求y ay u 微分方程求解 y″+5y′+4y=6ex 的通解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-15 22:55 标签： 求微分方程y
1402.　(全国1987年，试卷三；全国1988年，试卷一；全国1989年，试卷一、试卷四；全国1990年，试卷一，试卷三；全国1991年，试卷三；全国1992年，试卷一，试卷三；全国1993年，试卷三；全国1994年，试卷一、试卷三、试卷四)求下列微分方程的通解或特解:(1) y″+2y′+y=xex；(2) y″-3y′+2y=2ex且满足y(0)=1，y′(0)=-1；(3) f(x)=sin?x-∫x0(x-t)f(t)dt，f为连续函数；(4) y″+5y′+6y=2e-x；(5) y″+4y′+4y=e-2x；(6) y″+4y′+4y=eax(a为实数)；(7) y″+y=x+cos?x；(8) y″+2y′-3y=e-3x；(9) y″-3y′+2y=xex；(10) y″+αy′+βy=γex且已知其一个特解为y=e2x+(1+x)ex；(11) [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，且f(0)=0，f″(0)=1，f(x)有二阶连续导数；(12) y″+a2y=sin?x(a〉0)；(13) y″+4y′+4y=0，y(0)=2，y′(0)=-4，求∫∞0y(x)dx.
相关工具书解释
解　(1) 对应齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0.特征根为r1＝r2＝1.通解为Y=(C1+C2x)e-x.设原方程的特解为y*＝(ax+b)ex代入原方程并整理得(4ax+4a+4b)ex＝xex.解得原方程通解为(2) 对应齐次方程的通解为　Y=C1ex+C2e2x.设原方程的特解为y*＝Axex,代入原方程得A=-2.故原方程通解是y(x)=C1ex+C2e2x-2xex.由y(0)=1,y′(0)=-1,得解得C1＝1,C2＝0,所以y=(1-2x)ex.(3) f(x)=sin?x-x∫x0f(t)dt+∫x0tf(t)dt,f′(x)=cos?x-∫x0f(t)dt,f″(x...
(本文共1448字)
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求微分方程y″-4y′+3y=0,y(0)=6 y′(0)=10的通解
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y〃-4y′+3y=0 特征方程为r^2-4r+3=0 特征根r1=1,r2=3 齐次方程通解为y=C1e^x+C2e^(3x) 初始条件y(0)=6,y′(0)=10 得C1+C2=6,C1+3C2=10 解得C1=4,C2=2 特解为y=4e^x+2e^(3x)
采纳率：91%
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求微分方程y″-5y′+6y=xe2x的通解．
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方程y″-5y′+6y=xe2x的特征方程为：λ2-5λ+6=0，特征根为：λ1=2，λ2=3．因为2是方程的单重特征根，故方程y″-5y′+6y=xe2x的特解形式为：y*=x（Ax+B）e2x．代入方程整理可得，-2Axe2x+（2A-B）e2x=xe2x，因此，=>，B=-1．故方程的通解为：1e2x+C2e3x-x2(x+2)ex．
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求解方程的特征值与特解，利用线性微分方程解的结构定理即可得到通解的表达式．
本题考点：
线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
考点点评：
本题考查了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，解题中利用了线性微分方程解的结构定理，是一个基础型题目，难度系数不大．二阶常系数微分方程的求解是一个常考知识点，需要熟记非齐次问题的特解形式并熟练掌握其求解方法．
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微分方程y″-5y′+6y=0的通解为y=1e2x+C2e3x，微分方程y″-5y′+6y=2ex的通解为y=1e2x+C2e3x+ex．
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由于微分方程y″-5y′+6y=0的特征方程为：r2-5r+6=0，解得特征根为r=2，r=3故微分方程y″-5y′+6y=0的通解为y=1e2x+C2e3x又由y″-5y′+6y=2ex的f（x）=2ex，而λ=1不是特征根故有特解y*=aex，代入y″-5y′+6y=2ex，解得a=1故微分方程y″-5y′+6y=2ex的通解为y=1e2x+C2e3x+ex
为您推荐：
首先，将对应齐次方程的特征根求出来；然后根据2ex和特征根，求得y″-5y′+6y=2ex的通解．
本题考点：
二阶常系数非齐次线性微分方程求解；二阶常系数齐次线性微分方程求解．
考点点评：
此题考查二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．
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y″+5y′+4y=0的通解
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特征方程：r^2+5r+4=0r=-1,r=-4其解是：y=C1e^(-4x)+C2e^(-x)
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