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& 学年高二数学人教B版必修4学案：2.1.3《向量的减法》
学年高二数学人教B版必修4学案：2.1.3《向量的减法》
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所属版本: 人教B版
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资料概述与简介
2.1.3　向量的减法
明目标、知重点　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.
1.向量的减法
(1)已知向量a，b(如图)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，记作a－b，即＝a－b＝－.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”.
2.相反向量
(1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图).显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.
[情境导学]　上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题.
探究点一　向量的减法
思考1　a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
答　与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0
－a的相反向量是a即－(－a)＝a.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考2　我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？
答　向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考3　向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b，则c等于什么？
答　a＋c＝bc＝b－a.
小结　(1)－＝；(2)－(－a)＝a；(3)－0＝0；
(4)a＋(－a)＝0；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
探究点二　向量减法的法则
思考1　向量减法的三角形法则是什么？
答　当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：
①连接两个向量(a与b)的终点；
②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”.
思考2　请你利用向量减法的三角形法则作出非共线向量a与b的差向量a－b?
答　利用三角形法则.
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.
思考3　若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？
答　成立.移项法则对向量等式适用.
例1　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
解　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则＝a－b，＝c－d.
反思与感悟　根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.
跟踪训练1　如图所示，在正五边形ABCDE中，A＝m，B＝n，C＝p，D＝q，E＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
解　延长AC到Q.使CQ＝AC，
则m－p＋n－q－r
＝(m＋n)－(p＋q＋r)
＝A－C＝A＋C＝A.
例2　化简下列式子：
(1)－－－；(2)(－)－(－).
解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝－＝0.
反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.
跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－).
解　(1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝－＋＝＋＋
例3　如图，ABCD中，＝a，＝b，你能用a，b表示向量，吗？
解　由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b；
同样，由向量的减法，知＝－＝a－b.
反思与感悟　(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：
①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
跟踪训练3　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
解　方法一　∵b＋c＝＋＝＋＝，
＋a＝＋＝；
∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
方法二　∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
1.在平行四边形ABCD中，－等于(　　)
解析　－＝＝.
2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0B.－＝
C.－＝D.＋＝0
解析　∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确.
3.在平行四边形ABCD中，－＋－＝______.
解析　原式＝(－)＋(－)＝0＋0＝0.
4.已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
[呈重点、现规律]
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法.即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b).
2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.
3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
一、基础过关
1.四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
B.b－(a＋c)
2.化简－＋＋的结果等于(　　)
3.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)
A.＝＋B.＝－
C.＝－＋D.＝－－
4.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)
解析　＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.
5.化简下列各式：
②＋＋－；
结果为零向量的个数是________.
解析　①－＋＝＋＝0；
②＋＋－＝＋＋＋＝＋＝0；
③－－＝－＝0；
④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.
6.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
7.已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.
解　方法一　如图所示，
O＝O＋A＝a＋B
＝a＋(O－O)＝a＋c－b.
方法二　O＝O＋A＋B＋C＝O＋B＋(A＋C)＝O＋B＋0　＝O＋(B＋O)
＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c.
二、能力提升
8.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)
A.[3,8]B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
解析　∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||.
∴3≤|－|≤13.∴3≤||≤13.
9.边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)
A.1B.2C.D.
解析　如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
10.若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在基线的夹角是________.
答案　30°
解析　设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在基线的夹角为30°.
11.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a.
解　作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b，如图所示，作向量＝a，则＝a－b＋a.
12.已知|a|＝8，|b|＝6，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解　设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，
如右图所示：
则＝a＋b，＝a－b，
所以||＝||.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.
在Rt△DAB中，||＝8，||＝6，
由勾股定理得
||＝＝＝10.
所以|a－b|＝10.
三、探究与拓展
13.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明　作直径BD，连接DA、DC，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，
∴CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形.
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋
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var sogou_ad_id=731547;
var sogou_ad_height=160;
var sogou_ad_width=690;2．2．2 向量的减法 ． ．一、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念； 、教学目标： 2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量； 3．能用向量运算解决一些具体问题。 教学重、难点：向量减法的定义。 二、教学重、难点：向量减法的定义。 教学过程： 三、教学过程： （一）复习：1．向量的加法法则。2．数的运算：减法是加法的逆运算。 r r r 3．相反向量：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作 ? a 。说明： （1）规定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性质： ?( ? a ) = a ； a + ( ? a ) = ( ? a ) + a = 0 ． （二）新课讲解：rrrrrrr1．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示 a ? b = a + ( ?b) ． 2．向量减法的法则：r rrr已知如图有 a ， b ，求作 a ? b ．rrr rr a uuu r r uuu r r r r a ?br b（1）三角形法则：在平面内任取一点 O ，作 OA = a ， OB = b ，则 BA = a ? b ．uuu rr rB说明： a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a ， b 有共同起点） ． （2）平行四边形：在平面内任取一点 O ，作 OA = a ， BO = ?b ， 则 BA = BO + OA = a ? b ．r rrr bO r aAr r ruuu rruuu rruuu ruuu uuu r rr rBr ?b OCr aA思考：若 a // b ，怎样作出 a ? b ？ 4．例题分析： 例 1．r rr r-1-例 3 试证：对任意向量 a ， b 都有 || a | ? | b ||≤| a + b |≤| a | + | b | ． 证明： （1）当 a ， b 中有零向量时，显然成立。rrrrr rrr例 4 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。 已知： AO = CO ， BO = DO ，求证：四边形 ABCD 是平行四边形。 证明：设 AO = a ， OD = b ，则 OC = AO = a ， BO = OD = br r r r （2）当 a ， b 均不为零向量时： r r r r r r r r r r r r ① a ， b ，即 a // b 时，当 a ， b 同向时， || a | ? | b ||&| a + b |=| a | + | b | ； r r r r r r r 当， b 异向时， || a | ? | b ||=| a + b |&| a | + | b | ． r r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r ② a ， b 不共线时，在 ?ABC 中， || AB | ? | BC ||& | AC |& | AB | + | BC | ， r r r r r r 则有 || a | ? | b ||&| a + b |&| a | + | b | ． r r r r r r ∴ || a | ? | b ||≤| a + b |≤| a | + | b | 其中： C r r r r r r rDr r 当 a ， b 同向时， | a + b |=| a | + | b | ， b a+b r r r r r r r 当 a ， b 同向时， || a | ? | b ||=| a + b | ． A B a uuur r uuur r uuur uuur r uuu uuur r uuur uuur uuur r r uuu uuu uuur r r r r ∴ AD = AO + OD = a + b ， BC = BO + OC = a + b uuur uuu r uuur ∴ AD = BC ，又∵点 B 不在 AD ∴ AD 平行且等于 BC 所以，四边形 ABCD 是平行四边形． r五、课堂练习： 课堂练习： 六、课堂小结：1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础 课堂小结： 上的； 2．会作两向量的差向量； 3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。-2-2．2．2 向量的减法作业 ． ． 向量的减法作业 一、概念向量的减法：求两个向量 3．向量减法的法则： （1）三角形法则 的运算，叫做向量的减法。表示 ．（2）平行四边形二作业： 二作业：-3-uuu r uuu r uuur r r r 7．已知正方形 ABCD 的边长等于 1， AB = a ， BC = b ， AC = c ， ． ， r r r r r r 求作向量： （1） 求作向量： ） a + b + c （2） a ? b + c ； （ ）r r r r 2．已知向量 a ， b 的模分别是 3，4，求 | a ? b | 的取值范围。 ． 的取值范围。 ， ，uuu r r 3．如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AB = a ， ．如图， uuu r uuur r r r r r uuu r D BC = b ， OD = c ，求证 c + a ? b = OB ． CO A B-4-在边长为1的正三角形ABC中，向量AB=a,向量BC=b,向量AC=c，则a*b+b*c+c*a的值为_百度知道
在边长为1的正三角形ABC中，向量AB=a,向量BC=b,向量AC=c，则a*b+b*c+c*a的值为
在边长为1的正三角形ABC中，向量AB=a,向量BC=b,向量AC=c，则a*b+b*c+c*a的值为
a*b=|a|*|b|*cos(2π/3)=1*1*(-1/2)=-1/2b*c=|b|*|c|*cos(π/3)=1*1*(1/2)=1/2c*a=|c|*|a|*cos(π/3)=1*1*(1/2)=1/2a*b+b*c+c*a=-1/2+1/2+1/2=1/2要注意的是向量的夹角指的是起始点间的夹角
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文档介绍：
12.2向量的减法课时目标1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义,正确作出两个向量的差.向量的减法(1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的____________.(2)作法:在平面内任取一点O,作OA→=a,OB→=b,则向量a-b=______.如图所示.(3)几何意义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为________,被减向量的终点为__________的向量.例如:OA→-OB→=______.一、选择题1.如图,在四边形ABCD中,设AB→=a,AD→=b,BC→=c,则DC→等于()A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c2.化简OP→-QP→+PS→+SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是()A.EF→=OF→+OE→B.EF→=OF→-OE→C.EF→=-OF→+OE→D.EF→=-OF→-OE→4.在平行四边形ABCD中,|AB→+AD→|=|AB→-AD→|,则有()A.AD→=0B.AB→=0或AD→=0C.ABCD是矩形D.ABCD是菱形5.若|AB→|=5,|AC→|=8,则|BC→|的取值范围是()A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)6.边长为1的正三角形ABC中,|AB→-BC→|的值为()A.1B.2C.32D.3二、填空题7.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则BA→-BC→-OA→+OD→+DA→=2________.8.化简(AB→-CD→)-(AC→-BD→)的结果是________.9.如图所示,已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a,b,c,则OD→=____________(用a,b,c表示).10.已知非零向量a,b满足|a|=7+1,|b|=7-1,且|a-b|=4,则|a+b|=________.三、解答题11.如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设AB→=a,DA→=b,OC→=c,求证:b+c-a=OA→.12.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,AB→=a,BC→=b,AC→=c,试作出下列向量并分别求出其长度.(1)a+b+c;(2)a-b+c.3能力提升13.在平行四边形ABCD中,AB→=a,AD→=b,先用a,b表示向量AC→和DB→,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?14.如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH→=OA→+OB→+OC→.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB→=BA→就可以把减法转化为加法.即:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b).2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接4两向量的终点,箭头指向被减数”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.3.以向量AB→=a、AD→=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为AC→=a+b,BD→=b-a,DB→=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并记住.2.2向量的减法答案知识梳理(1)相反向量(2)BA→(3)始点终点BA→作业设计1.A2.B3.B4.C[AB→+AD→与AB→-AD→分别是平行四边形ABCD的两条对角线,且|AB→+AD→|=|AB→-AD→|,∴ABCD是矩形.]5.C[∵|BC→|=|AC→-AB→|且||AC→|-|AB→||≤|AC→-AB→|≤|AC→|+|AB→|.∴3≤|AC→-AB→|≤13.∴3≤|BC→|≤13.]6.D[如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连结AD,则AB→-BC→=AB→+CB→=AB→+BD→=AD→.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,易求AD=3,∴|AB→-BC→|=3.]7.CA→8.0解析方法一(AB→-CD→)-(AC→-BD→)=AB→-CD→-AC→+BD→=AB→+DC→+CA→+BD→=(AB→+BD→)+(DC→+CA→)=AD→+DA→=0.方法二(AB→-CD→)-(AC→-BD→)=AB→-CD→-AC→+BD→=(AB→-AC→)+(DC→-DB→)=CB→+BC→=0.9.a-b+c5解析OD→=OA→+AD→=OA→+BC→=OA→+OC→-OB→=a+c-b=a-b+c.10.4解析
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