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高等数学辅导
《高等数学辅导》是2005年10月由出版的图书，作者是上海理工大学高等数学教研室。
高等数学辅导内容提要
每章的内容由如下五部分组：（1）教学要求；（2）内容提要；（3）例题选讲；（4）同步训练；（5）能力测试。书末还附有《高等数学》上、下册的模拟试卷及年全国硕士学位研究生的入学试题。
本书可作为读者学习高等数学的参考读物，也可作为报考硕士学位研究生的复习资料，以及自学考试人员的辅导材料。
高等数学辅导编辑推荐
高等数学是高等院校的一门主干基础课，是教学的重点评估课程之一，也是硕士学位研究生入学考试的全国统考科目。为了适应高等教育发展的需求，帮助读者掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，我们根据多年本科教学和数学研究工作的经验，编写了本书。
《高等数学辅导》是根据国家教委审定的高等工科院校“高等数学课程教学的基本要求”（教学大纲），并按照普通高等教育“十五”国家级规划教材、同济大学应用数学系编写的《高等数学》（第五版）的章节顺序编写的。每章由如下内容组成：一、教学要求：详述大纲对该章知识点的要求。二、内容提要：概述一章内容的要点，知识点串讲，要点诠释。三、例题选讲：通过典型例题分析解答，并以注解的形式归纳总结各种题型的解题方法和需注意的问题，加强有关概念和技能方面的训练，开阔解题思路，提高解题能力。四、同步训练：读者通过自己解题，达到对该知识点加深理解、巩固和提高的目的，所附简答有启发和自查的作用。每章末还附有能力测试A、B上卷及答案，读者可自测对一章知识掌握的程度。打*号的题目是难度较大的题目。书末还分别附有《高等数学》上、下册的模拟试卷及年全国硕士学位研究生的入学试题。
高等数学辅导图书目录
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
第二节 极限
第三节 函数的连续性
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第二章 导数与微分
第一节 导数
第二节 微分
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 中值定理与洛必达法则
第二节 导数的应用
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
第二节 换元积分法
第三节 分部积分法
第四节 有理函数的积分
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
第二节 微积分基本公式与定积分的计算
第三节 反常积分
第四节 反常积分的审敛法 F函数
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第六章 定积分的应用
第一节 平面图形的面积
第二节 体积
第三节 平面曲线的弧长
第四节 变力作功 侧压力 引力
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量代数
第二节 平面与直经理
第三节 空间曲面及曲线
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的极限与连续
第二节 多元函数的微分法
第三节 多元微分法的应用
能力测试题（A）
能力测试题（B）
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念及计算
第二节 三重积分
第十章 曲线积分与曲面积分
第十一章 无穷级数
第十二章 微分方程
模拟试卷一（上册部分）
模拟试卷二（上册部分）
模拟试卷三（下册部分）
模拟试卷四（下册部分）
试卷1（上册部分）
试卷2（下册部分）
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
高等数学辅导新版图书信息
书 名: 高等数学
出版时间： 日
开本： 16开
定价: 35.00元
高等数学辅导内容简介
《高等数学辅导(同济·第6版)(上下册合订本)》主要内容简介：高等数学课程对于大学生来说，其重要性是不言而喻的，被许多部委和省市列为教学的重点评估课程之一。在全国硕士学位研究生考试中被指定为全国统考科目。然而，一方面由于教学改革的实施，高等数学授课时间有所减少，受到时间限制，概念的深入探讨，知识点的融会贯通，知识面的拓展势必受到一定影响；另一方面后续课程以及研究生入学考试对高等数学的要求在教学大纲范围内有深化的趋势。
高等数学辅导图书目录
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 数列的极限
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 函数的极限
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 无穷小与无穷大
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五节 极限运算法则
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第六节 极限存在准则两个重要极限
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第七节 无穷小的比较
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第八节 函数的连续性与间断点
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、基本内容诠释与重要结论归纳
第二章 导数与微分
第一节 导数概念
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 函数的求导法则
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 高阶导数
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五节 函数的微分
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 洛必达法则
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 泰勒公式
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五节 函数的极值与最大值最小值
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第六节 函数图形的描绘
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第七节 曲率
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 换元积分法
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 分部积分法
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 有理函数的积分
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 微积分基本公式
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 反常积分
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五节 反常积分的审敛法T函数
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 定积分在几何学上的应用
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 定积分在物理上的应用
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第二节 可分离变量的微分方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第三节 齐次方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第四节 一阶线性微分方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第五节 可降阶的高阶微分方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第六节 高阶线性微分方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
二、典型题型归纳及解题方法与技巧
第七节 常系数齐次线性微分方程
一、基本内容诠释与重要结论归纳
第八章 空间解析几何与向量代数
第九章 多元函数分法及其应用
第十章 重积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
第十二章 无穷级数
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同济-高等数学-第三版(5.4) 第四节 平面图形的面积.ppt 78页
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同济-高等数学-第三版(5.4) 第四节 平面图形的面积
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若选择 y 作为积分变量，则
求得相应弧微分形式为
比较弧微分形式可见，宜选择 x 作为积分变量。
计算定积分求弧长
设曲线方程由参数式给出
其中，?( t ),?( t )在区间[ ?
,? ]上具有连续导数，求 这段曲线弧的弧长 S .
由直角坐标系下曲线弧长的讨论知，曲线弧长 的计算关键是确定弧长元素或弧微分。
确定弧微分的基本关系式是微分三角形下的勾股定 理，即
因此，对于参数式给出的 曲线，也可从此基本关系式出发进行讨论。
由曲线参数方程 C: x = ?( t )，y = ?( t )有
d x = ? ?( t )d t，d y = ?( t )，于是
若当 t ?[ ? ,? ]时，动点沿曲线运动对应参数 t 是 单调增加的，则有d t & 0 ，?d t?= d t，于是 从微分三角形出发进行计算 例：设摆线的方程为
求摆线的一拱 ( 0 ? x ? 2?
为计算弧长需先写出所求弧长的定积分表示式, 对曲线方程由参数式给出的情形，关键是确定相应的弧 微分表示形式。
由摆线方程 C: x = a( t - sin t )，y = a( 1 - cos t )有
d x = a( 1 - cos t )d t，d y = a sin t d t .
由于当 t : 0 ? 2? 时，d t & 0，于是有 用弧微分计算曲线弧长
确定弧微分形式
从而所求弧长为
计算定积分求弧长
用元素法求解
图形为极点在区域边界线上的情形，可取顶点在极 点的小曲边扇形为其面积元素。易求得面积元素为
所求图形面积为 立体体积计算也是积分学最初研究经典问题之一， 体积具有可加性的量，因而也可用定积分方法计算。
立体由曲面围成，而曲面方程通常对应于二元函数 z = f ( x ,y )，体积计算一般是多元函数积分学的问题。 但某些特殊立体，如旋转体和平行截面为已知的立体， 其体积计算可归结为一元函数积分 的计算。通过这些特殊立体体积 的计算，不仅可进一步掌握定积 分的应用方法，同时也为多元函 数积分学的讨论打下良好基础。
由一个平面图形绕该平面内的一条直线旋转一周而 成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。
(1) 旋转体的概念
旋转体体积与形成该旋转体的平面图形面积间有着 密切关系，因此可通过面积计算来讨论旋转体体积。
由于平面图形总可表示为曲边梯形，故只需考虑由 曲边梯形绕坐标轴旋转一周而成的旋转体体积。
考虑由连续曲线
y = f( x )、直线 x = a、 x = b 及 x 轴围成的曲边 梯形绕 x 轴旋转一周所 形成的旋转体体积 V x .
(2) 旋转体体积的计算
x 作为积分变量， 任取[ x ,x + d x ]?[ a ,b ]， 考虑该小区间所对应的小曲 边梯形绕
x 轴旋转一周所成
的小薄片旋转体体积 ? Vx .
该小薄片可近似地看成是以 f( x )为半径，d x 为高 的小圆柱体，因而有 ? Vx ? ?[ f( x )]2 ?
取体积元素为 d Vx = ?[ f( x )]2 d
由此求得所求旋转体体积为
类似地可求由连续曲线 x = ?( y )、直线 y = c、y = d
y 轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所成旋转体体积 Vy .
选择 y 作为积分变量， 任取[ y ,y + d y]?[c ,d ]， 考虑该小区间所对应的小曲 边梯形绕 y 轴旋转一周所成 的小薄片旋转体体积 ?V y .
取体积元素为
dVy = ?[?( y )]2d y .
求得旋转体体积为
考虑由连续曲线 y = f( x ),直线 x = a ,x = b 及 x 轴围 成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体体积 V y .
由直观容易看出有
x 作积分变量， 任取[ x ,x + d x ]?[ a ,b ]， 考虑该小区间所对应的 小曲边梯形绕
y 轴旋转 一周所成的环形薄壳旋 转体体积 ? Vy .
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高等数学优秀课件
【www.ruiwen.com - 课件】
高等数学优秀课件 教材分析: 圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形。本课是在学生了解和掌握了圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。教材将理解“化曲为直”的转化思想贯穿在活动之中。通过一系列的活动将新的数学思想纳入到学生原有的认知结构之中，从而完成新知的建构过程。学好这节课的知识，对今后进一步探究“圆柱圆锥”的体积起着举足轻重的作用。 【教学目标】 1、 了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。 2、 能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。 3、在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想，初步感受极限思想。 教学重点】 探索并掌握圆的面积公式。 【教学难点】 探索推导圆的面积公式，体会“化曲为直”思想。 【教具准备】 投影仪，多煤体课件,圆形纸片。 【学具准备】 圆形纸片。 【教学设计】 一、 创设情境。提出问题 （投影出示P16中草坪喷水插图）这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积） 二、 探究思考。解决问题 1、估计圆面积大小 师：请大家估计半径为5米的圆面积大约是多大？（让同学们充分发挥自己感官，估计草坪面积大小）------ 2、 用数方格的方法求圆面积大小 ① 投影出示P16方格图，让同学们看懂图意后估算圆的面积，学生可以讨论交流。 ② 指明反馈估算结果，并说明估算方法及依据。 1、 根据圆里面的正方形来估计 2、 用数方格的方法来估计。 三、 探索规律 1、 由旧知引入新知 师：大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积来的吗？（学生回答，教师订正。那么圆形的面积可由什么图形面积得来呢。 2、 探索圆面积公式 师：拿出我们剪好的图形拼一拼，看看能成为一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视） 指名汇报（学生在说的同时教师注意板书） 请大家来观察一下刚才拼成的哪个图形更接近长方形呢？[等分为32份的更接近长方形。] 想象一下，如果把一个圆等分的份数越多，拼成的图形越接近什么图形呢？[等分的份数越多，就越接近长方形。] 观察黑板上的板书，你能否由平行四边形或者长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。（生说，教师板书） 因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半；平行四边形的高就是圆形的半径。而平行四边形面积=底×高，那么圆形面积公式=圆周长的1/2×半径即可。 因为拼成的长方形的长也就是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面积=长×宽，那么那么圆形面积=圆周长的1/2×半径即可。 用字母怎么表示圆面积公式呢？ S=∏RR还可以写作S=∏R2 师：这说明求圆的面积只需要知道半径即可，那我只告诉你们圆的直径又如何求出圆的面积呢，请大家自己把这个公式写出来。教师板书。 3、 应用圆面积公式 根据下面的条件,求圆的面积。 r=6厘米 d =0.8厘米 r=1.5分米 师：现在请大家用圆面积公式计算喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田。(学生独立解答，指名回答） 四：拓展应用 习题设计： 1.填空： （１）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为（ ）。 （２）一个圆的半径是3厘米，求它的周长，列式（ ），求它的面积，列式（ ）。 （３）一个圆的周长是１８．８４分米，这个圆的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 ２.判断： （１）半径是２厘米的圆，周长和面积相等（ ）［让孩子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。］ （２）一个圆形纽扣的半径是１．５厘米，它的面积是多少？列式：３．１４X１．５２＝３．１４X３＝９．４２平方厘米。（ ）。［此题在计算１．５２的时候把１．５２看作１．５Ｘ２，而１．５２＝１．５Ｘ１．５］ （３）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ） （４）一个圆的半径扩大３倍，面积也扩大３倍。（ ） （５）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（ ） ３.实际应用：一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是多少平方分米? 4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多? (1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。 (2)可测圆的直径,根据S=π(d/2)2求出面积。 (3)可测圆的周长,根据S=π·(c/2π)2求出面积。 实践练习: 圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，怎样才能计算广场的面积呢？[让学生讨论，你有哪些方案？并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。] 修改稿： 一、 创设情境。提出问题 （投影出示P16中草坪喷水插图） 师：同学们，这是现代化农田里的一个自动喷水头，喷射的距离为5米，你们谁知道喷水头喷射一周，我们得到了一个什么样的图形？ 学生回答：圆形] [课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积] 你们想知道这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少吗？这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积） 第二环节估计圆面积大小的两种设计哪个好呢？ 方案一：出示课件：： 用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,(如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3 个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。 由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。 三、 探索规律 1、 由旧知引入新知 我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗？（学生回答后教师课件演示平行四边形，三角形，梯形面积推导过程。） 今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢? [这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。] 2、 探索圆面积公式 （1） 学生操作 师：请大家拿出准备好的16等分的圆，和小组同学一起剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视） （2）指名汇报 初步汇报：你们把圆转换成了什么图形？（在学生说的同时教师课件演示） 学生可能出现的4种情况： （3）操作反思 小组内拿出32等分的圆形，剪一剪，拼成一个长方形，和用16等分的圆拼成的长方形比较你发现了什么？ [32等份后拼成的图形更接近于长方形] 如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的长方形会怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。) （4）转化思考：近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示? (圆周长的一半，C/2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径r)[课件演示] （5）观察汇报： 你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的长方形的长也就是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面积=长×宽，那么那么圆形面积=圆周长的1/2×半径即可。] （生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？ [指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。] （6）拓展探究：根据上面的由长方形的面积计算公式推导出来圆的面积计算公式，你是否受到了启发？刚才还有的同学把圆转化成了平行四边形，等腰三角形或者是梯形，你能试着用你转化成的那个图形的面积公式推出圆的面积公式吗？[小组探究尝试，然后汇报，] [师根据汇报演示：1把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2 。2圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底 相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2 。3把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2] （7）总结：无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时,都要知道半径。 [引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。] （8）升华：今天我们探究出了圆的面积计算公式，真了不起，在人们没有总结出这个公式的时候， 如何计算圆的面积，是各国数学家共同关心的问题。老师这里有一段小故事，大家一起来读一读。 内容：刘徽在校注《九章算术》时，创立了一种新的数学方法—— “割圆术”来进行有关圆的计算。《九章算术》中已有圆面积的计算公式，但没有说明是怎么来的，刘徽为此苦苦思索，有一次他看见石匠在加工石料，石匠把一块方石砍去四角，就变成八角形的石头，再去掉八个角又变成了十六角形，这样一凿一斧地干下去，一块方形石料就被加工成一根光滑的圆柱了。刘徽因此得到启发：原来圆与直线是可以相互转化的。他认为一个圆的内接正多边形的边数越多，其周长就会越接近于圆的周长。同时，通过求圆内接正多边形的边长和圆的直径之比，可以越来越精确地求得圆周率（即圆周与直径之比），这就是所谓“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这句话简明扼要地概括了刘徽割圆术的实质。同时，刘徽在这里还用了“极限”这个数学概念，今天我们知道“极限”是高等数学的基础。后来，祖冲之和他的儿子祖恒，利用割圆术，得出了3.1415926＜π＜3.1415927 。没有前人这样艰苦的努力，我们现在就不可能精确地计算出圆的面积和周长，一切与圆有关的计算无疑也要大打折扣了。 读了这个故事，你想说点什么？生说感受。看来生活中处处有数学，我们要培养自己热爱数学，善于观察的良好习惯哦。下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问题。 四：拓展应用 1.填空： （１）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为（ ）。 （２）一个圆的半径是3厘米，求它的周长，列式（ ），求它的面积，列式（ ）。 （３）一个圆的周长是１８．８４分米，这个圆的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 ２.判断： （１）半径是２厘米的圆，周长和面积相等（ ）［让孩子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。］ （２）一个圆形纽扣的半径是１．５厘米，它的面积是多少？列式：３．１４X１．５２＝３．１４X３＝９．４２平方厘米。（ ）。［此题在计算１．５２的时候把１．５２看作１．５Ｘ２，而１．５２＝１．５Ｘ１．５］ （３）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ） （４）一个圆的半径扩大３倍，面积也扩大３倍。（ ） （５）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（ ） 3、根据下面的条件,求圆的面积。 r=6厘米 d =0.8厘米 4、实际应用：一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是多少平方分米? 5、要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多? (1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。 (2)可测圆的直径,根据S=π(d/2)2求出面积。 (3)可测圆的周长,根据S=π·(c/2π)2求出面积。 师：经过一节课的学习，你们能计算出喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田了吗？ (学生独立解答，指名回答) 实践练习: 圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，怎样才能计算广场的面积呢？[让学生讨论，你有哪些方案？并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。] 3稿教案设计 一、 回顾旧知，引出新知 师：我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗？ （学生回答后教师课件演示平行四边形，三角形，梯形面积推导过程。） 师：大家说的真好，我们运用这些数学知识解决了许多实际生活中的问题，通过今天这堂数学课的学习，你一定会增加新的用数学解决问题的本领，有信心吗？ 二、 创设情境。提出问题 （投影出示P16中喷水动画）： 师：请你用数学的眼光来观察画面，这是现代化农田里的一个自动喷水头，喷射的距离为5米，从画面中得到了哪些数学信息？[课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积] 学生可能回答：圆形，知道半径是5M 师：你能提出哪些数学问题呢？ 学生可能回答：这个自动喷水头喷射一周的周长是多少？ 自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少？ 师：求喷水头转动一周浇灌的面积有多大就是求谁的面积？课件演示由生活中的圆抽象的过程。（板书：圆的面积） 三、 探究思考。解决问题 1、估计圆面积大小 你能估一估这个圆的面积是多大平方米吗？ （1）与同桌说一说你是怎么估的 （2）汇报 师：求圆的面积，我们用数格子的方法方便吗？如何又快又好的求出圆的面积呢？[引出用公式计算。] 2、 探索圆面积公式 （1） 学生操作 师：请大家拿出准备好的的圆，和小组同学一起剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视） （2）指名汇报实物展台展示 初步汇报：如何分的，把圆转换成了什么图形？拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（在学生说的同时教师课件演示） 学生可能出现的4种情况： （3）操作反思 根据同学汇报，观察反思 (圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。 （4）转化思考：近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示? (圆周长的一半，C/2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径r)[课件演示] （5）观察汇报： 你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的长方形的长也就是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面积=长×宽，那么那么圆形面积=圆周长的1/2×半径即可。 （生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？ [指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。 （6）拓展探究：根据上面的由长方形的面积计算公式推导出来圆的面积计算公式，你是否受到了启发？刚才还有的同学把圆转化成了平行四边形，等腰三角形或者是梯形，你能试着用你转化成的那个图形的面积公式推出圆的面积公式吗？[小组探究尝试，然后汇报， [师根据汇报演示：1把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/22r=πr22圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底 相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/22πr/4r=πr23把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2πr2r=πr2] （7）总结：今天我们已经实践证明了，无论把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,说明在求圆的面积时,都要知道半径。 [引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。] 师：生活中处处有数学，我们要培养自己热爱数学，善于观察的良好习惯。下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问题。 四：实践应用 你能计算出人民大会堂前的这样一个石柱的占地面积吗？怎样才能计算广场的面积呢师总结：大家真是太聪明了，通过一节课的学习，你们的用数学知识解决问题的本领更强了，希望大家用数学的眼光到生活中找一找我们用今天学习的圆的面积公式，还能能解决那些实际问题。好吗？ 3稿教案教学反思 教学反思： 通过试讲觉得学生对活动的设计比较喜欢，思维活跃，教案设计基本满意。结合自己课堂教学体验反思和网友和学校领导的悉心帮助，总结出以下不足： 1、教学语言“迟钝”。 我平时讲课领导总说我语速快，可这次今天试讲后领导首先说的一句就是：今天的语速有点慢了。分析原因是：修改完完成3稿教案，做完课件已经凌晨了3点，6点起床，9点30分试讲，思路虽然清晰，但教案熟悉内化的时间太短， 语言组织不够自然，加上有领导和摄象，所以不自觉的紧张。 2、复习占用时间不当。 复习设计方式不够合理，教师的演示过程加上学生的叙述占用了宝贵的时间，现在反思，这一环节如此“精细”是在浪费课堂的宝贵时间。 3、探究没有充分放手。 在探究圆的面积公式推导过程中，孩子的兴趣是很高的，但在学生汇报的环节，我总是担心孩子，在孩子操作演示的时候给予帮助。造成了放手不够，造成了引导过度的现象。出现了探究一直是在我的控制下进行。 4、没给问题爆发的机会。 教学中很关注“R2” 在运算中容易出现的问题，所以在教学时直接提醒学生这一运算顺序，本以为做的很好，但现在反思，我的“先预防错误出现”的做法，失去了让学生经历在错误中反思的珍贵体验，也就是说由于我的“认真”，在计算应用环节孩子们失去了精彩的错误分析与错误反思。这也是我们学生为什么学过知识遗忘快的根结所在，没有充分理解，怎么能记得好呢？ 参赛的过程，是雪燕子学飞的过程。我在一次次反思中发现自己的不足，看到自己的幼稚，发现并改正自己教学不足的过程是痛并快乐的。 有以上的反思要谢谢网友们的帮助，区教研员和学校领导的引导。由于自己数学教学的水平有限，也许我的反思还有不当的地方。请大家继续热心指导。
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