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　　三角函数和平面向量都是高中数学中的重要知识点，本文总结高中数学经典题选(三角函数与平面向量)，以便同学们对该知识点进行更好的巩固和学习。(
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高考数学专题：向量与三角函数创新题型的解题技巧
&&向量与三角函数创新题型的解题技巧
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高中数学解题方法之三角函数与平面向量收藏
三角函数角的概念，正角、零角、负角就不说了，课本上现成的概念，自己看就可以下面说两个集合之间的关系比较两个集合之间的关系，第一是穷举法，第二是观察法 特殊的：如果集合A={x,x=mk+n},集合B={x,x=tk+n},当m&#65310;t 时，有A包含于B，即系数越小者，包含范围越大 但如果B={x,x=tk+_n}时，应为A=B弧度制与角度制之间的转化也不说，看课本。主要说一下几个主要的弧度所在的象限1在第一象限，2在第二象限，3在第二象限，4在第三象限， 5在第三象限，6在第四象限，7在第一象限，8在第二象限任意角的三角函数：如果α终边上有一点为（x,y)，且r=根号下（x&#x00B2;+y&#x00B2;） 则：sinα=y/r,cosα=x/r，tanα=y/x然后是三角函数在各个象限内的符号，这个一定要牢记同角三角函数基本关系式：同一个角，正弦、余弦平方和为1，正切等于正弦余弦之商；正切余切互为倒数，正弦余割互为倒数，余弦正割互为倒数，正割与正切平方差为1，余割与余切的平方差为1这些关系式的主要用途：1.根据已知的三角函数值，求未知的三角函数值（比如已知sinx，求cosx，tanx。或者用已知的三角函数值来表示未知的三角函数值）2.化简三角函数式，化简目的：函数名称最少，次数最低。 切割化弦，复角化单角，异名化同名。以达到化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式3.证明三角恒等式，求三角齐次式的值关于正弦、余弦、正切的诱导公式，九组诱导公式一定要记牢！然后说两角和差的三角函数，这个除了书上的公式需要牢记之外，还要学会拆角例如2α=（α+β）+（α-β)，2β=（α+β）-（α-β)二倍角公式除了书上说的那几个公式以外，再介绍几个tan（α/2)=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα（半角正切有理式）cos四次方x-sin四次方x=cos2x，sin&#x00B2;xcos&#x00B2;x=sin&#x00B2;2x/4, sin四次方x+cos四次方x=1-1/2乘以sin&#x00B2;2x另外，二倍角是相对的，比如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是α/2的二倍，α/2是α/4的二倍，（100°-α）是（50°-α/2）的二倍下面说三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数的对称轴就是可以取到最值的地方，对称中心就是与x轴的交点sinx&0,x∈（2kπ，2kπ+π）；sinx&0,x∈（2kπ+π，2kπ+2π）。cosx&0,x∈（2kπ-π/2,2kπ）；cosx&0,x∈（2kπ，2kπ+π/2）另外：正弦函数，余弦函数加绝对值或者平方，周期减半；但正切函数周期不变注意：sin绝对值x，sinx&#x00B2;都不是周期函数（但cos（绝对值x）还是周期函数，周期不变）还有就是正弦函数y=Asin(wx+b)的物理意义，这个理科生学过物理的应该更清楚，我就不说了。如果奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0最后说一下反三角函数，这部分一般不会单独考察（反三角的性质及运算）不会没有关系。但是在立体几何中涉及求角度的题目，要根据情况选取合适的反三角函数。
平面向量 向量的定义，0向量，平行向量，单位向量，共线向量，相等向量请对照课本掌握向量的运算：n个首尾顺次连接的向量相加，结果永远等于第一个向量的起点指向最后一个向量的终点向量的减法是由减向量的终点出发，方向指向被减向量平面向量基本定理：OP向量=xOA向量+yOB向量，如果x+y=1时A,B,P三点共线定比分点定义：内分点x&#65310;0，正向延长线上x&#65308;-1，反向延长线上-1&#65308;x&#65308;0 三角形中线所在向量等于两边所在向量和的一半定比分点的向量公式：△OAB中，D分底边AB的比为x，则OD=1/(1+x)OA向量+x/(1+x)OB向量（这个一定要注意，向量里面最讲究顺序了，一定是AB的比，如果换成BA的比，那么把OA,OB的系数换位置三角形的重心坐标公式A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)重心 D[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3] 三角形的内心坐标公式，如果三角形的三个顶点为A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)；三边为a,b,c；则内心I[(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)]关于向量的数量积，我只说一点，就是向量的数量积不满足结合律关于平移部分我要说的是：一个向量不管怎么平移，坐标都不变最后说一下解三角形（正弦定理和余弦定理）三角形面积的表示方法S△ABC=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA=abc/4R(R是外接圆的半径）锐角三角形任意两角之和大于90°，钝角三角形两锐角之和小于90°。 三角形最小角的范围是（0°，60°]，最大角的范围为（60°，180°） 锐角三角形任意两边平方和大于另一边的平方；钝角三角形夹钝角的两边的平方和小于底边的平方新射影定理（主要相对于初中时候学的）：△ABC的三角是A、B、C，它们所对的边分别是a、b、c，则有a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。另外，△ABC中，A&#65310;B，是sinA&#65310;sinB的充要条件；是cosA&#65308;cosB的充要条件；是tanA&#65310;tanB的既不充分也不必要条件（当然把角换成对边也成立）三角形三内角正切之和等于三内角正切之积；如果α+β=45°，则有（1+tanα）（1+tanβ）=2与三角形相关的向量：1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心 PA&#x2022;PB=PB&#x2022;PC=PA&#x2022;PC(内积）3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心 |PA|&#x00B2;=|PB|&#x00B2;=|PC|&#x00B2;（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8 AP=λ（AB/|AB|sin2B+AC/|AC|sin2C),λ∈[0,+∞） 经过垂心好的，向量就到这里为止了。切记向量做题时千万不要受初中平面几何知识的影响（平面几何是重在证明，平面向量是重在运算）
顺便在这个贴子里面鄙视一下那些自以为是，自命不凡，看不起文科生的理科屌丝们。你们自以为理科生很了不起，自以为你们智商就比文科生高是吧？本人就是文科生，但是，你们这些屌丝敢跟我比数学吗？顺便说一下，本人今年已经读研一了。但是高中的数学知识我到现在（我是08年高中毕业的，09年复读）都还记得。我当年之所以选文科，是因为我对历史有兴趣，所以才选的文科。
手机签到经验+8点，回三个贴经验+12点，整个过程不到五分钟，每天可增加经验20点。 理论上来说，你回再多帖子，经验也不会增长了~~ 单纯从捞经验考虑，这是最经济的泡吧方式了。。。我是来水经验的。。。。。
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专题三 三角函数与平面向量的综合应用
&&步步高 大一轮复习 高三 数学 2013
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你可能喜欢第3讲平面向量1．(2015· 福建改编)设 a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若 b⊥c，则实数 k 的值等于________． → → → 2．(2015· 四川改编)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点 M，N 满足BM＝ → → → → → 3MC，DN＝2NC，则AM· NM＝________. 3．(2015· 江苏)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________． 4．(2014· 湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)， → → → → B(0， 3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为填空题、 难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角 函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目 转化； 2． 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”， 结果向量是第一个向量的起点指向最后一个 向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被 减向量． 例1 π (1)(2014· 陕西)设 0&θ& ， 向量 a＝(sin2θ， cosθ)， b＝(cosθ， 1)， 若 a∥b， 则 tanθ＝______. 21 → → (2)如图，在△ABC 中，AF＝ AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若AB＝a，AC＝b， 3 → 且CE＝xa＋yb，则 x＋y＝________.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活 运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． → → 跟踪演练 1 (1)(2015· 黄冈中学期中)已知向量 i 与 j 不共线， 且AB＝i＋mj， AD＝ni＋j， m≠1， 若 A，B，D 三点共线，则 mn＝________. → → → → → → → (2)(2015· 北京)在△ABC 中，点 M，N 满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则 x＝ ________；y＝________.热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a· b＝|a||b|cosθ. 2．三个结论 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 → |AB|＝ ?x2－x1?2＋?y2－y1?2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y2 a· b 则 cosθ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 x2＋y2 例2 → (1)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5，CP＝→ → → → → 3PD，AP· BP＝2，则AB· AD的值是________． → → → (2) 在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60° ，若OA· OB＝ 6 ，则 |OG |的最小值是 ________． 思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法： 数量积的定义， 坐标运算， 数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练 2 (1)(2015· 山东)过点 P(1， 3)作圆 x2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 → → PA· PB＝____________________________________________.→ 1 → → → → (2)(2014· 课标全国Ⅰ)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO＝ (AB＋AC)，则AB与AC的夹角 2 为________．热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量 与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件． 例 3 已知向量 a＝(cosα， sinα)， b＝(cosx， sinx)， c＝(sinx＋2sinα， cosx＋2cosα)， 其中 0&α&x&π. π (1)若 α＝ ，求函数 f(x)＝b· c 的最小值及相应 x 的值； 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 a⊥c，求 tan2α 的值． 3思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中 的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的 过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或 者三角函数的知识解决问题． → → 跟踪演练 3 (2014· 辽宁)在△ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 a&c， 已知BA· BC 1 ＝2，cosB＝ ，b＝3.求： 3 (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值．→ 1→ 1．如图，在△ABC 中，AD＝ AB，DE∥BC 交 AC 于 E，BC 边上的中 3 → → → → 线 AM 交 DE 于 N，设AB＝a，AC＝b，用 a，b 表示向量AN.则AN等于 ________． → → → → 2．如图，BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF＝2FO，则FD· FE＝________.π 3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且 a⊥b，则 tan(2α＋ )＝________. 4 4．如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60° ，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P， → → 则OP· BP最小值是______________________________________________________．提醒：完成作业 专题三 第 3 讲二轮专题强化练 第3讲A组平面向量专题通关→ → → 1．(2015· 徐州月考)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA ＝________. → 1→ → → 2→ 2．在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且AN＝ NC，P 是 BN 边上的一点，若AP＝mAB＋ AC， 2 9 则实数 m 的值为________． → 1 → → → → → → 3．△ABC 外接圆的半径等于 1，其圆心 O 满足AO＝ (AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC 2 方向上的投影等于________. → → → → → 4．(2015· 湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA· OB＝________. → → → 1 → 5．(2015· 福建改编)已知AB⊥AC，|AB|＝ ，|AC|＝t，若点 P 是△ABC 所在平面内的一点，且 t → → → AB 4AC → → AP＝ ＋ ，则PB· PC的最大值等于________． → → |AB| |AC| → → → 6．若点 M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 5AM＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面 积比值为________． 7．(2015· 天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60° .点 E 和 F → 2→ → 1 → → → 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE＝ BC，DF＝ DC，则AE· AF的值为________． 3 6 8．设向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积 a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量 m＝(2， 1 π → )，n＝( ，0)，点 P(x，y)在 y＝sinx 的图象上运动，Q 是函数 y＝f(x)图象上的点，且满足OQ 2 3 → ＝m?OP＋n(其中 O 为坐标原点)，则函数 y＝f(x)的值域是________． π 9．(2015· 无锡模拟)设向量 a＝( 3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0， ]． 2 (1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a· b，求 f(x)的最大值．2π 10．已知向量 a＝(2sin(ωx＋ )，0)，b＝(2cosωx,3)(ω&0)，函数 f(x)＝a· b 的图象与直线 y＝ 3 －2＋ 3的相邻两个交点之间的距离为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．B 组 能力提高11．已知非零单位向量 a 与非零向量 b 满足|a＋b|＝|a－b|，则向量 b－a 在向量 a 上的投影为 ________． 12．已知 a，b 是单位向量，a· b＝0，若向量 c 满足|c－a－b|＝1， 则|c|的取值范围是________． kπ kπ kπ? 11 13 ． (2015· 江苏 ) 设向量 ak＝ ? ak ＋ 1) 的值为 ?cos 6 ，sin 6 ＋cos 6 ? (k＝0,1,2 ，?， 12)，则 (ak·k ＝0?________． 14．(2014· 陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点 P(x，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． → → → → (1)若PA＋PB＋PC＝0，求|OP|； → → → (2)设OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，用 x，y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．学生用书答案精析 第3讲高考真题体验 3 1．－ 2 解析 c＝a＋kb＝(1,2)＋k(1,1)＝(1＋k,2＋k)，∵b⊥c，∴b· c ＝ 0 ， b· c＝(1,1)· (1＋k,2＋k)＝1平面向量＋k＋2＋k＝3＋2k＝0， 3 ∴k＝－ . 2 2．9 → → 3→ 解析 AM＝AB＋ AD， 4 1 → 1→ → → → NM＝CM－CN＝－ AD＋ AB， 4 3 → → ∴AM· NM 1 → → 1 → → ＝ (4AB＋3AD)· (4AB－3AD) 4 12 1 1 → → ＝ (16AB2－9AD2)＝ (16×62－9×42)＝9. 48 48 3．－3?2m＋n＝9， ? 解析 ∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即? ? ?m－2n＝－8， ?m＝2， ? 解得? ?n＝5， ?故 m－n＝2－5＝－3. 4. 7＋1 → → 解析 设 D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1 知(x－3)2＋y2＝1， 即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆．→ → → 又 O A ＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0， 3)＋(x，y) ＝(x－1，y＋ 3)，→ → → ∴|OA＋OB＋OD| ＝ ?x－1?2＋?y＋ 3?2. 问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1 上的点与点 P(1，－ 3)间距离的最大值． ∵圆心 C(3,0)与点 P(1，－ 3)之间的距离为 ?3－1?2＋?0＋ 3?2＝ 7， 故 ?x－1?2＋?y＋ 3?2的最大值为 7＋1. 热点分类突破 例1 1 1 (1) (2)－ 2 2解析 (1)因为 a∥b， 所以 sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ. π 因为 0&θ& ， 2 所以 cosθ&0， 1 得 2sinθ＝cosθ，tanθ＝ . 2 (2)如图，设 FB 的中点为 M，连结 MD.因为 D 为 BC 的中点，M 为 FB 的中点，所以 MD∥CF. 1 因为 AF＝ AB，所以 F 为 AM 的中点，E 为 AD 的中点． 3 → → 方法一 因为AB＝a，AC＝b，D 为 BC 的中点， → 1 所以AD＝ (a＋b)． 2 → 1→ 1 所以AE＝ AD＝ (a＋b)． 2 4 1 → → → → → 所以CE＝CA＋AE＝－AC＋AE＝－b＋ (a＋b) 4 1 3 ＝ a－ b. 4 41 3 1 所以 x＝ ，y＝－ ，所以 x＋y＝－ . 4 4 2 1 1 方法二 易得 EF＝ MD，MD＝ CF， 2 2 1 3 所以 EF＝ CF，所以 CE＝ CF. 4 4 → → → → → 因为CF＝CA＋AF＝－AC＋AF 1 ＝－b＋ a， 3 1 1 3 → 3 所以CE＝ (－b＋ a)＝ a－ b. 4 3 4 4 1 3 1 所以 x＝ ，y＝－ ，则 x＋y＝－ . 4 4 2 1 跟踪演练 1 (1)1 (2) 2 1 － 6→ → 解析 (1)因为 A，B，D 三点共线，所以AB＝λAD?i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量 i 与 j 不? ?1＝λn， 共线，所以? 所以 mn＝1. ?m＝λ， ?→ → → (2)如图，MN＝MC＋CN 1→ 1→ ＝ AC＋ CB 3 2 1→ 1 → → ＝ AC＋ (AB－AC) 3 2 1→ 1 → ＝ AB－ AC， 2 6 1 1 ∴x＝ ，y＝－ . 2 6 例2 (1)22 (2)2→ → 解析 (1)由CP＝3PD， → 1 → 1→ → → → 得DP＝ DC＝ AB，AP＝AD＋DP 4 4 → 1→ → → → ＝AD＋ AB，BP＝AP－AB 4 → 1→ → → 3→ ＝AD＋ AB－AB＝AD－ AB. 4 4 1 → → 3 →2 → → → 1→ → 3→ → → 因为AP· BP＝2，所以(AD＋ AB)· (AD－ AB)＝2，即AD2－ AD· AB－ AB ＝2.又因为AD2＝ 4 4 2 16 → 25，AB2＝64，→ → 所以AB· AD＝22. → 2→ 2 1 → → 1 → → (2)如图，在△AOB 中，OG＝ OE＝ × (OA＋OB)＝ (OA＋OB)， 3 3 2 3 → → → → 又OA· OB＝|OA||OB|· cos60° ＝6， → → ∴|OA||OB|＝12， 1 → → → ∴|OG|2＝ (OA＋OB)2 9 1 → → → → ＝ (|OA|2＋|OB|2＋2OA· OB) 9 1 → 1 1 → → → ＝ (|OA|2＋|OB|2＋12)≥ ×(2|OA||OB|＋12)＝ ×36＝4 9 9 9 → → (当且仅当|OA|＝|OB|时取等号)． → → ∴|OG|≥2，故|OG|的最小值是 2. 3 跟踪演练 2 (1) 2 (2)90°解析 (1)由题意，圆心为 O(0,0)，半径为 1.如图所示，∵P(1， 3)，∴PA⊥x 轴，PA＝PB＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中 OA＝1，AP＝ 3，则 OP＝2， ∴∠OPA＝30° ，∴∠APB＝60° . → → → → ∴PA· PB＝|PA||PB|· cos∠APB 3 ＝ 3× 3×cos60° ＝ . 2 → 1 → → (2)∵AO＝ (AB＋AC)， 2 ∴点 O 是△ABC 中边 BC 的中点， → → ∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB，AC〉＝90° . 例3 解 (1)∵b＝(cosx，sinx)，π c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝ ， 4∴f(x)＝b· c ＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα ＝2sinxcosx＋ 2(sinx＋cosx)． π ? 令 t＝sinx＋cosx? ?4&x&π?， 则 2sinxcosx＝t2－1，且－1&t& 2. 则 y＝t2＋ 2t－1＝?t＋?2?2 3 － ，－1&t& 2， 2? 2∴t＝－2 3 时，ymin＝－ ， 2 2 2 ， 2此时 sinx＋cosx＝－π 2 x＋ ?＝－ ， 即 2sin? ? 4? 2 π π π 5 ∵ &x&π，∴ &x＋ & π， 4 2 4 4 π 7 11π ∴x＋ ＝ π，∴x＝ . 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为－ ，相应 x 的值为 . 2 12 π (2)∵a 与 b 的夹角为 ， 3 π a· b ∴cos ＝ 3 |a|· |b| ＝cosαcosx＋sinαsinx ＝cos(x－α)． ∵0&α&x&π，∴0&x－α&π， π ∴x－α＝ . 3 ∵a⊥c， ∴cosα(sinx＋2sinα)＋ sinα(cosx＋2cosα)＝0， ∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0， π? 即 sin? ?2α＋3?＋2sin2α＝0. 5 3 ∴ sin2α＋ cos2α＝0， 2 2 ∴tan2α＝－ 3 . 5→ → 跟踪演练 3 解 (1)由BA· BC＝2 得 c· acosB＝2. 1 又 cosB＝ ，所以 ac＝6. 3 由余弦定理，得 a2＋c2＝b2＋2accosB. 1 又 b＝3，所以 a2＋c2＝9＋2×6× ＝13. 3? ? ? ?ac＝6， ?a＝2， ?a＝3， 解? 2 2 得? 或? ?a ＋c ＝13， ?c＝3 ? ? ? ?c＝2.因为 a&c，所以 a＝3，c＝2. (2)在△ABC 中， sinB＝ 1－cos2B＝ 由正弦定理， c 2 2 2 4 2 得 sinC＝ sinB＝ × ＝ . b 3 3 9 因为 a＝b&c， 所以 C 为锐角， 因此 cosC＝ 1－sin2C＝ 4 22 7 1－? ?＝ . 9 9 1 2 2 1－? ?2＝ ， 3 3于是 cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC 1 7 2 2 4 2 23 ＝ × ＋ × ＝ . 3 9 3 9 27 高考押题精练 1 1. (a＋b) 6 AN AD 解析 因为 DE∥BC，所以 DN∥BM，则△AND∽△AMB，所以 ＝ . AM AB → 1→ → 1→ 因为AD＝ AB，所以AN＝ AM. 3 3 因为 M 为 BC 的中点， → 1 → → 1 所以AM＝ (AB＋AC)＝ (a＋b)， 2 2 → 1→ 1 所以AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 6 8 2．－ 9→ → 解析 ∵BF＝2FO，圆 O 的半径为 1， → 1 ∴|FO|＝ ， 3 8 → → → → → → → → → → → → 12 ∴FD· FE＝(FO＋OD)· (FO＋OE)＝FO2＋FO· (OE＋OD)＋OD· OE＝( ) ＋0－1＝－ . 3 9 1 3．－ 7 解析 因为 a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，且 a⊥b，所以 cosα＋2sinα＝0， 1 则 tanα＝－ . 2 2tanα 4 所以 tan2α＝ 2 ＝－ . 3 1－tan α π tan2α＋tan 4 π 所以 tan(2α＋ )＝ 4 π 1－tan2α· tan 4 4 1 － ＋1 － 3 3 1 ＝ ＝ ＝－ . 4 7 7 1－?－ ?×1 3 3 1 4．－ 16 → → → → → → → → → → → 解析 因为OP＝OB＋BP，所以OP· BP＝(OB＋BP)· BP＝OB· BP＋(BP)2. 又因为∠AOB＝60° ，OA＝OB， 1→ 1→ → → → → → → → ∴∠OBA＝60° .OB＝1.所以OB· BP＝|BP|cos120° ＝－ |BP|.所以OP· BP＝－ |BP|＋|BP|2＝(|BP| 2 2 1 1 1 → 1 － )2－ ≥－ .故当且仅当|BP|＝ 时， 4 16 16 4 1 → → OP· BP最小值是－ . 16二轮专题强化练答案精析 第3讲1．(1,1) → → → → 解析 DA＝CB＝AB－AC＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)． 2. 1 3平面向量→ 1→ → 1→ → → 2→ → 解析 如图，因为AN＝ NC，所以AN＝ AC，AP＝mAB＋ AC＝mAB 2 3 9 2→ ＋ AN，因为 B，P，N 三点共线， 3 2 1 所以 m＋ ＝1，所以 m＝ . 3 3 3. 3 2→ 1 → → → → → 解析 由AO＝ (AB＋AC)可知 O 是 BC 的中点， 即 BC 为外接圆的直径， 所以|OA|＝|OB|＝|OC 2 → → |，又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC＝60° ，由圆周角定理可知∠ABC 3 → → → → ＝30° ，且|AB|＝ 3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|· cos∠ABC＝ 3×cos30° ＝ . 2 4．9 → → → → → → → → → → → → →2 解析 因为OA⊥AB，所以OA· AB＝0.所以OA· OB＝OA· (OA＋AB)＝OA2＋OA· AB＝|OA| ＋0＝ 32＝9. 5. 13 解析 建立如图所示坐标系，则 1 ? B? ? t ，0?，C(0，t)， 1 ? → → AB＝? ? t ，0?，AC＝(0，t)， → → → AB 4AC ?1 ? 4 AP＝ ＋ ＝t? t ，0?＋ (0，t)＝(1,4)， t → → |AB| |AC| 1 → → ?1 ? ∴P(1,4)，PB· PC＝? t －1，－4? (－1，t－4)＝17－? ?· ? t ＋4t?≤17－2 1 · 4t＝13. t6.3 5解析 设 AB 的中点为 D， → → → → → → → 由 5AM＝AB＋3AC，得 3AM－3AC＝2AD－2AM， → → 即 3CM＝2MD. 如图所示，故 C，M，D 三点共线， → 3→ 且MD＝ CD， 5 也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的两高之比为 3∶5， 3 则△ABM 与△ABC 的面积比值为 . 5 7. 29 18解析 在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1， → → → → 2→ ∠ABC＝60° ，∴CD＝1，AE＝AB＋BE＝AB＋ BC， 3 → → → → 1→ AF＝AD＋DF＝AD＋ DC， 6 → → ?→ 2→? ? → 1 → ? → → → 1 → 2→ → 2→ 1 → ∴AE· AF＝?AB＋3BC?· AD＋AB· DC＋ BC· AD＋ BC· DC ?AD＋6DC?＝AB· 6 3 3 6 1 2 2 1 29 ＝2×1×cos60° ＋2× ＋ ×1×cos60° ＋ × ×cos120° ＝ . 6 3 3 6 18 1 1? 8.? ?－2，2? 解析 设 Q(c，d)，由新的运算可得 1 π π 1 → → OQ＝m?OP＋n＝(2x， sinx)＋( ，0)＝(2x＋ ， sinx)， 2 3 3 2?c＝2x＋3， 由? 1 ?d＝2sinx，1 1 π 消去 x 得 d＝ sin( c－ )， 2 2 6 1 1 π 所以 y＝f(x)＝ sin( x－ )， 2 2 6 1 1? 易知 y＝f(x)的值域是? ?－2，2?. 9．解 (1)由|a|2＝( 3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x， |b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，π及|a|＝|b|，得 4sin2x＝1. π 1 又 x∈[0， ]，从而 sinx＝ ， 2 2 π 所以 x＝ . 6 (2)f(x)＝a· b＝ 3sinx· cosx＋sin2x ＝ 3 1 1 sin2x－ cos2x＋ 2 2 2π 1 ＝sin(2x－ )＋ ， 6 2 π π π 当 x＝ ∈[0， ]时，sin(2x－ )取最大值 1. 3 2 6 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 2π 10．解 (1)因为向量 a＝(2sin(ωx＋ )，0)，b＝(2cosωx,3)(ω&0)， 3 2π 所以函数 f(x)＝a· b＝4sin(ωx＋ )cosωx 3 1 3 ＝ 4[sinωx· ( － ) ＋ cosωx· ]cosωx ＝ 2 3cos2ωx － 2sinωxcosωx ＝ 3(1 ＋ cos2ωx) － sin2ωx ＝ 2 2 π 2cos(2ωx＋ )＋ 3， 6 2π 由题意，可知 f(x)的最小正周期为 T＝π，所以 ＝π，即 ω＝1. 2ω π π π π (2)易知 f(x)＝2cos(2x＋ )＋ 3，当 x∈[0,2π]时，2x＋ ∈[ ，4π＋ ]， 6 6 6 6 π π 故 2x＋ ∈[π，2π]或 2x＋ ∈[3π，4π]时，函数 f(x)单调递增， 6 6 5π 11π 17π 23π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[ ， ]和[ ， ]． 12 12 12 12 11．－1 解析 因为|a＋b|＝|a－b|， 所以(a＋b)2＝(a－b)2， a· ?b－a? 0－|a|2 解得 a· b＝0，所以向量 b－a 在向量 a 上的投影为|b－a|cos〈a，b－a〉＝ ＝ |a| |a| ＝－|a|＝－1. 12．[ 2－1， 2＋1] 解析 ∵a· b＝0，且 a，b 是单位向量， ∴|a|＝|b|＝1. 又∵|c－a－b|2＝c2－2c· (a＋b)＋2a· b＋a2＋b2＝1，∴2c· (a＋b)＝c2＋1. ∵|a|＝|b|＝1 且 a· b＝0， ∴|a＋b|＝ 2， ∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ 是 c 与 a＋b 的夹角)． 又－1≤cosθ≤1，∴0&c2＋1≤2 2|c|， ∴c2－2 2|c|＋1≤0， ∴ 2－1≤|c|≤ 2＋1. 13．9 3 kπ kπ kπ cos ，sin ＋cos ?， 解析 ∵ak＝? 6 6? ? 6 ∴ak· ak＋1 kπ kπ kπ? ? k＋1 k＋1 k＋1 ? ＝? cos π，sin π＋cos π ?cos 6 ，sin 6 ＋cos 6 ?· 6 6 6 ? ? k＋1 ? kπ kπ ? k＋1 k ＋1 ? kπ ＝cos · cos π＋?sin 6 ＋cos 6 ? ?· 6 6 ?sin 6 π＋cos 6 π? 2k＋1 3 π 1 2k＋1 ＝ cos ＋ cos π＋sin π. 2 6 2 6 6?3cosπ＋1cos2k＋1π＋sin2k＋1π? 故 11 (ak· ak＋1)＝ 11 6 6 ? k＝0 k＝ ?02 6 2? ?11 2k＋1 3 11 π 1 11 2k＋1 ＝ ?cos ＋ ?cos π＋ ?sin π. 2k＝0 6 2k＝0 6 6 k＝011 11 2k＋1 2k＋1 由 ?cos π＝0， ?sin π＝0，得 6 6 k＝0 k＝011 (ak· ak＋1)＝ cos ×12＝9 2 6 k＝0?3π3.→ → → 14．解 (1)方法一 ∵PA＋PB＋PC＝0， → → → 又PA＋PB＋PC＝(1－x,1－y) ＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，? ? ?6－3x＝0， ?x＝2， ∴? 解得? ?6－3y＝0， ?y＝2， ? ?→ → 即OP＝(2,2)，故|OP|＝2 2. → → → 方法二 ∵PA＋PB＋PC＝0，→ → → → → → 则(OA－OP)＋(OB－OP)＋(OC－OP)＝0， → 1 → → → ∴OP＝ (OA＋OB＋OC)＝(2,2)， 3 → ∴|OP|＝2 2. → → → (2)∵OP＝mAB＋nAC， ∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，? ?x＝m＋2n， ∴? ? ?y＝2m＋n，两式相减得，m－n＝y－x. 令 y－x＝t，由图知，当直线 y＝x＋t 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 m－n 的最大值为 1.