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第三方登录：用四个数相加然后有四个答案两个8一个6一个13_百度知道
用四个数相加然后有四个答案两个8一个6一个13
我有更好的答案
d=8-b=3你好，你的题目是有一点错误的。以下解法请参考。<img class="ikqb_img" src="http.5所以a=8-b=3://b，a+b=8……①a+c=13……②b+d=8……③c-d=6……④①-②得b-c=-5③+④得b+c=14上两个式子相加得2b=9，得b=4://b.baidu.jpg" esrc="http.jpg" />如图所示
采纳率：93%
两个相同的数相加有两个答案你说有没解，这是矛盾的，题错了！！！！！！！！！不用了，此题无解
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135位同学学习过此题，做题成功率67.4%
大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（&5---）、二分音符（&5-）、四分音符（&5&&）、八分音符（5&）和十六分音符（&5&&）．其中二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符所表示的时值分别是全音符的12、14、18、116．如果全音符的时值为4拍，那么四分音符的时值是1&拍；十六分音符的时值的时值是14拍；4&个八分音符的时值等于一个二分音符的时值；那么下面的简谱中每个小节各应唱的时值是多少呢？（1）|2 3&5&&1-|这一小节应唱4&拍（2）|1 6&5 3 3&|这一小节应唱12拍．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音符、八分音...”的分析与解答如下所示：
由于二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符所表示的时值分别是全音符的12、14、18、116，将全音符的时值当作单位“1”，全音符的时值为4拍，所以四分音符的时值是4×14=1拍，十六分音符的时值的时值是4×116=14拍，二分音符的时值是全音符的12，八分音符是全音符的18，12÷18=4，即4个八分音符的时值等于一个二分音符的时值；（1）由于|2 3&&&5&&1-|中包含两个八分音符，一个四分音符，一个二分音符，所以这一小节应唱4×18×2+4×14+4×12拍；（2）同理求出2应唱多少拍．
四分音符的时值是4×14=1拍，十六分音符的时值的时值是4×116=14拍，12÷18=4，即4个八分音符的时值等于一个二分音符的时值．（1）4×18×2+4×14+4×12=1+1+2=4（拍）；答：这一小节应唱4拍．（2）4×18×2+4×18×3=1+32=212（拍）；答：这一小节应唱212拍．故答案为：1，14，4；4；212．
完成本题要认真分析题意，明确音符之间的关系，然后解答．
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大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
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经过分析，习题“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音符、八分音...”主要考察你对“分数的意义、读写及分类”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
分数的意义、读写及分类
与“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音符、八分音...”相似的题目：
分子是27的假分数有&&&&27个26个无数个
如图中阴影部分面积占整个图形面积的&&&&，（每个小正方形边长1dm）阴影部分面积是&&&&dm2．
用分数表示图中阴影部分的面积．（1）&&&&&&&&（2）&&&&&&&&（3）&&&&&&&&&&&&=&&&&&&&&．&&&&
“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的...”的最新评论
该知识点好题
1把45m长的绳子平均剪成4段，每段长&&&&&&&&m．每一段长是这根绳子的&&&&&&&&．
2分数单位是110的最大真分数是&&&&，它至少要添上&&&&个这样的分数单位就成了假分数．
3有两根一样长的绳，第一根截去13，第二根截去13米，两根绳剩下的部分比较&&&&
该知识点易错题
1把1平均分成7份，其中的4份是&&&&&&&&&，把4平均分成7份，每份是&&&&&&&&&．
2把45m长的绳子平均剪成4段，每段长&&&&&&&&m．每一段长是这根绳子的&&&&&&&&．
3用分数表示下面各图中的涂色部分，并读一读．&&&&．&&&&．&&&&．&&&&．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符所表示的时值分别是全音符的1/2、1/4、1/8、1/16．如果全音符的时值为4拍，那么四分音符的时值是____拍；十六分音符的时值的时值是___拍；____个八分音符的时值等于一个二分音符的时值；那么下面的简谱中每个小节各应唱的时值是多少呢？（1）|____51-|这一小节应唱____拍（2）|________|这一小节应唱___拍．”的答案、考点梳理，并查找与习题“大家都知道音乐中音符也可以用分数来描述的．不同的音符表示不同的时值．通常，常用的音符有全音符（5---）、二分音符（5-）、四分音符（5）、八分音符（____）和十六分音符（5）．其中二分音符、四分音符、八分音符和十六分音符所表示的时值分别是全音符的1/2、1/4、1/8、1/16．如果全音符的时值为4拍，那么四分音符的时值是____拍；十六分音符的时值的时值是___拍；____个八分音符的时值等于一个二分音符的时值；那么下面的简谱中每个小节各应唱的时值是多少呢？（1）|____51-|这一小节应唱____拍（2）|________|这一小节应唱___拍．”相似的习题。数字趣题1_百度文库
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三升四年级奥数讲义
目录第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲速算与巧算……………………………………..……………………. 2应用题综合（一） ……………………………………..………………9 应用题综合（二）………………………………..……………………14 行程问题初步 ……………………………..…………………………..18 奇数与偶数 ………………………………..…………………………..23 计数问题 …………………………………..…………………………..28 体育比赛中的数学 ………………………..…………………………..33 期中测试 …………………………………..…………………………..37 余数与周期 …………………………………..………………………..40 简单的抽屉原理 ……………………………..………………………..45 巧求周长 ………………………………..……………………………..50 数字谜 趣题巧解 逻辑推理 期末测试 …………………………………..…………………………....55 …………………………..………………….……………..60 ………………………..………………….………………..64 ……………………………..………….……………….….68 第一讲速算与巧算亲爱的同学们， 你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天的速算技 巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！你还记得吗？1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加， 再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即 a×b=b×a,其中 a，b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即 a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).【例1】计算：378+26+609分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22） =400+600+9+4 =1013. [拓展] 计算： 分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =14. 【例2】 计算：-20-10分析：原式 =1000-（90＋80＋20＋10） =0.【例3】计算：1）63×11 ； 2） 852×11分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满 10 要进 1）. 即“两边一拉，中间相加”. 1）63×11=693 （其中 9 是 6+3） ， 2）852×11=+2 3=5+8 末尾 9=8+1）. 【例4】计算 ：15×15；25×25 ；35×35分析：建议教师先介绍个位数字为 5 的数的平方速算规律：首数加 1 的和乘以首数，尾数相乘，两积连起 来即为所求的积.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225.暑假精讲1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除 数的位置，商不变，即 a÷b÷c=a÷c÷b 2. 乘除法混合运算的性质 （1） 在乘除混合运算中， 被乘数、 乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置， 例如 a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a (2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c (3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的 变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍 一些运算的速算和巧算的方法. 【例1】 计算：25×9×125×4×8分析：解题关键是观察题目可以发现 25×4 得 100，125×8 得 1000，将它们分别合并便可达到速算 原式=(25×4)×(125×8)×9 =100×0000.【例2】计算：456×2×125×25×5×4×8分析：原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8） =456×10×100×000. [巩固] 计算：19×25×64×125 分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2） = 100×00000. 【例3】计算：分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积. 原式=5400÷（25×4） = =54.【例4】计算：5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21)分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21 =5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7） =5×3 =15.【例5】计算：÷3-5×50分析：运用 a÷b÷c=a÷(b×c) . 原式=333333÷（37×3）-29+÷111+（6250-29） = =9224.【例6】53×46+71×54+82×54分析：可以把 53，199 拆分. 原式=（54-1）×46+71×54+82×54 =54×46+71×54+82×54-46 =54×（46+71+82）-46 =54×199-46 =54×（200-1）-46 =54×200 =54-46 = =10700.【例7】（873×477-198）÷（476×874+199）分析：观察到 873 与 874，476 与 477 的关系，可以考虑把整数进行拆分. 原式=[873×（476+1）-198] ÷[476×（873+1）+199] =[873×476+873-198] ÷[476×873+476+199] =[873×476+675] ÷[476×873+675] =1. 【例8】×分析：原式=×（-1） =888889.【例9】933×24分析：原式=933×3×8 =999×8 =99999×（26+8） =（）×34 =3399966.【例10】计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4×4+l×2×3×4×5×5分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1) =l × 2-1+l × 2 × 3-1 × 2+l × 2 × 3 × 4-1 × 2 × 3+l × 2 × 3 × 4 × 5-1 × 2 × 3 × 4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5 =l×2×3×4×5×6-l =720-l =719．【例11】计算：04-01-98+?+5-4-3+2+1分析： （法 1）我们观察可以发现，题目中每 4 个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算. 原式=2006+（03+2002）+（99+1998）+?+（5-4-3+2）+1 =+?+0+1 =2007. （法 2）根据符号规律，可以 4 个数一组. 原式=（04-2003）+?+（6+5-4-3）+2+1 =4×（2004÷4）+3 =2007. [拓展] 计算：+3+4-5-6+7+8-?-91 分析：原式=（90-1989）+?+（4+3-2-1） =4×（1992÷4） =1992.【例12】计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17分析：[前铺]分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题. 计算 1：36×19+64×19 =（36+64）×19 =1900. 计算 2： 36×19+64×144 =36×19+64×（19+125） =（36+64）×19+64×125 =×125 = =9900. 例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17 =（9-5）×17+（91+45）÷17 =4×17+136÷17 =68+8 =76.【例13】计算：765×213÷27+765×327÷27分析：原式=765×（213+327）÷27 =765×540÷27 =765×20 =15300.【例14】计算：25×25分析： [ 前铺 ] 建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律 . 如
× 1001 ， 3 × 1001001，? 原式=25×26×101-26×25×101 =0. [拓展 1] 计算：30303 分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101） =（12÷3）×（10101） =4×1 =4. [拓展 2] 计算： （）÷4949 分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101） =（45+53）×101÷49÷101 =（45+53）÷49 =2. 【例15】 3×分析：原式=×03×001=0. 附加内容【附1】 计算： （11×10×9×?×3×2×1）÷（22×24×25×27） 分析：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4 =1×2×2×1×7×4 =112.【附2】 计算： （561+123+345）÷7 分 析 ： [ 前 铺 ] 建 议 教 师 先 讲 解 拆 数 法 ： ××00+4×100+5×10+6×1 ， ××00+5×100+6×10+1×1，? １２３４５６ 或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4++5+6）×相应的数量单位.讲 ２３４５６１ 清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了. ３４５６１２ 原式=（1+2+3+4+5+6）×(00++1) ÷7 ４５６１２３ =21× ５６１２３４ =3×111111 ＋）６１２３４５ =333333.大显身手1. 25×17×32×125 分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .2. 1）57×99 ；2） 17×999 分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.3. 56000÷（14000÷16） 分析：原式= 64.4. 1÷15 分析：原式=15=. 数学迷宫仔细看看图中有几只猴子？ 第二讲应用题综合（一）春季班同学们已经学习了平均数的应用题， 其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系为 内容的问题．求解时应恰当选取基准数并注意权重．暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平 均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、 一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数 .首先，让我们先回顾一 下吧！你还记得吗？1. 小强做跳绳练习，第一次跳了 67 下，第二次跳了 76 下．她要想三次平均成绩达到 80 下，第三次至 少要跳多少下？ 分析：80×3－(67＋76)＝97(下).2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年 10 月.第一批的 3 头每头重 66 千克，第二批的 5 头每头重 42 千 克.小明家养的猪平均多重？ 分析：两批猪的总重量为 66×3＋42×5＝ 408(千克 ).两批猪的头数为 3＋ 5 ＝ 8( 头 )，故平均每头猪重 408÷8＝51(千克).3. 甲乙两地相距 240 千米，一辆汽车从甲地往乙地送货，去时以每小时 40 千米的速度行驶.返回时由于 空载，以每小时 60 千米的速度行驶.这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米？ 分析：240×2=480（千米） ，240÷40=6（小时） ，240÷60=4（小时） ，6+4=10（小时） ，480÷10=48（千米）.4. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为 7 天)平均每天做 4 道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做 3 道，星期四不做，星期五、六两天共做了 13 道.那么， 星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？ 分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出星期一至星期六已做的题目数.两者相减就是星期日要 完成的题目数.每周要完成的题目总数是 4×7=28(道)．星期一至星期六已做题目 3×3＋13＝22(道)，所 以，星期日要完成 28-22＝6(道).综合列式为 4×7-(3×3＋13)＝6(道). 暑假精讲【例1】 五个同学期末考试的数学成绩平均 94 分，而其中有三个同学的平均成绩为 92 分，另两个同 学的平均成绩是多少？ 分析： （94×5-92×3）÷2=97（分）.【例2】 一个房间里有 9 个人，平均年龄是 25 岁；另一个房间里有 11 个人，平均年龄是 45 岁．两个 房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？ 分析： （25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.【例3】 学而思三升四竞赛班 50 人考试，全班平均分为 85 分，其中有 40 的人及格，及格人的平均分 是 93 分，那么不及格人的平均分是多少分？ 分析：不及格人的平均分是（85×50-93×40）÷（50-40）=53（分）.【例4】 甲班 51 人，乙班 49 人，某次考试 2 个班全体同学的平均成绩是 81 分，乙班平均分比甲班高 7 分，那么乙班的平均成绩是多少分？ 分析：甲、乙 2 班总分为 81×（51+49）=8100（分） ，由于乙班平均分比甲班高 7 分，如果甲班每人提高 7 分，那么 2 班平均分即为乙班现在的平均分（）÷（51+49）=84.57（分）. 下面我们要学习一类新的应用题――盈亏问题. 盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配 的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)， 由此得到求解盈 亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈 一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握. 【例5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分 3 张就会多出 29 张，如果每人分 5 张则少 19 张，那么李老师给几个学生发礼物呢？ 分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买 5 本则多 3 元；若买 7 本则少 1.8 元．这本书的单价是多少？ 顾老师共带了多少元钱？ 分析；买 5 本多 3 元，买 7 本少 1.8 元.盈亏总额为 3＋1.8=4.8（元） ，这 4.8 元刚好可以买 7-5＝2（本）书， 因此每本书 4.8÷2=2.4（元） ，顾老师共带钱 2.4×5＋3＝15（元）. 【例7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用 45 个座位的客车，但这样有 5 人没座， 如果租用同样数量的 55 个座位的客车，则正好多出 1 辆车.那么，原计划租用 45 座客车几辆？ 分析：租 55 个座位的客车，正好多出 1 辆车，也就是少了一车的人，即 55 人，所以，原计划租用的客车 数量(55+5)÷(55-45)=6(辆).【例8】 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多 50 厘米；折三折来量，还差 30 厘米，求绳 长和井深各是多少？ 分析：根据题意， （50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190-30）×30=480 （厘米）.【例9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面， 弟弟从家去动物园， 如果每分钟走 30 米， 就要迟到 5 分钟， 如果每分钟走 40 米，可以提前 2 分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？ 分析：迟到 5 分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前 2 分钟到相当于多走了：40 ×2=80(米)，所以， 如 果 不 迟 到 也 不 早 到 ， 弟 弟 走 的 时 间 为 ： (150+80)÷(40-30)= 23( 分 钟 ) ， 家 到 学 校 的 距 离 为 ： 30×(23+5)=840(米).【例10】 百货商店委托搬运站运送 100 只花瓶．双方商定每只运费 1 元，但如果发生损坏，那么每打 破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1 元，结果搬运站共得运费 92 元．问：搬运过程中共打破了几只花 瓶? 分析：假设 100 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 1×100=100(元)．实际上只得到 92 元，少得 100-92=8(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失 1+1=2(元)．因此共打破花瓶 8÷2=4(只)．附加内容【附1】 100 名学生参加数学竞赛，平均分数是 63 分，其中参赛男同学平均分为 60 分，女同学平均分为 70 分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？ 分析： 参赛女同学人数为： [100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)． 所以参赛男同学比女同学多 100-30-30=40 （人） ．【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分．计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算出 平均分作为该选手的最后得分．下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，■（第五个分数被盖上了） ， 最后得分 82．请你算算第五位评委打多少分？ 分析：如果第五位评委的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是 79 或 86，剩下的 3 个分数 的平均分不等于 82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是 79 和 86，第五位评委 的分数是 82×3-（83+81）=82（分）. 【附3】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买 6 千克鱼肉则还差 10 元．如果买 8 千克猪肉则还剩 2 元．已 知每千克鱼肉比猪肉贵 5 元．那么陈奶奶带了多少钱? 分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵 5 元，6 千克鱼肉应该比 6 千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买 6 千克 猪肉应该剩下：30―10=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(20―2)÷(8―6)=9(元)，陈奶奶所带钱数： 8×9+2=74(元).【附4】 乐乐从家去学校上学，每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会 迟到 8 分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走 10 米，结果到达学校时离上课还有 5 分钟．问： 乐乐家离学校有多远? 分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走 50 米，则要迟到 8 分钟，也就是到上课时间时， 他离学校还有 50×8=400(米)；若每分钟多走 10 米，即每分钟走 60 米，则到达学校时离上课还有 5 分钟， 如果一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)．所以盈亏总额，即总的路程相差 400+300=700(米)．两种走法每分钟相差 10 米，因此所用时间为 700-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变 速度起到上课时间有 70 分钟．所以乐乐家到学校的距离为 50×(2+70+8)=4000(米)．【附5】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了 一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有 1 块橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有 3 块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支铅 笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔? 分析： 如果增加 10 支铅笔， 则按 1 块橡皮、 2 支铅笔正好分完； 而按 3 块橡皮、 5 支铅笔分， 则剩下 10+5=15(支) 铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6―5)=15(堆)，所以，橡皮数为： 15×3=45(块)，铅笔数为：15×6―10=80(支)．大显身手1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天游 670 米，则 平均每天游 495 米；如果最后一天游 778 米，则平均每天游 498 米；如果他想平均每天游 500 米，那么最 后一天应游多少米？ 分析： （778-670）÷（498-495）=108÷3=36（天） ，说明小强一共游了 36 天.要想平均游 500 米的话，他 最后一天应该游 670+36×（500-495）=670+180=850 米.2. 甲、乙两地相距 240 千米，一辆汽车从甲地往乙地送货，去时以每小时 40 千米的速度行驶.返回时由 于空载，以每小时 60 千米的速度行驶.这辆汽车往返的平均速度是每小时多少千米？ 分析：240×2=480（千米） ，240÷40=6（小时） ，240÷60=4（小时） ，6+4=10（小时） ，480÷10=48（千米）. 3. 王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加 1 条船，正好每条船 坐 4 人，如果减少 1 条船，正好每条船坐 6 人，那么，他们总共有几人去了颐和园？ 分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐 4 人正好，后来减少了 2 条船，每条船坐 6 人．所以，租的船 的数量为：6×(1+1)÷(6―4)=6(条)，去颐和园的总人数为：6×4=24(人).4. 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住 5 人，则多出 18 人，如果每个 房间住 7 人，则有 2 个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？ 分析：房间数量：(18+7×2)÷(7―5)=16(个)，参加夏令营的人数：16×5+18=98(人).成长故事永远看得起自己 有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过 去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着． 最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何， 这口井还是得填起来．于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦． 农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中．当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得 很凄惨．但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了．农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前 的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一 旁，然后站到铲进的泥土堆上面！ 就这样，驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去．很快地，这只驴子便得意 地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！ 第三讲应用题综合（二）年龄问题和还原问题春季班都学习过基础的知识： 年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数 关系的条件入手理解数量关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、 “和倍”或“和差”问题数量关 系式解决；还原问题我们学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧， 我们出发！你还记得吗？1. 今年姐姐 13 岁，弟弟今年 10 岁，当姐弟年龄之和达 101 岁时，姐弟各是多少岁？分析： 法 1：两人年龄和每年增加 2 岁．算出过多少年两人年龄和达 101 岁，就可在现在的年龄上各人 增加同样多的岁数．101－(13＋10)=101－23=78(岁)，78÷2＝ 39(年)，姐：13＋39＝52(岁) ，弟：10＋ 39＝49(岁) ． 法 2：可以把本题理解为一道“和差问题” ，由已知姐姐和弟弟今年分别是 13 岁和 10 岁，可求出两人今 年的年龄差是：13-10=3（岁） ．当两人的年龄和是 101 岁时，两人的年龄差还是 3 岁．所以，姐姐的年龄 为（101+3）÷2=52（岁） ，弟弟的年龄为 52-3=49（岁） ．2.今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？分析：今年爸爸与儿子的年龄差为“48―20=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当 爸爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法．当爸爸的年 龄是儿子年龄的 5 倍时，他们的年龄差是儿子年龄的 4 倍，所以儿子的年龄是： （48―20）÷（5―1）＝7 （岁） ，由 20－7＝13（岁） ，推知 13 年前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍3. 小新在做一道加法题， 由于粗心， 将个位上的 5 看作 9， 把十位上的 8 看作 3， 结果所得的和是 123． 正 确的答案是多少? 分析： （倒推法）把个位上的 5 看作 9，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上 的 8 看作 3， 相当于把正确的和少算了 50， 求正确的和， 应把 50 加上去． 所以正确的和是 123+50- 4=169． 即： 123+(80-30)- (9-5)=169.4. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少 12 克．第二天运出剩下的一半少 12 克，结 果窝里还剩下 43 克．问蚂蚁家原有食物多少克? 分析： （倒推法）教师可画线段图帮助学生理解．如果第二天再多运出 12 克，就是剩下的一半，所以第一 天运出后，剩下的一半重量是 43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重 31×2=62(克)．那么，一半 的重量是 62―12=50(克)，原有食物 50×2=100(克)． 即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).暑假精讲 【例1】父亲 15 年前的年龄相当于儿子 12 年后的年龄．当父亲的年龄是儿子的 4 倍时，父亲多少岁?分析：父亲比儿子大 15+12=27 岁．儿子是 27÷(4―1)=9 岁．父亲是 9×4=36 岁．【例2】 小明一家有4人：爷爷、爸爸、妈妈和小明．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁．已知 这家人今年的年龄之和为126岁，而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？ 分析：5 年来，小明家的年龄之和增加了 126-107=19 岁．这家现有 4 口人，而 19&4×5，这说明小明还不 满 5 岁， 他今年只有 19-3×5=4 岁． 于是今年妈妈 4+26=30 岁， 爷爷和爸爸的年龄之和为 126-4-30=92 岁． 又 爷爷比爸爸大 26 岁，因此今年爷爷(92+26)÷2=59 岁，他比小明大 59-4=55 岁．【例3】6 年前，母亲的年龄是儿子的 5 倍.6 年后母子年龄和是 78 岁.问：母亲今年多少岁？分析： 母子今年年龄和： 78-6× 2=66（岁） ，母子 6 年前年龄和： 66-6× 2=54（岁） ，母亲 6 年前的年龄： 54÷ （5+1）× 5=45（岁） ，母亲今年的年龄：45+6=51（岁） ．【例4】 王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是 20 岁， 李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄 是 18 岁．王老师今年 32 岁，李老师今年多少岁? 分析：王老师比李老师大 20×3―18×3=6(岁)．故李老师今年的年龄为 32―6=26(岁)．【例5】林林1999年上四年级，他出生年份的各位数字之和是最大的一位数的3倍，问他1999年几岁？分析：他出生于1989年，1999年时他10岁.【例6】 新天地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多 10 台，第二天售出剩下的 一半多 20 台，还剩 95 台．这批新款彩电有多少台? 分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原．由示意图可知：95 台加上 20 台正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的台数；剩下的台数加上 10 台，正好是总数的一半，于是可求出这批彩电的台数．[(95+20)×2+10]×2=480（台）. 【例7】 村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩 下的一半又二个，这时篮里只剩下二十个蛋．这篮鸡蛋有多少个?从上面线段图可以看出：最后剩下 20 个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的 2 个，就是再余下的一 半，由此可求出再余下的是：(20+2)× 2=44(个)．44 个再加上第二次卖出余下的一半以外的 2 个就是余下 的一半，因此可求出余下的是：(44+2)× 2=92(个)．92 个再加上第一次卖出一篮的一半以外的 2 个就是全 篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)×2=188(个)．【例8】 A，B，C 三位小朋友都有若干本图书，如果 A 将自己的书给 B，C，使 B，C 的书各增加一倍然 后 B 又将现有的图书给 A，C，使 A，C 现有的图书各增加一倍；最后 C 再将自己已有的图书给 A，B，使 A， B 的图书各增加一倍，这时三人的图书都是 240 本．A，B，C 三位小朋友原来各有图书多少本? 分析：如图： 第一次 第二次 第三次A 390 60 120 240B 210 420 120 240C 120 240 480 240【例9】 三人存款不等，只知如果甲给乙 40 元，乙又给丙 30 元，丙再给甲 20 元，给乙 70 元，这时 三人都有 240 元．三人原来各有存款多少元？ 分析：甲原有：240-20+40=260（元） ；乙原有：240-70+30-40=160（元） ；丙原有：240+20+70-30=300（元）.附加内容【附1】 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是 64 岁，甲 21 岁，乙 17 岁．甲 18 岁时，丙的年龄是丁的 3 倍．丁现在的年龄是多少岁? 分析： （法 1） 当甲 18 岁时， 乙的年龄为 17―3=14(岁)． 丁现在的年龄为(64―18―14)÷(1+3)=32÷4=8(岁)． （法 2）甲 18 岁是 3 年前，所以 4 人总年龄是 64-3×4=52（岁） ，所以丙丁年龄和为 52-18-14=20（岁） ， 丁就是 20÷（1+3）=5（岁） ，现在的年龄是 5+3=8（岁）. 【附2】 竹篮内有若干李子，将它的一半又一个给小朋友甲，把剩下的一半又两个给小朋友乙，最后取剩 余的一半又三个给小朋友丙，这时竹篮里的李子恰好发完．问竹篮内原来有多少个李子?分析： （倒推法） “剩余的一半又三个恰好发完”说明剩余的一半刚好是 3 个，即第二次发完后还剩 6 个， “剩下的一半又两个” ，则第一次发完后还剩（6+2）×2=16（个） ， “将它的一半又一个” ，则原来有 （16+1）×2=34（个）.大显身手1. 小樱今年 16 岁，小桃今年 11 岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是 45 岁?分析：小樱和小桃今年年龄和为 16+11=27(岁)．小樱和小桃经过 45―27=18(年) 两人的年龄之和是 45 岁 时． 这时，小樱和小红每人经过的年数都为：18÷2=9(年)．2. 已知明明今年 2 岁，爸爸今年 28 岁，那么请问 11 年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍? 分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍） ．3. 小龟问老龟： “老爷爷，您今年多少岁?”老龟说：“把我的年龄加上 20，再缩小 2 倍之后减去 15， 再扩大 3 倍，正好是 105 岁．你能算出我今年多少岁吗?” 分析： （法 1）根据题意，从最后一个条件 105 岁开始倒推：最后的数扩大 3 倍是 105 岁，如果没扩大 3 倍，应该是 105÷ 3=35(岁)；这个 35 岁是减去 15 得到的，如果没减去 15，应该是 35+15=50(岁)；这个 50 岁是缩小 2 倍后得到的，如果没有缩小 2 倍，应该是 50× 2=100(岁)；这个 100 岁是老龟的年龄加上 20 后 得到的，那么老龟的年龄应该是 80 岁． （法 2）设老龟今年 x 岁．依题意有[(x+20)÷ 2―15]× 3=105．解得 x=80．4. 小红、小华和小刚各有一些故事书，小红给小华 3 本，小华给小刚 5 本后，三个人的书的本数同样多. 小华原来比小刚多多少本? 分析： （倒推法）5+(5-3)= 7(本).成长故事老鹰和火鸡 有一群火鸡看着老鹰张著翅膀自由自在地在天上翱翔，十分的羡慕．于是和老鹰的头头商量是否能够 派一个教练来教他们飞行的方法，老鹰头头爽快的答应下来． 老鹰教练很有耐心地教导火鸡张开翅膀学飞行：翅膀张开，用力地拍！火鸡们在老鹰教练的大力指导 下拼命地张着翅膀、用力地拍，它们好高兴自己会飞了，虽然飞得不是很高，但是它们已经会飞了！ 太阳西下，该是下课回家的时候了，老鹰教练对它们说：你们今天好棒！你们都飞得很好，你们可以 飞了！太阳下山了，我也要回家了！结果呢？老鹰是飞着回家，火鸡仍然是走路回家． 第四讲行程问题初步在春季班时我们已经学习了简单的行程问题――相遇问题的基本类型（两人单次直线相遇） ，同学们， 你们还记得做行程问题的基本工具是什么吗？没错，就是画“线段图”.今天我们将学习更加复杂的相遇 问题.先来回顾一下相遇问题的基础知识吧！你还记得吗？1. 团团和圆圆同时从甲、乙两个书店相对出发，团团每分钟走 460 米，圆圆每分钟走 480 米．3 分钟后 两人相遇．甲、乙两个书店相隔是多少千米？ 分析： （法 1）根据公式：总路程=速度和×相遇时间，所以甲、乙两个书店的路程是（460+480）×3=2820 （米） ． （法 2）如图，还可以先分别求两人各走了多少再相加，460× 3+480×3=2820（千米） ．2. 胖胖和瘦瘦两家相距 255 千米，两人同时骑车从家出发相对而行，胖胖每小时行 45 千米，瘦瘦每小 时行 40 千米．两人相遇时，胖胖和瘦瘦各行了多少千米？ 分析：255÷（45+40）=3（小时） ．胖胖：45×3=135（千米） ，瘦瘦：40×3=120（千米） ．3. 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河， 一天， 他们约好在流沙河见面， 孙悟空的速度是 200 千米／小时．猪八戒的速度是 150 千米／小时，他们同时出发 2 小时后还相距 500 千 米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？ 分析：建议教师画线段图．我们可以先求出 2 小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)， 又因为还差 500 米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)．4. 甲乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行 1 小时，甲车每小时行 48 千米，乙车每小时 行 5O 千米，5 小时相遇．求 A、B 两地间的距离． 分析：这题不同的是两车不“同时” ． （法 1 ）求 A、B 两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这 样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48×（1＋5）＝288（千米） ，5O×5＝25O （千米） ，288＋25O＝538（千米） ． （法 2 ）还可以先求出甲、乙两车 5 小时所行的路程和，再加上甲车 1 小时所行的路程． （48＋5O）×5 ＝49O（千米） ，49O＋48＝538（千米） ． 暑假精讲【例1】 两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小 时后两车还相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 5O 千米．求 A、B 两地间相距多少千米？ 分析： （48＋5O）×5＝49O（千米） ，49O＋48×3＋15＝649（千米） ，A、B 两地间相距 649 千米．【例2】 甲乙两列火车从相距 144 千米的两地相向而行，甲车每小时行 28 千米，乙车每小时行 22 千 米，乙车先出发 2 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇? 分析：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所 行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速 度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22×2=44(千米)甲、乙两车同时相对而行 路程 144-44=100(千米)，甲、乙两车速度和：28+22=50(千米)，甲车行的时间：100÷50=2(小时)．【例3】 甲乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 41 千 米，乙车先出发 2 小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇? 分析：甲乙两车出发时间有先有后，乙车先出发 2 小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这 2 小时所行 的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度 和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41×2=82(千米)甲、乙两车同时相对而行路 程 770-82=688(千米)，甲、乙两车速度和：45+41=86(千米)，甲车行的时间：688÷86=8(小时)．【例4】 甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米．两人相遇时乙比甲 少行 3 千米．两地相距多少千米？ 分析：两人行驶的时间为 3÷（5-4）=3 小时，所以两地相距(5+4)×3=27 千米.【例5】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行 18 千米，王亮每小时行 16 千米， 两人相遇时距全程中点 3 千米．问全程长多少千米? 分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数量关系．依题意作行程草图如下：李明走了全程的一半多 3 千米，王亮走了全程的一半少 3 千米，李明比王亮实际多走了 3×2=6(千米)．由 已知李明每小时比王亮多走 18―16=2(千米)， 那么多少小时李明比王亮多行 6 千米呢?需要 6÷2=3(小时)， 这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求出了．全程(18+16)× 3=102(千米). 【例6】 两地相距 900 米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟? 分析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行， 把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间．乙到达目标时所用时 间：900÷100=9(分钟)甲 9 分钟走的路程：80×9=720(米)甲距目标还有：900―720=180(米)相遇时间：180 ÷(100+80)=1(分钟)，共用时间：9+1=10(分钟). 简便解：画图可知两人总共走了 2 个全程，所以总全程为 1800，所以时间为 1800÷(80+100)=10 分钟．【例7】 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行．甲每分钟走 66 米，乙每分 钟走 59 米．经过几分钟才能相遇? 分析：500÷（66+59）=500÷125=4 分钟.【例8】 阿呆和阿瓜同时从距离 20 千米的两地相向而行， 阿呆每小时走 6 千米， 阿瓜每小时走 4 千米. 阿瓜带着一只小狗，狗每小时走 10 千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边 走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米? 分析：要求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少，这些量无法确知， 所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加．仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不 论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间．所以，只要求出两 人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程．这样，问题就转化为阿呆和阿瓜两人相遇时间的问题．相 遇时间 20÷ (6+4)=2（小时)，狗共跑路程 10×2=20(千米).【例9】 甲骑自行车每小时行 18 千米，乙步行每小时行 6 千米，如果两人同时在同一地点同一方向出 发，甲走了 48 千米到达某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇.问：从出发到相遇共经过多少时间？ 分析：由题意知，甲走了 48 千米到达某地说明全程为 48 千米，甲乙从出发到相遇共行了两个全程，则再 依两人的速度和， 求出相遇时间.所以甲乙速度和为 18+6=24 （千米） .甲乙的相遇时间为 48×2÷24=4 （小 时）.【例10】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出， 摩托车每小时行 54 千米． 汽车每小时行 48 千米.两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回.汽车到甲地立即返回.两车在距离中 点 108 千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？ 分析：第二次相遇距中点 108 千米，说明两车共有 108×2=216（千米）的路程差，由此可知两车共行 216 ÷（54-48）=36（小时）.又因为第二次相遇两车共走了 3 个全程，所以走一个全程用 36÷3=12（小时）. 记可求出甲乙两地的路程是（54+48）×12=1224（千米）. 附加内容【附1】 有一个自行车队， 以每小时 35 千米的速度前进， 甲选手突然发力， 以每小时 45 千米的速度前进， 车队速度不变，当甲选手行进了 10 千米后掉头返回，问再过多久可以与自行车队相遇？ 分析：甲走 10 千米的时间为 10 ? 45 ?2 2 （小时 ） ， 车队走的时间也是 （小时 ） ， 车队走的路程是： 9 9 2 70 70 20 35 ? ? ? （千 米） ，此 时车队与甲相距 10 ? （ 千米） ，甲掉头返回与 车队相遇 的时间为 9 9 9 9 20 1 ? (35 ? 45) ? （小时 ） ． 9 36【附2】 甲乙两人同时从 AB 两地相向而行， 第一次相遇在距 A 地的 75 米， 两人到达 AB 后又立即返回， 第二次相遇距离 B 地 50 千米．求 AB 两地的距离． 分析：相同时间内（两个人都没有停过） ，两个人每走过与全程的距离相等的时候，所经过的距离都和第 一次相遇时所走过的距离是相等的．在第二次相遇时两个人一共走了相当于三个全程的距离，这时甲应该 是走过了 75×3=225（千米） ，而从图上可知甲走过全程后又走过 50 米，所以全程距离应该是 225-50＝ 175 千米.大显身手1. 某工程兵修铁路开凿山洞的长是 300 米，两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出 5 米，乙班每天凿 出 6 米，同时开凿多少天后，还差 80 米没有凿通？ 分析： （300-80）÷（5+6）=20（天）.2. 两列货车从相距 450 千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行 38 千米，乙货车每小时行 40 千米， 同时行驶 4 小时后，还相差多少千米没有相遇？ 分析：450-（38+40）×4=138（千米）.3. 甲乙两列客车同时由相距 680 千米的两地相对出发， 甲客车每小时行 42 千米， 经过 8 小时后相遇． 问 乙列客车每小时行多少千米？ 分析：680÷8-42=43（千米/时）. 4. 甲乙两列火车从相距 366 千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 37 千米，乙列火车每小时行 36 千米，甲列火车先开出 2 小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？ 分析： （366-37×2）÷（37+36）=4（小时）.成长故事砌墙工人的命运 三个工人在砌一堵墙． 有人过来问： “你们在干什么？” 第一个人没好气地说： “没看见吗？砌墙． ” 第 二个人抬头笑了笑，说： “我们在盖一幢高楼． ” 第三个人边干边哼着歌曲，他的笑容很灿烂开心： “我们 正在建设一个新城市． ” 10 年后，第一个人在另一个工地上砌墙；第二个人坐在办公室中画图纸，他成 了工程师；第三个人呢，是前两个人的老板． 第五讲奇数与偶数春季班我们在学习能被 2，3，5 整除的数的特征时介绍能被 2 整除的数的个位数是 0，2，4，6，8， 称为偶数；不能被 2 整除的数的个位数是 1，3，5，7，9，称为奇数.那么今天我们就具体来学习一下奇数 与偶数的重要性质.你还记得吗？1. 不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数： (1)1＋2＋3＋?＋9＋10； (2)1＋3＋5＋?＋21＋23； 分析：(1)奇数；(2)偶数.2. 不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？ 分析：根据奇偶数的运算性质：因为 524，42 是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为 429 是奇数，所以 (524+42-429)是奇数. 提示：在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数 的个数是奇数，则结果是奇数. 同奇偶性：任何数的和与差奇偶性相同 老师可以举例说明：7-4=3，7+4=11 结果都是奇数． 3. 1×3×5×7×9×11×12×13 的积是偶数还是奇数？ 分析： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13 都是奇数， 由 1×3 为奇数， 推知 1×3×5 为奇数??推知 1×3×5×7×9×11×13 为奇数.因为 12 为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13)×12 为偶数，即 1×3×5×7×9×11×12×13 为 偶数.4. 在 1～199 中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？ 分析：由于 1，2，3，4，?，197，198，199 是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3， 4) ，?， (197 ， 198) ，还 剩一个 199 ，共 有 198÷2=99( 对 ) ，还剩 一个奇数 199. 所以奇数 的个数 =198÷2+1=100(个 ) ，偶数的个数=198÷2=99(个 ). 因为每对中的偶数比奇数大 1 ， 99 对共大 99 ，而 199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大 100. 暑假精讲奇数和偶数的表示方法： 偶数表示方法：如果我们用 n 表示整数，n=0，1，2，3，??那么 2×n 就表示偶数，简写成 2n． 奇数表示方法：因为 2n 为偶数，比 2n 多 1 或少 1 的数为奇数．所以我们用 2n+1 或 2n-1 表示 奇数． 【例1】 从公元 1 年开始到 2 年，3 年，一直到 2000 年，在这些年份当中，请问有多少奇数年?有多少 个偶数年? 分析：我们把这些年份，按顺序排成一列数：1，2，3，4，5，6，??.不难发现：这些数， 奇数、偶数先后依次交替出现，最先是奇数，最后是偶数，可见奇数和偶数一样多，而奇数和偶数一共有 2000 个，所以本题答案显而易见了．因为奇数年份和偶数年份一样多，它们一共有 2000 个，所以，奇数 年份和偶数年份各有 0(个)，即奇数年份 1000 个，偶数年份也是 1000 个.【例2】 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段 数是偶数还是奇数？ 分析：奇数．分成的线段数比断口数多 1．【例3】用数字 1，3，0 可以组成多少个奇数和偶数?分析：因为偶数的个位是偶数，所以只有 0 可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有 1 和 3 可作个位数组成奇数．偶数有：0，10，30，130，310 共 5 个；奇数有：1，3，13，31，103，301 共 6 个．注意 0 不可以作首位数．【例4】 999？任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于分析：不能．两数和为 999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字 的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而 9+9+9=27 是奇数， 矛盾．【例5】 在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来， 填在这个方格中，例如 a=5+3=8．问：填入的 81 个数字中是奇数多还是偶数多? 分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多 少．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢 答中取胜．我们应该从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多 1 个．所以前 8 行中奇偶数一样，余下第 9 行奇数行，答案可脱口而出．偶数多． [拓展] 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的 81 个数 中是奇数多还是偶数多? 分析：奇数行奇数多 1 个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．【例6】 小明爷爷钓鱼回来，小明问： “爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提 起鱼杆共 100 次，可是有 17 次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少 鱼呀? 分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等．其总次数必为 偶数，故可被 2 整除．于是收回鱼杆次数为 100÷2=50(次)，收回鱼杆 50 次有 17 次没钓着鱼，所以共钓 鱼 50-17=33（条）.奇数和偶数的运算性质 奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数； 奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数； 奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数 奇偶数加减法的几个常见结论． 结论 1：任意个偶数的和是偶数． 我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多 1 个就接着加．即：(偶数+偶数)+(偶数+偶数)+?+(偶数+偶数)=偶数+偶数+?+偶数=(偶 数+偶数)+?+偶数=偶数+偶数=偶数. 结论 2：奇数个奇数的和为奇数． 假设有 2n+1 个奇数，那么我们把前面 2n 个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可 知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结 果为奇数． 结论 3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数【例7】1+3+5+7+9+?+1997 的和是奇数还是偶数?分析：由 2n-1=1997 得 n=999 为奇数，由结论 2 可知：它们的和为奇数．从上面的证明中，我们不难知道： 偶数个奇数的和为偶数．显然：1+3+5+7+9+?+ 为偶数．【例8】（古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？分析：根据奇数的运算性质知，9 个奇数的和仍是奇数，36 是偶数，所以不能. 【例9】 桌子上有 5 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 4 个，问能否经过若干次翻动， 使得 5 个杯子的开口全都向下？ 分析：不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5 个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇 数次杯子，而每次同时翻动 4 个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把 5 个杯子的开口全 都向下．【例10】一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么？分析：两人握手一次，每人算一次就是 2 次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加数中奇数的 个数决定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.【例11】有一本 500 页的书，从中任意撕下 20 张纸，这 20 张纸上的所有面码之和能否是 1999？分析：不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20 个奇数之和是偶数．附加内容【附1】 如果有 9 个人坐在 3 行 3 列的座位上，要想把这 9 个人同时调到各自的临座上（每个座位的前后 左右位置上） ．是否可能？答案：不可能，因为奇数和偶数不相等【附2】 数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55??的排列规律:前两个数是 1，从第三个数开始，每 一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前 2004 个数中共有几个偶数？ 分析：根据奇数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶． ． ． ．这样的变化规律， 所以 2004 个数有
个偶数.【附3】 有 12 张卡片，其中有三张上面写着 1，三张写着 3，三张写着 5，三张写着 7．问：能否从中选 出五张，使它们上面的数字之和为 20？为什么？ 分析：不能．5 个奇数的和是奇数，不可能等于 20． 【附4】 沿江有 1，2，3，4，5，6 号六个码头，相邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从 1 号 码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍晚，甲船停泊在 6 号码头，乙船停泊在 1 号码头．请 说明甲、乙两船的航程不相等． 分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从 1 号码头出发又回到 1 号码头，其航程必为偶数个单位； 甲船从 1 号码头出发，最终泊在 6 号码头，其航程必为奇数个单位．大显身手1. 用数字 9，8，0 可以组成多少个奇数和偶数？ 分析：3 个奇数 9，89，809；8 个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.2. 请你帮嘟嘟检查一下他算的结果对不对：25×37+38+=2285. 分析：错．用奇偶的运算性质判断.3. 两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由. 分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.4. 桌子上有 3 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的两个，问能否经过若干次翻动，使得三 个杯子的开口全都向下？ 分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次，三个杯子都要翻过来，则是 3 个奇数相加，和为奇数，因此，要 把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动两次，那总次数永远不可能是奇数，因 此不能把三个杯子的开口全都向下．成长故事有一天，著名科学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说： “我经常听到你在车 中预备演讲，听得多了，我也可以一字不漏地背念出来． ”爱因斯坦听罢就说： “那就好极了，我昨日整天 都在做研究工作， 疲倦得很， 况且邀请我演讲的机构与我素未谋面， 你大可替我演讲， 我做你的司机好了． ” 演讲当晚，司机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后 排的爱因斯坦，也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问 题，那当然是司机的演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定 神闲地开始回答说： “年青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你 不信的话，我可以证明给你看．这问题简单得连我的司机也懂得如何回答． ”跟着，司机便邀请爱因斯坦 上台作答，并且在掌声雷鸣之下离开会场． 第六讲计数问题今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计数问题，尤其是图形计数看起来不难， 但大多数同学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获！暑假精讲【例1】数一数：右图中线段的总条数．分析： （法 1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数， 由 1 个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5 条 ． 由 2 个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4 条． 由 3 个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3 条． 由 4 个基本线段构成的线段有：AE、BF 2 条． 由 5 个基本线段构成的线段有：AF 1 条． 总数 5+4+3+2+1＝15 条． （法 2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致） ，如右图 以 A 点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5 条． 以 B 点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4 条． 以 C 点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3 条． 以 D 点为共同左端点的线段有： DE DF 2 条． 以 E 点为共同左端点的线段有： EF 1 条． 总数 5+4+3+2+1＝15 条．【例2】数一数，右图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？分析： （法 1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样 分类数： 由 1 个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF 共 5 个． 由 2 个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF 共 4 个． 由 3 个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF 共 3 个． 由 4 个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF 共 2 个． 由 5 个基本角构成的角有：∠AOF 共 1 个． 角总数 5+4+3+2+1=15(个)． （法 2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致） ： 以 OA 边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF 共 5 个． 以 OB 边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF 共 4 个． 以 OC 边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF 共 3 个． 以 OD 边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF 共 2 个． 以 OE 边为公共边的角有：∠EOF 只 1 个． 角总数 5+4+3+2+1=15(个)． 【例3】数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？分析： （法 1） 1 个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF 共 5 个； 2 个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF 共 4 个； 3 个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF 共 3 个； 4 个三角形组成的：△AOE、△BOF 共 2 个； 5 个三角形组成的：△AOF 共 1 个； 共有 5+4+3+2+1=15（个）. （法 2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形． 以 A 点为共同左端点的线段有 5 条，即有△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF 共 5 个三角形； 以 B 点为共同左端点的线段有 4 条，即有△AOC、△BOD、△COE、△DOF 共 4 个三角形； 以 C 点为共同左端点的线段有 3 条，即有△AOD、△BOE、△COF 共 3 个三角形； 以 D 点为共同左端点的线段有 2 条，即有△AOE、△BOF 共 2 个三角形； 以 E 点为共同左端点的线段有 1 条，即有△AOF 共 1 个三角形； 共有 5+4+3+2+1＝15（个） ．【例4】数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？分析： （法 1）以 1 个长方形组成的；以 2 个长方形组成的??教师可参看数线段、角、三角形的方法 1． （法 2）先数一数 AB 边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一数 AD 上有多少条 线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长方形，这样就容易 得出一共有多少个长方形了． 先来看图(1)，AB 边上包含着的 10 条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段 AD 对应，惟一确 定一个长方形，所以图(1)中共有 10×1=lO 个长方形． 再来看图(2)，与图(1)不同的是在 AD 上增加了一个分点，这样就有 3 条线段时，这 3 条线段分别与 AB 边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有 10×3=30 个长方形． 最后看图(3)，与上面的思路相同，由于 AD 边上有 3+2+1=6 条线段，所以图(3)中共有 10×6=60 个长 方形．即：(1)(4+3+2+1)×1=10(个)；(2)(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．【例5】数一数：右图中有几个正方形？分析： （法 1）边长为 1 的正方形有 12 个，边长为 2 的正方形有 6 个，边长为 3 的正方形有 2 个，共 20 个．即 4×3+3×2+2×1=20 （法 2）请教师参看数长方形的法 2． 【例6】数一数，右图中共有多少条线段？分析： “个人” ：BF、CG ； “集体 1” ：EH 系列，共 3+2+1=6 （条） ； “集体 2” ：AD 系列，共 3+2+1=6 （条） ； 所以共 14 条．【例7】数一数，右图中三角形共有几个？分析：27 个．【例8】从 1-10 里取 2 个不同的数，使得这 2 个数的和大于 10，请问有多少种不同的取法？分析： （法 1）按较小的数来分类， 1） 若较小的数是 1，则较大的数必须是 10 有 1 种取法 2） 若较小的数是 2，则较大的数是 9 或 10 有 2 种取法 3） 若较小的数是 3，则较大的数是 8，9，10 有 3 种取法 4） 若较小的数是 4，则较大的数是 7，8，9，10 有 4 种取法 5） 若较小的数是 5，则较大的数是 6，7，8，9，10 有 5 种取法 6） 若较小的数是 6，则较大的数是 7，8，9，10 有 4 种取法 7） 若较小的数是 7，则较大的数是 8，9，10 有 3 种取法 8） 若较小的数是 8，则较大的数是 9，10 有 2 种取法 9） 若较小的数是 9，则较大的数是 10 有 1 种取法 综上所述，共有 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种不同取法． 分析： （法 2）若从大的开始考虑：先取 10，那么另一个数就有 1―9 总共 9 个数字可以取，再取 9，那么 另一个数就有 2～8 总共 7 个数字可以取这样就是一个等差数列，所以总共就是 9+7+5+3+1=25 种．【例9】一个两位数的两个数字之和是 7 的倍数，这样的两位数有几个？分析：数字之和是 7 的倍数有 2 种可能，要么是 7 要么是 14，因此我们要分 2 类来枚举 第一类：数字和是 7，那么这样的两位数有 70 61 52 43 34 25 16 共 7 个； 第二类：数字和是 14，那么这样的两位数有 95 86 77 68 59 共 5 个， 综上所述，这样的两位数有 12 个.【例10】 商店里有 100 克的茶叶 3 包 300 克的茶叶 2 包，400 克的茶叶一包 500 克的茶叶 2 包，小明 要到商店给爷爷买 1 千克茶叶，在不打开包装的情况下，请问售货员阿姨有多少种不同的方法把茶叶交 给小明？ 分析：要凑 1000 克茶叶不难，关键是要做到不重复不遗漏，因此我们按一定的次数来凑. 1）500+500， 2）500+400+100， 500+300+100+100， 3）400+300+300， 400+300+100+100+100，得到共有 5 种方法. 附加内容【附1】 如图，有多少个三角形？ 分析：分类法，15 个.【附2】 如图，有多少个正方形？ 分析：27 个.大显身手1．数一数，图4－１中共有多少条线段? 分析：10 条．2．数一数，图中有多少个三角形? 分析： （1）5 （2）6 （3）6 （4）53．分别数出图中各图形里长方形的个数．分析： （1）6 （2）104.图中有多少个正方形? 分析： （1）5 （2）17成长故事有一群朋友去郊游，走到一半的时候，却发现迷路了，折腾了大半天的时间，大伙又饿又累，终于看 到了一个小山丘，走在前面的人很高兴地登上了山顶，向山下眺望时，隐约地看到远处有一个招牌，上面 写着一个大大的“骨”字，于是他大声吆喝着： “伙伴们，前面有我们的希望，大家赶快冲啊！我看到远 处有一家排骨饭的店，我们有排骨饭可以吃了！ ”大伙一听有排骨饭可吃，卯足了劲往前冲． 到了距离招牌约五十米之处时，全部的人都瘫在地上，露出失望的表情，原来招牌上写着是『接骨馆』 三个字． 第七讲体育比赛中的数学我们看看下面的问题：二年级四个班进行小足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几 场?一共要进行多少场比赛? （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为循环赛）这个问题就是 我们这节课将要学习的有趣的体育比赛中的数学问题．暑假精讲【例1】 我们可以将上面的问题如下表述： 下面的四个点， 每两个点之间都连 一条线段，那么，从一个点可以连出几条线段?一共可以连多少条线段? 分析： （法 1）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点 A(如图)，它与 B、 C、D 三点能且只能连接三条线段 AB、AC、AD；同样，从点 B 也可以连出三条线 段 BA、BC、BD；从点 C 可以连出三条线段 CA、CB、CD；从点 D 可以连出三条线 段 DA、DB,DC．因此，从一个点可以连三条线段．从每个点都连出三条线段，共 有四个点．3×4=12(条) 注意到线段 AB 既是由 A 点连出的，也是由 B 点连出的，并且每一条线段都是这 样(如图)，所以，线段的总数应为 12÷2=6(条). （法 2）从点 A 引出三条线．AB、AC、AD，为避免重复计数，从 B 点引出的线段 只计 BC、BD 两条，由 C 点引出的只计 CD 一条．因此，线段的总数为 3+2+1=6(条)．【例2】甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果 3 人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场?分析：三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行 2×3÷2=3 场比赛．每场比赛都有一人获胜，每人 都赛 2 场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为 2、1、0．显然，第一名是胜 了 2 场．【例3】甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场?分析：甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛 3 场，共赛 3×4÷2=6(场)．如果其中有三人都胜 3 场，则至少进行 9 场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜 2 场，那么 6 场比赛中的获胜者都在这三 个人中，每人胜了 2 场，另一个人胜 0 场；如果其中有三人都胜 1 场，那么 6 场比赛中的 3 场这三人各胜 1 场，另外 3 场的胜者必是第四个人，故另一个人胜 3 场；三个人都胜 0 场是不可能的．因此，如果有 3 人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜 0 场，也可能胜 3 场． 【例4】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得 3 分，投不进倒扣 1 分，小明投了 5 个球，投进 了 3 个．那么，他应该得多少分? 分析： （法 1） 小明投的 5 个球中，投进的 3 个球得到 3×3=9(分)， 而没有投进的 2 个球被扣掉 1×2=2(分)， 于是他应得 9-2=7(分)． （法 2）如果小明投的 5 个球都进了，那么他应得 3×5=15(分)，但是实际上他只投进了 3 个球，未投进 的 2 个球中每个球都由得 3 分变为扣 1 分， 多计 3+1=4 分， 共多计了 4×2=8(分)， 故小明应得 15-8=7(分).【例5】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得 3 分，投不进倒扣 1 分，如果大明得 30 分，且知 他有 6 个球没有投进，那么大明共投了几个球? 分析：大明有 6 个球没有投进，要被扣掉 6 分，如果不考虑这 6 个球，大明应该得 30+6=36(分)，36÷ 3=12(个)，所以，大明投进了 12 个球，加上未投进的 6 个球，大明共投了 18 个球．【例6】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得一分，负一场得 0 分，有一个队 没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请 你说明理由． 分析：有可能 A,B,C,D 四个队 A 胜 B ,B 胜 C,C 胜 A,D 和 A,B,C 都打平.这样的话 A,B,C 都是 4 分，D 是 3 分，D 虽然不败但却难逃垫底厄运．【例7】 四个人进行象棋循环赛，规定胜者得 2 分，负者得 0 分，和棋双方各得 1 分，比赛结束后统 计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？ 分析：根据例 1 的结果，四个人循环比赛总共比赛六场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定 是 2 分，因此最终四个人的得分加起来一定是 2×6=12 分．【例8】8 只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？分析： （法 1）8 进 4 进行了 4 场，4 进 2 进行 2 场，最后决赛是 1 场，因此共进行了 4+2+1=7 场比赛 （法 2）每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了 7 只球队，因此进行了 7 场比赛．【例9】 甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得 2 分，平局各得 1 分， 输者得 0 分.结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 分析：根据比赛结果只能 2 种情况：第一种，甲全胜得 6 分，丁全负得 0 分，乙、丙各得 3 分；第二种， 甲只负丁，甲得 4 分，丁得 2 分，乙、丙各得 3 分.所以，乙得 3 分. 附加内容【附1】 假设 2032 年奥运会主办权由 51 个国家投票，北京，纽约，东京 3 个城市作为侯选城市，统 计其中 40 张选票数的结果是：北京得 18 票，纽约得 12 票，东京得 10 票．北京至少再得几张票，才能保 证以得票数最多获得奥运会主办权？ 分析：还剩下 51-18-12-10=11 张，北京再得 3 张票的话，自己有 18+3=21 张，而纽约最多只有 12+8=20 票，日本不足为虑．北京可以保证获得主办权．而北京只得 2 张票的话，万一剩下 9 张全被纽约得到，那 么纽约将以 21 比 20 击败北京．因此北京至少再得 3 张票，才能保证以得票数最多获得奥运会主办权． 【附2】 参加世界杯足球赛的国家共有 32 个（称 32 强） ，每 4 个国家编入一个小组，在第一轮循环 赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出 16 强后，进入淘汰赛，每 两个国家用一场比赛定胜负，产生 8 强、4 强、2 强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本 届世界杯的所有比赛结束． 根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？ 分析：循环赛中，有 32/4=8 个组．每组 4 个队． 每组 4 个队中，每个队要与其他 3 队都比赛 1 场，每个 队就比 3 场．因为每场比赛要 2 个队．所以 1 组里有 4×3/2=6 场．有 8 个组，循环赛就有 8×6=48 场．进 入淘汰赛，有 16 个队，淘汰赛每比 1 场就淘汰 1 个队，最后决出冠军 1 个队，就比了 16-1=15 场，还要 决出第三名，第四名，又多了 1 场．淘汰赛就有 15+1=16 场．世界杯的足球赛全程共有 48+16=64 场．大显身手1. 二年级六个班进行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛?一共要进行几场比赛? 分析：5 场，15 场．2. 某班举行乒乓球循环赛， 小明是裁判小组的组长． 妈妈问他有多少名选手参赛， 小明想了想对妈妈说： “总共要进行 28 场比赛，您说有几名选手参加呢?”你能回答这个问题吗? 分析：28=7+6+5+4+3+2+1,所以 8 名选手．3. 有 8 个选手进行乒乓球循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局? 分析：7 场．4. 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果甲、乙、丙三人胜的场数相同，而且知道甲胜了丁，问 丁胜了几场? 分析： 0 场． 成长故事青蛙的故事 如果把一只青蛙放在滚烫的热水中，青蛙会很快的从水中跳出．但是如果把一只青蛙放在湿水里，再慢慢 地将水加热，等到青蛙发现水太烫的时候，它已经跳不出来了． 第八讲期中测试同学们，半学期过去了，让我们在回顾的基础上，跟随小新进入美妙的数学天地吧！ ！ 第一节、小试身手吧（20 分） 1、1+3+5+7+9+?+197 的和是奇数还是偶数? 解：奇数 2、78×99 解：00÷25÷4 解： 78 4、2007× 16× 125×25× 5× 4 解：第二节、加油哦！ （80 分） 1、提高班的小新问爷爷多大年龄，爷爷说： “这样吧，你暑假都学了一半了，我出道题吧！如果你学的好， 就能答出来，我今年的年龄是把我的年龄加 17，然后用 4 除，减 15，再用 10 乘，恰巧是 100 岁． ”请问 你知道小明的爷爷几岁？ 解：832、回答完爷爷的问题后，爷爷又给小新出了一道加法题，由于粗心，小新将个位上的 4 看作 8，把十位 上的 7 看作 2，结果所得的和是 123．请问正确的答案是多少? 解： （倒推法）把个位上的 4 看作 8，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上的 7 看作 2， 相当于把正确的和少算了 50， 求正确的和， 应把 50 加上去． 所以正确的和是 123+50- 4=169． 即： 123+(80-30)- (9-5)=169.3、第二天小新去参加班级的象棋比赛，老师告诉同学们：所有参赛队员每两人都要赛一场，共比赛了 36 场，问有多少个队员参赛? 解： 1+2+3+…+?=36 中的?是几．经过试验可知：?=8．所以应有 9 个参赛队．4、回到学校后，学而思老师给每个同学发本子，若每人分 5 本则多 9 本；若每人分 6 本则少 6 本．问： 有多少个小朋友？总共有几本？ 解： （9+6）÷（6-5）=15 人，总共有 15×5+9=84 本． 5、期中考试之前，小新前几次数学测验的平均分是 84 分，这一次要是考了 100 分，就能把平均分提高到 86 分，则这一次是第几次测验？ 解：第 8 次6、考试后，小新问了其他人的分数，已知 A、B、C、D 四个数的平均数是 38，A 与 B 的平均数是 42，B、 C、D 的平均数是 36，则 B 是多少？ 解：40 分7、等老师分析完试卷后，小新发现自己还是有道题目不对，请你帮他数一数下图中有多少个正方形解：还是分类，这次我们按正方形的边长来分类 边长为 1 的正方形有 9 个 边长为 2 的正方形有 4 个 边长为 3 的正方形有 1 个 因此该图里共有 9+4+1=14 个正方形8、等小新吧所有的都弄懂了，小新就乘车回家，这是司机叔叔给小新除了道难题：一辆公共汽车和一辆 小轿车同时从相距 450 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小轿车每小时行 50 千米，问几 小时后两车第一次相距 180 千米? 解： （450-180）/（40+50）=3 小时.思考题： （两题中任选一题，总分 20 分） 1、甲乙丙共有 100 本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是 5，而且余数都 是 1．那么乙有书多少本？ 解：甲的本数除以乙的本数，商 5 余 1，说明甲是乙的 5 倍多 1，丙的本数除以甲的本数，商 5 余 1，说 明丙是甲的 5 倍多 1， 是乙的 25 倍多 6 （5+1） ， 因此， 这是一个和倍问题． 乙的本数= （100-1-6） / （1+5+25） =3 本． 2、从 1-10 里取 2 个不同的数，使得这 2 个数的和大于 10，请问有多少种不同的取法？ 解：按较小的数来分类， 10） 若较小的数是 1，则较大的数必须是 10，有 1 种取法 11） 若较小的数是 2，则较大的数是 9 或 10，有 2 种取法 12） 若较小的数是 3，则较大的数是 8，9，10，有 3 种取法 13） 若较小的数是 4，则较大的数是 7，8，9，10，有 4 种取法 14） 若较小的数是 5，则较大的数是 6，7，8，9，10，有 5 种取法 15） 若较小的数是 6，则较大的数是 7，8，9，10 有 4 种取法 16） 若较小的数是 7，则较大的数是 8，9，10 有 3 种取法 17） 若较小的数是 8，则较大的数是 9，10 有 2 种取法 18） 若较小的数是 9，则较大的数是 10 有 1 种取法 综上所述，共有 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种不同取法． 第九讲余数与周期在整数除法运算中， 除了春季班学过的整除情形外， 更多的是不能整除的情况， 例如 65÷3， 38÷5?， 不能整除就产生了余数，通常表示为 65÷3=21?2，38÷5=7?3，其中 2 和 3 就是余数，即被除数÷除数 =商??余数；上面两个算式还可以写成 65=3×21+2，38=5×7+3，即被除数=除数×商+余数，通常把这 一算式称作带余除式. 今天我们就来学习余数问题以及与它紧密相连的周期问题吧！你还记得吗？1. 填空：(1) ( )÷3=2??1 (2) 25÷( )=6??1 分析：(1)2×3+1=7，2×4+1=9 ( )÷2=4??1 30÷( )=4??2 24÷6=4；30-2=28 28÷4=7.（2）25-1=242. 找出下面图形的排列规律，根据规律算出第 16 个图形是什么?分析： （1）这一排图形是一个△，两个○，这样三个图形为一个组，不断重复出现的.先算 16 个图形里面 有几组这样的图形，16÷3=5（组）??1（个） ，余数是 1，这一个图形是第 6 组的第一个，应该是△. （2）这一排图形是一个○，一个△，两个□，这样四个图形为一个组，不断重复出现的.先算 16 个图形 里面有几组这样的图形，16÷4=4（组） ，没有余数，那么第 16 个图形是第 4 组的第四个，应该是□.3. 有一堆围棋子，按“二黑三白”的顺序排列起来，想一想，第 52 个是白子还是黑子?第 63 个呢? ●●○○○●●○○○●●○○○?? 分析：52÷5=10（组）??2（个） ，第 52 个棋子是黑色的；63÷5=12（组）??3（个） ，第 63 个棋子是 白色的.4. 按“从小爱数学从小爱数学从小爱数学??”依次排列，第 56 个字是什么? 分析：这一列数字是按“从小爱数学”每五个字一组重复出现的，56÷5=11??1，那么第 56 个字应该是 第 12 组的第一个字是“从”. 暑假精讲余数的几个重要性质： 性质 1：在带余除式中，余数总是比除数小. 性质 2：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么 A、B 两数之和被这个除数 除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数. 性质 3：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么 A、B 两数的积被这个除数 除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数.【例1】 杨老师把 1～40 号拼音卡片，依次发给小伟、小冬、小军、小辉、小燕，问第 27 张卡片应发给 谁？ 分析：这些卡片按从小到大，每 5 个数为一个周期.27÷5=5??2，余数是 2，也就是说，第 27 张卡片发 给小冬. 【例2】 运动场上有一排彩旗，共 34 面，按三面红旗，一面黄旗依次排列着，这些彩旗中，红旗有几面? 黄旗有几面? 分析：34÷（3+1）=8??2，红旗有：3×8+2=26（面） ，黄旗有 1×8=8（面）.【例3】 2007 年 5 月 1 日是星期三，再过 20 天是星期几? 分析：20÷7=2??6，从星期四开始算，第 20 天应该是第三周的第 6 天，应该是星期二.【例4】 我国十二生肖的顺序是这样排列的：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．如果 公元 1 年是鸡年，那么公元 2002 年是什么年? 分析： 我们把这十二种动物看作是一个周期， 公元 1 年是鸡年， 到公元 2002 年就是再经过 1(年)， 我们算一算 2001 年里含有多少个周期余几年，然后再按着顺序往下推，就知道 2002 年是什么年了． (2002-1)÷12=166??9，我们对照十二生肖的顺序从鸡年开始，按顺序往下推 9 年，便推出 2002 年是马 年了．【例5】 有一列数 5，7，6，8，5，7，6，8，5，7，6，8??问：(1)第 90 个数是多少?(2)这 90 个数的 和是多少? 分析：从题中看出，这一列数是按 5，7，6，8 的顺序循环排列着，我们可以把每 4 个数看成一组，那么 90 个数可以分成 90÷4=22(组)??2(个)，90 个数可分成 22 组还余 2 个数，第二个数是 7．要求 90 个数 的和，先算出每组数的和：5+7+6+8=26，一共有 22 组，然后再加上余下的两个数就可以了；这 90 个数的 和是(5+7+6+8)×22+5+7=584 或者(5+7+6+8)×23-(6+8)=584，即第 90 个数是 7；这 90 个数的和是 584． 【例6】 在算式( )÷15=12??( )中被除数最大是几？最小是几? 分析：这是一道有余数的除法算式，余数最大时，被除数最大；余数最小时，被除数最小．因为除数是 15，所以余数最大就是 14，余数最小{就是 1，由于被除数等于商乘以除数再加上余数，那么，这个问题 就好解决了．(1)被除数最大是 15×12+14=194，(2)被除数最小是 15×12+1=181【例7】 哪些数除以 6，能使商与余数相等． 分析：我们将原题写成○÷6=口??口，在除法中，余数一定要比除数小．除数是 6，余数只能是 5，4， 3，2，l．商与余数相等，所以，商也只能是 5，4，3，2，l，根据“被除数=商×除数+余数” ，就可以求 出被除数．(1)商和余数都是 l 时是 l×6+1=7，(2)商和余数都是 2 时是 2×6+2=14，(3)商和余数都是 3 时是 3×6+3=21，(4)商和余数都是 4 时是 4×6+4=28，(5)商和余数都是 5 时是 5×6+5=35，所以这些数 分别为 7、14、2l、28、35．同时我们不难发现，这些数都是 7 的倍数．【例8】 一个数除以 7 余 3，另一个数除以 7 余 4，这两个数的和除以 7 余几? 分析：我们举个例子加以说明．10÷7=1??3 11÷7=1?4，那么(10+11)÷7=3，从以上的例子可以 看出，两个数的和除以 7 的余数等于这两个加数分别除以 7 的余数的和除以 7 的余数，因为 3+4 能被 7 整 除，所以这两个数的和也能被 7 整除．解：(3+4)÷7=1，所以，这两个数的和除以 7 余 0．【例9】 求 478×296×351 除以 17 的余数． 分析：性质 3 的应用.先求出乘积再求余数，计算量较大．根据性质（5） ，可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数．478，296，351 除以 17 的余数分别为 2，7 和 11， （2×7×11）÷ 17=9??1【例10】 甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌，甲把“大王”插在 54 张扑克牌中间，从上面数下去是第 37 张牌，丙想了想，就很有把握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王” ，你知道丙是怎么算出来 的吗? 分析： “大王”是第 37 张牌，甲、乙、丙、丁四人轮流摸牌，37÷4=9??1，那么“大王”会在第 10 轮 时被第一个人摸到，明白了一个道理，丙就第一个摸牌，就能拿到大王.附加内容 【附1】除以 6，余数是几?分析：我们可以先写几个 l，除以 6，找找规律，看余数是否有规律地重复出现． l÷6=0??l 1l÷6=1??5 11l÷6=18??3 11ll÷6=185??1 Ll1ll÷6=185l??5 Illlll÷6=18518??3 我们发现，余数是按 1，5，3 的顺序重复出现的．也就是每 3 个数为一个周期，我们算一算 1000 个数里 包含多少个周期余几个数，再按顺序往下推就知道结果了．??1.第 1 个数是 l，那么余数 就是 1 了． 除以 6 余数是 1．【附2】 我国古代著名的数学书《孙子算经》中，有这样一道名题： “今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”俗称“韩信点兵”，译为今天的语言就是：一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，适合这个条件的最小的数是多少? 分析：这道题我们采用”枚举法”来解决．“枚举法”就是把每个适合这个条件的数分类罗列出来，从中 发现答案．(1)除以 3 余 2 的数有 215，8，11，14，17、20、23、26??(2)除以 5 余 3 的数有 3、8、13、 18、23、28、33??(3)除以 7 余 2 的数有 2、9、16、23、30、37??从上面三列数可知，第一个在这三 列数中都出现的数是 23，那么适合这个条件的最小的数就是 23．大显身手1. 口÷口=口??8，除数最小是几 分析：性质 1 的应用.除数最小是 9.2. 同学参加学校拔河比赛，他们比赛的队伍按“三男二女”依次排成一队，第 26 个同学是男同学还是 女同学?第 39 个同学是男同学还是女同学? 分析：这一队是按“三男二女”5 人一组不断重复的排列的，26÷5=5（组）??1（个） ，第 26 个同学是 第 6 组的第一个，是一个男同学.39÷5=7（组）??4（个） ，第 39 个同学是第 8 组的第四个，是一个女 同学.3. 园林工人在公园里的花坛里种菊花，他们按一棵白、两棵黄、两棵红的顺序来种，一共种了有 63 棵 菊花，那么白菊花、黄菊花、红菊花各几棵？ 分析：这些菊花是按“一棵白、两棵黄、两棵红“五棵一组为一个周期来排列的 .63÷5=12（组）??3 （棵） ， 这余下的 3 棵是 1 棵白菊花和 2 棵黄菊花.所以白菊花是 12+1=13 （棵） ， 黄菊花是 12×2+2=26 （棵） ， 红菊花是 12×2=24 棵.4. 今年“六一”儿童节是星期五，再过 19 天是星期几? 分析：今年“六一”儿童节是星期五，从“六一”后一天开始排列是星期六、星期日、星期一??，每七 天为一组重复排列.19÷7=2??5，余数是 5，那么再过 19 天就应该是第八组的第 5 个，应该是星期三.成长故事有一只小麻雀飞到森林里，看到了一只孔雀，他觉得孔雀的翅膀是如此美丽，再看看自己这么丑，这 么小的翅膀，自卑感油然而生．到了晚上，小麻雀做了一个梦，在梦里边成了一只美丽的孔雀，正兴高采 烈地展现自己的翅膀时，突然有一只狼迎面扑来，小麻雀努力地振翅想逃，发现自己已经不能飞翔了，吓 得它惊惶醒来．小麻雀心想还好只是个梦．有一天，小麻雀飞到一座高山上，他看到老鹰飞得好高好高，
