直线与圆综合问题的定值问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-02-28 14:21 标签： 直线和圆的对称问题
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直线与圆锥曲线——直线、圆过定点,定值问题.doc 13页
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定点——定值
过定点问题
直线与曲线相交与两点，求证
④如图，抛物线上有两点A（）、B（），且·＝0，又＝（0，－2），
（1）求证：∥
1.（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为
(II)设，由得
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点
综上可知，直线过定点，定点坐标为
已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。 从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得 是方程的两个根， 则，， 即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又， 椭圆的焦点为 ，即 故当时，MN过椭圆的焦点。
3.☆（2010江苏）18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点的直线TA,TB与椭圆分别交于点，，其中.
⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹
⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标
⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)
4.（08江苏）18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
（Ⅰ）求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；
令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．
令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
所以圆C 的方程为.
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）．
同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
5.已知椭圆,点是椭圆上异于顶点的任意一点,过点作椭圆的切线,交轴与点直线过点且垂直与,交轴与点试判断以为直径的圆能否经过定点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.
解:设点,直线的方程为代入,
是方程的两个相等实根,
解得[或根据求导解得]
直线的方程为令,得点的坐标为
又点的坐标为
又直线的方程为令,得点的坐标为
以为直径的圆方程为
整理得由得
以为直径的圆恒过定点和
6.如图，点A，B，C是椭圆的三个顶点，D是OA的中点，P、Q是直线上的两个动点。
（Ⅰ）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上；
（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，请说明理由。
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解：（Ⅰ）由题意，时，直线CD方程为，
直线BP方程为, --------------2分
-----------------------------------3分高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
∴在椭圆上，
∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上．
----------------------------------------5分
（Ⅱ）∵∴，∴，
∴焦点，．
-----------6分
-----------------------------8分
线段PQ为直径的圆圆心是的中点（4，），半径为，
圆的方程为
----------------------------------10分
------------------------------------------12分
以线段为直径的圆恒过．
------------------
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