世上本没有什么数学技巧，用的多了，用的熟了，也就渐渐有了技巧。&br&&br&举个栗子：下面的Fourier级数问题中用Fejer核做差的技巧可以用在丘赛题中。本例子摘自小说遇见番外篇。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c286fc1a5a5fac3c44c64_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c286fc1a5a5fac3c44c64_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e85ec28fd0f641cde9b8f2f8_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e85ec28fd0f641cde9b8f2f8_r.jpg&&&/figure&
世上本没有什么数学技巧，用的多了，用的熟了，也就渐渐有了技巧。 举个栗子：下面的Fourier级数问题中用Fejer核做差的技巧可以用在丘赛题中。本例子摘自小说遇见番外篇。
&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Green%25E2%Tao_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Green-Tao theorem&/a&&/p&&blockquote&The set A contains &b&infinitely many&/b& arithmetic progressions of length k. In particular, &b&the entire set of prime numbers&/b& contains arbitrarily long arithmetic progressions.&/blockquote&&p&定理中的集合A是全体质数构成的集合的一个子集，且满足&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Climsup_%7BN+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B%7CA+%5Ccap+%5B1%2CN%5D%7C%7D%7B%5Cpi%28N%29%7D+%3E+0+& alt=&\limsup_{N \rightarrow \infty} \frac{|A \cap [1,N]|}{\pi(N)} & 0 & eeimg=&1&&&/p&&p&显然全体质数构成的集合本身满足该性质（左侧恒等于1）。&/p&&p&如果想要找到n个质数的平均数是质数，只需找到长为n或(n+1)的奇数长度质数等差序列即可。&/p&&p&&/p&
The set A contains infinitely many arithmetic progressions of length k. In particular, the entire set of prime numbers contains arbitrarily long arithmetic progressions.定理中的集合A是全体质数构成的集合的一个子集，且满足\…
&p&偶然间看到一篇文章，个人认为这是关于矩阵最精彩的理解。想把它分享出来，原文如下：&/p&&p&====================================&/p&&p&&b&线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。&/b& &b&事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。&/b& &b&大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：&br&* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？&br&&br&* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？&br&&br&* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？&br&&br&* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？&br&&br&* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？&br&&br&* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？&br&&br&* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？&/b& &b&这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？&/b& &b&我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。&/b& &b&自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。&/b& &b&对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A.&br&Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。&/b& &b&因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。&br&&br&---------------------------------------------------&br&&br&今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。&/b& &b&首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。&/b& &b&总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。&/b& &b&我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，&/b& &b&上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。&/b&
&/p&&p&&b&认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。&/b& &b&因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。&/b& &b&下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：&br&1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？&br&&br&2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？&/b& &b&我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：&br&&br&L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。&br&&br&L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。&/b& &b&所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。&/b& &b&下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。&/b& &b&线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。&/b& &b&简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。&/b&
&b&是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。&/b&&/p&&p&&b&可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。&/b& &b&接着理解矩阵。&/b& &b&上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。&/b& &b&不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：&/b& &b&“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。&/b&
&b&可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。&/b& &b&一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：&br&“矩阵是线性空间里的变换的描述。”&br&到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：&br&T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，&/b& &b&那么就称T为线性变换。&/b& &b&定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。&/b& &b&接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。&/b& &b&好，最后我们把矩阵的定义完善如下：&br&“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”&/b&&/p&&p&&b&理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。&/b& &b&比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。&/b& &b&同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。&/b& &b&但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。&/b& &b&好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：&/b& &b&若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：&br&A = P-1BP&br&线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。&/b& &b&而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。&/b& &b&这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。&/b& &b&这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。&/b&&/p&
偶然间看到一篇文章，个人认为这是关于矩阵最精彩的理解。想把它分享出来，原文如下：====================================线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的…
&p&按照国内标准：数学分析是微积分入门（必须有足够的证明，否则不算分析），然后&/p&&p&实变函数论，研究更宽泛条件下的测度与积分，高级内容归入实分析。&/p&&p&复变函数论，研究复数域上的解析函数，高级内容归入复分析。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过这些名词使用并不严格，广义上都可以认为是数学分析。&/p&&p&而国外的很多书籍并不搞某某函数论--某分析的两阶段名词。甚至入门的微积分，只要讲了epsilon-delta，也可以算作实分析。&/p&&p&所以如果你看到两本书，一本叫《数学分析》，一本叫《实分析》，如果是国内的书，那么后者深度远大于前者，但如果是国外的书，不具体看一下目录，不能这么断言。&/p&
按照国内标准：数学分析是微积分入门（必须有足够的证明，否则不算分析），然后实变函数论，研究更宽泛条件下的测度与积分，高级内容归入实分析。复变函数论，研究复数域上的解析函数，高级内容归入复分析。 不过这些名词使用并不严格，广义上都可以认为是…
&p&谢邀：是的.
证明思路如下：&/p&&p&设 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J& alt=&J& eeimg=&1&& 是全体可去间断点，而且我们分成两类&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%2B%3A%3D%5C%7Bx%3B+f%28x%29%3Ef%28x-0%29%3Df%28x%2B0%29%5C%7D& alt=&J_+:=\{x; f(x)&f(x-0)=f(x+0)\}& eeimg=&1&& , 或者 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%7B-%7D%3D%5C%7Bx%3B+f%28x%29%3Cf%28x-0%29%3Df%28x%2B0%29%5C%7D& alt=&J_{-}=\{x; f(x)&f(x-0)=f(x+0)\}& eeimg=&1&& ,&/p&&p&这里 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x-0%29%3D%5Clim_%7Bt%5Cto+x%5E%7B-%7D%7D+f%28t%29& alt=&f(x-0)=\lim_{t\to x^{-}} f(t)& eeimg=&1&& , &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%2B0%29%3D%5Clim_%7Bt%5Cto+x%5E%2B%7Df%28t%29& alt=&f(x+0)=\lim_{t\to x^+}f(t)& eeimg=&1&& . 我们只需要证明两个都是至多可数的就好。我们选择 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%2B& alt=&J_+& eeimg=&1&& ,关键技巧是这样的，对于任意 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+J_%2B& alt=&x\in J_+& eeimg=&1&& ，我们一定可以找到一个有理数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&& 和一个自然数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& ,使得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5Cin+B_%7B1%2Fn%7D%28x%29%5Csetminus+%5C%7B0%5C%7D%5Cimplies+f%28x%29%3Er%3Ef%28y%29& alt=&y\in B_{1/n}(x)\setminus \{0\}\implies f(x)&r&f(y)& eeimg=&1&& . &/p&&p&我们按照这个进行分类，不妨把满足同样 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 的间断点合为一个集合 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%7Bqn%7D& alt=&J_{qn}& eeimg=&1&& ， 我们论断这个集合中的点是至多可数的，否则，它存在一个凝聚点。特别的，存在两个点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 使得 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Ca-b%7C%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D& alt=&|a-b|&\frac{1}{n}& eeimg=&1&& 而且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%5Cin+J_%7Bqn%7D& alt=&a,b\in J_{qn}& eeimg=&1&& 这是不可能的，因为根据 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Cin+J_%7Bqn%7D& alt=&a\in J_{qn}& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b%5Cin+B_%7B1%2Fn%7D%28a%29& alt=&b\in B_{1/n}(a)& eeimg=&1&& ,我们知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28b%29%3Cr%3Cf%28a%29& alt=&f(b)&r&f(a)& eeimg=&1&& ，类似的，又因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b%5Cin+J_%7Bqn%7D& alt=&b\in J_{qn}& eeimg=&1&& ，我们知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28b%29%3Er& alt=&f(b)&r& eeimg=&1&& 。矛盾。所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%7Bqn%7D& alt=&J_{qn}& eeimg=&1&& 是至多可数的。如此，我们可以根据&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%7B%2B%7D%3D%5Cbigcup_%7Bq%5Cin+%5Cmathbb%7BQ%7D%7D%5Cbigcup_%7Bn%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%7DJ_%7Bqn%7D& alt=&J_{+}=\bigcup_{q\in \mathbb{Q}}\bigcup_{n\in \mathbb{N}}J_{qn}& eeimg=&1&& ,&/p&&p&知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_%2B& alt=&J_+& eeimg=&1&& 是至多可数的。类似的我们可以证明 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=J_-& alt=&J_-& eeimg=&1&& 是至多可数的。 &/p&&p&这个思路也可以推广到证明“可去间断点”的情况（作为习题，大家可以试一试），&b&本质上是一个“鸟笼原理”，重点在于找到一个可数，但是足以产生矛盾的“分类方法”，为什么我选择有理数而不是实数？因为有理数可数，而且足够强了&/b&。周民强的书上有一个“类似但是有点不同”的证明思路，虽然他是处理单边条约间断点。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-8e15ac7f243da17daddc7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1284& data-rawheight=&334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1284& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-8e15ac7f243da17daddc7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-881bfce315ba7cc3347fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1364& data-rawheight=&854& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1364& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-881bfce315ba7cc3347fc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4f18c4d9ede088b4f16e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&288& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4f18c4d9ede088b4f16e_r.jpg&&&/figure&
谢邀：是的. 证明思路如下：设 J 是全体可去间断点，而且我们分成两类J_+:=\{x; f(x)&f(x-0)=f(x+0)\} , 或者 J_{-}=\{x; f(x)&f(x-0)=f(x+0)\} ,这里 f(x-0)=\lim_{t\to x^{-}} f(t) , f(x+0)=\lim_{t\to x^+}f(t) . 我们只需要证明两个都是至多可数的就好…
&p&谢邀，不可能，单调函数一定是几乎处处可导的。这是因为它是有界变差的。这些都是实变函数的基本结果，在大部分实分析上都有。有趣的是你可以找到处处可导但是无处单调（也就是在任意区间上不单调）的函数。一个简短的证明如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.ams.org/journals/proc//S76-/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&ams.org/journals/proc/1&/span&&span class=&invisible&&976-056-01/S76-/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&实际上这个论文证明了这类函数比那么有单调区间的函数多得多。（这个论文很短，只有两页，有泛函基础的同学可以在吃饭的时候看完）实际上，那种至少存在一个区间是单调的函数是第一纲的。而病态的函数才是大多数。&/p&&p&所以你得有一个印象：&b&单调是很强的性质&/b&&/p&
谢邀，不可能，单调函数一定是几乎处处可导的。这是因为它是有界变差的。这些都是实变函数的基本结果，在大部分实分析上都有。有趣的是你可以找到处处可导但是无处单调（也就是在任意区间上不单调）的函数。一个简短的证明如下：实际上…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfe479bc7dd2a3_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&623& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfe479bc7dd2a3_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&第一部分：泊松方程&/b&&/h2&&p&考虑早在中学就已经熟悉了的万有引力定律和牛顿第二定律：&/p&&p&万有引力定律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28r%29%3D%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%5E%7B2%7D+%7D+& alt=&F(r)=\frac{GMm}{r^{2} } & eeimg=&1&&，&/p&&p&牛顿第二定律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%3Dma& alt=&F=ma& eeimg=&1&&，下面，我们对二者进行一定程度的“变形”。&/p&&p&&b&1，万有引力定律：&/b&&/p&&p&类比静电场的库仑定律与高斯定律，万有引力定律可以写成：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D+g%5Ccdot+ndS%3D-4%5Cpi+GM& alt=&\oint_{S}^{} g\cdot ndS=-4\pi GM& eeimg=&1&&，&/p&&p&考虑到：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coint_%7BS%7D%5E%7B%7D+g%5Ccdot+ndS%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+%28D%5Ccdot+g%29dV& alt=&\oint_{S}^{} g\cdot ndS=\int_{V}^{} (D\cdot g)dV& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M%3D%5Cint_%7BV%7D%5E%7B%7D+%5Crho+%28x%2Cy%2Cz%29dV& alt=&M=\int_{V}^{} \rho (x,y,z)dV& eeimg=&1&&，其中，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g%3D%5Cfrac%7BF%28r%29%7D%7Bm%7D+& alt=&g=\frac{F(r)}{m} & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho+& alt=&\rho & eeimg=&1&&为密度，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&为哈密顿算子。&/p&&p&将其代入上式可得：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Cphi+%3D4%5Cpi+%5Crho+& alt=&\Delta \phi =4\pi \rho & eeimg=&1&&，即为引力场的泊松方程。&/p&&p&&b&2，牛顿第二定律：&/b&&/p&&p&考虑除了万有引力之外不受其他力的粒子，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%7D+%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi+%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi%7D+%7D+& alt=&F_{i} =-\frac{\partial \phi }{\partial x^{i} } & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%3D%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7D+x%5E%7Bi%7D+%7D%7Bdt%5E%7B2%7D+%7D+& alt=&a=\frac{d^{2} x^{i} }{dt^{2} } & eeimg=&1&&，所以可得牛顿第二定律可写为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7Dx_%7Bi%7D++%7D%7Bdt%5E%7B2%7D+%7D%3D-+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi+%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi%7D+%7D+& alt=&\frac{d^{2}x_{i}
}{dt^{2} }=- \frac{\partial \phi }{\partial x^{i} } & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3& alt=&i=1,2,3& eeimg=&1&&.&/p&&br&&h2&&b&第二部分：牛顿引力的几何表述&/b&&/h2&&p&&b&1，绝对时间：&/b&&/p&&p&牛顿的时空观是非常“直观”的，下面我们把它用4维流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&表述出来。&/p&&p&四维流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上存在一个光滑函数，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t%3AM%5Crightarrow+R%5E%7B1%7D++& alt=&t:M\rightarrow R^{1}
& eeimg=&1&&，可见它就是绝对时间。对&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+p%5Cin+M& alt=&\forall p\in M& eeimg=&1&&，存在一个等&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&，它是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&中的超曲面，容易发现，这里的超曲面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&，即为我们熟知的三维欧几里得空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%7B3%7D+& alt=&R^{3} & eeimg=&1&&。&/p&&p&&b&2，万有引力与测地线：&/b&&/p&&p&除了引力之外不受其他力的粒子称为“自由粒子”，容易发现，自由粒子的轨迹就是流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&中的测地线，下面我们尝试将牛顿引力几何化。&/p&&p&质点只受引力作用的牛顿第二定律：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7Dx%5E%7Bi%7D++%7D%7Bdt%5E%7B2%7D+%7D%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi+%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi%7D+%7D+%3D0& alt=&\frac{d^{2}x^{i}
}{dt^{2} }+ \frac{\partial \phi }{\partial x^{i} } =0& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%3D1%2C2%2C3& alt=&i=1,2,3& eeimg=&1&&，&/p&&p&四维流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&的测地线方程：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E%7B2%7Dx%5E%7B%5Cmu+%7D++%7D%7Bdt%5E%7B2%7D+%7D+%2B%5CGamma+_%7B%5Cnu+%5Csigma+%7D%5E%7B%5Cmu+%7D+%5Cfrac%7Bdx%5E%7B%5Cnu+%7D+%7D%7Bdt%7D+%5Cfrac%7Bdx%5E%7B%5Csigma+%7D+%7D%7Bdt%7D+%3D0& alt=&\frac{d^{2}x^{\mu }
}{dt^{2} } +\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu } \frac{dx^{\nu } }{dt} \frac{dx^{\sigma } }{dt} =0& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu+%3D0%2C1%2C2%2C3& alt=&\mu =0,1,2,3& eeimg=&1&&，&/p&&p&对比以上两式可以发现，如果我们要将牛顿引力几何化，可以做一下假设：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma+_%7B00%7D%5E%7Bi%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi+%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi%7D+%7D+& alt=&\Gamma _{00}^{i} =\frac{\partial \phi }{\partial x^{i} } & eeimg=&1&&，其他的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma+_%7B%5Cnu+%5Csigma+%7D%5E%7B%5Cmu+%7D+%3D0& alt=&\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu } =0& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu+%3D0%2C1%2C2%2C3& alt=&\mu =0,1,2,3& eeimg=&1&&，下面我们尝试用它来计算牛顿时空（流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&）上联络&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D_%7Ba%7D+& alt=&D_{a} & eeimg=&1&&对应的黎曼曲率张量与里奇张量：&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu+%5Cnu+%5Csigma+%7D%5E%7B%5Crho+%7D+%3D%5CGamma+_%7B%5Cmu+%5Csigma+%2C%5Cnu+%7D%5E%7B%5Crho+%7D+-%5CGamma+_%7B%5Cnu+%5Csigma+%2C%5Cmu+%7D%5E%7B%5Crho+%7D+%2B%5CGamma+_%7B%5Csigma+%5Cmu+%7D%5E%7B%5Clambda+%7D+%5CGamma+_%7B%5Cnu+%5Clambda+%7D%5E%7B%5Crho+%7D-+%5CGamma+_%7B%5Csigma+%5Cnu+%7D%5E%7B%5Clambda+%7D+%5CGamma+_%7B%5Cmu+%5Clambda+%7D%5E%7B%5Crho+%7D& alt=&R_{\mu \nu \sigma }^{\rho } =\Gamma _{\mu \sigma ,\nu }^{\rho } -\Gamma _{\nu \sigma ,\mu }^{\rho } +\Gamma _{\sigma \mu }^{\lambda } \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }- \Gamma _{\sigma \nu }^{\lambda } \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu+%5Csigma+%7D%3D+R_%7B%5Cmu+%5Cnu+%5Csigma+%7D%5E%7B%5Cnu+%7D+& alt=&R_{\mu \sigma }= R_{\mu \nu \sigma }^{\nu } & eeimg=&1&&，将我们的假设带入两式可得：&br&&/p&&p&黎曼曲率张量：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B0i0%7D%5E%7Bj%7D+%3D-R_%7Bi00%7D%5E%7Bj%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5E%7B2%7D%5Cphi++%7D%7B%5Cpartial+x%5E%7Bi%7D+%5Cpartial+x%5E%7Bj%7D+%7D+& alt=&R_{0i0}^{j} =-R_{i00}^{j} =\frac{\partial ^{2}\phi
}{\partial x^{i} \partial x^{j} } & eeimg=&1&&，其他的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu+%5Cnu+%5Csigma++%7D%5E%7B%5Crho+%7D+%3D0& alt=&R_{\mu \nu \sigma
}^{\rho } =0& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&里奇张量：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B00%7D%3D%5CDelta+%5Cphi++%3D4%5Cpi+G%5Crho+& alt=&R_{00}=\Delta \phi
=4\pi G\rho & eeimg=&1&&，其他的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu+%5Cnu+%7D+%3D0& alt=&R_{\mu \nu } =0& eeimg=&1&&，&/p&&br&&h2&&b&第三部分：牛顿时空的几何结构&/b&&/h2&&p&&b&1，&/b&由以上讨论容易发现，牛顿时空并不平直，但其超曲面&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&（三维欧氏空间）是平直的。&/p&&p&&b&2，&/b&流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上的联络&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=D_%7Ba%7D+& alt=&D_{a} & eeimg=&1&&可以在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&上诱导出联络&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+_%7Ba%7D+& alt=&\partial _{a} & eeimg=&1&&，其相应的克里斯托费尔符号&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma+_%7Bjk%7D%5E%7Bi%7D%3D0+& alt=&\Gamma _{jk}^{i}=0 & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=i%2Cj%2Ck%3D1%2C2%2C3& alt=&i,j,k=1,2,3& eeimg=&1&&，且&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&上的度规为欧式度规&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+_%7Bab%7D+& alt=&\delta _{ab} & eeimg=&1&&，&/p&&p&&b&3，&/b&容易发现，我们无法在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上定义一个满足定义的度规，因为可以找到的“度规”都是退化的，所以，流形&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&（牛顿时空）实际上是一个没有度规却有联络存在的流形。&/p&&p&&b&4，&/b&在广义相对论中，对时空&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28M%2Cg_%7Bab%7D+%29& alt=&(M,g_{ab} )& eeimg=&1&&做“3+1分解”时必须满足两个条件：&/p&&p&（1）存在微分同胚，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3AM%5Crightarrow+R%5Ctimes+%5CSigma+& alt=&T:M\rightarrow R\times \Sigma & eeimg=&1&&，由此可以得到分层面族&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5CSigma+_%7Bt%7D++%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ \Sigma _{t}
\right\} & eeimg=&1&&和曲线族&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cgamma+_%7Bp%7D++%5Cright%5C%7D+& alt=&\left\{ \gamma _{p}
\right\} & eeimg=&1&&，其中，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cin+%5CSigma+& alt=&p\in \Sigma & eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t%5Cin+R& alt=&t\in R& eeimg=&1&&，&/p&&p&（2）用&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上度规&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bab%7D+& alt=&g_{ab} & eeimg=&1&&衡量，每一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+_%7Bt%7D+& alt=&\Sigma _{t} & eeimg=&1&&都是类空超曲面，每一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma+_%7Bp%7D+& alt=&\gamma _{p} & eeimg=&1&&都是类时线，&/p&&p&但在这里的牛顿时空&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&中无法定义度规，且没有第二个限制。&/p&
第一部分：泊松方程考虑早在中学就已经熟悉了的万有引力定律和牛顿第二定律：万有引力定律：F(r)=\frac{GMm}{r^{2} } ，牛顿第二定律：F=ma，下面，我们对二者进行一定程度的“变形”。1，万有引力定律：类比静电场的库仑定律与高斯定律，万有引力定律可以…
&p&&b&1.我，AI，数学天才&/b&&/p&&p&玩家1：5份铁，10金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：太贵了，不买。&/p&&p&玩家1：那你愿意出多少？&/p&&p&AI：5金/回合。&/p&&p&玩家1：……（思考）&/p&&p&玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：欧尅！&/p&&p&玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：欧尅！&/p&&p&玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：欧尅！&/p&&p&玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：欧尅！&/p&&p&玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？&/p&&p&AI：欧尅！&/p&&p&玩家1：你的数算得也忒好了，和你合作实在是太愉快了！&/p&&p&&b&解释：&/b&AI算钱会依据心理价位进行四舍五入/上下取整，然后接受区间内的价位。所以2份1.5金的资源AI只肯给3金，但1份1.5金的资源你可以卖他2金，2份拆开卖得到了4金。同时AI没有记忆，意识不到玩家1在进行奸诈的重复零售。这两点共同作用，使玩家能够拿下利益最大化的国际订单。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2.朕的奇观呢，刚才还在这里的，怎么没了？&/b&&/p&&p&玩家1在家蒙头建造大金字塔造得正嗨，突然天空传来Duang一声巨响，传令官告诉玩家1，成吉思汗已经在蒙古建成了大金字塔。然后也不知道谁规定的，这大金字塔玩家1就不许造了，然后之前造一半的工地唰地变成了80块钱。&/p&&p&恩，在某文明造好奇观的一瞬间，其他文明家里在建的相同奇观就一齐消失，这怕不是个宏观量子世界吧，奇观一直处于在我家和在别人家之间的叠加态里，在Duang一声效应发生后，就坍缩到了别人家里。&/p&&p&&b&解释：&/b&好吧，同一个奇观全世界只允许存在一个，无论从游戏性还是现实性的角度来看貌似都挺有道理的，但是还是好不爽啊，没了佩特拉怎么种庄稼！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3.我的顾问都是内奸吧！&/b&&/p&&p&玩家1：我有长剑一名，驽手两支，大军坐地，据天险以守，万夫莫开。&/p&&p&军事顾问：法国的军队具有把我们从地图上彻底抹去的能力，我们必须想尽一切办法和他们维持和平（快给法国纳上岁币吧）！&/p&&p&拿破仑：我注意到你的帝国一蹶不振了，你是不是忘记了扩展领土。你的军队真弱，我很惊讶你居然没被蛮族征服。（敌对）&/p&&p&玩家1：谴责！&/p&&p&拿破仑：你苟活一天都是对我的羞辱！开战吧！（宣战）&/p&&p&……&/p&&p&顾问：我强烈建议您和拿破仑议和，其对我们的生存造成严重威胁！（赶紧割地赔款向法国求饶吧）&/p&&p&……&/p&&p&拿破仑：是时候放下我们的武器了。&/p&&p&拿破仑：这还不是结束这场战争的时候吗？&/p&&p&拿破仑：为了我们两国的友谊，让我们共创和平吧。&/p&&p&啧，这仗能不能打赢，我的AI和对面的AI心里好像都没什么B数。（上述台词全部来自游戏台本）&/p&&p&&b&解释：&/b&游戏对军力的估算算法很迷，AI的兵法更迷，坚决贯彻远程冲脸、近战殿后、有水下水、攻滨海城时优先考虑派枪兵划船撞城的诡道思路。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4.大家先别吃饭了，不然就要饿死了！&/b&&/p&&p&底比斯身处荒漠，又被希腊军占地围困，粮食产量远远不足以满足城内人口的需求，粮食净增长已然变为负数，眼看马上就要有市民由于余粮耗尽而被饿死。&/p&&p&这时伟大的国王拉美西斯二世站了出来，给全体市民做了一次别开生面的演讲。演讲指出，由于全城人民即将出现第一个被饿死的倒霉鬼，所以市政府决定组建一支开拓部队去外界寻找肥沃的土地。为了给开拓部队让道，在此期间请广大农民停止种地，并请所有市民闭上狗嘴不要吃饭。市民听了演讲纷纷欢呼雀跃，决心一起扛过这一困难时期。&/p&&p&多年后希腊军大败而归，围城的18支复合弓部队竟然被几近全歼，在外围支援的城管部队也只好撤军而归。向得以幸存的士兵问起当年的战况，他们往往会露出恐惧的神色，诉说着底比斯城内住的不是活人而是丧尸。当时希腊军队将底比斯团团围住，占据了所有农田，底比斯无法产粮，存粮耗尽，市民理应一个接一个地死于饥荒。但奇怪的是，多年围城竟全然不见城内市民有所减少。据在近处攻城的希腊弓箭手描述，城内每隔一段时间便会凭空出现一队带着大包小包的拓荒者，随后却立即消失得无影无踪。如此循环，直到攻城部队被消灭殆尽，底比斯的人口也没有减少。希腊军队因此闻风丧胆，悻悻而归。&/p&&p&&b&解释：&/b&文明5里人口和粮食槽挂钩，粮食净产出=总产量-人口消耗，每回合的产出填进粮食槽，满了就加1人口。如果净产出为负，把粮食槽减空了，就减一人口。当生产开拓者时，城市粮食被强制设置为0增长，高达+50的净产出会变成0，低至-20的赤字型净产出也会变为0。所以在城市面临饥荒时，只要一直进行“生产开拓者——删除单位——生产开拓者——删除单位……”的操作，就可以保证人口不减少，表现出来就成了市民既不种田也不吃饭但就是不饿死……&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7ba498e9ad_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&215& data-rawheight=&98& class=&content_image& width=&215&&&figcaption&粮食净产量为负，城市面临饥荒&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4ce8eca4debce6cc2ee6a8f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&215& data-rawheight=&99& class=&content_image& width=&215&&&figcaption&命令城市生产开拓者，市民纷纷绝食免于饥荒&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&5.市民们吃上地沟油以后成长得更加茁壮健康了！&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fedee981e0ff_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&710& data-rawheight=&221& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&710& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fedee981e0ff_r.jpg&&&figcaption&涨人口神器——引水渠&/figcaption&&/figure&&p&前面说过，文明5里人口增长的方式是，粮食槽堆满后+1人口，此时粮食槽会清空，代表储备的粮食被繁衍出的人吃掉了。&/p&&p&然后有个叫引水渠的建筑，效果是在人口+1时让粮食槽不被清空，留下40%来，在游戏性上达到了加快人口增长的效果。&/p&&p&恩，灌溉用的引水渠应该是增加粮食产量，但这个引水渠和一般的引水渠截然不同，这种把吃剩的收回来的洒脱操作……emmm……这分明就是在刮地沟油给市民吃吧喂！&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d51c5a5ad4e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&724& data-rawheight=&241& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&724& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d51c5a5ad4e_r.jpg&&&figcaption&黑心医学实验室&/figcaption&&/figure&&p&到了现代生物科技和医疗技术发达了，然后你们就能更狠更有效地刮地沟油了是吧？40+25，市民们吃进去拉出来然后捞回65%给大伙继续吃哦？这已经不是在刮地沟油了吧，这已经是下水道回收再利用了吧！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&6.一个穆斯林顶三个基督徒&/b&&/p&&p&在4个宗教建筑中，清真寺提供的信仰值是最多的，达到了大教堂信仰值的三倍。&/p&&p&哦，我的上帝，你家的信徒完全没有别人虔诚啊！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8d04c15b0a56443dcc89b2_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&726& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&726& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8d04c15b0a56443dcc89b2_r.jpg&&&figcaption&【清真寺】+1快乐，+2文化，+3信仰。&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-daa2f6011f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&725& data-rawheight=&524& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&725& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-daa2f6011f_r.jpg&&&figcaption&【大教堂】+1快乐，+1文化，+1信仰，+1艺术品槽位。&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&7.你们所有人都和雕像有仇吗？&/b&&/p&&p&一座城被攻破的时候，城里的普通建筑会随机保留几栋，剩下的被摧毁。&/p&&p&有几类建筑会百分百被摧毁，分别是——&/p&&p&城墙、城堡之类的防御工事（没毛病，城被打下来了防御工事烂了很正常）&/p&&p&兵营、军校之类的军事建筑（emmm，应该的应该的）&/p&&p&纪念碑、歌剧院、广播塔等等文化建筑（？？？）&/p&&p&为什么你们这个位面的所有人攻完城以后都不约而同地，把人民群众喜闻乐见的茶余饭后的消遣场所全给干了？？你们是不是想站到人民的对立面上去？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&8.伟人界的竞争这么残酷的吗&/b&&/p&&p&每当诞生一个文学家，酝酿下一个文学家需要消耗的伟人点数+100（干吗呀，我兰陵笑笑生写本书出来，你们其他人都被吓得100年不敢写书了还是咋的？）。&/p&&p&每当诞生一个艺术家，酝酿下一个艺术家需要消耗的伟人点数+100（哦，你们这些文科生都这么怂，见到个牛逼的剩下人都不敢冒头了是吧？）。&/p&&p&每当诞生一个科学家，酝酿下一个科学家需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个工程师需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个商业家需要消耗的伟人点数+100。&/p&&p&每当诞生一个工程师，酝酿下一个科学家需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个工程师需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个商业家需要消耗的伟人点数+100。&/p&&p&每当诞生一个商业家，酝酿下一个科学家需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个工程师需要消耗的伟人点数+100，酝酿下一个商业家需要消耗的伟人点数+100。&/p&&p&（好吧，你们理科生更加厉害，隔行震慑，牛批牛批）&/p&&p&大军事家的诞生方式：前线部队在异国他乡浴血拼杀，天空一声响，从自己家里钻出来了一个大将军。你谁啊，哪来的啊，你不会叫赵括吧？&/p&&p&海军上将可以直接从一个港城转移到另一个港城，运输效率比飞机还高。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&9.你以为我是马？其实我是驴da！&/b&&/p&&p&马是马。&/p&&p&驴不是马。&/p&&p&骆驼是马。&/p&&p&商队的骆驼不是马。&/p&&p&马拉车需要马。&/p&&p&法老的马拉车不需要马。&/p&&p&大将军骑的马不是马。&/p&&p&大将军不是军事单位，是摸一下就死的平民单位。&/p&&p&我国伟大的大将军曹操，在野外，被蛮族勇士，无伤踩死了（丞相，寡不敌众不可耻，临死拉几个垫背的都办不到吗？）。&/p&&p&两国交战，遇到敌军大预言家可以俘虏，遇到科学家只能直接踩死。我要举报这个游戏封建迷信反对科学。&/p&&p&军队可以&b&无伤&/b&瞬间制服陆地上的平民单位，但是划船干平民会扣血，感情进攻的时候自己脚滑掉海里淹死了是吧？。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&10.你们这些城邦就是活该被人灭！&/b&&/p&&p&边上的城邦被其他文明打了，玩家1出于人道主义精神，不想城邦被灭，于是派出几支军队守住了城邦周围的通路（站在城邦边上占住格子，让其他文明没法攻城），但因为玩家1和城邦还不是朋友关系，军队停留在城邦境内会掉好感度。所以就变成了——&/p&&p&铁木真：颤抖吧渣渣！凭你小小的撒马尔罕也想挡住我蒙古铁蹄吗！&/p&&p&撒马尔罕：我们希望有人能投入兵力援助我们的战事！&/p&&p&玩家1：看我卡位神技，极限救人，蒙古人没有丝毫攻城的可能性！就算会飞也进不来！&/p&&p&撒马尔罕：你怎么能非法进入我们的领土呢！生气！生气！生气！&/p&&p&玩家1：……臭逼白眼狼，以为我不敢打你吗！&/p&&p&玩家1占领了撒马尔罕。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个任务正确的完成方式是，把军事单位送给城邦，而不是派军队冲进城邦干蒙古人。&/p&&p&举个例子。美军登陆朝鲜半岛了！志愿军出动！志愿军浴血奋战！金将军发话了，你们这帮中国佬怎么能随便跑到我们领土里来呢！生气！好感度-60。要想+好感，只有把志愿军包装成礼盒送给金将军……打不打得赢你管不到，打完以后你的国际援助部队也被变成外国人回不来了……&/p&&p&但如果城邦发布了【清剿入侵的蛮族】的任务，那你的军队就可以在城邦境内随意来去不会降好感了，意思就是在城邦眼里，被蒙古攻城的危险性还不如被蛮族挂挂地块高，蒙古人兵临城下了玩家都不能直接帮他们，蛮族进来逛一圈城邦立马吓得对全世界开放边境，恩，你们开心就好。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&11.奇观要是功能不奇怪，那还能叫奇观吗！&/b&&/p&&p&勃兰登堡门，横看竖看都是一个军事奇观，第一个效果也确实是军事类的，建成时诞生一个大军事家。令人费解的是它还+2点大科学家点数，相当于三分之一个满载的大学，或者相当于2个哈勃望远镜。甚至一部分抠细节追求200T飞船的玩家都会忽视这个冷门奇观……实在是，从文化背景和游戏性上都找不到这货能+大科点的理由。和它类似的还有德里红堡，一个城墙类奇观居然也+1点大科点。这俩+起来的3点大科点应该可以算是文明5里最没头没脑的伟人点了。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-67fcdfcbac4cbae20f5f04_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&723& data-rawheight=&574& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&723& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-67fcdfcbac4cbae20f5f04_r.jpg&&&figcaption&呃…我大德意志科技世界第一！所以能加大科点？&/figcaption&&/figure&&p&大金字塔，蒙古的。&/p&&p&长城，圆的。&/p&&p&泰姬陵，现实里耗费过巨造城了莫卧儿王朝的衰弱，建成不久国王就被囚禁了。在文明5中，建成泰姬陵时举国上下进入黄金时代，金钱大丰收，文化和建筑产业纷纷上扬20个百分点，全国人民都变快了了4点。你这和原型完全相反的效果是不是故意弄出来讽刺的啊……&/p&&p&加拿大电视塔，建成后所有城市人口+1。emmm，我懂，制作了鼓励多生多育的电视节目在全国播放是吧……&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&12.把一切资本主义牛鬼蛇神全部打倒！&/b&&/p&&p&文明5里有三种意识形态，独裁、秩序和自由，其中由于秩序线路上的政策比起另外两者要有劲得多，所以一局游戏发展到后期往往大部分的AI都选择了社会主义路线……&/p&&p&和华盛顿打声招呼，他嘴上说着“你也是自由的伙伴吗”，对话框里却写着“让我们在下一个五年计划中相互扶持吧”……恩，社会社会，看来纽约赤化是无可避免的天下大势（滑稽）。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-9fad71cdf51808fd8fccb6eaefcfbdfc_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&573& data-rawheight=&598& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&573& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-9fad71cdf51808fd8fccb6eaefcfbdfc_r.jpg&&&figcaption&社会主义好啊社会主义好，社会主义社会人民力量高&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&结语彩蛋，分享我玩得最绝望的一刻&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-304f844a81ca1c33fa3fe8a08ed9778a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-304f844a81ca1c33fa3fe8a08ed9778a_r.jpg&&&/figure&&p&佩特拉沙丘城唾手可得，某个盟友城邦跑得比谁都快，占领，烧城一气呵成……&/p&
1.我，AI，数学天才玩家1：5份铁，10金/回合，老哥买不买？AI：太贵了，不买。玩家1：那你愿意出多少？AI：5金/回合。玩家1：……（思考）玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？AI：欧尅！玩家1：1份铁，2金/回合，老哥买不买？AI：欧尅！玩家1：1份铁，2金…
我记得lfsr生成的伪随机序列的autocorrelation对于整周期序列而言正好是R(0)=N，其他点都为-1，这个时候做出来的频谱也自然是理想中的白噪声频谱。而序列长度不是整周期时，autocorrelation也不是那么理想的曲线，fft出来的结果偏差比较大也很正常。&br&&br&单从频谱角度来说，其实我认为254点的结果也够平的了，化成db差别没多大，现实中频谱的正常噪声波动也有这个水平。
我记得lfsr生成的伪随机序列的autocorrelation对于整周期序列而言正好是R(0)=N，其他点都为-1，这个时候做出来的频谱也自然是理想中的白噪声频谱。而序列长度不是整周期时，autocorrelation也不是那么理想的曲线，fft出来的结果偏差比较大也很正常。 单从频…
&p&首先两个东西都重要，但是概念特别重要。 以我在知乎答题和回答他人的问题的经验来看，大部分人的错误本质上都是&b&“概念理解”错误造成的&/b&。 或者说，那些学习者很多都是因为概念把握不好导致的错误理解。 &b&而且越是高阶（抽象）的数学，其中对于概念的理解越是重要。其实很多定理，你只要“真的”理解了概念，那么定理就是自然的。&/b& 我一般不喜欢对别人的学习方法指手画脚，但是题主这种概念都不看的学习方法是很危险的，特别是学习到泛函分析、抽象代数这种“抽象”等级越来越高的科目后，这种“不看概念”的危险就会立刻显现出来。&/p&&p&第一，因为不看概念的人总是喜欢做简单类比，把一些日常的“观念”套用在没理解清楚“的概念上就会造成非常错误的“误解”。 因为大部分的后续“抽象概念”多多少少都会反常识，不看概念或者轻看概念的人会把“直觉和常识”就当成对的。在分析这一块，这是极其危险的举动。 分析的严格性导致了一旦对概念有一个“词”的不清晰就会导致整个逻辑链的崩塌。 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&dhchen：有哪些经典的反直觉数学结论？&/a& 我在这个回答中列出很多这种东西。 我同意甚至提倡在学习的使用恰当的“类比”和“形象化”，&b&但是那你永远要认清楚那只是比喻，切不可把不精确的比喻“套用”在概念理解和定理证明中&/b&。&/p&&p&第二，我个人在学习数学的时候，&b&概念是我扣得最清晰的，花的时间也是最多的。&/b&碰到一个概念，简单记忆是最基础的，然后每个字每个字想一遍，想一想例子，在脑子中构造符合这个定义的“具体例子”。然后问自己一个问题“这个概念有什么用”，为什么要有这个定义？&b&带着这个问题读后续的的内容，一般来说你读完一本书后能回答出每个概念有什么用，那么你算基本过关了&/b&。而且我个人觉得一个人的数学水平往往体现在它对一个概念的解读上。这里的是“解读”而不是“背诵“。 &b& 我甚至会去比较不同书上“同一个名字”下概念的表述的区别在哪里。&/b&很多书上对一个“名字”的定义是不一样的，这点区别对于后续定理的证明是影响很大的。优秀的人也能解读出一个概念不同定义的细微区别。 &b&很多时候一个“概念”的两个等价表达往往就是重要的定理&/b&。比如连续性的等价刻画，比如紧性的等价刻画。 当然了，这是我个人的习惯，听不听在你。 &/p&&p&第三，&b&最重要的定理往往牵涉到的是几个“最重要的概念”，表述经常是A=B&/b&。为什么？因为很多概念本质上是“后验”的， 一个数学概念有时候是一个定理“条件”的打包。举一个例子吧，一个定理可以写成这样：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ccbba0dad8d491f1d1db5_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&998& data-rawheight=&1504& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&998& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ccbba0dad8d491f1d1db5_r.jpg&&&/figure&&p&是不是看得想死？如果它把那些条件进行“概念打包”（相关性条件定义成一个概念后），就会是这样的表述：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-205bbe4825f51adce116e5965daeb1a1_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&1110& data-rawheight=&156& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1110& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-205bbe4825f51adce116e5965daeb1a1_r.jpg&&&/figure&&p&&b&这可不是只为了表述简单，因为数学家也不是吃干饭的，他们在长期实践过程中会发现，&/b&某些打包的“条件”（“概念”）是最好用的，慢慢优胜劣汰，所以精选出了那些干货，写在教科书上。可以这样说把，教科书的概念每一个都值得大书特书。可惜，能讲到什么程度存粹看教材的水平和讲师的level了。 这些概念本质上都牵涉到很多“具体的数学定理和结论”，可以说某种意义上“数学方法”的体现。某一个数学方法只能在一类“数学对象上”有效，那些对象往往会被给予一类名字。 所以本质上，理解概念、理解定理和理解方法是有统一的一面的。在学术中，我们经常使用一个说法“&b&使用（利用）一个概念&/b&”，因为“使用一个概念”往往非常本质，你只要“洞悉了”这个概念，你用不用这个概念证明思路会差别非常大。当然了，这是到了高等级的数学才会慢慢显现出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&最后，我非常郑重地说一句，我不要求你多理解概念，这个看你个人水平。&b&但是千万别理解错了，否则你问个问题别人都没法回答，因为你的概念都是错的，你让别人怎么回答呢？ &/b&&/p&&p&&b&PS:
&/b&避免有人抬杠，我得说数学方法也很重要，但是数学方法的重要性太显然了，所以我就不多说了。这本来就不是二则一的事情，而是两手抓两手都要硬的事情。 &/p&
首先两个东西都重要，但是概念特别重要。 以我在知乎答题和回答他人的问题的经验来看，大部分人的错误本质上都是“概念理解”错误造成的。 或者说，那些学习者很多都是因为概念把握不好导致的错误理解。 而且越是高阶（抽象）的数学，其中对于概念的理解越…
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录
859 人关注
226 条内容
413 条内容
1924 人关注
1039 人关注
10783 条内容
584 人关注
194 条内容