常微分方程第4章习题答案-土地公文库
常微分方程第4章习题答案
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题 4—11．求解下列微分方程1） word/media/image1.wmf
word/media/image2.wmf解
利用微分法得
word/media/image3.wmf当 word/media/image4.wmf时，得word/media/image5.wmf从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解word/media/image6.wmf或消参数P，得通解word/media/image7.wmf当 word/media/image8.wmf时，则消去P，得特解 word/media/image9.wmf2）word/media/image10.wmf；
word/media/image11.wmf解
利用微分法得word/media/image12.wmf
word/media/image13.wmf当word/media/image14.wmf时，得 word/media/image15.wmf从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：word/media/image16.wmf 或消p得通解
word/media/image17.wmf当word/media/image18.wmf时，消去p得特解 word/media/image19.wmf3）word/media/image20.wmf
word/media/image21.wmf解
利用微分法，得word/media/image22.wmf
两边积分得word/media/image23.wmf由此得原方程以P为参数形式的通解：word/media/image24.wmf ，word/media/image25.wmf或消去P得通解word/media/image26.wmf1． 用参数法求解下列微分方程1）word/media/image27.wmf解
将方程化为
word/media/image28.wmf
令word/media/image29.wmf
word/media/image30.wmf由此可推出
word/media/image31.wmf从而得word/media/image32.wmf因此方程的通解为
word/media/image33.wmf ，word/media/image34.wmf消去参数t，得通解word/media/image35.wmf对于方程除了上述通解，还有word/media/image36.wmf，word/media/image37.wmf，显然word/media/image38.wmf和word/media/image39.wmf是方程的两个解。2）word/media/image40.wmf解：令word/media/image41.wmf，word/media/image12.wmfword/media/image42.wmf又令word/media/image43.wmf
则word/media/image44.wmfword/media/image45.wmfword/media/image46.wmfword/media/image47.wmf积分得，word/media/image48.wmfword/media/image49.wmf由此得微分方程的通解为word/media/image50.wmf，word/media/image51.wmf3）word/media/image52.wmf解：令word/media/image53.wmf
则word/media/image54.wmf解得
word/media/image55.wmf
又word/media/image56.wmfword/media/image57.wmfword/media/image58.wmfword/media/image59.wmfword/media/image60.wmf由此得微分方程的通解为word/media/image61.wmf，
word/media/image62.wmf。习题4—21．得用P—判别式求下列方程的奇解：2）word/media/image63.wmf解：方程的P—判别式为word/media/image64.wmf消去p，得word/media/image65.wmf经验证可知word/media/image66.wmf是方程的解。令word/media/image67.wmf则有word/media/image68.wmf，word/media/image69.wmf和word/media/image70.wmf因此，由定理4.2可知，word/media/image71.wmf
是方程的奇解。2）word/media/image72.wmf解：方程的P—判别式为word/media/image73.wmf，word/media/image74.wmf消去P，得
word/media/image75.wmf，而word/media/image76.wmf不是方程的解，故word/media/image77.wmf不是方程的奇解。3）word/media/image78.wmf解：方程的P—判别式为word/media/image79.wmf
，word/media/image80.wmf消去P，得word/media/image81.wmf，显然word/media/image82.wmf是方程的解，令word/media/image83.wmf则有word/media/image84.wmf
word/media/image85.wmf和word/media/image86.wmf因此，由定理4.2知，word/media/image81.wmf是方程的奇解。2．举例说明，在定理4.2的条件word/media/image87.wmfword/media/image88.wmf中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程word/media/image89.wmf方程（1）的P—判别式为word/media/image90.wmf
word/media/image91.wmf消去P，得word/media/image92.wmf令word/media/image93.wmf，于是有word/media/image94.wmf
word/media/image95.wmfword/media/image96.wmf因此虽然有
word/media/image97.wmf和word/media/image98.wmf但是word/media/image99.wmf又word/media/image81.wmf虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为word/media/image100.wmf因此容易验证word/media/image81.wmf却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件word/media/image101.wmf是不可缺少的。又考虑方程
word/media/image102.wmf
方程（2）的P—判别式为
word/media/image103.wmf
word/media/image104.wmf消去P，得word/media/image81.wmf。令word/media/image105.wmf于是有word/media/image106.wmf，word/media/image107.wmf
word/media/image108.wmf
因此，虽然有word/media/image109.wmf和word/media/image110.wmf但word/media/image111.wmf，而经检验知word/media/image81.wmf是方程（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件word/media/image112.wmf是不可缺少的。3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件word/media/image113.wmf是不可缺少的
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微分方程例题选解
微分方程例题选解
1. 求解微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0,y|x=e=解：原方程化为
dy11+y=， dxxlnxx11-?dxdx1?
y=exlnx[?exlnxdx+C]
1lnx112=[?dx+C]=[lnx+C] lnxxlnx2311
+lnx。 由x=e，y=，得C=1，所求特解为 y=
2. 求解微分方程x2y'-xy+y2=0。
解：令y=ux，y'=u+xu'，原方程化为 u+xu'=u-u，
分离变量得
=lnx+C， u
原方程的通解为 y=
3. 求解微分方程(x3-xy2)dx=(x2y+y3)dy。
解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为
xdx-xydx-xydy-ydy=0， 由
xdx-xydx-xydy-ydy
dx-(ydx+x2dy2)-dy4 4241
=d(x4-2x2y2-y4)， 44224
d(x-2xy-y)=0，
原方程的通解为
x-2xy-y=C。 注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程y''=1+(y')2。 解：设p=y'，则y''=分离变量得
=1+p2， ，原方程化为
=dx，积分得 arctanp=x+C1，
于是 y'=p=tan(x+C1)， 积分得通解为 y=-lncos(x+C1)+C2。
5. 求解微分方程y''-2y'+2y=0。
解：特征方程为 r-2r-2=0，特征根为 r=1±i，
通解为y=e(C1cosx+C2sinx)。
6. 求解微分方程y''-y'=(2x+1)e2x。
解：对应齐次方程的特征方程为r-r=0，特征根为r1=0，r2=1， 齐次通解为 Y=C1+C2ex。
可设待定特解 y*=(ax+b)e2x，代入原方程得
3a+2(ax+b)=2x+1，
比较系数得 a=1，b=-1，从而y*=(x-1)e2x， 原方程的通解为 y=C1+C2ex+(x-1)e2x。
7. 求解微分方程y''-y=4xex。
解：对应齐次方程的特征方程为r-1=0，特征根为r1=1，r2=-1， 齐次通解为 Y=C1ex+C2e-x。
可设待定特解 y*=x(ax+b)ex，代入原方程得
2a+2(2ax+b)=4x，
比较系数得 a=1，b=-1，从而y*=(x2-x)ex， 原方程的通解为 y=C1ex+C2e-x+(x2-x)ex。
8. 求解微分方程y''-6y'+9y=e3x(6x+2)。
解：对应齐次方程的特征方程为r-6r+9=0，特征根为r1=r2=3，
齐次通解为 Y=(C1+C2x)e3x。
可设待定特解 y*=x2(ax+b)e3x，代入原方程得
6ax+2b=6x+2，
比较系数得 a=1，b=1，从而y*=(x+x)e，
原方程的通解为 y=(C1+C2x)e+(x+x)e。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程(xy+y+siny)dx+(x+cosy)dy=0。 解： 由
(xy+y+siny)dx+(x+cosy)dy
=xydx+ydx+sinydx+xdy+cosydy
=xydx+sinydx+(ydx+xdy)+dsiny
=(xy+siny)dx+d(xy+siny)，
d(xy+siny)
=-dx， 原方程化为
ln(xy+siny)=-x+lnC，
从而通解为 xy+siny=Ce。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x+yy'=(x+y-1)tanx。
x2+y2，则u'=
，原方程化为 uu'=(u-1)tanx， u
)du=tanxdx， u-1
x+C， 积分得
u+ln(u-1)=-lncos
分离变量得 (1+
原方程的通解为x+y+ln(x+y-1)+lncosx=C。
11. 利用代换y=
将方程y''cosx-2y'sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通cosx
解：由u=ycosx，得
u'=y'cosx-ysinx，
u''=y''cosx-2y'sinx-ycosx。
原方程化为
u''+4u=e，
其通解为 u=C1cos2x+C2sin2x+，
+2C2sinx+原方程的通解为 y=C1。 cosx5cosx
12. 设二阶常系数线性微分方程y''+ay'+by=ce的一个特解为y=e+(1+x)e。试确
定常数a,b,c，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为
(r-1)(r-2)=0，即r2-3r+2=0，
于是 a=-3，b=2。 将y1=xex代入方程，得
(x+2)ex-3(x+1)ex+2xex=cex，
原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+xex。
13. 已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶常系数非齐次线
性微分方程的三个解，求此微分方程。
解：由题设特解知原方程的通解为y=C1e-x+C2e2x+xex，特征根为-1和2， 所以特征方程为
(r+1)(r-2)=0，即r2-r-2=0，
故可设此微分方程为
y''-y'-2y=f(x)，
将y=xex代入方程，得f(x)=(1-2x)ex， 故所求方程为y''-y'-2y=(1-2x)ex。
14. 设u=f(r)满足方程2+2=4，其中r=x+y，求f(r)。
?ux?2ux2y2?2uy2x2
=f'(r)，2=2f''(r)+3f'(r)，2=2f''(r)+3f'(r)， 解：
?xr?xrr?yrr
''+=f(r)+f'(r)=4， 22
f'(r)=e
(2r2+C1)， r
f(r)=?(2r2+C1)dr=r2+C1lnr+C2。
15. 设函数f(t)在[0,+∞)上连续，且满足方程
1211?2????x+y)dxdy=?dθ?f(r)rdr=2π?rf(r)dr 解：由于 ??f(?2?22?02?02?02
?f(1x2+y2)dxdy +???
1?+2π?rf(r)dr，
f'(t)=8πte4πt+8πtf(t)，
[?8πte4πte?dt+C]=e4πt(4πt2+C)，
由f(0)=1，得C=1，因此f(t)=(4πt2+1)e4πt。
16. 设f(x)连续可微，f(0)=1，确定f(x)，使曲线积分
?[x-f(x)]ydx+f(x)dy
与路径无关，并计算I=
[x-f(x)]ydx+f(x)dy。
解：由曲线积分与路径无关，得 f'(x)=x-f(x)，
f(x)=e?(xe?dx+C)=(x-1)+Ce-x，
由f(0)=1，得C=2，从而 f(x)=x-1+2e，
(1-2e)ydx+(x-1+2e)dy=?2e-1dy=
17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温
为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c。 解：设在时刻t物体的温度为T(t)，则有
=-k(T-20)，且T(0)=100，T(20)=60 dt
=-kdt， 分离变量得
ln(T-20)=-kt+lnC，
由T(0)=100得 C=80，T=20+80e，
再由T(20)=60得 60=20+80e故T=20+80e
令T(t)=30，得 30=20+80e，t=60。
共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c。
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4微分方程日期：
《微积分基础》单元辅导四——微分方程学习目标：理解微分方程的概念；掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. 内容介绍 在研究物理、几何以及其他许多实际问题时，常常需要寻求与问题有关的变量之间的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据一些基本科学原理，建立所求函数及其变化率之间的关系式，然后再从中解出所求函数，这种关系就是本章我们将要学习的微分方程.1676年，伯努利（Bernoulli）致牛顿（Newton）的信中第一次提出微分方程，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具，在这里我们主要讨论微分方程的基本概念，并介绍可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法. §1 微分方程的基本概念不定积分的方法告诉我们.一个函数的导数如果是已知的，就可能求出这个函数，现在进一步的讨论，假如只知道函数的导数所满足的一个关系式，能否确定这个函数呢？这就是微分方程所要研究和解决的问题.首先我们来看两个例子：例1 [曲线方程] 已知曲线过点(1,2)，且曲线上任一点处切线的斜率为2x，求此曲线方程.解 设曲线方程为y?y(x)，由已知条件y??2x对上式两边积分，得y??2xdx?x2?c又由已知条件：曲线过点(1,2)，即yx?1?2，代入上式，得2?12?c,即c?1故所求曲线方程为 y?x?1例2 [自由落体运动]一质量为m的质点，在重力作用下自由下落，求其运动方程.解 建立坐标系如图1所示，坐标原点取在质点开始下落的点，y轴铅直向下.设在时刻2t质点的位置为y(t)，由于质点只受重力mg作用，且力的方向与y轴正向相同，故有牛顿第二定律，得质点满足方程为ma?m?dy?mg dt22oy(t) d2y?g 即dt2上市式两边再同时积分，得y?12gt?c1t?c2 2其中c1,c2是两个相互独立的1任意常数.下面我们来引进微分方程的几个基本概念：在例1中，方程y??2x中含有未知函数的导数.一般地，含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程.本课程所讨论微分方程均为常微分方程.微分方程中未知函数导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶.例如，例1中的1d2y微分方程y??2x是一阶微分方程；例2中的微分方程2?g是二阶微分方程.dt未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的微分方程，称为线性微分方程。例如方程y??ysinx?exy(6)?xy????y??lnx?x3y?tanx都是线性微分方程。任何满足微分方程的函数都成称为微分方程的解，求微分方程的解的过程，称为解微分方程.2例1中，y?x?1是微分方程y??2x的解；例2中，y?12gt?c1t?c2是微分方2d2y程2?g的解.我们注意到，方程的解中带有任意常数c,c1,c2.如果微分方程的解中含有dt任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.例如2例1中的y?x?c是微分方程y??2x的通解，例2中的y?12gt?c1t?c2是微分方程2d2y?g的通解. dt2在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得到的解称为微分方程的特解.这种附加条件称为初始条件.例如，例1中的初始条件为yx?1?2，满足初始条件的特解为y?x2?1. §2 可分离变量的微分方程这里主要讨论一阶微分方程中一类很重要的微分方程，就是可分离变量的微分方程. 形如dy?f(x)g(y) * dx的微分方程称为可分离变量的微分方程.其特点是方程的右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积.可分离变量的微分方程可以用积分的方法求解. 将方程*式的形式化为dy?f(x)dx g(y)再对两边分别积分，得dy?g(y)??f(x)dx设G(y),F(x)分别为dy1?f(x)g(y)的通解为 ,f(x)的原函数，则微分方程dxg(y)G(y)?F(x)?c.例3 求微分方程ex?1y??ex y的通解.解 将方程分离变量dyex?dx xy1?edyex两边积分 ??dxy?1?ex得通解 lny?ln(1?e)?c 即2xy?c1?ex例4 求微分方程y??ycosx满足初始条件y(0)?1的特解． 解 分离变量得到dy?cosxdx 2y
dy?y2??cosxdx得到通解 ?1??sinx?c y由初始条件得 c??11??sinx?1 y1 1?sinxy?§3 一阶线性微分方程形如y??P(x)y?Q(x) ** 的微分方程称为一阶线性微分方程.当Q(x)?0，方程**称为一阶线性齐次微分方程；当Q(x)?0，方程**称为一阶线性非齐次微分方程.（一）一阶线性齐次微分方程的解法 在方程**中，若Q(x)?0，则y??P(x)y?0 是可分离变量的微分方程，分离变量，得dy??P(x)dx y两边积分，得lny??P(x)dx?lnc 即 y?ce??P(x)dx? 这是一阶线性齐次微分方程的通解.（二）一阶线性非齐次微分方程的解法 一阶线性非齐次微分方程**的解可以用“常数变易法”求得.这种方法是将相应齐次方程的通解中的任意常数c换为x的函数c(x)，即令y?c(x)e??P(x)dx两边求导，得 y??c?(x)e??P(x)dx?c(x)P(x)e??P(x)dx将y,y?的表达式代入方程**，得c?(x)?Q(x)e?P(x)dx两边积分，得c(x)??Q(x)e?P(x)dxdx?c将此式代入y?c(x)e??P(x)dx，便得到一阶线性非齐次微分方程的通解为y?e??P(x)dx(?Q(x)e?P(x)dxdx?c)这是一阶线性非齐次微分方程的通解公式.例5 求微分方程y??3y? e2x的通解.解 这是一阶线性非齐次微分方程，且P(x)?3,Q(x)? e2x 直接由通解公式求解，得通解为?3dx3dx2xy?e?[ee?dx?c]?-3x2x3x? e e e dx?c]??e1[e5x ?c] 5y例6 求微分方程y???sinx的通解.x-3x解：此方程为一阶线性微分方程，且P(x)?1,Q(x)?sinx，则方程的通解为 xy?e??xdx1(?sinxe?xdx1dx?c)1(?xsinxdx?c) x1?(?xcosx?sinx?c) x?例7 求微分方程y??满足初始条件y(1)?y?x2?1 x7的特解． 4解 这是一阶线性非齐次微分方程，且P(x)??1，Q(x)?x2?1，则方程的通解为 xy?e?xdx1[?(x?1)e2?xdx1dx?C]?lnx[(x2?1)elnxdx?C] ?e?1x4x2x3xC??C]??? ?[x???， 得到 C?1 由初始条件y(1)?，即y(1)?44214故满足初始条件的特解为x3x1y???.42x 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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