判断正项常见级数的敛散性总结

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-24 14:05 标签： 级数敛散性的判定方法
正项级数经过放缩以后能否再使用正项级数判别法对新级数进行判断，根据新级数的敛散性得到原级数敛散性？ - 知乎7被浏览321分享邀请回答0添加评论分享收藏感谢收起　　摘要:阶数的高低常用于比较无穷小量趋向于零速度的快慢,此文将阶以及推广的无穷大量的比较应用于正项级数敛散性的判定,得到" />
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浅谈如何利用阶数判断正项级数的敛散性
　　摘要:阶数的高低常用于比较无穷小量趋向于零速度的快慢,此文将阶以及推广的无穷大量的比较应用于正项级数敛散性的判定,得到了一种新的判别法,并举例说明其应用,取得较好的效果。 中国论文网 http://www.xzbu.com/8/view-8728796.htm　　关键词:阶数;正项级数;比较判别法 　　中图分类号:O173文献标识码:A文章编号:09)21-0195-02 　　 　　高职学生在思维上侧重于直观、形象,其培养方向也倾向于应用,故高等数学的教学往往偏重于定理的应用,对于其理论证明,我们往往是给予一些几何或形象的解释,以保持数学体系的严密性、完整性。 　　在级数这一章节,对于数项级数敛散性的判断,很多学生感到方法较多,题型多变、灵活,学起来有一定难度。而教师限于学生的理论水平,对一些判别法只能介绍其结论。那么,怎样让学生理解而不是被动地接受就是摆在教师面前一个现实的问题。本文将就此问题利用阶数给出几个有用的结论。 　　 　　一、引理及定义 　　 　　为了叙述方便,先给出以下引理和定义。 　　定义1(无穷小和无穷大)若un=0,则称un是n→∞时的无穷小量,简称无穷小量;若un=∞,则称un是n→∞时的无穷大量,简称无穷大量。 　　定义2对于数列{un}和{vn},un=vn=0,且=l(0<l<∞),则称un是vn的同阶无穷小,记作un=O(vn)。 　　定义3对于数列{un}和{vn},un=vn=∞,且=∞,则称un是vn的高阶无穷大。 　　引理1(级数收敛的必要条件)若un是收敛级数,则un=0。 　　引理2(比较判别法)设un和vn为两个正项级数,如果它们的通项满足un≤kvn,(k>0为常数,n≥N,N为任意给定的正整数,则(1)若级数vn收敛,则级数un也收敛;(2)若级数un发散,则级数vn也发散。 　　引理3(比较判别法的极限形式)设un和vn(vn≠0,n≥N)是两个正项级数,若极限=l(0<l<∞),则un和vn具有相同的敛散性; 　　 　　二、利用阶判断正项级数敛散性 　　 　　对引理1,我们可以得到如下结论:如果级数的通项不趋于零,则级数un必定发散。但是通项以零为极限决不是级数收敛的充分条件,通项趋于零而级数发散的例子比比皆是,例如,调和级数的通项的极限=0,但它是发散的。实际上,级数的收敛与否,就取决于通项趋于零的速度:公比绝对值小于1的等比数列,通项趋于0的速度很快,因此它是收敛的;级数的通项的趋零速度也比较快,因此也是收敛的;但趋于0的速度不够快,以它为通项的调和级数就发散了。 　　此番解释可以形象地得到下面的定理,其证明也较方便的。 　　定理1设un和vn为两个正项级数,un=O(vn),则un和vn具有相同的敛散性。 　　证明:由条件可得=l(0<l<∞),由引理3知,un和vn具有相同的敛散性。【证毕】 　　显然,定理1由引理3直接推论得到, 但与引理3相比, 定理1使用起来更为简便。可以直接利用同阶这一概念简化级数的形式, 更容易观察出级数的收敛性, 同时也更能体现由引理3所提供的审敛法的本质。 　　例1判别级数的敛散性。 　　解:因为=O(),且收敛,所以原级数收敛。 　　例2判断级数sin的敛散性。 　　解:因为sin=O(),且发散,所以原级数发散。 　　例3判别级数ln的敛散性。 　　解:因为ln=O(&#8226;)=O(),且收敛,所以原级数收敛。 　　特别地,我们用引理2判断级数un是否收敛,一般是将其通项un放大或缩小后与几何级数pn或P级数比较,但这里有一个难以解决的问题,怎样知道应将un的通项un放大还是缩小呢?依靠定理1,我们就可以初步判定后用通俗的语言“放大定收敛,缩小定发散”给出证明。 　　如对于例1中所给级数,应放大通项来定收敛,给出比较判别法过程如下:因为<=,而收敛,由比较判别法知所给级数收敛。 　　对上述几个例子我们能利用无穷小的等价替代定理较方便地找到通项的同阶无穷小,那么对于级数呢?分析:此题也可用定理1来判别,但通项的同阶无穷小怎么找,下述定理表明,它应当是分子分母中变化速度最快的部分的比值。 　　定理2设n是无穷小量,且n=,其中un,vn,u'n,v'n都是无穷大量,且un,u'n,分别是vn,v'n,的高阶无穷大,则n=O()。 　　证明:un,u'n分别是vn,v'n的高阶无穷大,即==0 　　所以==1。【证毕】 　　此定理也可推广到无穷小量的分子分母为有限个部分和的情况。 　　定理3pn(p>1)是nN(N∈Z+)的高阶无穷大。 　　证明:根据罗比达法则, 　　==…==∞, 　　故pn(p>1)是nN(N∈Z+)的高阶无穷大。【证毕】 　　例4判别级数的敛散性。 　　解:因为3n是n2在n→∞时的高阶无穷大,由定理3得=O()。 　　而级数用比值判别法易知其是收敛的,由定理1得出原级数收敛。 　　事实上,几何级数的增长比p级数的增长要快得多,有如下定理: 　　定理4级数(其中p>0,q>1)是收敛的。 　　证明:用比值判别法,=(1+)p=<1,所以级数收敛。【证毕】 　　例5判断级数的敛散性。 　　解:因为=O()=O(),而级数是收敛的,所以原级数收敛。 　　例6判断级数n2sin的敛散性。 　　解:因为n2sin=O(n2)=O(),而级数是收敛的,所以原级数收敛。 　　 　　参考文献 　　[1]高等数学编写组.高等数学[M].苏州大学出版社,2003. 　　 　　作者简介:吴吟吟(1981-),女,江苏无锡人,无锡职业技术学院讲师,硕士,研究方向:金融投资与风险分析。
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正项级数敛散性判别法的比较及其应用
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