请详细解释一下微分泰勒微分中值定理习题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-30 15:43 标签： 微分中值定理公式
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我想问一下泰勒中值定理有什么作用?以及意义?
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泰勒公式的基本形式： f(x)=Pn(x)+Rn(x).当在x=x0的某个邻域内,可以用多项式Pn(x)来逼近函数f(x),也就是说当x→x0时,Pn(x)→f(x),Rn(x)则为余项,它是比(x-x0) ^n高阶的无穷小.基本条件：f(x)在x0的某个邻域内有直到n+1阶的导数.泰勒公式的应用一般有三个方面：1、利用泰勒展开式做代换求函数的极限.这一点应用最广泛!这个时候一般用含有皮亚诺余项的泰勒公式.另外一些等价无穷小也可以使用泰勒公式求出.2、利用泰勒展开式证明一些等式或者不等式.这一点应用的也非常多,在很多大型证明题中都使用过.泰勒公式可以灵活选择在某点展开,效果也很好.3、应用拉格朗日余项Rn(x),可以估算误差；用多项式P(x)可以求f(x)的近似值. 泰勒公式的具体应用方法,你可以看一下我提供的参考资料,也可以在百度百科里看一下.
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泰勒中值定理的应用很广泛的。。。。具体那些我也说不好，感觉在积分微分都用的到，解不等式，，不知道你学习了级数了没，在那一部分有时候应用泰勒公式就很方便，我觉得泰勒公式给我们提供另外的i一种数学思想，像e^x的展开，还有1/(1-x)，1/(1+x）等的泰勒展开，两种形式之间的相互转换有时候会更利于解题...
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数学分析证明,微分中值定理或Taylor公式f在[0,1]上具有n+1阶导数,且在0和1这两点处的k阶导数均为0,k=0,1,...,n,求证存在一点x0属于(0,1),满足f(x0)=f在x0处的n+1阶导数
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题目写错了,请发问前仔细检查.反例：y=1,即y恒等于1的常函数,不存在题设结果.
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...微分在近似计算中的应用 微分中值定理 洛必达（L’Hospital）法则 泰勒(Taylor)公式 函数的极值 函数... 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。 8. 理解函数的极值概念，掌握用导数...
扫描下载二维码为什么泰勒中值定理要在邻域内具有n+1阶导数_百度知道
为什么泰勒中值定理要在邻域内具有n+1阶导数
我有更好的答案
本身讨论导数性质就必须在邻域内，没邻域哪来的导数
采纳率：67%
来自团队：
因为余项是以导数形式表达并且要求其高于之前项的导阶数
为什么是强调邻域内
因为泰勒展开，展开的是一个点的公式，在这个点可导，那么在这个点的邻域要求连续；可二阶导，那么一阶导要连续，以此类推下去，（n+1）阶可导，那么n阶就要连续
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微分中值定理
是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是，可以说其他中值定理都是的特殊情况或推广。微分中值定理反映了的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
微分中值定理罗尔定理
如果函数f(x)满足：
在[a,b]上连续；
在(a,b)内可导；
在区间端点处的相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ&b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的相等。而定理结论表明：
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.。
微分中值定理拉格朗日定理
如果 f(x) 满足：
1)在[a,b]上连续；
2)在(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a&ξ&b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线
微分中值定理柯西定理
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在[a,b]上连续；
(2)在(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
[中值定理]分为： 中值定理和：
以上三个为微分中值定理第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
微分中值定理泰勒公式
内容 ：若函数f(x)在（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),这里0&θ&1.
微分中值定理达布定理
若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.
推广：若f(x),g(x)均在[a,b]上可导,并且在[a,b]上,g′(x)≠0,则f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)与f′(b)/g′(b)之间任何值。
微分中值定理洛必达法则
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)当|x|&N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
同济大学数学系．高等数学第七版：高等教育出版社，2014年：125页至140页
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