log 0.3 1.8 & log 0.3 2.7 图 (3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底 数a与1哪个大，因此需要对底数a进行讨论：当a & 1时，函数y = log a x在(0,+∞ ) 上是增函数，于是 log a 5.1 & log a 5.9 ; 当0 & a & 1时，函数y = log a x在(0,+∞) 上是减函数，于是 log a 5.1 & log a 5.9 。例3 比较下列各组数中两个值的大小： （1） log 6 7,log 7 6 ； （2） log 3 π ,log 2 0.8 .解：（1）∵ log 6 7 & log 6 6 = 1,log 7 6 & log 7 7 = 1 ，18∴ log 6 7 & log 7 6 。 （2）∵ log 3 π & log 3 1 = 0 ∴ log 3 π & log 2 0.8 。log 2 0.8 & log 2 1 = 0 ，例4 已知 f ( x) = lg( a x ? b x )(a & 1 & b & 0) ： （1）求f (x)的定义域； （2）判断f (x)的单调性； （3）此函数的图象上不存在不同两点，使过两点直线平行于x轴； 图？ （4）当a,b满足什么条件时， f (x)在区间[1,+∞) 上恒为正。 解：（1）由 a ? b & 0得a & b ? ( ) & 1 = ( )x x x x xa ba b0∵a &1& b & 0，∴ x & 0 ，故f (x)的定义域为(0,+∞) ；（2）设 0 & x1 & x 2 & +∞ ，则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = lga x1 ? b x1 ， a x2 ? b x2∵a &1 & b & 0 ，∴ax1& a x2 , b x1 & b x2∴ 0&ax1? b x1 & a x2 ? b x2 ，∴0 &a x1 ? b x1 & 1, 即f ( x1 ) ? f ( x 2 ) & 0 ， a x2 ? b x2∴ f ( x1 ) & f ( x 2 ), 故f ( x)在(0,+∞) 是增函数。（3）设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 且x1 ≠ x 2 ， ∵ f (x)在(0,+∞) 是增函数， ∴当 x1 & x 2时，则y1 & y 2 , 当x1 & x 2时，则y1 & y 2 ， ∴ y1 ≠ y 2 ，故过两点的直线不平行于x轴； （4）∵ f (x)在(0,+∞)是增函数， ∴ f ( x) min = f (1) = lg(a ? b) ，要使f (x)在区间[1,+∞)上恒为正， 只要使lg(a?b)&0 就可以了，即a?b&1。习题1.81. 求下列函数的反函数：19（1） y = 4 ( x ∈ R ) ；x（2） y = 0.25 ( x ∈ R ) ；xx （3） y = ( ) ( x ∈ R ) ； （4） y = ( 2 ) ( x ∈ R ) ；1 3x（5） y = lg x ( x & 0) ； （6） y = 2 log 4 x( x & 0) ； （7） y = log a 2 x ( a & 0, 且a ≠ 1, x & 0) ； 2．求下列函数的定义域： （1） y = 3 log 2 x ； （2） y =log 0.5 (4 x ? 3) 。3. 已知下列不等式，比较正数m,n的大小： （1） log 3 m & log 3 n ； （2） log 0.3 m & log 0.3 n ； （3） log a m & log a n(0 & a & 1) ；（4） log a m & log a n( a & 1) 4。 4.已知f ( x) = lg1? x a+b , a, b ∈ (?1,1) ，求证 f (a ) + f (b) = f ( )。 1+ x 1 + ab1.9 对数的换底公式1．对数换底公式log a N =log m N log m a(a & 0, a ≠ 1)x证明： 设 log a N = x, 则a = N ，两边取以 m 为底的对数：log m a x = log m N ? x log m a = log m N ，从而得：x=log m N log m a∴ log a N =log m N log m a三个较为常用的推论： 1. log a b ? log b a = 1 ； 2. log a m b =nn log a b(a, b & 0且均不为1) ； m3. log x y ? log y z = log x z 证明： 1. log a b ? log b a =lg b lg a ? =1 lg a lg b202. log a m b =nlg b n n lg b n = = log a b m m lg a m lg a3. log x y ? log y z = log x y ? 例1 计算log x z = log x z log x y4（1） log 8 9 ? log 27 32 ； （2） log 4 3 ? log 12 log m a ? log m b log m a32 ；（3） a。解：（1）原式=lg 3 2 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 10 ? = ? = ； lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 91 1 5 1 5 log 2 3 ? log 3 2 + log 2 2 = + ； 2 2 4 4 4log m a b log m a（2）原式＝（3）原式＝ a=alog aa b=a 。 b例2 已知 log18 9 = a, 解：∵ log18 9 = a ∴ log18 2 = 1 ? a ∵ 18 b = 5 ∴ log 36 45 =18 b = 5, 求 log 36 45(用a, b表示） 18 = 1 ? log18 2 = a 2∴ log18∴ log18 5 = blog18 45 log18 9 + log18 5 a + b = = log18 36 1 + log18 2 2?az例3 设 3 = 4 = 6 = t & 1 求证：x y1 1 1 ? = z x 2y证明：∵ 3 = 4 = 6 = t & 1 ，x y z∴x =lg t , lg 3y=lg t , lg 4z=lg t , lg 6∴1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg 4 1 ? = ? = = = 。 z x lg t lg t lg t 2 lg t 2 y log 3 5 = q, 求 lg 5 。∴ log 2 3 = 3 p ? lg 3 = 3 p lg 2 = 3 p (1 ? lg 5)21例4 若 log 8 3 = p, 解：∵ log 8 3 = p,又∵ log 3 5 =lg 5 =q lg 3∴ lg 5 = q lg 3 = 3 pq (1 ? lg 5)∷ (1 + 3 pq ) lg 5 = 3 pq 例5 计算：4∴ lg 5 =3 pq 1 + 3 pq(log 4 3 + log 8 3)(log 3 2 + log 9 2) ? log 1 4 3225解：原式 = (log 2 2 3 + log 23 3)(log 3 2 + log 32 2) ? log 1 2 421 1 1 5 = ( log 2 3 + log 2 3)(log 3 2 + log 3 2) + 2 3 2 4 5 3 5 5 5 5 = log 2 3 ? log 3 2 + = + = 6 2 4 4 4 2例6 若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m = log 4 2, 求m 。 解：由题意：lg 4 lg 8 lg m 1 ? ? = lg 3 lg 4 lg 8 2 3。∴ lg m =1 lg 3 2∴m =习题1.91. 求下列各式的值： （1） log 93+ 5 ? 3? 5 6；（2） 251 log 6 5+ 491 log 8 7；（3） (log 2 5 + log 4 0.2)(log 5 2 + log 25 0.5) ； （4） log 9632 (log 2 3 + log 4 9 + log 8 27 + log16 81 + log 32 243) 。x2．已知 2lg(3x ? 2) = lg x + lg(3x + 2) ,求 log 3．已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n 表示 log 30 8 。 4．已知 log2 2 2 的值。32=1? a , 求 log12 3 。 ax y z5．设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若 a = b = c 且 6．求值：1 1 1 + + = 0 ，求证：abc = 1 x y z22（1） lg 5 ? log （2）1020 + (lg 2 2 ) 2 + 3log 3 2?1 ；2log23+ log ( 2+3)(7 + 4 3 ) ? 10 2+ lg 2复习题（一）一、内容提要 这一章主要内容是集合、函数、幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数。 二、学习要求 1． 理解函数的概念，了解映射的概念； 2． 了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法； 3． 理解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； 4． 理解指数幂的概念和运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质； 5． 理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数的换底公式，掌握对数函数的概念、图象 和性质； 6． 能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决一些简单的实际问题。 三、例题选讲 例1 求下列函数的定义域： （1） y =x?2 ； x+21 。 log 3 (3 x ? 2)（2） y = 分析： （1）因为x?2 x?2 x?2 才有意义。解不等式 ≥ 0 ，根式 ≥0 x+2 x+2 x+2得到解集[2, +∞) ∪ (?∞, ?2) 。 （2）由 ??log 3 (3 x ? 2) ≠ 0 2 得定义域为 ( ,1) ∪ (1,+∞) 3 ? 3x ? 2 & 0 1 ，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农 2例2 用水清洗一堆蔬菜上残留得农药，对用一定量得水清洗一次的效果作如下得假定：用1 个单位的水可清洗蔬菜上残留农药量的药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留 的农药量之比为函数f(x)。 （1）试规定f (x)的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质； （3）设f ( x) =1 ，现在a(a &0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗 1+ x223两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由。 解：（1） f (0)=1.表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化； （2）函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：f (0) =1， f (1) =1 在[0,+∞)上， f(x)单调递减，并且有 0 & f ( x ) ≤ 1 。 2 （3）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 1 W1 = 1 × f (a ) = ； 1+ a2 a 1 a 又如果用 单位量的水清洗1次，残留的农药量为 1 × f ( ) = a 2 2 1 + ( )2 2 a 1 a 16 然后再用 单位量的水清洗1次，残留的农药量为 W2 = ? f( )= a 2 2 (4 + a 2 ) 2 1 + ( )2 2a 2 (a 2 ? 8) 由于 W1 ? W2 = ，故当 a & 2 2 时，W1 & W2 。此时，用a单位的水平均 (1 + a 2 )(4 + a 2 ) 2分成2份后，清洗两次残留的农药量较少； 当 a = 2 2 时， W1 = W2 。此时，两种清洗方式效果相同； 当 a & 2 2 时， W1 & W2 。此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少。 例3 已知函数f (x), 当 x ,y∈R 时，恒有f (x + y) = f (x) + f (y), （1）求证： f (x)是奇函数。 （2）若f (?3) =a，试用a表示f (24) （3）如果x &0时，f (x)&0且f (1)&0，试求 f (x)在区间[?2，6]上的最大值与最小值。 解：（1） 令 x = y = 0 得 f (0) = 0，再令 y = ? x 得f (0) = f (x) + f (? x), ∴f (x) = f (? x) ∴f (x)为奇函数 （2） 由 f (?3) = a 得 f (3) = ? f(?3) = ?a， f (24) = f ( 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 8 f (3) = ? f (3) （3）设 x 1 & x2 ，则f ( x 2 ) = f ( x1 + x 2 ? x1 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ? x1 ) & f ( x1 ) ，( ∵ x 2 ? x1 & 0 , f ( x 2 ? x1 ) & 0 ) ∴f (x)在区间[?2，6]上是减函数。 ∴f (x) max = f (?2) = ?f (2) = ?2f(1) = 1 f (x) min = f (6) = 6 f (1) = ?3。 例4 y1 = a , y 2 = a2x x 2 ?3，其中 a & 0，a ≠ 1，问：x 为何值时有（1） y1 = y2 （2） y1 & y2 解：（1）由于指数函数是单调函数，故y1 = y 2 ? 2 x = x 2 ? 3 ? x = ?1或x = 3 。24（2）当 0 & a & 1，由 y1 & y2 ，得 2x & x2 ?3 ，解得 ?1 & x & 3； 当 a & 1，由 y1 & y2 ，得 2x & x2 ?3 ，解得 x & ?1 或 x & 3。 例5 已知函数f ( x) = log a1+ x (a & 0, a ≠ 1) ， 1? x（1）求f (x)的定义域； （2）当a &1时，求使f(x)&0的x取值范围。 解：（1）1+ x & 0 得?1&x &1,故函数f (x)的定义域为(-1,1)。 1? x 1+ x 1+ x （2） log a & 0 ? log a & log a 1 ， 1? x 1? x 1+ x & 1 ， （1） x &1， 所以由对数函数的单调性知 又由 知 解得0& x &1， ∵ a &1， 1? x 故对于a &1，当x∈(0,1)时， f(x)&0。习 题 一A 组 1．判断下列对应，哪些是映射，哪些不是映射； （1） A ={1,3,5,7,9}， B = {2, 4,6,8,10}，对应法则f:a→b=a+1,a∈A,b∈B； （2） A ={∠α|00& ∠α&900}，B={y|0&y&1}，对应法则f:∠α →y=sinα ,a∈A,y∈B；（3） A={x|x∈R}，B={y|y≥0}，对应法则 f : x → y = x 2 ,x∈A,y∈B。 2．设1+ x2 ，求证 f ( x) = 1? x2（1） f(?x)=f(x)； （2） f ( ) = ? f ( x) 3．设 f ( x) =1+ x ，求（1） f(a+1)；（2） f(a)+1. 1? x1 x4．指出下列函数的单调区间，并说明函数在单调区间此函数是增函数还是减函数： （1） f ( x) = ? x 2 + x ? 6 ； （2） f ( x ) = ? x ； （3） f ( x ) =2? x = ； x（4） f ( x ) = ? x 3 + 2 .5．求下列函数的反函数： （1） y =2x +1 1 ； （2） y = log 2 x x ?1 2 ?1256．求下列函数的定义域： （1） y =1 + ? x + x + 4 ； （2） y = x+311 6 ? 5x ? x 2 1 2x；（3） y = 8 2 x ?1 ；（4） y = 1 ? ( )（5） y = log a ( 2 ? x)( a & 0, a ≠ 1) ； （6） y = log a (1 ? x ) ( a & o, a ≠ 1)27．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （m/s）和燃料的质量M （kg）、火箭 （除燃料外）的质量m （kg）的函数关系是 v = 2000 ln(1 + 的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？ B 组 1． 设M ) 。当燃料质量是火箭质量 mx2 ?1 b f ( x) = 2 ，求（1） f ( ) ； a x +12． 画出下列函数的图象：（2） f ( )a b（1） y = 2 x 2 + x 2 ? 1 ； （2） y = x 2 ? x 3. 求下列函数的反函数： （1） f ( x ) =x?2 ； （2） f ( x ) = x + 1 + x 2 ( x & 0) 3x + 4e x ? e?x e x + e?x 4．设 f ( x ) = , g ( x) = ，求证： 2 2（1） [g ( x )] ? [ f ( x )] = 1 ； （2） f (2x) =2f(x)?g(x)2 2第二章三角函数（Trigonometric function） ）2.1 角的概念推广及弧度制261. 角的概念的推广 （1） 角的概念 角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的。射线的端点叫做角的顶点， 旋转开始的射线叫角的始边（initial side） ，终止时的射线叫做角的终边 (terminal side)。 （2） 正角和负角 按逆时针方向旋转所得的角是正角（positive angle） ；按顺时针方向旋转所得的角是 负角（negative angle） 。 （3） 零角 一条射线没有作任何旋转，就得到一个零角（zero angle） ，也就是说，角的始边与 终边重合，如果 α 是零角，那么 α = 0 。0（4） 象限角（quadrant angle） 角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的正方向重合，角的终边落在第几象限内， 这个教就是第几象限的角。例如 20 0 ,?320 0 都是第一象限的角；但是如果角的终边在坐标 轴上，就认为这个角不属于任一象限。 所有 与角 α 终 边相 同的 角， 连同 角S = β β = α + k ? 360 0 , k ∈ Z }，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和。 α 为一、二、三、四象限的角分别表示如下：{α 在内，可构成一个集合2kπ & α & 2kπ + 2kπ +π2或k ? 360 0 & α & k ? 360 0 + 90 0 ;π2& α & (2k + 1)π或k ? 360 0 + 90 0 & α & (2k + 1) ? 180 0 ;(2k + 1)π & α & (2k + 1)π + (2k + 1)π +π2或(2k + 1) ? 180 0 & α & (2k + 1) ? 180 0 + 90 0 ;π2& α & 2(k + 1)π或(2k + 1) ? 180 0 + 90 0 & α & 2(k + 1) ? 180 02. 弧度制 （1） 概念 角的大小除了用角度制 （degree measure） 量度以外， 还经常用弧度制(radian measure， 单位符号是 rad)来量度。把等于半径长得弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。规定正角的弧度 数为正数，负角的弧度数为负数。零角的弧度数为零。 (2) 角度制与弧度制的换算方法360 0 = 2π rad ≈ 0.01745 rad.180 0 = π10 =(3)π180 l r弧长公式α = ，其中 l是以角α 作为圆心角时所对弧的长， r 是圆的半径。例1， 确定角所在的象限：27（1） ? 1000 ； （2）0390π θ θ ； （3）若 θ 在第二象限，则 , 分别在第几象限？ 7 2 3的 形 式 即 可 ， 其 中[分析：]对于（1） （2）小题，已知角的大小，要判断角所在的象限，只须化成 ，k ? 360 0 + 或 2 k π + α ( k ∈ Z )0 ≤ n & 360或 - 180 & n ≤ 180,0 & α ≤ 2π或 - π & α ≤ π ；对于第（2）小题，只须化成带分数，写成偶数倍的 π 再加上一个角即可。第（3）小题，为了得出 2π 的 整数倍，需要对整数进行分类，如 k=2n,k=2n+1 或 k=3n,k=3n+1,k=3n-1 等等。 解： （1） ? 1000 0 = ( ?3) ? 360 0 + 80 0 ,因为80 0 在第 I 象限，所以 ? 1000 在第 I 象限。0（2） （3）390π 5 5 2 390π = 55 π = 54π + 1 π = 56π ? π ; 所以 在第Ⅳ象限。 7 7 7 7 7① θ 在第 II 象限，所以 2kπ + 当 k=2n 时， 2nπ +π2& θ ≤ 2kπ + π , k ∈ Z , kπ +π4&θ2≤ kπ +π2,k ∈ Z;π4&θ2≤ 2 nπ +π2, n ∈ Z 在第 I 象限，当 k=2n+1 时， 2nπ + 所以θ25π θ 3π & ≤ 2 nπ + , n ∈ Z 在第 III 象限， 4 2 2可能在第 I 或第 III 象限。②Q 2kπ +π2& θ ≤ 2kπ + π , k ∈ Z2 π θ 2 π ∴ kπ + & ≤ kπ + , k ∈ Z ， 3 6 3 3 3当 k=3n 时， 2nπ +π6&θ当 k=3n+1 时， 2nπ + 当 k=3n-时， 2nπ ? 所以π25π θ & ≤ 2nπ + π , k ∈ Z 在第 II 象限； 6 3&3≤ 2 nπ +π3, k ∈ Z 在第 I 象限；θθ33≤ 2 nπ ?π3, k ∈ Z 在第Ⅳ象限；可能在第 I、II、或Ⅳ象限。例2， 将下列各角化成 0 到 2π 的角上加上 2kπ ( k ∈ Z ) 的形式：17 0 π； （2） ? 325 3 17 2 解： （1） π = π + 5π ； 3 3（1） （2） ? 300 = 60 ? 360 =0 0 0π3? 2π 。28习题1，选择题： ） （1）已知 α 是锐角，那么 2α 是（ （A）第 I 象限。 （B）第 II 象限。 （D）小于 180 的角。 （2）已知 α 是钝角，那么0（D）不大于直角的正角。 ） （B）第 II 象限。 （D）不小于直角的正角。π2是（（A）第 I 象限。 （D）第 I 与第 II 象限。 2，求下列各角所在的象限： （1） ? 60 ；0（2） 210 ；0（3） 420 ；0（4） ? 9300（5） ( 2k + 1)180 0 + 45 0（ k 是整数）3，把下列各角化成 0 到 2π 的角上加上 2kπ ( k ∈ Z ) 的形式： （1） 400 ；0（2） ? 45 ；0（3） ? 5π ；（4） ?25 π； 64，直径为 20 厘米的轮子以 45rad/s(弧度/秒）的速度旋转，求轮周上一点经过 5 秒所转过的 弧长。 5，在半径等于 22.5 厘米的圆上，一条弧所对的圆心角是 40.5 ，求这条弧的长。 6，已知圆的半径等于 2 米，求这圆上长 4 米的弧所含的角度。02.2 任意角的三角函数在本小节，我们利用平面直角坐标系，研究任意角的三角函数。 设α 是一个任意角，α 的终边上任意一点P（除端点外）的坐标（ 的距离是r（r= |x|2+|y|2＝ x2+ y2&0， 那么根据锐角三角函数的定义我们知道：x, y ），它与原点y y 叫做α的正弦，即sinα＝ ； r r x x （2） 比值 叫做α的余弦，即cosα＝ ； r r（1） 比值 （3）比值x y 叫做α的正切，即tanα＝ 。 y x根据相似三角形的知识，对于确定的角α ，这三个比值（如果有的话）都不会随点P 在α 的终边上的位置的改变而改变。当 α =π2+ 2kπ (k ∈ Z ) 时，α 的终边始终在y 轴上，终29边上任意一点P 的横坐标x 都等于0，所以tanα＝y 无意义。 除此之外，对于确定的角 xα ，上面三个比值都是唯一确定的，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 下面我们来看正弦、余弦、正切这三种三角函数的一种集合表示。 如下图所示，设任意角α 的顶点在原点O，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位 圆（圆心在原点O，半径等于单位长度的圆）相交于点P(x, y )，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M，过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y 轴，设它与角α 的终边(当α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α 为第二、三象限角时)相交与点T。图显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值。 于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有y y = = y = MP ； r 1 x x cosα＝ = = x = OM r 1sinα＝这两条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，分别叫做角α 的正弦线和余弦线。 类似地，也有tanα＝ 角α 的正切线。 。 当角α 的终边在x 轴上时，正弦线、余弦线、正切线分别变成一个点；当角α 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。 现在我们分别把表示正切、余弦、正弦的三个比 三个比，其中： （1）比值y MP AT = = = AT 。这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做 x OM OAy x y 、 、 的分子、分母交换，则又得到 x r rx x 叫做α的余切，即cotα＝ ； y y r r 叫做α的正割，即secα＝ ； x x r r 叫做α的余割，即cscα＝ 。 y y（2）比值（3）比值可以看出：当α＝kπ(k∈Z)时，α 的终边在x 轴上，终边上任意一点P 的纵坐标y 都30等于0， 所以cotα ＝π x r 与cscα ＝ 的值都不存在； α = + kπ ( k ∈ Z ) 时， tan 当 与 y y 2r x x y r x r yα 无意义一样，secα＝ 的值也不存在，除此之外，对于确定的α， ， ， 分别是一个确定的实数。所以余切、正割、余割也是以角为自变量，以比值为函数值的函数。以 上六种函数统称为三角函数(trigonometric function)。 例1 已知角α的终边经过点P(2, ?3) ，求α的六个三角函数值。 解：∵x = 2 ， y = ?3 ，∴ r = 2 2 + (?3) 2 = 13y ?3 3 13 = =? ； r 13 13 x 2 2 13 ； = =? r 13 13 y 3 =? ； x 2 x 2 =? ； y 3于是 sinα＝cosα＝ tanα＝ cotα＝secα＝r 13 = ； x 2 r 13 =? 。 y 3cscα＝由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： 正弦值y 对于第一、 二象限角是正的 y&0,r&0 ） （ ,对于第三、 四象限角是负的 y&0,r&0 ） （ ； r y 余弦值 对于第一、 四象限角是正的 x&0,r&0） 对于第二、 （ ， 三象限角是负的 x&0,r&0 ） （ ； r y 正切值 对于第一、三象限角是正的（ x, y 同号），对于第二、四象限角是负的（ x, y x异号）。 由三角函数的定义，还可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公 式：sin(α + k ? 360 0 ) = sin α cos(α + k ? 360 0 ) = cos α tan(α + k ? 360 0 ) = tan α k∈Z（公式一）31利用公式一，可以把求任意角的三角函数，转化为求0 到2π角的三家函数值。 例2 确定下列三家函数值的符号： 2 （1） cos 250 ；（2） sin( ?0π4) ；（3） tan(?672 0 ) ；（4） tan011π 3解：（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos 250 & 0 ；0（2）因为 ( ?π) 是第四象限角，所以 sin(? ) & 0 ； 4 40 0 0 0π（3）因为 tan( ?672 ) ＝ tan(48 ? 2 × 360 ) = tan 48 ，0 而 48 是第一象限角，所以 tan(?672 ) & 0 ； 0（4）因为 tan11π 5π 5π = tan( + 2π ) = tan ， 3 3 3 5π 11π 而 是第四象限角，所以 tan &0。 3 3 ? sin θ & 0, (1) ?tan θ & 0, (2)例3 证明角θ为第三象限角的充分必要条件是 ? 3证明：必要性请同学们自己证明。下面证明充分性，即如果(1),(2)式都成立，那么θ为第 三象限角。 因为(1)式sinθ&0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y 轴的非 负半轴上； 又因为(2)式tanθ&0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限。 因为(1),(2)式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限，于是角θ为第三象限角。习题2.2 2.21． 选择题 （1）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( （A）在x轴上。 （B）在y轴上。 （C）在直线y=x上。 （D）在直线y= ?x上。 （2）已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( （A）在x轴上。 （B）在y轴上。 （C）在直线y=x上。 （D）在直线y= ?x上。 （3）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) ) )32（A）在x 轴上。 （B）在y 轴上。 （C）在直线y=x上。 （D）在直线y=x或y= ?x上。 2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）π4； （2） ?π6； （3） ?3π 14π ； （4） 。 4 33．已知角α的终边经过下列各点，求α的六个三角函数值： （1）（－8，－6）； （2） ( 3 ,?1) 4．计算： （1） 5 sin 90 + 2 sin 0 ? 3 sin 270 ? 10 cos 180 ；0 0 0 0（2） 7 cos 270 + 12 sin 0 + 2 tan 0 + 8 cos 360 ；0 0 0 0（3） cosπ34? tanπ4+（4） sinπ4? cos 2π3 π π π 3π tan 2 ? sin + cos 2 + sin ； 4 6 6 6 2 + 6 tan 3π24。5．根据下列条件求函数4 3π （1） x = ； （2） x = 。 4 4f ( x) = sin( x +π4) + 2 sin( x ?π) ? 4 cos 2 x + 3 cos( x +π3π ) 的值； 46.确定下列式子的符号： （1） tan 125 ? sin 273 ； （2）0 0tan 108 0 ； cos 305 0（3）5π 4π 11π sin ? cos ? tan ；（4） 4 5 67．求证：cos5π 11π ? tan 6 6 ?。 2π sin 3（1）角θ为第二象限角的充分必要条件是sinθ&0 且cosθ&0 ； （2）角θ为第三象限角的充分必要条件是cosθ&0 且tanθ&0 ； （3）角θ为第一或第四象限角的充分必要条件是sin θ & 0； tan θ（4）角θ为第一或第三象限角的充分必要条件是sinθ?cosθ&0 。2.3 同角三角函数的基本关系式根据三角函数的定义，可以探讨同角三角函数间的一些基本关系式。33由式子sinα＝y x y x ， cosα＝ ，tanα＝ , cotα＝ , r r x y可以看出：当α ≠ kπ + 当α ≠ kπ +2 2 2π2(k ∈ Z )时，有 tan α ? cot α =(k ∈ Z )时，有x y ? =1 ； y xπ2sin α y r y = ? = = tan α ； cos α r x x又通过 x + y = r ，可知y x x2 + y2 sin 2 α + cos 2 α = ( ) 2 + ( ) 2 = = 1. r r r2也就是说，我们有sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α = tan α cos α tan α ? cot α = 1即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；同一个角的正切、余切之 1 积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）.在第二个式子中， ( ) 1 .α ≠ kπ +π2(k ∈ Z ) ，这时，式子两边都有意义；在第三个式子中，α的终边始终不在坐标轴上，这时，式子两边都有意义. 利用这三个基本关系式，可以根据一个角的正弦、余弦、正切、余切中的一个值求出其 余三个值，还可以进行简化和证明. 例1 已知 14 ，并且α是第二象限角，求cosα ， tanα ，cotα 的值。 5 4 2 9 2 2 2 2 解：因为 sin α + cos α = 1 ，所以 cos α = 1 ? sin α = 1 ? ( ) = 。 5 25 sin α =又因为α是第二象限角，所以cosα&0 。于是 cos α = ? 从而 tan α = 例2 已知 29 3 =? 。 25 5sin α 4 5 4 = × (? ) = ? 。 cos α 5 3 3cos α = ?8 ，求sinα ， tanα 的值。 17解：因为cosα&0，且cosα ≠ ?1，故α是第二或第三象限的角。 如果α是第二象限角，那么34sin α = 1 ? cos 2 α = 1 ? (?tan α =8 2 15 ) = 17 17sin α 15 17 15 = × (? ) = ? cos α 17 8 8 15 如果α是第三象限角，那么 sin α = ? , 17tan α =15 。 8例3 已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα ， cosα 。 3 解：因为 sin α + cos α = 1 ，所以 sin α = 1 ? cos α .2 2 2 2又因为sin α sin 2 α 1 ? cos 2 α = tan α ，所以 tan 2 α = = ， cos α cos 2 α cos 2 α2于是 cosα=1 ， 1 + tan 2 α由tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而1 ? , 当α为第一，第四象限角 ? ? 1 + tan 2 α cos α = ? ； 1 ?? ，当α为第二，第三象限角 ? 1 + tan 2 α ? sinα=cosα?tanα tan ? , 当α为第一，第四象限角 ? ? 1 + tan 2 α =? 。 tan ?? ，当α为第二，第三象限角 ? 1 + tan 2 α ?例4 化简 1 ? sin 440 。 42 0解：原式＝ 1 ? sin (360 + 80 ) = 1 ? sin 80 = cos 402 0 0 2 00cos x 1 + sin x = 1 ? sin x cos x 证明：由cosx ≠ 0 ，知sin x ≠ ?1，所以1+sinx ≠0，于是例5 求证： 左边＝cos x(1 + sin x) cos x(1 + sin x) (1 + sin x) = = ＝右边 (1 ? sin x)(1 + sin x) cos x cos 2 x所以原式成立。 注：本例还有其它证明方式，请同学们自行思考。35习题2.3 2.31，（1）已知 sin α = ? （2）已知 cos α = ?3 ，且α为第四象限角，求cosα ，tanα ，cotα 的值； 25 ，且α为第二象限角，求sinα ，tanα ，cotα 的值； 13 3 ，求sinα ， cosα ， cotα 的值； （3）已知 tan α = ? 4 3π 2．已知 tan α = 3 , π & α & ，求cosα ? sinα 的值. 23．（1）已知cosθ≠0 ，cosθ≠±1，用cosθ表示sinθ，tanθ； （2）已知sinθ≠0 ，sinθ≠±1，用sinθ表示cosθ ，tanθ ； 4．化简1 + sin α 1 ? sin α?1 ? sin α 1 + sin α，其中α为第二象限角。5．已知tanα=2，求 6．求证： （1）sin α + cos α 的值。 sin α ? cos α1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x = ； cos 2 x ? sin 2 x 1 + tan x4 4 2 2（2） sin x + cos x = 1 ? sin x cos x2.4 诱导公式(induction formula) (induction formula)对于任何一个 0 到 360 的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立（其中α为不大于0 090 0 的非负角）：? α ,当β ∈ 0 0 ,90 0 ? 0 0 0 ? 180 ? α , 当β ∈ 90 ,180 β =? 0 0 0 ?180 + α ,当β ∈ 180 ,270 ?360 0 ? α , 当β ∈ 270 0 ,360 0 ?[[ [ []] ] ]0 0在这四种情形中， 180 + α 角是将 180 角的终边逆时针旋转α角而得到的，即与α角0终边旋转方向相同，所以我们从 180 + α 这一情形开始讨论。为了使讨论具有一般性，下 面假定α为任意角。如图1，已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y)，由于角 180 360+ α 的终边就是角α的终边的反向延长线，角 180 + α 的终边与单位圆的交点P0'与点P 关于原点O 对称，由此可知，点P '的坐标（-x,-y）.又因为单位圆的半径r =1，由正弦函数、余弦函 数的定义，可得sinα = y ， cosα = x sin（ 180 0 + α ）=?y cos( 180 0 + α )=?x所以sin( 180 0 + α )=?sinα ， cos( 180 0 + α )=?cosα .0图1于是我们得到一组公式： sin( 180 + α )=?sinαcos( 180 0 + α )=?cosα （公式二）下面再研究任意角α与－α的三角函数值之间的关系。如图2， 任意角α的终边与单位圆相交于点P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P 个角的终边关于x 轴对称，所以点P 我们得到' '，这两的坐标（x，－y）.又因为r =1，sin(?α) = ?y ， cos(?α)= x ，从而我们可以得到（公式三）sin(?α) = ?sinα ， cos(?α) =cosα .图2我们利用公式一、公式二和公式三，可以推出π?α ，2π?α 与α的三角函数之间的关系，即sin(π ? α ) = sin α cos(π ? α ) = ? cos α sin(2π ? α ) = ? sin α cos(2π ? α ) = cos α（公式四）（公式五）公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式，它们可以概括如下：α + k ? 360 0 (k ∈ Z ),?α ,180 0 ± α ,360 0 ± α 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加37上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀。 . 例1 求下列三角函数的值： 1 (1) sin7π 6(2) sin( ?π3)(3)cos(-945°)解：(1) sin7π π π 1 = sin(π + ) = ? sin = ? 6 6 6 2(2) sin( ?π3) = ? sinπ3=?3 2(3) cos(-945°)=cos945°=cos(2×360+225°)=cos225° =cos(180+45°)=-cos45°= ? 例2：化简： 22 2cos(π + α ) sin(α + 2π ) sin(?α ? π ) cos(?π ? α )解： cos(π+α)=?cosα， sin(2π+α) = sinα，sin(?α?π) = sin[?(α+π )] = ?sin(α+π ) = sinα cos(?α?π) = cos[?(α+π )]= cos(α+π ) = ?cosα所以原式 =? cos α sin α =1 sin α (? cos α )0例3：已知： tan(α + 20 ) = α , 求 3sin(α + 200 0 ) cos(?α + 340 0 )解：原式＝ 例4 化简 4sin (α + 20 0 ) + 180 0 ? sin(α + 20 0 ) = = ? tan(α + 20 0 ) = ?α 0 0 0 cos ? (α + 20 ) + 360 cos(α + 20 )[[]]sin(2π ? α ) cos(π + α ) cos(π ? α ) sin(3π ? α ) sin(?α ? π ) (? sin α )(? cos α ) (? cos α ) sin(π ? α )[? sin(α + π )] sin α cos α 1 =? (? cos α ) sin α [? (sin α )] sin α解：原式＝=38习题2.4 2.41．求下列三角函数值： （1） cos210 （4） sin( ?0； （2） sin 263 42′； （3） cos(?0π6) ；05π 11π ) ； （5） cos(? )； 3 9(6) cos(?104 26′) 。2．求下列三角函数值：17π 0 0 ) ； （2）sin(?1574 ) ； （3）sin(?2160 52′) ； 4 26π 0 0 （4） cos(?1751 36′) ；（5） cos(1615 8′) ；（6） sin( ? ) 3（1） cos(? 3．化简： （1） sin(?1071 )?sin 99 +sin(?171 )?sin(?261 ) ； （2）1+sin(α?2π)?sin(π+α)?2cos (?α)。2 0 0 0 02.5 正弦函数、余弦函数的图象和性质1． 三角函数函数图象作法： （1） 几何法： 现在我们利用正弦线画出正弦函数的图象. 在直角坐标系的x 轴上取一点O1，以O1 为圆心作单位圆（如下图1），从圆O1与x 轴 的交点A 起把它分成12 等份（份数宜取6 的倍数，份数越多，可以得到对应余0，π π π6 3 2 , ,,...2π ，等角的正弦线（例如有向线段O1B对应于π2角，的正弦线），相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份。 把角x的正弦线向右平移，使得正弦线的起 点在x 轴上，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了正弦函数y＝sinx（x ∈［0，2π］）的图象． 图 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 y = sin x, x ∈ [2kπ ,2( k + 1)π ] ，k∈Z 且k ≠0的图象，与函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同。 于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动，就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve) (sine curve)（如图2）。（2）描点法及其特例――五点作图法 三角函数的图象亦可用通常作函数图象的描点法作出． 对于正弦函数及余弦函数可用五 点法作出简图。 图2 下面我们看余弦函数图象的一种画法。先设法找到函数y=cosx,x∈R，与正弦函数的关系：π ?π ? y = cos x = cos(? x) = sin ? ? (? x)? = sin( x + ) 2 ?2 ?39由此可以看出：余弦函数 y = cos x, x ∈ R与函数 sin( x + 数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动 象叫做余弦曲线(cosine curve) (cosine curve)。π2), x ∈ R 是同一个函数；余弦函π2个单位长度得到的（如图2），余弦函数的图2．正弦、余弦函数图象的性质 下面我们研究正弦函数、余弦函数的主要性质。 （1）定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，分别记作 Ry = sin x, x ∈ R,（2）值域y = cos x, x ∈ R因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以| sin x |≤1，| cos x |≤1，即?1≤sinx ≤1， ?1≤cosx≤1。这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. 其 [ 中正弦函数当且仅当 x =π2+ 2kπ , k ∈ Z 时取得最大值(maximum)1 (maximum)1；当且仅当 (maximum)1x=?π2+ 2kπ , k ∈ Z 取得最小值(minimum) 1； (minimum)－1 (minimum)而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1，当且仅当x=(2k+1)π ,k∈Z时取得 1 最小值－1. 1. (3). 周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数(periodic function) (periodic function).事实上，非零常 数T 叫做这个函数的周期(period) (period). (period) 对于一个周期函数f (x)，如果在它所有的周情中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做f (x)的最小正周期(minimalpositive period). (minimalpositive 根据上述定义，我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ (k∈Z,k≠0)都 是它们的周期，最小正周期是2π。 （4）奇偶性 对于正弦函数y=sinx（x∈R) ， 其上任一点(x,y) 即(x,sinx)关于原点的对称点 是(?x,?y)即(?x,?sinx)。由诱导公式sin(?x) = ?sin x 可知，这个对称点就是 (?x,sin(?x))，它也在正弦曲线上.这说明将正弦曲线绕原点旋转1800 后，曲线与原来的 曲线重合，所以正弦曲线关于原点对称。 根据上述定义，正弦函数是奇函数. 同理也可知：余弦函数是偶函数. . 利用正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性可以简化它们的图象绘制过程. （5）单调性 由正弦曲线可以看出：当 x 由 ?π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1 增大40到1；当 x 由π2增大到3π 时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1。 2由正弦函数的周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间 ??π ? π ? 其值从－1 增大到 + 2kπ , + 2kπ ? (k ∈ Z ) 上都是增函数， 1 2 ? 2 ?1；在每一个闭区间 ?3π ?π ? 1 1 + 2kπ , + 2kπ ? (k ∈ Z ) 上都是减函数，其值从1 减小到－1．所 2 ?2 ?以这两类闭区间的每一个都是正弦函数的单调区间。 类似地， 余弦函数在每一个闭区间 [(2k ? 1)π ,2kπ ]( k ∈ Z ) 上都是增函数， 其值从-1 增 加到1；在每一个闭区间 [2kπ , ( 2kπ + 1) ]( k ∈ Z ) 上都是减函数，其值从1 减小到-1．所以 1 1 这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间。 例1．求使下列函数取得最大值地自变量x 集合，并说出最大值是什么？ 1 （1） y=cosx+1,x∈R； （2）y= sin 2x,x∈R. 解：（1）使函数y=cosx+1取得最大值时的x 的集合就是使函数y=cosx,x∈R取得最大值 的x 的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1＋1＝2. （2）令z=2x，那么x ∈R 必须并且只需z∈R，且使函数y=sinz,z∈R取得最大值的z 的 集合是? ? π ? z z = + 2kπ , k ∈ Z ? 2 ? ?即x的集合为 ? x x =? ?π? + kπ , k ∈ Z ? ，函数y = sin 2x 的最大值 4 ?是1. 例2．求下列函数的周期： 2 （1）y=3cosx,x∈R；（2）y=sin 2x,x∈R； 解：（1）因为余弦函数的周期是2π ，所以自变量x 只要并且至少要增加x + 2π ，余 弦函数的值才能重复取得，函数y=3cosx,x∈R的值也能重复取得，从而函数y= 3cosx,x∈R的周期是2π。（2）令z=2x，那么x ∈R 必须并且只需z∈R，且函数y=sinz,z∈R的周期是2π。就是说，变量z 只要并且至少增加到z + 2π，函数y= sinz,z∈R的值才能重复取得，函数 值就能重复取得，而z+2π =2x+2π=2(x+π)，所以自变量x 只要并且至少要增加到x+π，函数值就能重复取得，从而函数y=sin 2x,x∈R的周期是π。41第三章 两角和与差的三角函数3.1 两角和与差的三角函数在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α,β的三角函数值，如 何求出α+β ，α?β或2α的三角函数值？42cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β = sin α cos β + cos α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β tan(α ? β ) = 1 + tan α tan β tan(α + β ) =例1．不查表求cos105 与cos15 . 1 0 0 0 解：（1） cos105 =cos（60 +45 ） 0 0 0 0 ＝ cos60 cos45 ? sin60 sin45 ＝0 01 2 3 2 ? ? ? = 2 2 2 202? 6 40 0（2） cos15 = cos（60 -45 ） 0 0 0 0 ＝cos60 cos45 ? sin60 sin45 ＝1 2 3 2 ? + ? = 2 2 2 26+ 2 4例2．已知 2sin α =解：2 3 ?π ? ? 3π ? , α ∈ ? , π ?, cos β = ? , β ∈ ? π , ? 3，求cos(α?β). 3 4 ?2 ? ? 2 ?Q sin α =2 ?π ? , α ∈ ? , π ?, 3 ?2 ?∴ cos α = ?5 3 7 43 ? 3π ? Q cos β = ? , β ∈ ? π , ? 4 ? 2 ?∴ sin β = ?Q cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β =? 5 3 2 7 3 5?2 7 ? (? ) + ? (? )= 3 4 3 4 12例4．求证 4sin(α + β ) sin(α ? β ) tan 2 β = 1? sin 2 α cos 2 β tan 2 α证明：左边 ＝(sin α cos β + cos α sin β )(sin α cos β ? cos α sin β ) sin 2 α cos 2 β43=sin 2 α cos 2 β ? cos 2 α sin 2 β ) cos 2 α sin 2 α tan 2 β = 1? = 1? = 右边 sin 2 α cos 2 β sin 2 α cos 2 α tan 2 α所以原式成立.习题3.1 3.1 3.1． 利用和角公式计算 2.已知 sin α =1 + tan 15 0 1 ? tan 15 015 5 , cos α = ? ，且α ,β 都是第二象限角，求 17 13sin(α+β) ， cos(α? β) ， tan(α+β) 。3． 利用和（差）角公式化简：（1） sin(π3+ α ) + sin(π3?α) ；（2） cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ ； （3） （4）tan 2θ ? tan θ ； 1 + tan 2θ tan θ2 (sinx ? cosx) ；03．（1）已知tanα=2, tanβ=3 ，且α ,β 都是锐角，求证α+β =135 。4．已知 cos(α ? β ) =4 11 π , cos(α + β ) = ? , 且α , β ∈, ) 求cosβ的值。 5 14 23.2 二倍角(double angle)的正弦、余弦、正切1：先回忆和角公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ； cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；tan(α + β ) =tan α + tan β 1 ? tan α tan β2、当α＝β时，上述公式依然成立。从而得到二倍角公式(double angle formula) (double sin（α＋β）＝sin2α＝2sinαcosα，即：sin2α＝2sinαcosα； 2 2 2 2 cos（α＋β）＝cos2α＝cos α－sin α，即：cos2α＝cos α－sin α；tan 2α =2 tan α 。 1 ? tan 2例1：若tanθ=3 ，求sin2θ?cos2θ的值。 1 解： sin2θ?cos2θ44=2 sin cos θ + sin 2 θ ? cos 2 θ 2 tan θ + tan 2 θ ? 1 7 = = 5 sin 2 θ + cos 2 θ 1 + tan 2 θ例2．已知 sin α = 25 π , α ∈ ( , π ) ，求sin2α ，cos2α ，tan2α的值。 13 2 5 π 12 2 解：∵ sin α = ,α ∈ ( ,π ) ∴ cos α = ? 1 ? sin α = ? 13 2 13所以：sin 2α = 2 sin α cos α = ?120 , 169 119 cos 2α = 1 ? 2 sin 2 α = , 169 sin 2α 120 tan 2α = =? cos 2α 119 1 + sin 4θ ? cos 4θ 1 + sin 4θ + cos 4θ = 2 tan θ 1 ? tan 2 θ 2 tan θ (1 + sin 4θ + cos 4θ ) ，即 1 ? tan 2 θ①例4．求证 4证明：原式等价与1 + sin 4θ ? cos 4θ =1 + sin 4θ ? cos 4θ = tan 2θ (1 + sin 4θ + cos 4θ ) 。而①式右边＝ tan2θ(1+sin4θ+cos4θ) ＝sin 2θ (2 cos 2 θ + 2 sin 2θ cos 2θ ) = 2 sin 2θ cos 2θ + 2 sin 2 2θ cos 2θ＝ sin 4θ + 1 ? cos 4θ ) ＝左边。 所以①式成立，原式得证。习题3.2 3.21． 已知等腰三角形一个底角的正弦值等于 切。 2． 求证： （1） (sin （3）5 ，求这个三角形的顶角的正弦、余弦以及正 13αα 1 2 + cos ) 2 = 1 + sin α ；（2） tan θ ? =? ； 2 2 tan θ tan 2θ1 + sin 2? = sin ? + cos ? sin ? + cos ?（4）sinθ(1+cos2θ)=sin2θcosθ； （5）1 + sin 2θ ? cos 2θ = tan θ 1 + sin 2θ + cos 2θ453．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大（分别 设边与角为自变量，并将解法进行比较）?3.3 半角(half angle) (half angle)的正弦1、公式：sinα2=±1 ? cos α 2 1 + cos α 2（1）cosα2=±（2）tgα2=(1) 1 ? cos α =± ( 2) 1 + cos α（3）公式（1）（2）（3）叫做半角公式(half angle formula) 根号前的“ ± ”是由角“ (half formula). 所在象限来确定的，如果没有给定角的范围，“ ± ”应保留。α2”说明：公式（3）成立的条件是{α|α≠(2k+1)π,k∈Z}各象限角的半角公式中，符号 的选择，不必死记，具体问题具体对待。 此外还有：tgα2=sin cos sin cosα α α α2 = 2 2 = 2sin cos sin cosα α2 2? 2 cos ? 2 cos ? 2 cos ? 2 cosα α α α2 = 2 2 = 2sin α 2 cos2α2=sin α 1 + cos α（4）tgα2α α2 2=2 sin 22 = 1 ? cos α 2 sin α sin αα（5）公式（4）成立的条件是：{α|α ≠(2k+1)π,k∈Z} 公式（5）成立的条件是：{α|α ≠(2k+1)π且α≠2kπ,k∈Z} 即：{α|α≠kπ,k∈Z} 例1．若 270 & α & 360 ，化简： 10 0α α ? ? (1 + sin α + cos α ) ? (sin ? cos )? ÷ 2 + 2 cos α ? 2 2 ? ?解：∵ 270 & α & 360 ，∴ 135 &0 00α2& 180 0 ，46∴原式＝ ?( 2 cos 2? ?α2+ 2 sinαα α α ? cos ) ? (sin ? cos )? ÷ 2 + 2 cos α 2 2 2 2 ?α α α α α ? ? = ?(2 cos (cos + sin ) ? (sin ? cos )? ÷ 2 + 2 cos α 2 2 2 2 2 ? ?α α α ? 1 + cos α ? = ?(2 cos ? (sin 2 ? cos 2 )? ÷ (2 ? ) 2 2 2 ? 2 ?= (?2 cosα? cos α ) ÷ (?2 cos ) = cos α 2 2α习题3.3 3.31．已知 sin A = ? , π & A & 2．化简或求值3 53 A A π , 求 sin , cos 的值； 2 2 2(1),1 ? cos 70 sin 70 00(2),sin 40 1 ? cos 40 00(3), tg15 0 + ctg15 0A+ B 2 (4), A+ B 1 + cos 2sin3.4 三角函数的积化和差与和差化积积化和差与和差化积公式不强求大家记住，但是同学们若掌握他们，可以方便计算 一、知识概要：1 [sin(α + β ) + sin(α ? β )] ； 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] ； 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] ； 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] ； 2 x+ y x? y sin x + sin y = 2 sin cos ； 2 2 x+ y x? y sin x ? sin y = 2 cos sin ； 2 2 x+ y x? y cos x + cos y = 2 cos cos ； 2 2 x+ y x? y cos x ? cos y = ?2 sin sin 2 2 sin α cos β =二、例题选讲： 例1． 求值： 1cos40 cos80 +cos80 cos160 +cos160 cos40 。解：原式=000000471 (cos 120 0 + cos 40 0 + cos 240 0 + cos 80 0 + cos 200 0 + cos 120 0 ) 2 1 3 0 0 0 = ( ? + cos 40 + cos 80 ? cos 20 ) 2 2 1 3 0 0 0 = ( ? + 2 cos 60 cos 20 ? cos 20 ) 2 2 1 3 1 3 0 0 = ( ? + 2 × cos 20 ? cos 20 ) = ? 2 2 2 4 3 4 例2． 已知sin（A+B）= ，sin（A-B）= ? ， 2 5 5 1 2 2 4 求值： 1 ? sin 2 A ? sin B ? cos A 4 1 2 1 + cos 2 A 2 2 ) 解：原式= 1 ? sin 2 A ? sin B ? ( 4 2=1 ? =1 2 1 cos 2 A cos 2 2 A sin 2 A ? sin 2 B ? ? ? 4 4 2 41 cos 2 A cos 2 B ? cos 2 A ? sin 2 B ? = 2 2 2 3 4 12 = sin( A + B ) sin( A ? B ) = × ( ? ) = 5 5 25练习题：1．求值：cos24sin6cos72°. 2．求 tg20＋4sin20° 的值. 3．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.第四章 反三角函数在第二章的学习中， 我们已经简单地提到了反三角函数， 包括反正弦函数， 反余弦函数， 反正切函数等等.在这一章中，我们将详细介绍一下反三角函数的性质和应用。 1．反正弦函数48（1）基本概念：正弦函数 y = sin x, x ∈ ? ?? π π? , ? 的反函数叫做反正弦函数，记作 ? 2 2?? π π? y = arcsin x ，它的定义域是[-1,1],值域是 ?? , ? ? 2 2?（2）由反正弦函数的定义可知： sin(arcsinx) =x ，其中x∈[?1,1]，? π π? ? π π? arcsin x ∈ ?? , ?; arcsin(sin x) = x, 如果x ∈ ?? , ? ? 2 2? ? 2 2?2．反余弦函数 （1）基本概念：余弦函数y=cosx,x∈[0,π] 的反函数叫做反余弦函数， 记作y=arccosx，它的定义域是[-1,1],值域是[0,π]。 （2）由反余弦函数的定义可知： cos(arccosx)=x ，其中x∈[?1,1]， arccosx∈[0,π] ；arccos(cosx)=x ，如果x∈[0,π]。3．反正切函数和反余切函数 （1）a．正切函数 y = tan x, x ∈ ( ?π π, ) 的反函数叫做反正切函数，记作y =arctanx ， 2 2它的定义域是(?∞,+∞)，值域是 ( ?π π, )。 2 2b． 余切函数y =cotx ， ∈ (0,π) 的反函数叫做反余切函数， x 记作y =arc cot x ， 它的定义域是(?∞,+∞)，值域是(0,π )。 （2）tan(arctanx) =x ，其中x∈(?∞,+∞)， arctan x ∈ ( ?π π, ) ； 2 2cot(arccotx) =x ，其中x∈(?∞,+∞)， arccotx∈(0,π)。第五章 不等式(inequality)5.1 不等式的性质在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。两个实数a与49b之间总存在，而且只存在，下面三种关系中的一种： （1） a大于b，记做 a & b （2） a小于b，记做 a & b （3） a等于b，记做 a = b要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，就是：如果 a ? b 是正的，那么 a & b ；如果 a ? b 是负的，那么 a & b ；如果 a ? b 是零，那么 a = b 。它们的逆命题都正 确。也就是说：a & b ? a?b & 0 a = b ? a?b = 0 a & b ? a?b & 0例1 比较 ( x + 3)( x ? 5) 与 ( x + 2)( x ? 4) 的大小。 解： ( x + 3)( x ? 5) - ( x + 2)( x ? 4)= ( x 2 ? 2 x ? 15) ? ( x 2 ? 2 x ? 8) = ?7 & 0∴ ( x + 3)( x ? 5) & ( x + 2)( x ? 4) 例2 已知 x ≠ 0 ，比较 ( x 2 + 1) 2 与 x + x + 1 的大小。4 2解： ( x 2 + 1) 2 -（ x + x + 1 ）4 2= x + 2x + 1 ? x ? x ? 1 = x4 2 4 2 22由于x≠0，得 x & 0 ,从而 ( x 2 + 1) 2 & x + x + 14 2利用实数比较大小的方法，可以推出下列不等式的性质： 定理1 如果 a & b ，那么 b & a ；如果 b & a ,那么 a & b . 证明：∵ a & b ,∴ a ? b & 0 .由正数的相反数是负数，得-(a?b) &0.即b?a&0, ∴ b & a . （定理1 的后半部分请同学们自证） 定理1 说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向1。 定理2 如果 a & b .且 b & c ，那么 a & c . 证明：∵ a & b , b & c ∴ a ? b & 0, b ? c & 0 ，根据两个正数的和仍是正数，得(a?b)+(b?c) &0, 即 a?c&0, ∴a&c. 根据定理1， 定理2 还可以表示为： 如果 c & b, 且b & a, 那么c & a , 定理3 如果a&b, 那么a+c&b+c.50证明：∵ (a+c)?(b+c)=a?b &0, ∴ a+c&b+c. 定理3 说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。 利用定理3 可以得出： 如果a+b&c ,那么 a & c ? b 也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 推论： 如果a&b , 且c&d , 那么a +c&b+d. 证明： ∵ a&b, ∴ a +c&b+c. ① ∵ c&d , ∴b+c&b+d. ② 由①、②得 a+c&b+d 很明显，这一推论可以推广到任意有限多个同向不等式两边分别相加。这就是说，两个或者 更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。 定理4 如果a&b, 且c&0, 那么ac& 如果a&b, 且c&0, 那么ac&bc . 证明： ac ? bc =(a?b)c. ∵a&b, ∴(a?b)&0. 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c&0 时, (a?b)c&0,即 ac& 当c&0 时，(a?b)c&0,即 ac&bc . 由定理4 ，又可以得到: 推论1 如果a&b&c&0 , 且c&d&0 , 那么 ac&bd . 很明显， 这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。 这就是 说， 两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘， 所得不等式与原不等式同向。 由此，我们还可以得到： 推论2 如果 a &b &0, 那么 a & b (n∈N, 且n&1).n n定理5 如果 a &b &0, 那么 我们采用反证法来证明.na & n b (n∈N, 且n&1).证明： 假定 n a 不大于 n b ，这有两种情况：或者 n a & 由推论2 和定理1, 当 n a &nnb ,或者 n a = n b .b 时，有 a & b ；当 n a = n b 时，有a=b.n这些都同已知条件a &b &0 矛盾，所以 n a &b .利用以上不等式的性质及其推论，就可以证明一些不等式.习题5.11．比较 ( a + 1)( a 2 ? a + 1)和( a ? 1)( a 2 + a + 1) 的大小。 2．比较 ( x 2 +2 22 x + 1)( x 2 ? 2 x +!)和( x 2 + x + 1)( x 2 ? x + 1), ( x ≠ 0) 的大小。3. 比较 a + b 和2ab 的大小。513．求证： （1）如果 a & b & 0, 那么1 1 & 2 ； 2 a b（2）如果 a & b & 0, c & d & 0, 那么a b & d c。5.2 不等式的证明比较法(method of compare)： 把不等式左边的代数式减去右边的代数式， 根据已知条件证明这个差总大于零。 比较法 是证明不等式的一种最基本、最重要的方法. 用它证明不等式的步骤是：作差、变形、判断 符号.例1．求证 x + 3 & 3 x .2证明：∵ ( x + 3) ? 3 x = x ? 3 x + ( ) ? ( ) + 32 23 2 3 2 2 3 3 3 = (x ? )2 + ≥ & 0 2 4 4∴ x 2 + 3 & 3x例2．已知 a和b 是不相等的正数，求证：a+b & ab 2（1）证明：a+b a + b ? 2 ab ? ab = 2 2Q a & 0, b & 0,我们可以把 a和b 分别写成 ( a ) 2 和( b ) 2 ，由此得 （2）a + b ? 2 ab = ( a ) 2 + ( b ) 2 ? 2 ab = ( a ? b)2因为 a ≠ b ，所以 a ? b 是不等于零的实数，∴( a ? b )2 & 0从（1），（2），（3）得 由此可知（3）a+b & ab 2a+b ? ab & 0 2（4）综合法(method of synthesis): 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立， 这种方法 就叫综合法。 例3.已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证 a (b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c ( a 2 + b 2 ) & 6abc52证明：Q b + c ≥ 2bc, a & 0,2 2 2 2 同理 b（c + a ) ≥ 2abc,∴ a (b 2 + c 2 ) ≥ 2abc c(a 2 + b 2 ) ≥ 2abc因为 a, b, c 是不全相等的正数，所以a（b 2 + c 2 ) ≥ 2abc,b(c 2 + a 2 ) ≥ 2abc2 2 2c(a 2 + b 2 ) ≥ 2abc2 2 2三式不能全取“=”号，从而 a (b + c ) + b(c + a ) + c ( a + b ) & 6abc 分析法(method of analysis)： 从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这 些充分条件是否具备的问题。 如果能够充分肯定这些充分条件都已具备， 那么就可以断定原 不等式成立，这种证明方法通常叫做分析法。 例4．求证 3 + 7 & 2 5 . 证明：因为 3 + 7和2 5 都是正数，所以为了证明 3 + 7 & 2 5 ，只需证明( 3 + 7 ) 2 & (2 5 ) 2 ，即 10 + 2 21 & 20 ，即 2 21 & 10 ，因为 21 & 25 成立，所以 ( 3 +21 & 5,21 & 25 ，7 ) 2 & (2 5 ) 2 成立，即证明了 3 + 7 & 2 5 。证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难，因此，在不等式的证明中，分析法占有 重要的位置，我们通常用分析法探索证明的途径，然后再用综合法的形式写出证明过程，这 是解决数学问题的一种重要思想方法。5.3 不等式的解法我们已了解到含有未知数及不等号的式子即为不等式； 将未知数求解出来， 即求解不等式． 现 在，我们就不等式的求解方法作一些讨论． 一、绝对值不等式(inequality with absolute value) 在数轴上，实数与点一一对应，|a|表示a 离开原点的距离．根据绝对值定义，我们有|a?b|=|a|?|b|，a a = (b ≠ 0) b b对于一个正数a ，我们从数轴上可知x & a ? ? a & x &x & a ? x & ? a或x & a 。根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质： 定理（theorem）: a ? b ≤ a + b ≤ a + b （theorem） 推论1 推论1. a1 + a 2 + a3 ≤ a1 + a 2 + a3 推论2 推论2. a ? b ≤ a ? b ≤ a + b53例1．解不等式：|2x－3|＜5． 解：原不等式等价于－5＜2x－3＜5，? 2 x ? 3 & ?5 即 ? ? 2x ? 3 & 5解不等式组，得解集｛x|－1＜x＜4｝． 在此例中，我们是把2x－3 当成整体利用实数绝对值的意义求解的。 例2．解不等式： 2 x ? 3 & 0 ． 解：Q 2 x ? 3 & 0∴x&3 2所以所求的解是 ?3 3 &x& 2 2例3.已知 a & 1, b & 1 ，求证a+b &1 1 + ab证明：a+b ( a + b) 2 &1? &1 1 + ab (1 + ab) 2? a 2 + 2ab + b 2 & 1 + 2ab + a 2 b 2 ? 1 ? a 2 ? b 2 + a 2b 2 & 0 ? (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) & 0由 a & 1, b & 1 ，可知 (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) & 0 成立，所以 二、一元二次不等式(one-variable quadratic inequality) 下面先通过例题了解复杂不等式的求法．a+b &1 1 + abx 2 ? 3x + 2 例4．求解不等式 2 &0. x ? 2x ? 3解：根据? A & 0 ?A & 0 A &0?? 或? ，这个不等