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3.4整式的加减第一课时同类项
3.4整式的加减第一课时 类项同度百特教育讲解点1：同类项的概念 精讲：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别 相同的项叫做同类项 [典例] 1、下列各组式子中是同类项的有（ ）组 A(1) ? 2 xy 与 5 xy ； ) ? (23 31 7abc 与 5 xyz ； ) 0 与 ? (321 100； ) 3 ab 与 ? 3 a b (42 2( 5 ) ? xy 与21 2y x； ) ? ?m n与 ? (622 3m n ； )3 x 与 3 x (722（A）4（B）5（C）6（D）3评析：利用同类项的概念解题，注意“两个相同” ，即： “字母相同、相同字母的指数相同”；“两个无关”，即： “与系数无关、与字母的顺序无关”。[典例] 2、若? 2a b3m ?1与4 3an ?1b 是同类项，求m、n的值2解：由同类项的定义知：m+1=2且n+1=3 解得 m=1，n=2。 答：m=1，n=2。 评析：利用同类项的定义解题，根据“两个相同” ，先建 立方程（或方程组），再解方程。切记同类项与系数无关、 与字母的顺序无关。讲解点2：同类项的应用 精讲：根据同类项的概念，如果两个单项式是同类项，则其中存在 “相同字母的指数相等”这样的等量关系。与同类项有关的问 题，经常用到这个关系求解。但有些题目没有出现“同类项” 的字眼，而告诉两个单项式的和或差仍是一个单项式，这里就 隐含了“同类项”的概念，因为只有这两项是同类项时，才可 能动用分配律，把这两项的系数相加，合并成一个系数，字母 与字母的指数保持不变，这样还是一个单项式。所以这类题目 还是同类项的问题。次类题目是同类项的拓展题，要引起重视[典例]1、若mxpyq与-3xy2p+1的差为?3 2x ,pyq求pq(p+q)的值。 3 p q pyq与-3xy2p+1的差为 解： ∵ mx ? x y 2 pyq与-3xy2p+1必为同类项 ∴ mx根据同类项的定义有 p=1，q=2p+1=3。 当p=1，q=3时 pq(p+q)=1×3(1+3)=12 答：pq(p+q)=12[典例]2、若2a2m-5b4与mab3n-2的和是关于a、b的单项式，则（ A.m=2,n=3 B.m=3,n=2 C.m=-3,n=2 D.m=3,,n=-2 B ）注：此题的算法，与前面的1题类似。[典例]?n 若 x 2 m ?1 y 与 x 5 y m 是同类项，求 ( mn ? 5 )2008的值。解：根据同类项定义，有2m-1=5且m+n=1 解得 m=3，n=-2。 则(mn+5)2008=[3×(-2)+5]2008=(-1)2008=1 答：(mn+5)2008=1。 评析：此题要求含m、n的代数式的值，但题目中没有给出 m、n的值。需要从同类项的概念出发，先求出m、n的值， 从而求出代数式的值。同时注意乘方性质的应用。[典例] 若( m ? 1) a b 与 ? 2 ab 是同类项，则m=|m | 2 2。错解：∵ (m ? 1)a b 与 ? 2ab 是同类项， ∴|m|=1,即m=±1 正解：同上，求得m=±1，而当m=-1时，m+1=0，此时 |m| 2 2 (m ? 1)a b 是一个常数，它与 ? 0 不是同类项，故只能取m=1。 ? 2ab|m| 2 2评析：此题产生错误的原因是求出m的值后，没有检验相应 的系数是否为0，故多出一个解。注意：如果一个单项式的 系数为0，则此单项式变为0，也就是变为常数，不能与后 一个单项式构成同类项。特别要注意，当一个单项式的系 数含有字母时，求出字母的取值后，一定检验一下它的系 数是否为0。若系数为0，则字母的取值无意义，必须舍去， 只能取系数不为0的那个值。[典例] 已知单项式求mn的值。2x y62 m ?15 的差仍然是单项式， 与 ? 3x y 3n解：因为2x6y2m+1与-3x3ny5的差仍是单项式， 所以2x6y2m+1与-3x3ny5是同类项 所以3n=6，且2m+1=5 所以m=2，n=2，所以mn=22=4评析：因为两个单项式的差仍是单项式，所以这两个单项 式一定是同类项，再根据同类项的定义求出m、n的值，最 后求mn的值。此类题目要能从题目中隐含条件发现两个单 项式是同类项，再根据同类项的定义求出字母的值。3.4整式的加减第二课时 合 并同类项项。 学习合并同类项应该注意以下几点： （1）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同 类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉。 （2）数字的运算律也适用于多项式，在多项式中，遇到 同类项，可运用加法交换律、结合律和分配律进行合并； 合并同类项依据是分配律；在使用运算律使多项式变形时， 不改变多项式的值。 （3）如果两个同类项的系数互为相反数，则结果为0讲解点1：合并同类项的概念 精讲：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类[典例] 合并下列多项式中的同类项：（1）-3a2+2a-2+a2-5a+7 （2）4x2-5y2-5x+3y-9-4y+3+x2+5x （3）5xy-4x2y2-5xy-6xy2-5x2y+4x2y2-xy2 解：(1)原式=(-3a2+a2)+(2a-5a)+(-2+7) =(-3+1)a2+(2-5)a+(-2+7) =-2a2-3a+5 (2)原式=(4x2+x2)-5y2+(-5x+5x)+(3y-4y)+(-9+3) =(4+1)x2-5y2+(-5+5)x+(3-4)y+(-9+3) =5x2-5y2-y-6请注意书写格式！！！评析：①初学同类项合并，可把各组同类项分别做标记，以免漏项； ②合并同类项时，要防止漏掉了没有同类项的项，如例(2)中的-5y2； ③若两个同类项的系数互为相反数，合并后的结果为0，如例(2)中 的-5x与5x。（3）5xy-4x2y2-5xy-6xy2-5x2y+4x2y2-xy2=-7xy2-5x2y思考：把(x-y)当作一个因式，对 3(x-y)2-7(x-y)+8(x-y)2-5(y-x)合并同类项后， 结果是 。解：原式=[3(x-y)2+8(x-y)2]+[-7(x-y)+5(x-y)] =[3+8](x-y)2+[-7+5](x-y) =11(x-y)2-2(x-y)评析：以一个多项式为整体进行“同类项”的合并，其基本思想与 单项式的同类项合并是一样的，只是要注意各多项式要完全一样， 即底数和指数一样，才能作为“同类项”。讲解点2：合并同类项的法则法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为和 精讲：的系数，字母与字母的指数保持不变。 应用上述法则时注意以下几点： （1）同类项的合并，只是系数的变化，而字母及其指数 都不变； （2）一个多项式合并同类项后，结果可能还是多项式， 也可能变成单项式。 （3）两个单项式如果是同类项，合并后所得单项式与原来的 两个单项式仍然是同类项或者是0。 （4）常数项是同类项，所以几个常数可以合并，其结果仍是 常数项或者是0。[典例] 求以下多项式的值：（基本题型）3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1，其中x=-3 解：原式=(3x2-2x2+x2)+(4x-x-3x)-1 =(3-2+1)x2+(4-1-3)x-1 =2x2-1 当x=-3时，原式=2× (-3)2-1=18-1=17评析：对于多项式的求值题，如果有同类项存在，必须先合并同类 项后，再按照求代数式的值的规则进行求值。[典例]有人说：“下面代数式的值的大小与a、b的取值无 关”，你认为这句话正确吗？为什么？4 a ? 2 ab ?24 3a?9?8 328 3?9?8 3a ? 2 ab2解：这句话正确。理由如下：因为4a ? 2ab ?24 3a?9?8 3?9?a ? 2ab22? ( 4a ?4 3a? 1 38 3a ) ? ( 2ab ? 2ab ) ? (9 ? 1 38 3? 9)? 0 ? 0 ? 15? 15结果是一个常数项，与a、b的取值无关，所以这句话是正 确的。[典例]有人说：“下面代数式的值的大小与a、b的取值无 关”，你认为这句话正确吗？为什么？4 a ? 2 ab ?24 3a?9?8 3?9?8 3a ? 2 ab2评析：一般地讲，代数式的值与代数式里的字母的取值有 关，但是对于多项式来说，情况可能不同，因为多项式中 可能有同类项，如果合并后，多项式中含有字母的项的系 数为0，则只剩下常数项，那么多项式的值就与字母的取值 无关了。解答此类问题时，应先分析所给的代数式，如果 是多项式，就要先化简，再讨论。[典例] 计算3xy2+2x2y2+7x2y2错解：原式=(3+2+7)x2y2=12x2y2 正解：原式=3xy2+(2+7)x2y2=3xy2+9x2y2评析：此题的错误在于同类项概念模糊。同类项必须符合两个条件： （1）字母相同；（2）相同字母的指数相同。本题中只有2x2y2与 7x2y2是同类项，故只能这两项的系数合并。 思考：当k= 时，多项式2x2-7kxy+3y2+x-7xy+5y中不含xy项错解：当k=0时，原多项式中不含xy项 正解：原式=2x2+(-7kxy-7xy)+3y2+x+5y =2x2-(7k+7)xy+3y2+x+5y ∵多项式中不含xy项，∴其系数为0，即-(7k+7)=0 ∴k=-1。评析：（1）凡多项式中不含某项，该项的系数就为0；（2）解此类 题，必须先合并同类项，再讨论求值。[典例] 若2x y ?a1 2xy2?1 3x y?31 3xyb?5 3x y?31 6xy ，则（2）A.a=1,b=3B.a=3,b=2C.a=2,b=2 D.以上答案都不对。 解：B 评析：从题目上看，等号的左边有四项，右边只有两项， 显然从左边到右边的变形是合并同类项产生的，再进一步 分析可知，第一项与第三项，第二项与第四项分别应该是 同类项，才能产生右边的结果，再根据同类项概念可求得 a=3，b=2。解此类题关键在于，能识别出题中的同类项， 这是一个隐含条件，需要深入分析才能找出。思考：若a2x-1b与a5bx+y可以合并同类项，则 (xy+5)2003= 。提示：请结合上一题的思路进行解答x=3,y=-2，所求的值为-13.4整式的加减第三课时 去 括号法则掉后，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“-”号， 把括号和它前面的“-”号去掉后，括号里的各项都要改 变符号；例如：a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c 对去括号法则的理解及注意事项如下： （1）去括号的依据是乘法分配律； （2）注意法则中“都”字，变号时，各项都要变，不是 只变第一项；若不变号，各项都不变号； （3）有多重括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去 大括号。每去掉一层括号，如果有同类项应随时合并，为下 一步运算简便化，减少差错。讲解点1：去括号法则 “负”变“正”不变！！ 法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去 精讲：[典例] 1.填空：（1）(a-b)+(-c-d)= （2）(a-b)-(-c-d)= （3）-(a-b)+(-c-d)= （4）-(a-b)-(-c-d)= a-b-c-d a-b+c+d -a+b-c-d -a+b+c+ ; ; ;评析：应用去括号法则时要注意，若括号前没有符号，则按照“+” 号处理，去掉括号，括号各项都不变号。特别注意括号前是“-” 号的情况，往往忽略变号，或不全变（如只变第一项，后面的就不 变）2.判断下列去括号是否正确（正确的打“∨”，错误的打“×”） （1）a-(b-c)=a-b-c ( ) × （2）-(a-b+c)=-a+b-c ( ) ∨ （3）c+2(a-b)=c+2a-b ( ) ×3.化简： (1)x-3(1-2x+x2)+2(-2+3x-x2) (2)(3x2-5xy)+{-x2-[-3xy+2(x2-xy)+y2]} 解：(1)原式=x-3+6x-3x2-4+6x-2x2 =(-3x2-2x2)+(x+6x+6x)+(-3-4) =-5x2+13x-7 (2)原式=3x2-5xy+{-x2-[-3xy+2x2-2xy+y2]} =3x2-5xy+{-x2+3xy-2x2+2xy-y2} =3x2-5xy-x2+3xy-2x2+2xy-y2 =(3x2-x2-2x2)+(-5xy+3xy+2xy)-y2=-y2评析：注意去多重括号的顺序。有同类项的要合并。讲解点2：去括号法则的应用精讲：在有关多项式的化简及求值的题目中，只要 带有括号，就要用到去括号法则行化简。 这类题目的思路是： 去括号―合并同类项―代入计算。 正确应用去括号法则是关键。[典例] 化简求值：（基本题型）(2x3-xyz)-2(x3-y3+xyz)+(xyz-2y3),其中x=1，y=2,z=-3。 解：原式=2x3-xyz-2x3+2y3-2xyz+xyz-2y3 =(2x3-2x3)+(2y3-2y3)+(-2xyz-xyz+xyz) =-2xyz 当x=1，y=2，z=-3时，原式=-2×1×2×(-3)=12评析：此类题目的基本思路是：先化简―即去括号合并同类项，再 求值―用数字代替相应的字母，进行有理数的运算。[典例]已知(x+1)2+|y-1|=0，求下列式子的值。 2(xy-5xy2)-(3xy2-xy)解：根据非负数的性质，有x+1=0且y-1=0, ∴ x=-1，y=1。则2(xy-5xy2)-(3xy2-xy) =2xy-10xy2-3xy2+xy =3xy-13xy2 当x=-1，y=1时，原式=3×(-1)×1-13×(-1)×12 =-3+13=10 评析：根据已知条件，由非负数的性质，先求出x、y的值， 这是求值的关键，然后代入化简后的代数式，进行求值。思考：已知A=3a2+2b2，B=a2-2a-b2，求当(b+4)2+|a3|=0时，A-B的值。[典例] 计算2a2b-3ab2+2(a2b-ab2)错解：原式=2a2b-3ab2+2a2b-ab2 =2a2b+2a2b-3ab2-ab2=4a2b-4ab2 正解：原式=2a2b-3ab2+2a2b-2ab2 =2a2b+2a2b-3ab2-2ab2=4a2b-5ab2 评析：去括号时，要按照乘法分配律把括号前面的数和符 号一同与括号内的每一项相乘，而不是只乘第一项。[典例] 化简18x2y3-[6xy2-(xy2-12x2y3)]解：原式=18x2y3-6xy2+(xy2-12x2y3) =18x2y3-6xy2+xy2-12x2y3 =(18x2y3-12x2y3)+(-6xy2+xy2)=6x2y3-5xy2 评析：若先去中括号，则小括号前的“-”变为“+”号， 再去小括号时，括号内各项不用变号，这样就减少； 某 些项的反复变号，不易错了。 注意：实际上，如果括号前是“+”号，就可以“直接”去 掉括号，而不必担心符号问题了。3.4整式的加减第四课时 添 括号法则改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项 都要改变符号；例如： a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 对添括号法则的理解及注意事项如下： （1）添括号是添上括号和括号前面的符号。也就是说，添括号 时，括号前面的“+”或“-”也是新添的不是原来多项式的某一 项的符号“移”出来的。 （2）添括号的过程与去括号的过程正好相反，添括号是 否正确，可用去括号检验。 总之。无论去括号还是添括号，只改变式子的形式，不改变式 子的值，这就是多项式的恒等变形。讲解点1：添括号法则 “负”变“正”不变！！ 法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不 精讲：[典例] 1.在下列各式的括号内填上适当的项：-3x2y+3xy2-y3 （1）x3-3x2y+3xy2-y3=x3+( ) 2+2xy-y2=2-( x2-2xy+y2 ) （2）2-x评析：根据添括号法则，若括号前是“+”，括到括号里的各项都 不变号，即保持原来的符号不变，如果第（1）小题。如果括号前 是“-”号，括到括号里的各项都要变号，即“+”变“-”，“-” 变“+”，如第（2）小题。注意“各项”是指括号里面“所有的 项”。2.判断下列添括号是否正确（正确的打“∨”，错误的打“×”） （1）m-n-x+y=m-(n-x+y) ( ) × （2）m-a+b-1=m+(a+b-1) ( ) × （3）2x-y+z-1=-(2x+y-z+1) ( ) ×（4）x-y-z+1=(x-y)-(z-1)() ∨3.不改变代数式a2-(2a+b+c)的值，把它括号前面的符号变 为相反的符号，应为（ ） (B)(A)a2+(-2a+b+c) (C)a2+(-2a)+b+c (B)a2+(-2a-b-c) (D)a2-(-2a-b-c)评析：此题既要用去括号，又要用添括号法则，即先去括号，再添 括号，然后选择正确答案。讲解点2：添括号法则的应用精讲：添括号一个最简单的应用就是简便计算，根 据加法的交换律和结合律，把一些特殊的项 括到括号里先计算，从而使整个式子的计算 大为简便。另外还可以按照题目的要求，把 多项式中具有某些特征的项重新排列或分组， 达到预定的要求，此时就要添括号了。[典例]在多项式m4-2m2n2-2m2+2n2+n4中，添括号： （1）把四次项结合，放在前面带有“+”号的括号里； （2）把二次项结合，放在前面带有“-”号的括号里。 解：(1)m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=(m4-2m2n2+n4)-2m2+2n2 或者m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=-2m2+2n2+(m4-2m2n2+n4) (2)m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=m4-2m2n2+n4-(2m2-2n2) 或者m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=-(2m2-2n2)+m4-2m2n2+n4评析：此答案不唯一，除以上两种外，还有其他结果，但不论哪种 结果，必须符合题目的要求。[典例] 已知2x+3y-1=0，求3-6x-9y的值。解：∵2x+3y-1=0,∴2x+3y=1。 ∴3-6x-9y=3-(6x+9y)=3-3(2x+3y)=3-3×1=0 答：所求代数式的值为0。 评析：学习了添括号法则后，对于某些求值问题灵活应用添 括号的方法，可化难为易。如本题，虽然没有给出x、y的取 值，但利用添括号和整体代入，求值问题迎刃而解。注意体 会和掌握这种方法。 思考：把多项式x3-6x2y+12xy2-8y3+1，写成两个整式 的和，使其中一个不含字母x。[典例] 已知A=4x2-4xy+y2,B=x2+xy-5y2,求A-B。错解：A-B=4x2-4xy+y2-x2+xy-5y2=3x2-3xy-4y2 正解：A-B=(4x2-4xy+y2)-(x2+xy-5y2) =4x2-4xy+y2-x2-xy+5y2 =3x2-5xy+6y2评析：本题产生错误的原因是把A、B代入所求式子时，丢掉了括号， 导致后两项的符号错误。因为A、B表示两个多项式，它是一个整体， 代入式子时必须用括号表示，尤其是括号前面是“-”时，如果丢掉 了括号就会发生符号错误，今后遇到这类问题，一定要记住“添括 号”。思考：求多项式x2-7x-2与-2x2+4x-1的差。[典例] 设x2+xy=3，xy+y2=-2，求2x2-xy-3y2的值。解：∵x2+xy=3，∴2(x2+xy)=6，即2x2+2xy=6 ∴ 2x2-xy-3y2=2x2+2xy-3xy-3y2 =(2x2+2xy)-(3xy+3y2) =(2x2+2xy)-3(xy+y2) =6-3×(-2)=6+6=12 评析：利用所给条件，对多项式进行拆项、重新分组是解 此类题的关键。分组时要添括号，按添括号法则进行，注 意符号的变化及分配律的应用。思考：设3x2-x=1，求9x4+12x3-3x2-7x+2000的值。3.4整式的加减第五课时 整 式的加减讲解点1：整式加减的意义 就是求几个整式的和或者差的代数运算。要注意的是整 精讲：式的加减包括单项式的加减、多项式的加减、单项式与 多项式之间的加减。 [典例] 1.求单项式2x2y3、-4x2y3与-3x2y3的和。 解：2x2y3+(-4x2y3)+(-3x2y3) = 2x2y3+(-4x2y3)+(-3x2y3) =(-3x2-2x2)+(x+6x+6x)+(-3-4) =-5x2+13x-7评析：直接从“和”的意义出发，列出算式，注意后两项要带上括 号。因为单项式包括它前面的符号，然后再按去括号法则去括号后 合并同类项就是结果。练习：计算(8xy-3y2)-5xy-2(3xy-2x2)。2.某中学合唱团出场时第一排站了n名同学，从第二排起每 一排都前面一排多1人，一共站了四排，则该合唱团一共有 多少名同学参加？ 解：由已知得，从第二排起，到第四排，人数分别为： n+1,n+2,n+3 所以 该合唱团总共有：n+(n+1)+(n+2)+(n+3) =(4n+6)(人) 答：该合唱团一共有(4n+6)名同学参加。评析：注意归纳概括出后面的人数的表达式（即代数式）练习：三角形的周长为48，第一条边长为(3a+2b)，第二条边 的2倍比第一条边长(a-2b+2)，求第三条边的长讲解点2：整式加减的一般步骤 精讲：去括号和合并同类项是整式加减的基础 一般步骤是： （1）如果有括号，那么先去括号； （2）观察有无同类项； （3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项。 （4）合并同类项。 简单地讲，就是：去括号、合并同类项。 因此只要掌握了合并同类项的方法，就能正确 进行整式的加减。 注意：整式加减运算的结果仍然是整式[典例] 为资助贫困山区儿童入学，我校甲、乙、丙三位同学决定把平时节省下来的零花钱捐给希望工程，已知甲 同学捐资x元，乙同学捐资比甲同学捐资的3倍少8元，丙同 学捐资数是甲和乙同学捐资数的总和的3/4，求甲、乙、丙 三位同学的捐资总数。解：根据题意，知 甲同学捐资x元，乙同学捐资(3x-8)元 那么，丙同学捐资3/4[x+(3x-8)]元 则甲、乙、丙的捐资总数为：x+(3x-8)+3/4[x+(3x-8)] =x+3x-8+3/4(4x-8)=x+3x-8+3x-6=7x-14 答：甲、乙、丙的捐资总数为(7x-14)元。评析：这是一个利用整式加减计算的应用问题，首先要根据题意列 出各量的代数式，然后求和进行加减运算。[典例]代数式(x2+ax-2y+7)-(bx2-2x+9y-1)的值与字母x 的取值无关，求a、b的值。 解：(x2+ax-2y+7)-(bx2-2x+9y-1) =x2+ax-2y+7-bx2+2x-9y+1=(1-b)x2+(a+2)x-11y+8 ∵代数式(x2+ax-2y+7)-(bx2-2x+9y-1)的值与字母x的取值无关， ∴1-b=0，a+2=0，解得a=-2 ，b=1。 答：a=-2 ，b=1。 评析：这是一个利用整式加减解答的综合问题，先通过去括 号，合并同类项将所给的代数式化简，然后根据题意列出方 程，从而求出a、b的值。 思考：若代数式(2x2+ax-5y+b)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的 取值无关，求代数式3(a2-ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值。[典例] 计算3x2-2x+1-(3+x+3x2)错解：原式=3x2-2x+1-3+x+3x2 =3x2+3x2-2x+x+1-3=6x2-x-2 正解：原式=3x2-2x+1-3-x-3x2 =3x2-3x2-2x-x+1-3=-3x-2 评析：去括号时，括号前是“-”号的，去括号后，里面各 项的符号都要改变。 思考：计算(3a2+2a+1)-(2a2+3a-5)的结果是（ ） A.a2-5a+6 B.a2-5a-4 C.a2-a-4 D.a2-a-6[典例] 在多项式ax5+bx3+cx-5中，当x=-3时，它的值为7；当x=3时，它的值是多少？解一：巧添括号 当x=-3时，原式=a(-3)5+b(-3)3+c(-3)-5=-35a-33b-3c-5=7 ∴-35a-33b-3c=12 当x=3时，原式=35a+33b+3c-5=-(-35a-33b-3c)-5=-12-5=-17 解二：巧用相反数 当x=-3时，原式=a(-3)5+b(-3)3+c(-3)-5=-35a-33b-3c-5=7， 35a-33b-3c=12，∵(35a+33b+3c)+(-35a-33b-3c)=0 ∴(35a+33b+3c)与(-35a-33b-3c)互为相反数。 ∴35a+33b+3c=-12，当x=3时，原式=35a+33b+3c-5=-12-5=-17[典例] 在多项式ax5+bx3+cx-5中，当x=-3时，它的值为7；当x=3时，它的值是多少？解三：巧用方程 当x=-3时，原式=-35a-33b-3c-5=7① 当x=3时， 原式=35a+33b+3c-5 设35a+33b+3c-5=m ② ；①+ ②得：-10=7+m，得m=-17 即当x=3时，原式=-17 解四：巧用特殊值 当x=-3时，原式=-35a-33b-3c-5=7，由于a、b、c的值不确定，因此可 用取特殊值法来解，考虑到a、b的系数较大，不妨取a=b=0，则c=-4。 当x=3时，原式=35a+33b+3c-5=0+0+3×(-4)-5=-17评析：在上述四种解法的解题过程中，始终没有求出35和33的值，这 是因为35和33是非必须要求的成分，这样做可以省时省力，提高解题 效率。3.4整式的加减第六课时 整式的加减习题课(1)单项式是由数与字母的乘积组成的代数式； 单独的一个数或字母也是单项式； 单项式的数字因数叫做单项式的系数； 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，而且次数 只与字母有关。 (2)多项式是建立在单项式概念基础上，几个单项式的和就是多 项式； 每个单项式是该多项式的一个项；每项包括它前面的符号， 这点一定要注意。 组成多项式的每个单项式的次数是该多项式各项的次数； “几次项”中“次”就是指这个次数； 多项式的次数，是指示最高次项发次数。(3)根据加法的交换律和结合律，可以把一个多项式的各项重新 排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动，这样的 移动并没有改变项的符号和多项式的值。 把一个多项式按某个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫 做把该多项式按这个字母的降幂排列； 把一个多项式按某个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫 做把该多项式按这个字母的升幂排列。 排列时，一定要看清楚是按哪个字母，行什么样的排列 （升幂或降幂） (4) 单项式和多项式是统称为整式。[例1] 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？0, ? ab2解： 单项式有： 多项式有： 整式有：?, ? x, ? 0, ? abx?2 32,s t, ? 5 , 3 m ? 1,21 a?1 b,1 4x y z23?, ? x,2? 5,1 4x y z23?x?2 3 ab, 3m ? 120, ??, ? x, ?x?2 3,? 5 , 3 m ? 1,21 4x y z23评析：本题需应用单项式、多项式、整式的意义来解答。单项式只 含有“乘积”运算；多项式必须含有加法或减法运算。不论单项式 还是多项式，分母中都不能含有字母。[例2] 将多项式xy ? x ? y44?2 3x y ? 2 x y ? 7 按下列要求排列2 2 3(1)按x的升幂排列；(2)按y的降幂排列。解： (1)按x的升幂排列：(2)按y的降幂排列：7 ? y ? xy ?42 3x y ? 2x y ? x2 2 3 3 44?y ?42 3x y ? 2 x y ? xy ? x ? 72 2评析：对含有两个或两个以上字母的多项式重新排列，先要确定是 按哪个字母升（降）幂排列，再将常数项或不含这个字母的项按照 升幂排在第一项，降幂排在最后一项。1、对于同类项应从概念出发，掌握判断标准： (1)字母相同； (2)相同字母的指数相同； (3)与系数无关； (4)与字母的顺序无关。 2、合并同类项是整式加减的基础。法则：合并同类项，只把系 数相加减，字母及字母的指数不变。 注意以下几点：(前提：正确判断同类项) (1)常数项是同类项，所以几个常数项可以合并； (2)两个同类项系数互为相反数，则这两项的和等于0； (3)同类项中的“合并”是指同类项系数求和，把所得到结果作 为新的项的系数，字母与字母的指数不变。 (4)只有同类项才能合并，不是同类项就不能合并。[例1] 若-5a3bm+1与8an+1b2是同类项，求(m-n)100的值。解：由同类项的定义知：m+1=2，n+1=3；解得m=1，n=2 ∴(m-n)100=(1-2)100=(-1)100=1 答：当m=1，n=2时，(m-n)100=1。[例2]如果一个两位数的个位数是十位数的4倍，那么这个两位数一定是7的倍数。请说明理由。 解：设两位数的十位数字是x，则它的个位数字是4x。 ∴这个两位数可表示为：10x+4x=14x， ∵14x是7的倍数，故这个两位数是7的倍数。 评析：例1要注意同类项概念的应用；例2要注意几位数的表 示方法。如：578=5×100+7×10+8。 思考：计算(1)-a2-a2-a2；(2)a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b21、整式的加减是本章节的重点，是全章知识的综合与运用掌握 了整式的加减就掌握了本章的知识。 整式加减的一般步骤是： (1)如果有括号，那么要先去括号； (2)如果有同类项，再合并同类项；2、去括号和添括号是本章的难点之一； 去(添)括号都是多项式的恒等变形； 去(添)括号时一定对照法则把去掉(添上)括号与括号的符号 看成统一体，不能拆开。 遇到括号前面是“-”时，容易发生漏掉括号内一部分项的变 号，所以，要注意“各项”都要变号。不是只变第一项的符号。[例1] 求减去-x3+2x2-3x-1的差为-2x2+3x-2的多项式解：(-x3+2x2-3x-1)+(-2x2+3x-2) =-x3+2x2-3x-1-2x2+3x-2=-x3-3 答：所求多项式为：-x3-3。 评析：把一个代数式看成整体，添上括号。利用已知减数 和差，求被减数应该用加法运算。[例2] 已知a2+ab=-3，ab+b2=7，试求a2+2ab+b2；a2-b2的值。解：a2+2ab+b2=(a2+ab)+(ab+b2)=-3+7=4 a2-b2=(a2+ab)-(ab+b2)=-3-7=-10 评析：这是利用“整体代入”思想求值的一个典型题目， 关键是利用“拆项”后添加括号重新组合，巧妙求解。[练习]1.已知a2-ab=2，4ab-3b2=-3，试求a2-13ab+9b2-5的值。提示：a2-13ab+9b2-5=(a2-ab)-3(4ab-3b2)-52.化简求值：3x2-[7x-(4x-3)-2x3]，其中x=-0.5答案：-13.某人做了一道题： “一个多项式减去3x2-5x+1?”，他误将减去3x2-5x+1写 为加上3x2-5x+1，得出的结果是5x2+3x-7。求出这道题的 正确结果。提示：先设被减数为A，可由已知求出多项式A，再计算 A-(3x2-5x+1)
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