05-1502-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-16最新范文01-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-01停车场上停了三轮机动车和小轿车共32辆 共有108个轮子 轿车有几辆？ 很急啊
全部答案（共2个回答）
的，所以共(108减2乘32)除2为22辆，即共摩托10辆。（如果我的回答对您有有用，请选择“对我有用”或“好评”，谢谢您对我回答的采纳）
三轮车15辆，四轮车七辆
泥分为散装和袋装,散装的稍微便宜一些,根据水泥标号不同,单价也不同,基本是32.5比较便宜,42.5和52.5比较贵,大都在350—480元一吨。 少侠,我看你...
如果是B2升级A2，最好选择正大驾校....明年俺也升级去
三轮车是3个轮子，小轿车是4个轮子，总有7个轮子
154/7=22辆
二轮摩托15、四轮轿车18；三轮摩托30，四轮车3；
答: 六安怎么到驻马店最快
答: 性交疼痛和性交不能是两组常见的症状，前者指性交时伴有疼痛，后者意味着阴茎未被允许或不能插入前庭和进入阴道，性交疼痛(或出血)严重时往往出现性交不能。狭义的性交疼...
答: 迷信说这叫月子里受了风寒。我觉得可以热敷，再有夏天的时候坚持不用空调，捂汗虽然很苦，但保证见效。让闷在心中的汗出来就好了。
每家运营商的DNS都不同，而且各省的也不同。你可以问问你的网络提供商，他们会告诉你的。（也可以通过分别访问域名和IP来检查DNS是否正常，访问域名不行，而访问IP可以，则说明DNS设置不对）
另外，如果ADSL-电脑没问题，一般ADSL-路由器也没问题的。而且采用ADSL拨号的话，DNS可以不设置的，拨号成功后会自动取得DNS服务器。
问题可能出在路由器设置上。进去检查一下吧。看看上网方式，上网用户名密码是否正确。
（有个问题要注意一下，有些地方的运营商会限制使用路由器或者限制接入数量，一般是采取绑定网卡MAC地址的方式，如果路由器设置都正常，试试路由器的MAC地址克隆功能，把电脑网卡的MAC复制过去）
餐饮业厨房产生的油烟，顾名思义，废气中主要污染物为油烟，一般采用静电除油。
液化气属较清洁能源，废气污染程度不高，主要含二氧化碳一氧化碳吧。
柴油属石油类，废气含二氧化硫和氮氧化物，二氧化硫碱液喷淋即可去除，氮氧化物主要以一氧化氮为主，要催化氧化成二氧化氮才能被碱吸收，造价成本非常高，一般的柴油发电机尾气难以治理，除非大型发电厂。
煤炭废气含二氧化硫多，一般常用的脱硫工艺即可。
关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为：
头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。
关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。
其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。
张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。
由于这个年龄的宝宝好玩好动，而且特别喜欢玩水，经常会把衣服搞湿搞脏。所以不少父母顾虑重重，认为宝宝年龄还小，只不过是喜欢玩水而已，不会学会自己洗手。
其实，宝宝对父母教他洗手是很感兴趣的。只要方法得当，宝宝也能很快学会自己洗手、洗脸。训练时，父母要一边和宝宝玩肥皂泡，一边教洗手的动作，同时也应教宝宝如何开或关水龙头，如何用手巾擦手等。只要坚持一段时间，宝宝就学会自己洗手甚至洗脸了。
隐睾是男孩较常见的生殖器官发育异常，如果不及时发现，延误治疗会影响生育，对孩子的一生造成不良影响，因此应引起家长的重视。
胎儿出生后，睾丸自腹膜后腰部下降，于7—9个月时降入阴囊，出生时未下降者亦多在出生后短期内降入阴囊。睾丸下降不全，可能与以下因素有关：一是胎儿期将睾丸向下牵引的索状引带异常或缺损，睾丸便不能自腰部下降到阴囊；二是先天性睾丸发育不全，致使睾丸对促进性腺激素反应不敏感，失去激素对睾丸下降的动力作用；三是母体的下丘脑产生的黄体生成素释放激素(LHRH)使脑下垂体分泌黄体生成素(LH)和卵泡刺激素(FSH)，它们作用于胎儿睾丸的Legdig细胞产生睾丸酮，胎儿生长过程中，如果母体缺乏足量的促性腺激素，亦可影响胎儿睾丸下降的动力作用。
智力是由思维能力、想象力、记忆力、观察力、操作能力组成。我们说饮食对聪明的影响，其实是说饮食对这几个能力的影响。
1.不饱和脂肪酸
脂肪中的亚油酸、亚麻酸、花生四烯酸、DHA、EPA等不饱和脂肪酸，对脑细胞的发育和神经的发育起着极为重要的作用。如果缺乏的话，很容易引起智能发育存在缺陷，永久性损害大脑功能。富含食物：亚油酸、亚麻酸存在于核桃等坚果类食物中。DHA广泛存在于海产食物中，特别是深海鱼。在鱼眼球附近的脂肪组织DHA尤其丰富。
卵磷脂是构成脑神经组织、脑脊髓的主要成分，当卵磷脂被消化之后，在大脑里合成胆碱，大脑里的胆碱含量越高，神经传递就越快，机体的思维也随着加快，记忆力也会更加牢固。当宝宝还在妈妈肚子里的时候，孕妈摄入的卵磷脂是否足够就已经影响到胎儿的大脑发育。卵磷脂可以促进大脑神经系统与脑容积的增长、发育，因为卵磷脂在人体不能自行合成，只能从食物中摄取。
富含食物：蛋黄、大豆、猪脑、猪肝、小麦胚芽、蘑菇及花生、芝麻和核桃。
蛋白质是脑细胞的主要成分之一，如果蛋白质的供给不足则可影响脑细胞的新陈代谢，使婴儿智力发育受阻。含蛋白质的食物经过消化后，人体将其构成自身的蛋白质。蛋白质是是脑细胞的主要成分之一，又是脑细胞兴奋和抑制过程的物质基础，它对人的语言、思考、记忆、神经传导、运动等方面都起着重要的作用。
富含食物：鱼、肉、动物内脏、牛奶和奶制品
铁：大脑的一切活动有赖于氧气的供给，氧气供应充足，大脑活动的频率也就越高，反应随着加快，效率提高，而铁是运送氧气的重要参与者，所以如果缺铁的话，会导致运输给大脑的氧气减少，进而影响到大脑功能。富含食物：肝脏、蛋类、动物血及菠菜等。
锌：在人体中，锌是分布最广泛的必需微量元素，也是细胞内最丰富的微量元素。缺锌可致脑DNA和蛋白质合成障碍，使大脑功能不全，影响小儿智力发育。锌能使大脑精力集中，思维敏捷，同时记忆和信息的储存功能都随着增强。
5.维生素BCE
维生素类对智力的作用，是使大脑将食物营养变成智力活动的能量。没有它们，再好的营养成分也不能造就聪明的孩子。
维生素B族：人的神经系统对缺乏维生素B类尤其敏感。它们能够维持神经系统的正常运作，促进脑部血液循环，进而提高智力。维生素B1有维护智力和促进智能活动的功能，如果缺乏，会导致神经细胞衰退，功能变弱。维生素B12是维护智力的营养素之一。叶酸有助于促进其脑细胞生长，并有提高智力的作用。
维生素C：它是神经传递介质的重要组成部分，大脑接受外来刺激、向外发布命令的是否灵敏，都有赖于它的支援，它能防止脑细胞老化。
维生素E：保持脑的活力，避免大脑早衰，是大脑的保护剂。
随着宝宝一天天的成长，父母们都为宝宝每一天的变化感到兴奋和吃惊！在短短几个月之间，宝宝学会了微笑、抬头、坐、伸手抓东西……在和宝宝一起分享成长的新奇和快乐的同时，我们更要注意到宝宝的大脑在此期具有很大的可塑性，大脑语言中枢逐步发展成熟，此时对宝宝进行科学、恰当的语言刺激对开发宝宝的语言能力具有十分重要的作用。
5个月开始，宝宝已经能够鉴别语言的节奏和语调特性，并开始根据环境修正自己的语音体系。7个月开始，宝宝能够将一定的词语和特定的事物联系起来，比如：当问宝宝“灯呢”，宝宝会转向并看着灯。9个月开始，宝宝已经能够辨别母语中的各种音素，能够经常的模仿和学习新语音。大约l0个月时，宝宝说出第一个与某一事物有特定指代关系的词，标志着宝宝语言的真正发生。宝宝语言真正发生后的头几个月，平均每个月掌握1—3个新词语。
健康的孩子很少有这儿虚那儿虚的问题。因为孩子处于发育发展的阶段，整个内脏机能虽然不成熟，但是不等于机能虚弱。相对他个体来讲，他的机能应该是不断的旺盛的发展。
除非我们不合理的养育伤害了他的脾胃功能。比如说他只能承受二两的食物，你一顿给他塞半斤，他的消化道脾胃都不能承受，它很疲劳、很衰竭。其实老百姓说的所谓上火无非是消化功能的紊乱，紊乱的原因还是吃得不合适，一般都是吃多了。这样的话，不光是晚上，白天也一样，孩子要多少给多少，不要就别吃。
可能有一些孩子不控制，他多吃一口少吃一口都没有关系。这就需要家长更仔细的观察。有的妈妈是给孩子喂食，孩子就张嘴，你要观察他吃的过程中有什么变化。如果孩子出现一些满足感，比如说吃东西开始很专心、很积极、很热情，吃着吃着这种热情降低了，这种积极的主动性也降低了，这个咀嚼的速度也放慢了，好像对吃的兴趣不浓了，这个时候就可以不吃，孩子生病的机会就少了。
成都高新区公司办理企业年报审计报告需要注意哪些问题？第二步，判断和运用重要性水平，主要是将被审计单位未调整不符事项汇总表与会计报表层次或账户余额层次的重要性水平进行比较，据以确定未调整不符事项对会计报表的影响程度。注册会计师确定审计差异之后，一般应与被审计单位沟通，建议其做出相应的调整，如果被审计单位拒绝调整那些重大差异，注册会计师必须考虑改变审计意见和在审计报告中如何反映的问题。4 聘用、更换会计师事务所情况。5 公司高级管理人员工资(含各种津贴、补贴等)、奖金分配情况，以及公司职员平均工资水平。
在成都锦江区注册新公司办理营业执照需要准备什么？企业法人营业执照有限责任公司设立登记应提交的文件、证件：（1）《企业设立登记申请书》（内含《企业设立登记申请表》、《单位投l资者（单位股东、发起人）名录》、《自然人股东（发起人）、个人独资企业投l资人、合伙企业合伙人名录》、《投l资者注册资本（注册资金、出资额）缴付情况》、《法定代表人登记表》、《董事会成员、经理、监事任职证明》、《企业住所证明》等表格）；（3）法定验资机构出具的验资报告；
输送带价格多少钱一米，一般帝隆输送带厂家家报价给客户都是按平方米，根据客户获取的材质、皮带周长，宽度，厚度，需不需要类似加工，比如定做花纹，或者是加裙边挡板。输送带价格计算出来方式是：长*宽*平方价，得出来的就是一条皮带的价格。如果想告诉明确输送带价格是多少钱一米的话，必要将价格除以周长就可以了
之所以要进行家具拆装，很多的时候都是因为我们要进行搬家的事情，否则我们不会无缘无故的在家里面对家具进行拆装的，那么为何在我们搬家的时候就要进行拆装呢，到底我们这样来做是有哪些好处呢？宁波蚂蚁搬家公司提供拆装家具服务！ 家具拆装对我们整个搬家是有一定的影响的，只有我们充分的重视这些不同的影响，并且在这个时候能够好好的拆卸，那么最终整个家具的搬运过程就会更加的轻松了，否则你会发现整个过程中你会 遇到很多的麻烦了，可能还会造成一定的损失。
成都锦江区注册企业管理公司是怎么样的呢？
3、公司资质要求
一些特殊行业的公司注册是需要获得有关部门的许可才可以设立的，就注册公司新规定，饮食业可以先领取营业执照再办理相关可证书，但是一些行业依然要先办理许可可以领取营业执照。成都锦江区注册企业管理公司的详细流程如下：一、核名
企业名称查询
字号5-10个
行业类别 / 经营范围
注册资本 （四川开头的需要500万+）
股东身份证 原件及复印件/ 持股比例例：成都/四川(区域)+易本账(字号)+创业服务(行业名)+有限公司(类型)。
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省天天低价，畅选无忧1,4,14,32,63,108，后面的数字应该是什么？ - 知乎4被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="分享邀请回答31 条评论分享收藏感谢收起2添加评论分享收藏感谢收起写回答四升五年级奥数教案
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四升五年级奥数教案
探寻规律问题?知识引领?探寻给定事物中隐含的规律，在分析、猜想、归纳中寻求最佳的解决问题的策略．?经典题例?例1
如下表，表格中的数是按一定规律排列的，按此规律在空格处填上相应的数．解析
观察规律得5×2－3＝7，7×2－3＝11，11×2－3＝19，19×2D3＝35，…，得出规律为an＋1＝2anD3，这样空格处的数应为35×2－3＝67，67×2－3＝131．例2
如图，填在图中三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，填出B、C，然后确定A，那么A是几？解析
观察前面两个正方形内有3个连续的自然数，那么第三个正方形也有这样的规律，所以，B＝4，C＝5．又发现前面两个正方形内左上角的数是右下角的数乘以另两数和的积，则A＝5×(3＋4)＝35．例3
计算：D＋D＋?＋8＋7D6D5＋4＋3D2D1解析
算式中共有2000个数相加减，规律是两加两减，根据算式和数的特征，正好把这2000年数按照每4个数（两加两减）分为一组，共可分为0（组），每组的得数都是4，所以，原式的结果为500个4之和．例4
自然数1，2，3，4，?排成下面的数阵：第一行
10??那么48排在数阵的第几行？左起第几个位置？解析
观察这个数阵中的排列规律知：①每行的第2列数都是偶数，并且是每行序数的2倍；②每行的4个数是4个连续自然数从小到大排列的；③除2以外，其他偶数出现2次．那么48会在2个位置出现，由48÷2＝24，即48可能在24行左起第2个位置，也可能在第23行1左起第4个位置．例5
如图，按照图中排列的规律，问：第11行最左边的数是几？1 第1行
观察图中排列的规律，得出：每一行最右边的是一个平方数，恰好是行数×行数．第10行最右边数是10×10＝100．因此，第11行最左边的数是100＋1＝101．?应用与探究?１．24，21，18，15，(
)．２．2，17，4，14，6，11，(
)．３．下面方格内都有一个数字，并且相邻两格内的数相加，和都是14，这八个数的和是多４．细菌第一个小时繁殖2个细菌，第二个小时繁殖3个细菌，第三个小时繁殖6个细菌，第四个小时繁殖7个细菌，第五个小时繁殖14个细菌，则第六个小时繁殖多少个细菌？
（15个）５．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：2，6，18，54，(
)６．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：4，6，10，18，(
)７．观察下列数，找出规律，在括号里填上合适的数：1，6，5，10，9，14，(
)８．●●?●●?●●???第99个图案是什么？（?）９．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：2１０．观察下面图中数的变化规律，在空白处填上合适的数：１１．以下是一组按特定规律排列的数列：1，1，2，1，1，2，3，2，1，1，2，3，4，3，2，1，??由左至右第100个数是几？（1）解：1＋3＋……＋17＋19＝100１２．如图，一次智力测验，主持人亮出四块长方形牌子，在牌子④中，空白处表示的数应是多少？①
④１３．有一串数：1，2，4，7，11，16，?，它的规律是：由1开始，加1，加2，加3，?，依次逐个产生这串数，直到产生第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余1的数有多少个？(33个)解：50÷3＝16……2, 16×2＋1＝33（个）１４．小华每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了，经过两分钟还有5个没有破，经过两分半钟肥皂泡全部破了，小华在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡有多少个？解:100＋50＋5＝155（个）3第二讲
速算与巧算?知识引领?在平时的计算过程中，我们可以通过寻求运用定律和性质，进行简算或巧算．而速算与巧算需掌握的常用方法有：分解或合并，利用特殊数，添括号或去括号等等．?经典题例?例1
计算：25×96×125解析
在计算乘、除法时，我们通常可以运用2×5、4×25、8×125来进行巧妙的计算．
原式＝25×4×3×8×125＝(25×4)×3×(8×125)＝100×3×1000＝300000例2
计算：＋解析
数字1，2，3，4在个位、十位、百位、千位上均各出现一次．原式＝＋＝1111×(1＋2＋3＋4)＝1111×10＝11110例3
计算：214×670＋7860×67解析
本题可以运用“积不变的规律”，即“一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变”的规律求解．解法一
原式＝60×67
原式＝214×670＋786×670
＝(214＋786)×670
＝10000×67＝670000
＝670000例4
用简便方法计算：9＋3解析
3＝3222＝9原式＝9＋3222＝99999×(7)＝9＝例5
计算：3÷(5÷7)÷(7÷11)÷(11÷15)解析
观察发现，算式中每个括号里的除数都是下一个括号里的被除数，根据运算性质a÷(b÷c)＝a÷b×c,计算时可以消去括号．原式＝3÷5×7÷7×11÷11×15＝3÷5×15＝3×15÷5＝94例6
从1起，把奇数依次加起来，1＋3＋5＋7＋9＋?一直加到第100个奇数，和是多少？解析
你能从下图中找到巧妙的计算方法吗？＋3＋5＋7＋9＝5×5＝25因为3×3，＋3＋5＋＝4×4，…2个奇数 4个奇数 3个奇数所以100个连续奇数的和得100×100＝10000解法一
第100个奇数是2×100－1＝1991＋3＋5＋7＋…＋199＝100×100＝10000解法二
原式＝(1＋199)×100÷2＝10000?应用与探究?１．()×5
（20020）２．4500÷(25×90)
（2）３．1＋(11×111)－1111
（111）４．2－4＋6－8＋10－12＋?＋＋2002
（1002）５．2＋22＋222＋
（24690）６．3
（）７．÷288
（2860）８．327×280＋6730×28
（280000）９．8÷7＋9÷7＋11÷7
（4）１０．×9999
（9992000）１１．1－2＋3－4＋5－6＋?＋99－100＋101
（51）１２．(48×75×81)÷(24×25×27)
（18）１３．1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)
（3）5第三讲
应用题解法探索（假设法）?知识引领?利用题目已知条件与所求目标，分析、收集、整理题目中已有信息，探索假设某种数量关系的存在，寻求解决问题的突破口．?经典题例?例1
有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？解析
假设任意三袋糖块的数量分别为20块、20块、21块，那么另一袋至少也有21块．因为另一袋若小于21块，那么任意三袋的和就不能超过60块．因此，这四袋糖块的总和至少有20＋20＋21＋21＝82（块）．答：这四袋糖块的总和至少有82块．例2
小宇去游山，他从东坡上山，每小时行2千米，到山顶玩1小时，又从西坡下山，每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时．求上山、下山的路各几千米？解析
由于小宇在山顶上玩1小时，所以他上、下山的时间共8小时．假设8小时都是上山，走了2×8＝16（千米），比实际少(19－16)＝3（千米）．因此，下山走3÷(3－2)＝3（小时），下山路有3×3＝9（千米），上山路有19－9＝10（千米）．答：上山路有9千米，下山路有10千米．例3
某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小刚参加了这次竞赛，得了82分．问：小刚做对了几道题？解析
做错或不做一题应少得5＋1＝6（分）．假设20道题全做对了，应得5×20＝100（分），比实际多了(100－82)＝18（分），做错了18÷6＝3（道），做对了(20－3)＝17（道）．答：小刚做对了17道题．例4
箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里还剩下3只白球、53只红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少只？解析
假如每次取的红球是白球的3倍：3×7＝21（只），那么剩下的红球应是剩下白球的3倍多2，即3×3＋2＝11（只），比现在少53D11＝42（只），这是由于每次多取21D15＝6（只）红球，所以共取了42÷6＝7（次），红球比白球多(15－7)×7＋53－3＝106（只）答：箱子里原有红球比白球多106只．例5
抗日战争期间，一支敌后武工队为了更灵活有效地打击敌人，把68人分成了14个战斗小组，这些小组有的3人，有的5人，有的7人，而3人和5人小组的组数相同．问：三种战斗小组各有几组？解析
由于3人组和5人组的组数相同，我们可以看成这些组里平均每组4人．这样我们就可以把分组情况分成两类：4人组和7人组．4人组的组数为：(7×14－68)÷(7－4)＝10（组）于是，3人组与5人组各有10÷2＝5（组），7人组有14－10＝4（组）．答：3人组和5人组各有5组，7人组有4组．6?应用与探究?１．从0~9这10个数字中选择合适的数字填入以下方框，使等式成立，被选取的数字不能重复使用．□□□＋□□□＝666（127＋539＝666，不止一个答案）２．实验四年级某次数学竞赛共有20道题，规定：答对1题得3分，答错1题扣1分，未答的题不计分．考试结束后，东东得了41分，他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是奇数个．请你帮助东东计算一下，他答错了几道题？(4道)未答有几题？（1道）３．有一堆糖果，把它们5等分后还剩5颗，取其中的3份再4等分后还剩3颗，再取其中的2份5等分后还剩2颗．问：这堆糖果至少有多少颗？(50颗)４．四（1）班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？解：飞行棋：(40－28)÷(4－2)＝6（副）， 象棋：14－6＝8（副）．５．暑期到了，四（1）班同学可以从本班图书角借图书，如果每个小组借5本，则最后少4本；如果前2个小组每个小组借15本，余下每个小组借2本，这些图书恰好借完．则共有图书多少本？解：[(15－2)×2＋4]÷(5－2)＝10（组）， 5×10－4＝46（本）．６．100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组．问：高、低年级学生各有多少人？解：高年级：[(41×3－100)÷(3－2)]×2＝46（人），低年级：100－46＝54（人）．７．甲、乙两人中有一个人来自真话村，另一个人来自谎话村，谎话村里的人从来不说真话，真话村里的人从来不说谎话．甲说：“我们两人中至少有一个人在说谎．”谁来自真话村？（甲）谁来自谎话村？（乙）８．四（1）班的同学集体去公园划船，如果每条船坐10人，那么多出5个座位；如果每条船少坐1人，那么正好坐满．共需几条船？解：5÷(10－9)＝5（条）９．甲、乙、丙三人摘苹果，共摘121千克．甲比乙多摘12千克，丙比乙少摘8千克．甲、乙、丙三人各摘苹果多少千克？解：乙：(121－12＋8)÷3＝39（千克），甲：39＋12＝51（千克），丙：39－8＝31（千克）． １０．小明和小英共有图书45本，小英比小明少3本．两人各有图书多少本？
解：小英：(45－3)÷2＝21（本），小明：45－21＝24（本）．１１．实验小学录取一年级新生104人，分成甲、乙两个班，如果从甲班转2个学生到乙班，两班学生人数就一样．问：甲、乙两班原有学生各多少人？解：乙：(104－2×2)÷2＝50（人），甲：104－50＝54（人）．１２．一个书架分上、下两层，共放有图书34本．如果从上层取出8本图书放入下层，那么下层就比上层多2本．问：原来上、下两层各有图书多少本？解：8×2－2＝14（本），下层：(34－14)÷2＝10（本），上层：34－10＝24（本）．１３．实验小学四年级学生共植树108棵，一班比二班多植树11棵，三班比二班少植树5棵．这三个班各植树多少棵？解：二班：(108－11＋5)÷3＝34（棵），一班：34＋11＝45（棵），三班：34－5＝29（棵）．7第四讲
应用题解法探索（平均法）?知识引领?在日常生活中，我们会经常遇见关于解决平均数的问题．这类问题的解决，一定要掌握涉及这类问题中的总数、份数和平均数三者之间的关系．?经典题例?例1
实验小学有28位女教师，平均年龄35岁，有4位男教师，平均年龄27岁．这些教师平均年龄是多少岁？解析
要求平均年龄，先要求出所有教师的年龄总和：女教师的年龄和＋男教师的年龄和，再用年龄总和除以所有教师的人数．(35×28＋27×4)÷(28＋4)＝34（岁）答：这些老师的平均年龄是34岁．例2
小云爬山，从山脚出发，上山路长18千米，每小时行3千米．到山顶后沿原路下山，每小时行6千米．问小云上山、下山的平均速度是多少？解析
注意不可以用(上山速度＋下山速度)÷2，正确的平均速度应该等于总路程÷总时间． 总路＝18×2＝36（千米），总时间＝18÷3＋18÷6＝9（小时）平均速度＝36÷9＝4（千米/小时）答：小云上山、下山的平均速度是4千米/小时．例3
某次考试，张、王、李、陈四人的成绩统计如下：张、王、李平均91分，王、李、陈平均89分张、陈平均95分．问：张得了多少分？解析
先求出四个人的总分再减去其余三个人的总分，就是张的成绩．四人的总成绩为［(91＋89)×3＋95×2］÷2＝365（分）所以张的成绩为365－89×3＝98（分）答：张得了98分．例4
暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离做了记录．如果他在暑假最 后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米．如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米？解析
因为平均每天所游的距离提高498－495＝3（米），需要多游778－670＝108（米），所以暑假一共有108÷3＝36（天）．如果平均每天游500米，则要在最后一天游(500－498)×36＋778＝850（米）．答：最后一天应游850米．例5
有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有多少个数？解析
第二组有(16×8－98)÷(11－8)＝10（个）答：第二组有10个数．8例6
每次考试满分是100分，小明4次考试的平均成绩是89分，为了使平均成绩尽快达到94分（或更多），他至少要再考几次？解析
小明一共还差(94－89)×4＝20（分）．为了尽快使平均分达到94分，每次考试应尽可能都是满分，这样每次考试可多余100－94＝6（分）．由于20÷6＝3……2，说明至少还要考3＋1＝4（次）．
答：他至少要再考4次．?应用与探究?１．一个同学的语文成绩是85分，数学成绩是93分，体育成绩是92分，则他三门学科的平均成绩是多少分？解：(85＋93＋92)÷3＝90（分）２．植树节10个好朋友去植树，种两棵树的有2人，种三棵树的有3人，种四棵树的有2人，种五棵树的有1人，种七棵树的有2人．那么平均每人种了几棵树？解：(2×2＋3×3＋4×2＋5×1＋7×2)÷(2＋3＋2＋1＋2)＝4（棵）３．小明语文、数学、音乐、体育四科成绩的平均分是92.5分，若已知语文、音乐、体育的成绩分别为96、95、80，那么小明的数学成绩是多少分？解：92.5×4－96－95－80＝99（分）４．三个数的平均数是120，加上一个数后，四个数的平均数是115，加上的数是多少？
解：115×4－120×3＝100５．30人组成的老年学习班中，老爷爷的平均年龄是70岁，老奶奶的平均年龄是75岁．若老爷爷与老奶奶的人数相同，则他们的平均年龄是多少岁？若老爷爷是12位，则平均年龄是多少岁？解：(70＋75)÷2＝72.5（岁）
(70×12＋75×18)÷30＝73（岁）６．一辆汽车越过一个土丘，上坡的距离是60千米，上坡的距离是下坡距离的一半，上坡速度为30千米/小时，下坡速度是40千米/小时，那么上、下坡平均速度是多少？
解： (60＋120)÷(60÷30＋120÷40)＝36（千米/小时）７．已知甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10，甲、乙的平均数是8，求丙、丁两数的平均数．解：(10×4－8×2)÷2＝12８．有5个数的平均数是20，如果把其中一个数改成4，这时候5个数的平均数是18．问：改动的数原来是多少？解：20×5－18×5＋4＝14９．有7个数，它们的平均数是18．去掉一个数后，剩下6个数的平均数是19；再去掉一个数后，剩下的5个数的平均数是20．求：去掉的两个数分别是多少？解：18×7－19×6＝12，
19×6－20×5＝14１０．原来四人小组的平均分是70分，加入一人后，平均成绩提高了2分，新加入的同学成绩是多少分？解：2×5＋70＝80（分）１１．已知A、B、C、D、E五个数，前三个数的平均数是12，后三个数的平均数是9，中间三个数的平均数是10，那么首、尾、中间三个数（即A、C、E）的平均数是多少？
解：因为A＋B＋C＝12×3＝36，C＋D＋E＝9×3＝27，B＋C＋D＝10×3＝30，所以A＋2B＋3C＋2D＋E＝93，A＋C＋E＝93－2(B＋C＋D)＝93－2×30＝33，即A、C、E平均数为33÷3＝11．１２．有7个数排成一列，它们的平均数是32，前3个数的平均数是28，后5个数的平均数是33．求第三个数是多少？解：33×5＋28×3－32×7＝259第五讲
年龄问题?知识引领?解年龄问题往往是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合应用，解题分析时，一定要抓住其年龄差在几年前或几年后是不变的这个关键．?经典题例?例1
小勇比妈妈小24岁，妈妈现在的年龄正好是小勇的3倍，妈妈和小勇现在分别是多少岁？解析
题目中第一个条件是年龄差且年龄差是不变的，那么只要找到倍数差，就可以求出两人的年龄了．而“妈妈的年龄是小勇的3倍”这个条件告诉我们，把小勇的年龄看作1倍，妈妈的年龄则为3倍，他们年龄的倍数差为3－1＝2倍，所以用年龄差÷倍数差就可以求出两人的年龄分别是几岁了．小勇的年龄：24÷(3－1)＝24÷2＝12（岁）妈妈的年龄：12×3＝36（岁）答：小勇现在12岁，妈妈现在36岁．例2
王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人的年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？解析
题目中分别告诉我们王刚和李英的年龄，那么我们就可知王刚和李英的年龄差为13－9＝4（岁）．而当他们两人年龄和为40岁时，两人的年龄差还是4岁．这时我们可以用和差问题的方法，来求出两人的年龄．李英：［40＋(13－9)］÷2＝22（岁）王刚：40－22＝18（岁）答：王刚18岁，李英22岁．例3
盛爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁．25年以后，三个孙子的年龄之和比盛爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问盛爷爷今年多少岁？解析
25年后，三个孙子的年龄和应为：22＋20＋15＋25×3＝132而那时，盛爷爷的年龄为：(132＋60)÷2＝96（岁）所以盛爷爷现在的年龄为：96－25＝71（岁）答：盛爷爷今年71岁．例4
小鲸鱼对大鲸鱼说：“妈妈，我到您这么大时，您就31岁啦！”大鲸鱼对小鲸鱼说：“我像你这么大时，你才只有1岁呢．”问：小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁？解析
从小鲸鱼的话中可知，大鲸鱼的年龄＋(大、小鲸鱼的年龄差)＝31；从大鲸鱼的话可知，小鲸鱼的年龄－(大、小鲸鱼的年龄差)＝1．因此小鲸鱼从1岁开始，再加上大、小鲸鱼的年龄差就成为小鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为大鲸鱼现在的年龄，再增加一个年龄差就成为31岁了，所以（31D1）就是3个年龄差．求出了年龄差，再求大、小鲸鱼的年龄也就不难了．小鲸鱼：(31－1)÷3＋1＝11（岁）大鲸鱼：11＋(31－1)÷3＝21（岁）答：小鲸鱼现在11岁，大鲸鱼现在21岁．10例5
甲的年龄比乙的年龄的4倍少3．甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄．问：甲、乙现在各多少岁？解析
“甲3年后的年龄等于乙9年后的年龄”表明甲比乙大6岁．甲如果再增加3岁，那么就是乙的年龄的4倍．问题化为“差倍问题”．年龄差：9－3＝6（岁）乙的年龄：(6＋3)÷(4－1)＝3（岁）甲的年龄：6＋3＝9（岁）答：甲现在9岁，乙现在3岁．?应用与探究?１．爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在多少岁？
解：(69＋3)÷2＝36（岁）２．哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，哥哥和弟弟分别多少岁？解：哥哥：[100＋(15－11)]÷2＝52（岁）；
弟弟：52－4＝48（岁）３．儿子与妈妈今年的年龄之和是42岁，6年前妈妈的年龄是儿子年龄的9倍，妈妈今年多少岁？解：儿子：(42－6×2)÷(1＋9)＝3（岁）；
妈妈：3×9＋6＝33（岁）４．父亲与弟弟的年龄和是58岁，父亲比哥哥大23岁，哥哥比弟弟大5岁，那三人的平均年龄是多少岁？解：父亲：(58＋23＋5)÷2＝43（岁）；
弟弟：58－43＝15（岁）；
哥哥：15＋5＝20（岁）
平均年龄：(43＋15＋20)÷3＝26（岁）５．爸爸今年35岁，儿子今年11岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？解：5倍时儿子：(35－11)÷(5－1)＝6（岁）；
11－6＝5（年）６．哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年分别多少岁？解：哥哥：(35－4＋3＋8)÷2＝21（岁）；
妹妹：21－8＝13（岁）７．江叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后岁数相同，7年前，我的年龄是你的年龄的8倍．”那么江叔叔今年多少岁？解：7年前小明：(15＋6)÷(8－1)＝3（岁）；
今年江叔叔：3×8＋7＝31（岁）８．小丽今年12岁，4年前妈妈的年龄是小丽的4倍，几年后妈妈的年龄是小丽的2倍？解：4年前妈妈：(12－4)×4＝32（岁）；2倍时小丽：(32－8)÷(2－1)＝24（岁）；24－12＝12（年）９．小唐5年前的年龄等于小勇7年后的年龄，小唐4年后与小勇3年前的年龄和是35岁，小勇今年多少岁？解：小唐：(35－4＋3＋12)÷2＝23（岁）；
小勇：23－12＝11（岁）１０．哥哥对弟弟说：“我像你这么大时，你才只有3岁．”弟弟对哥哥说：“我像你这么大时，你就36岁了．”哥哥今年多少岁？解：(36－3)÷3＝11（岁）
哥哥：36－11＝25（岁）11第六讲
追及与相遇问题?知识引领?追及问题是行程问题中的一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，基本数量关系式：追及路程＝速度差×追及时间相遇问题是行程问题中的另一个分类，它的特点是两个运动物体进行的方向相反，要注意的是路程和两个运动物体在同时走、同时停这段时间内所走的路程总和．在相遇问题中，两个物体有时做相向运动，有时做相背运动，但都是运用相同的数量关系式．路程和＝速度和×相遇时间?经典题例?例1
慢车以每小时45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？解析
经过3小时，慢车已经走了45×3＝135（千米），又知道快车每小时比慢车多行60－45＝15（千米），就可以求出用多少时间可以追上135千米．(45×3)÷(60－45)＝9（小时）答：9小时后快车追上慢车．例2
两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？解析
要求小卡车追上大卡车时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了．追及时间为(36×2)÷(48－36)＝6（小时）距离为48×6＝288（千米）答：当小卡车追上大卡车时离甲地288千米．例3
小雯从甲地骑自行车到乙地办事，每小时的速度是20千米；回来时改骑摩托车，每小时的速度是40千米，比骑自行车少用2小时．求甲、乙两地的距离是多少千米？解析
可以把这个问题看成是一个追及问题．假设A、B分别是骑摩托车和骑自行车去乙地，B先出发2小时，A在乙地追上B，先求出A行完全程所需要的时间，再求出两地的距离． A从甲地到乙地所需时间为20×2÷(40－20)＝2（小时）两地的距离为40×2＝80（千米）答：甲、乙两地的距离为80千米．例4
甲、乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，问：（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？解析
（1）这一组题目要注意的是总路程的变化．相距200千米，说明还有200千米没有行，在800千米中必须减掉200千米．(800－200)÷(52＋48)＝6（小时）12（2）两车相遇，说明总路程就是800千米．800÷(52＋48)＝8（小时）（3）两车相遇又相距400千米，说明总路程除了800千米外，还必须加上又行的400千米．(800＋400)÷(52＋48)＝12（小时）答：（1）6小时后两车还相距200千米；（2）8小时后两车相遇；（3）12小时后两车又相距400千米．例5
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，在离A、B两地中点3千米的地方相遇，求A、B两地的距离是多少千米？解析
甲每小时的速度比乙快，因此相遇时甲一定走过中点，乙还没有到终点，那么从出发到相遇，甲多行了3×2＝6（千米），甲比乙每小时多行6－4＝2（千米），那么从出发到相遇所用的时间是6÷2＝3（小时），最后就可以求出A、B两地的距离．相遇时间为(3×2)÷(6－4)＝3（小时）距离为(6＋4)×3＝30（千米）答：A、B两地的距离为30千米．例6
某小队外出野营活动，队伍长800米，行进的平均速度是每分钟60米．队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍末尾传达命令，联络员每分钟行多少米？解析
队伍全长800米，说明联络员与队尾的距离是800米．他向队尾传达命令，就是联络员和队尾做相向运动，即相遇问题．只要求出联络员与队伍前进的速度和，再减去队伍的前进速度就是联络员的速度．800÷5－60＝100（米/分钟）答：联络员每分钟行100米．?应用与探究?１．A、B两地相距80米，甲在A地，乙在B地，他们同时同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用多少秒？解：80÷(5－3)＝40（秒）２．小王和小李都在甲地，准备去乙地，小王每分钟行120米，小李每分钟行150米．小王先行5分钟后，小李才出发，经过多少分钟后小李追上小王？解：120×5÷(150－120)＝20（分钟）３．兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发．乌龟每爬行5米，兔子超过它1圈．当乌龟爬完1圈时，兔子跑了多少圈？解：200÷5＋1＝41（圈）４．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，5小时相遇．甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．求A、B两地相距多少千米？解：(50＋60)×5＝550（千米）５．甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米．现要使两车在两地间的中点处相遇，则乙车必须先行多少小时？解：240÷60＝4（小时）； 240÷40＝6（小时）； 6－4＝2（小时）13６．小健和小壮同时从A地出发到B地去，小健骑自行车每分钟行200米，小壮骑摩托车每分钟行700米．行车途中，小壮因修车耽搁了50分钟，这样两人同时到达目的地．求A、B两地相距多少千米？解：追及时间：200×5÷(700－200)＝20（分钟）；A、B距离：700×20＝14000（米）=14（千米）７．甲、乙两地相距918千米，A、B两车同时从两地相向而行，6小时相遇．已知A车的速度是B车的2倍，则A车每小时行多少千米？B车每小时行多少千米？解：B：918÷6÷(1＋2)＝51（千米/小时）；
A：51×2＝102（千米/小时）８．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出．第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后立即返回；第二次相遇在离B地55千米处．求A、B两地相距多少千米？解：75×3－55＝170（千米）１０．甲、乙两列火车从相距770千米的两地相距相向而行，甲车每小时行41千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发．乙车行几小时后与甲车相遇？
解：770－41×2＝688（千米）； 688÷(41＋45)＝8（小时）１１．甲、乙两人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行．已知甲骑一圈要48分钟，出发后32分钟两人相遇．问乙骑一圈要多少分钟？解：48－32＝16（分钟）； 48÷16×32＝96（分钟）１２．甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行．途中甲与乙相遇后3分钟又与丙相遇．问东、西村的距离是多少米？解：甲、乙相遇时，丙与他们之间的距离：(100＋75)×3＝525（米）甲、乙相遇时间为：525÷(80－75)＝105（分钟）东、西村距离为：(100＋80)×105＝18900（米）14第七讲
植树问题?知识引领?植树问题是关于全长、株距间隔距离和棵数之间关系的应用题．在解题时，只要知道其中两个量就可以求出第三个量．解决植树问题首先要考虑植树的路线，其次要弄清植树的具体要求．?经典题例?例1
圆形溜冰场周长是400米，每隔20米装一盏灯，再在相邻两盏灯之间放3盘花，问共需要装几盏灯、放几盆花？解析
圆形溜冰场周长400米，按每20米为一段，可以分成20段，分成的段数就是需要装灯的盏数．同时，因为每段内放3盆花，所以花的盆数就是段数的3倍．装灯400÷20＝20（盏）放花3×(400÷20)＝3×20＝60（盆）答：共需要装20盏灯、放60盆花．例2
两幢教学大楼相距100米，现在要在两幢楼房之间每隔10米种一棵树，需要种多少棵？解析
两幢教学楼之间相距100米，按10米为一段，可以分为10段．由于是在两幢房子之间，等于是两端都不需要种树，所以种的棵数比段数少1.需要种树100÷10－1＝9（棵）．答：需要种9棵树．例3
实验小学进行春季运动会入场式，四年级有运动员124人，排成4路纵队，前后每行间隔为2米，主席台长20米．他们以每分钟40米的速度通过主席台，需要多少分钟？解析
这道题目其实是植树问题的变式题，可以用植树问题的思考方式来解决．124名运动员排成4路纵队（每4人为一行），可以求出这列队伍共有多少行（相当于种的棵树）．前后间隔2米（相当于每2棵树之间的距离），这样就可以求出入场式队伍的全长，再用入场队伍的全长加主席台的长度，就是每个运动员通过主席台所走的路程，然后用路程除以运动员行进的速度，可以求出所用的时间．2×(124÷4－1)＝60（米）(60＋20)÷40＝2（分钟）答：需要2分钟．例4
盛爷爷饭后有散步的习惯，一天他以均匀的速度在马路旁散步．从第1棵树走到第13棵树用了12分钟（每棵树之间的距离相等），盛爷爷又向前走了几棵树后就往回走了．当他走到第5棵树时，共用了50分钟，问盛爷爷是走到第几棵树时往回走的？ 解析
盛爷爷从第1棵树走到第13棵树，就等于走了12个间隔，共用了12分钟，也就是盛爷爷走一个间隔用了1分钟．由于回到第5棵树时，盛爷爷一共用了50分钟，那么如果盛爷爷回到起点的话，就要再多走4个间隔，多用4分钟．那么盛爷爷走一个来回一共要用54分钟，即一个全程就是27分钟，走了27个间隔．说明一个全程里有28棵树，也就是盛爷爷走到第28棵树时往回走的．1512÷(13－1)×(50＋4)＝54（分钟）54÷2＝27（个）27＋1＝28（棵）答：盛爷爷是走到第28棵树时往回走的．例5
在一根长100厘米的木棍上，由左至右每隔6厘米染一个红点．同时，由右至左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的木棍有几根？解析
由于5能整除100，所以每隔5厘米的红点从右往左染和从左往右染都相同．又由于5与6的最小公倍数是30，而每30厘米中有2根4厘米的小木棍，那么由100÷30＝3……10，可知从左至右30×3＝90（厘米）的木棍可锯出2×3＝6（根）4厘米长的小木棍，余下10厘米还可锯出1根4厘米长的小木棍，所以共有6＋1＝7（根）．答：长度是4厘米的木棍有7根．?应用与探究?１．在一条路的一边插彩旗，从头到尾一共插了45面旗，每相邻两面旗之间相距5米，那么这条路长多少米？解：5×(45－1)＝220（米）２．在一条长42米的街道两边，每隔6米种一棵树（两端各种一棵），一共需要种多少棵树？解：42÷6＋1＝8（棵）； 8×2＝16（棵）３．在一条长100米的小道一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆，相邻两盆花之间的距离相等，那么相邻两盆花之间相距多少米？解：100÷(26－1)＝4（米）４．在A、B两城安排一班长途车，每隔5千米设一个站，A、B两城间共设了9个站，那么A、B两城多少千米？解：5×(9＋1)＝50（千米）５．在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆．现在拿走花盆，种植松树，连两端在内共种了7棵，问相邻两棵松树相距多远？解：8×(16－1)＝120（米）；120÷(7－1)＝20（米）６．同学们种树，每6棵树间的总长是10米．照这样计算，种200棵树的距离是多少米？
解：10÷(6－1)＝2（米）；2×(200－1)＝398（米）；７．一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒．已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？解：100×5－210＝290（米）；(290＋10)÷(10＋5)＝20（辆）８．有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成几段？解：180÷3＝60（段）；180÷4＝45（段）；180÷12＝15（段）；60＋45－15＝90（段）９．某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层的每边站了9个同学．若让这个班同学在一条250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔5米站一人，则站满后还剩下多少人？解：(9×4－4)＋(7×4－4)＝56（人）；250÷5＋1＝51（人）；56－51＝5（人）１０．48棵树排成一个正六边形，每条边上的棵数都相等，每条边上有多少棵树？解：(48＋6)÷6＝9（棵）16第八讲
鸡兔同笼问题?知识引领?解答鸡兔同笼的问题通常是用假设法，首先要对题目中的条件进行分析，找出题目中哪一个量相当于兔，哪一个量相当于鸡，鸡兔的总只数和总脚数各是多少，再根据基本数量关系进行推算，使问题得以解决．它的基本数量关系式是：鸡的只数＝(每只兔的脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数) 兔的只数＝(实际脚数－每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数) 当然，这只是一个最基本的模型，真正在解题时还要依据实际的情况去具体分析．?经典题例?例1
笼子里鸡和兔共8只，共有22条腿，鸡、兔各有几只？解析
假设8只全是兔，那么共有脚4×8＝32（只），这样就比实际多出32－22＝10（只）脚．这是因为把鸡当作兔子来算每只多算了4－2＝2（只）脚，那么10只脚应该是10÷2＝5（只）鸡多算的，因此鸡有5只，兔有8－5＝3（只）．答：鸡有5只，兔有3只．例2
特长学校举行数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小强得了41分，他做对了多少道题？解析
假设小强做对10题，则最终得分为10×8＝80（分），比实际得分41分多得39分，这多得的39分是把其中做错的题换成做对的题而得到的．每把一道做错的题换成做对的题，得分就从倒扣5分变成得8分，所以总得分增加了8＋5＝13（分），所以做错的题为39÷13＝3（道）． 小强做对了10－(10×8－41)÷(5＋8)＝7（道）．答：他做对了7道题．例3
老师和学生100人共种了100棵树，已知老师一个人种4棵，学生4个人种1棵，那么老师和学生各有多少人？分别种了多少棵树？解析
假设100人都是老师，那么共种树4×100＝400（棵），比实际多种了400－100＝300（棵）．为什么多出了300棵呢？这是因为把其中的学生当成老师了，现在调整回去，每次把4个学生换成4个老师，所种树的棵数就多了4×4－1＝15（棵），所以，这多出的300棵树，需要换300÷15＝20（次），所以换成老师的学生数为4×20＝80（人），80名学生共种树80÷4＝20（棵），老师人数是100－80＝20（人），20名老师共种树20×4＝80（棵）．答：老师有20人，种了80棵树；学生有80人，种了20棵树．例4
买来5元、1元和8角的邮票共15枚，总价是30.2元，其中5元和8角的邮票枚数相等，三种邮票各有多少枚？解析
假设15枚全部是1元（即10角）的邮票，那么总价应该是10×15＝150（角），比实际302角少了302－150＝152（角）．由于5元与8角的邮票枚数相等，因此每次可以用1枚5元和1枚8角来换2枚10角的邮票，这样每换一次可以补上50＋8－10×2＝38（角），可见替换152÷38＝4（次）就可补足少掉的152角，所以5元和8角的邮票各有4枚．答：5元的邮票有4枚，1元的邮票有7枚，8角的邮票有4枚．17例5
老师发给甲班每人4张白纸，乙班每人3张白纸，共发白纸716张；若发给甲班每人3张白纸，乙班每人4张白纸，则共发白纸705张．问甲、乙两班各有多少人？解析
甲班与乙班人数之差是716－705＝11（人）甲班的人数是(3×11＋716)÷(3＋4)＝107（人）乙班的人数是107－11＝96（人）答：甲班有107人，乙班有96人．?应用与探究?１．今有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，则鸡和兔各多少只？解：兔：(94－35×2)÷(4－2)＝12（只）；
鸡：35－12＝23（只）２．松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中的雨天有多少天？解：20×(112÷14)－112＝48（个）；
48÷(20－12)＝6（天）３．一张桌子4条腿，一个洗脸盆架3条腿，现在有桌子和洗脸盆架共100个，合计有340条腿，桌子和洗脸盆架各有多少个？解：桌子：(340－100×3)÷(4－3)＝40（张）；
盆架：100－40＝60（个）４．把155米长的电线剪成25根，一部分电线每根长5米，另一部分电线每根长8米，则8米和5米长的电线各有多少根？解：8米：(155－25×5)÷(8－5)＝10（根）；
5米：25－10＝15（根）５．停车场共有汽车和摩托车24辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，所有车辆共有68个轮子，那么汽车和摩托车各有多少辆？解：汽车：(68－24×2)÷(4－2)＝10（辆）；
摩托车：24－10＝14（辆）６．2分硬币和5分硬币共23枚，合计85分，那么2分、5分硬币各几枚？解：5分：(85－23×2)÷(5－2)＝13（枚）；
2分：23－13＝10（枚）７．鸡、兔共有66只脚，若将鸡数与兔数互换，则共有60只脚，则原来有鸡和兔各多少只？解：(66＋60)÷(2＋4)＝21（只）；鸡：(21×4－66)÷(4－2)＝9（只）；兔：21－9＝12（只）８．五年级进行数学比赛，规定答对一题得5分，错一题扣2分，共20道题，小江得了86分，他答对了多少道题？解：答错：(20×5－86)÷(5＋2)＝2（道）；
答对：20－2＝18（道）９．特长学校100个学生参加数学竞赛，平均得分63分，其中男生平均分为60分，女生平均分为70分，男生比女生多多少人？解：63×100－60×100＝300（分）；女：300÷(70－60)＝30（人）；男：100－30＝70（人）
多：70－30＝40（人）１０．英语竞赛有20道题，做对一道得7分，做错一道倒扣去4分，不答0分，小宇得了100分，他有几道题没答，几道题答错？解：20×7－100＝40（分）；40－7＝33＝11×3；（有1道题没答，3道题答错）18第九讲
长方形的面积?知识引领?长方形和正方形是我们所认识的基本几何图形，计算它们的面积也是数学学习中几何方面的重要内容．掌握好这部分知识，也为我们将来学习其他几何图形做好必要的准备．在解这类题目时，要注意以下几点：1、能熟练运用长方形和正方形的面积公式进行解题；2、能够将长方形、正方形的面积与周长相逆运算；3、能够利用长方形的特性来帮助解题，会运用简单的分割方法．?经典题例?例1
一个长方形的长增加3米，长方形的面积就增加了12平方米．如果宽减少2米，长方形的面积就减少14平方米．问原来长方形面积是多少平方米？解析
根据题意，将原来的长方形的长和宽分别变化，画图来帮助分析：2A
B从图A中反映了长方形的长增加3米，面积就增加了12平方米，可用12÷3求出原来长方形的宽是4米；从图B中反映了长方形的宽减少2米，面积就减少了14平方米，可用14÷2求出原来长方形的长是7米．知道了长方形的长和宽，就可以求出原来长方形的面积：(12÷3)×(14÷2)＝28（平方米）例2
如图，用四个相同的小长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形，每个小长方形的周长是多少厘米？解析
假设每个小长方形的长、宽分别为a、b，大正方形的边长为x．由题意知x＝100，则x＝10．由图可知a＋b＝x，要求小长方形周长，就是求2(a＋b)，所以每个小长方形的周长是2×10＝20（厘米）．2例3
如图，将一个正方形划分为9个小长方形，这些小长方形的周长的总和是96厘米，那么这个大正方形的面积是多少平方厘米？解析
所有小长方形周长和是由外面的4条正方形边长再加上中间4条正方形的边长（分别算了2 19次）组成的．正方形边长是96÷(4＋4×2)＝8（厘米）面积是8×8＝64（平方厘米）例4
如图C所示，有两个正方形，大小两个正方形对应边的距离均为1厘米．如果两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？D解析
本题关键是要求出图中小正方形的边长．因为已知两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，所以就要把两个正方形之间部分进行分割，如图D．把两个正方形之间部分分割成相等的4块，每块的长是小正方形边长加上1厘米，宽是1厘米，所以小正方形的边长是20÷4÷1－1＝4（厘米），小正方形的面积是4×4＝16（平方厘米）．例5
有9个小长方形，它们的长和宽分别相等．用9个这样的小长方形拼成的大长方形（如图）的周长是58厘米，问这个大长方形的面积是多少平方厘米？解析
要求得大长方形的面积，首先要知道小长方形的长和宽，才能求出小长方形的面积，最后求出大长方形的面积．通过对图形的观察，可以发现大长方形的两条长，分别相当于4条小长方形的长之和、5条小长方形的宽之和，得到一个等式：4长＝5宽．又因为大长方形的周长是58厘米，通过图形观察，可以得到大长方形的周长是由6条小长方形的长和7条小长方形的宽组成，得到一个等式：6长＋7宽＝58．现在将这两个等式分别扩大3倍和2倍，得12长＝15宽，12长＋14宽＝116．通过代换法可以得到：15宽＋14宽＝116，宽＝4，则长＝5×4÷4＝5．由于大长方形的面积是由9个小长方形的面积组成，所以具体列式是5×4×9＝180（平方厘米）．例6
如图，正方形ABCD边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米、宽为5厘米．问阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？A H
设正方形ABCD的面积为a，长方形EFGH的面积为b，重叠部分EFNM的面积为c，则阴影部分的面积差是(a－c)―(bDc)＝a－b．说明阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关，应等于正方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积之差．10×10－8×5＝60（平方厘米）20?应用与探究?１．把三个边长为3厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的面积是多少平方厘米？解：Ｓ＝3×3×3＝27（平方厘米）２．用1米长的铁丝围成一个长方形，要使它的宽为15厘米，则它的面积是多少平方厘米？解：长：100÷2－15＝35（厘米）；
Ｓ＝35×15＝525（平方厘米）３．如果一个正方形的一组对边的长各增加3厘米成为长方形，面积就增加24平方厘米，则原来的正方形面积是多少平方厘米？解：24÷3＝8（厘米）；
Ｓ＝8×8＝64（平方厘米）４．两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长的和减少了6厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？解：Ｓ＝6×3＝18（平方厘米）５．一个正方形与一个长方形的周长相等，长方形长与宽的和是14分米，则正方形的面积是多少平方分米？解：边长：14×2÷4＝7（厘米）；
Ｓ＝7×7＝49（平方厘米）６．两个正方形的边长相差8厘米，面积相差96平方厘米，这两个正方形边长分别是多少厘米？解：96－8×8＝32（平方厘米）； 小边长：32÷2÷8＝2（厘米）； 大边长：2＋8＝10（厘米）７．有两张同样大小的长方形纸片，长15厘米，宽4厘米．把它们按下图所示的方法叠合贴在一起，形成“十”字图形，它的面积是多少平方厘米？解：Ｓ＝15×4－4×4＝104（平方厘米）８．把长方形的长去掉5厘米，宽去掉2厘米后，得到一个正方形，这个正方形的面积比原长方形的面积少66平方厘米，求原长方形的面积是多少平方厘米？解：设正方形边长为a，则2a＋5(a＋2)＝66，a＝8（厘米），Ｓ＝(8＋2)×(8＋5)＝130（平方厘米）９．下图是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积是多少？解：6×6÷4＝9（平方分米）；Ｓ＝9×2＋36＝54 6分米１０．有一大一小两个正方形，它们的周长相差8分米，且面积相差32平方分米，小的正方形的面积是多少平方分米？解：32－2×2＝28（平方厘米）； 小边长：32÷2÷2＝7（厘米）；Ｓ＝7×7＝49（平方厘米）
图形的拼割与计算?知识引领?图形的拼切就是把一个图形分成若干块，然后再拼成一个很规则的图形．图形在拼切的过程中，面积大小是不变的．利用面积大小的逐推是一种解题的良好方式，利用图形的对称性进行拼切也是一种常用的好方法．在拼切的过程中，除了要考虑图形本身的特征外，还要学会采用旋转分割的方法，而且要综合考虑切割后的图形形状逐步思考．增强对图形的直观感觉与判断能力，是图形拼切的基础．?经典题例?例1
把一个正方形切割成四个完全相同的部分，有几种不同的切割方法？ 解析
根据条件，首先可以考虑到一些比较常规的切割方法，如图：但是，通过观察，四个图形分割的线段，总有一条线段或一条以上线段通过正方形的中心．那么这道题的切割过程，必定有切割线段经过正方形中心，这样还有以下的割法：因为正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，按照下图中的切割手段，将两条互相垂直的线段，围绕正方形的中心进行旋转，可以得到无数种的分割方法．例2
如图A，这是一个4×4的正方形，共有16个小方格，分别写有?、△、○、◇四种图形各4个．现在要把它们分成形状、大小都一样的四块，并且每一块都要有?、△、○、◇各一个，应该怎样划分？A
根据题意，把这个正方形分割成形状大小都一样的四块，由于所写的图形打乱分散在各个位置上，如果用直线分割（即4个一排或一列）的方法进行是不可能的，那么分割过程中必定要考虑旋转分割（即横、竖都有的图形）的方法．如图B．例3
用24块面积都是1平方分米的木块拼成的长方形（不含正方形）中，最小的周长是多少分米？解析
面积一定，长方形的长与宽越接近，周长越小，因此拼成的长方形中，长为6分米，宽为4分米时，周长最小．最小的周长是(6＋4)×2＝20（分米）．22例4
有一块长48分米、宽30分米的长方形地毯，现在把它铺到长40分米、宽36分米的房间中，怎样拼割使其正好铺满房间．解析
首先考虑地毯的面积48×30＝1440（平方分米），而房间面积是40×36＝1440（平方分米），两个面积相等，可以正好铺满房间．根据题意，地毯的长是48分米，而房间的宽是36分米，可以考虑将它们等分成长度一样的一小块，这一小块的长是12分米，则地毯的长分成4份、房间的宽分成3份．同样的道理，可以把地毯的宽分成3份、房间的宽分成4份．如图C分割，如图D拼接．分米 分米C
将下图分成两块，然后拼成一个正方形．解析
图中共有小正方形16个，把它分割后拼成的正方形，它的边长是4个小正方形，所以根据这个特征进行分割，横行4个小正方形可以满足．因为横行共有5个小正方形，而竖列也是4个小正方形，必须将分割的一块往下移1个小正方形的位置．还有根据两个角各缺少一块小正方形，则分割的时候不会是一条直线分割．分割如图E，拼接如图F．E
F?应用与探究?１．在一个9×9的方格表中画一条直线，最多可穿过多少个方格？（9个）２．把一个正方形分割成4个形状相同、大小相等的图形，共有几种不同的分割方法？请你画出其中的六种来．３．把下图中的等边三角形分割成9块形状、大小都相同的图形．23４．如图，一块长方形地被两条直线截成四块，其中三块长方形的面积是20平方米、24平方米、30平方米，问第四块面积是多少平方米？（25平方米）５．把下图中的等边三角形分割成8块形状、大小都相同的图形．６．把下图的两个正方形分割成6个或11个小正方形．７．用四块直角边是3和4，斜边是5的直角三角形，围成一个正方形，这个正方形的面积最大是多少？解：S＝5×5＝25８．如图，公园里有一个正方形的花坛，四周有1米宽的走道．如果走道的总面积是12解：12÷4＝3（平方米）3÷1＝3（米）S＝(3－1)×(3－1)＝4（平方米）９．将下图所示长方形分割成形状、大小都相等的六小块，使每块所含数字的和都相等．１０．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，则最小的正方形至少要用多少块？（4块）24第十一讲
逻辑推理?知识引领?有些数学竞赛题，给出的许多条件之间往往纵横交错，层次众多，我们不能凭空想象，而是要学会有根有据地想问题，这就需要我们有良好的逻辑思维能力和逻辑推理能力．数学和逻辑推理之间有密切的关系，要通过逻辑推理的练习训练思维的逻辑性、严密性和灵活性，提高智力水平．?经典题例?例1
如图，前两个天平平衡，要使第三个天平也平衡，左端要放几张梅花？解析
我们先估计一下．放4张梅花显然不够（第三个天平右边的黑桃、方块均多于第一个天平）．放8张梅花又太多了：将前两个天平的梅花合并，一共8张，相当于将方块、黑桃也合并，即5张黑桃、6张方块合在一起，才等于8张梅花，合并后，与第三个天平相比，黑桃多出5－3＝2（张），方块多出6－5＝1（张）．从第二个天平看出，2张黑桃、1张方块合起来，正好是2张梅花（左、右各取一半）．于是从8张梅花中去掉2张，即在第三个天平的左边放6张梅花，两边正好平衡．例2
1000个人中至少有1个人说假话，而这1000人中的任意两个人，总有1个人不说假话，这1000人中不说假话的有多少人？有多少人说假话？解析
要保证1000人中的任意两个人中，总有1人不说假话，可以理解为以下两种情况：任意两个人中1人说假话，1人不说假话或者任意两个人中两人都不说假话，所以不能有两人说假话．这1000人中，不说假话的有999人，说假话的只有1人．例3
丁丁、光光和园园三位小朋友分别出生在成都、重庆、达州．已知：（1）丁丁从未到过成都；（2）成都出生的小朋友不叫光光；（3）光光不出生在达州．问：三个小朋友各出生在哪里？解析
这是一道简单的逻辑推理题．我们从题中给出的已知条件入手进行分析．条件（2）和（3）都是关于小朋友光光的，从中可以看出光光既不出生在成都也不出生在达州，所以光光出生在重庆．再由条件（1）“丁丁从未到过成都”得出丁丁不出生在成都，所以丁丁出生在达州．那么，只能是园园出生在成都了．例4
甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课．已知：（1）每位老师只教一门课；（2）甲上课全用汉语；（3）英语老师是一个学生的哥哥；（4）丙是一位女老师，她比数学老师活泼．25问：三位老师各上什么课？解析
题目中给出了四个条件，从哪里着手进行分析是解决问题的关键．一般来讲，较为复杂的条件给出的信息较多，以此作为解决问题的突破口是比较好的选择．题目中条件（4）“丙是一位女老师，她比数学老师活泼”可以得出丙不教数学，而且是位女老师． 而条件（3）“英语老师是一个学生的哥哥”可以得出，教英语的是位男老师，所以丙也不教语文． 条件（2）“甲上课全用汉语”可以得出甲不教英语，因为“每位老师只教一门课”，所以甲只能是教数学．由此可以推出乙教英语．例5
一只乒乓球装在A、B、C三个盒子里，盒盖上分别标有一句话：A盒：乒乓球在此盒；B盒：乒乓球不在此盒；C盒：乒乓球不在A盒．这三张标签中，只有一张是正确的，问乒乓球在哪个盒子里？解析
上面三张标签中，A盒上的标签与C盒上的标签互相矛盾，不可能全正确，也不可能全错误，而必须是一个正确一个错误．由于三张标签中只有一张是正确的，而A、C盒中有一盒是正确的，那么可判断B盒一定是错误的，所以球一定在B盒中．这题也可以用枚举法分析解答，把题目分为球在A盒中，球在B盒中或球在C盒中三种不同情况进行列表分析：观察“球在A盒”这一列有两个“√”，表示有两张标签正确；同样“球在C盒”这一列有两个“√”，也表示有两张标签正确；只有“球在B盒”这一列只有一个“√”，说明只有一张标签正确，与题目中条件吻合．例6
4支球队，每两队比赛1场．每场胜队得3分，负队得0分，平各得1分．已知赛完各队的得分分别为2、3、4、5．问第4名负于哪个队？解析
第1名得分最高（得5分），似乎第4名应当负于第1名．但仔细分析，结论却并非如此．每个队赛了3场，所以得5分的队，3场的分数是3，1，1（否则，和不会是5）；得4分的队，3场的分数是3，1，0；得2分的队，3场的分数是1，1，0．得3分的队，则有两种可能：3，0，0或者1，1，1．需要研究一下：这两种可能都存在呢？还是只有一种可能，是哪一种可能？由于每个平局产生两个1，所以在上面各队各场的分数中，1的总个数是偶数．因此，得3分的队，3场的分数只能是1，1，1．得4分的队胜了1场（有1个3分）．它胜在哪个队呢？只能胜得2分的队．因为只有两个队输过，即得4分的队与得2分的队．得4分的队当然不能胜自己，只能胜得2分的队．换句话说，第4名负于第2名．?应用与探究?１．有三个好朋友在谈论这次考试的成绩．小明说：“小红的分数比小强高”；小红说：“小明的分数比小强高”；小强说：“小明的分数比小红低”．这三人中谁的分数最高？谁的分数最低？（小红最高，小强最低）２．有这样的一个月份：星期六的天数比星期五的天数多，星期日的天数比星期一的天数26多．这个月的6号是星期几？（星期四）３．某年的一月份，有五个星期二与五个星期四，那么这一年的1月12日是星期几？
（星期六）４．赵老师、孙老师、李老师三人各教语文、数学、英语中的一科．已知赵老师不教数学，孙老师既不教语文也不教数学，那么教数学的是哪位老师？（李老师）５．房、胡、唐三名老师分别来自重庆、达州、遂宁，分别教数学、历史、生物．已知：唐老师不是达州人，胡老师不是遂宁人；遂宁的老师教生物；达州人不教数学；房老师教数学．那么唐老师教什么课？（生物）６．一天老师发现全班50个学生中有学生没戴红领巾，并且任何两个学生之间必有一个带了红领巾，那么共有多少人没戴红领巾？（1个）７．有4盆水，如果全部倒入小桶内，需要3只小桶；有5大杯水，如果全部倒入盆内，能装满2盆．现有20大杯水，如果改用小桶来装，需准备几只小桶？（6只）８．A、B、C、D、E五组拔河比赛，每两组都赛一场，规定胜者得2分，负者不得分．已知比赛结果如下：A与E并列第一名；B是第三名；C和D并列第四名．那么B的得分是多少分？（4分）９．全校要选一个代表去参加会议，候选人有甲、乙两个人，共121人参加选举，每人选一人．开票中途累计：甲已获45票，乙已获35票．最后得票多的当选，那么甲至少还要获多少票能当选？（16票）１０．传说中有一个小国，这个国家的人有一半人说谎话，另一半人说真话．有一天，这个国家的一群人，来到一个酒店，围坐在一个圆桌旁．已知，说谎话的与说真话的相间隔坐（即一个说谎话的人旁边是说真话的人）．这时，其中的一人对服务员说：“给我们每人来一杯水，总共13杯．”请问：说话的这个人是说真话还是喜欢说谎话的人？（说假话）27第十二讲
定义新运算?知识引领?我们已经学习过加法、减法、乘法、除法运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，其意义、符号和运算定律已被大家熟悉．很多时候，为了某种需要，常把许多含有加、减、乘、除的运算用一个代表符号表示．这样的运算及符号在课本中没有统一的规定，通过学习这些知识，对于同学们开阔视野、拓展思维都会大有好处．?经典题例?例1 设a,b都表示数，规定a△b?3?a?2?b．（1）求：3△2＝？2△3＝？（2）如果已知4△b?2，求b??解析
本题规定的运算的本质是用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍．（1）3△2＝3×3－2×2＝52△3＝3×2－2×3＝0（2）因为4△b?3?4?2?b?12?2b，那么12?2b?2，解出b?5．例2
定义运算◎为A◎B＝A×B－(A＋B)，求：（1）7◎11＝？
（2）12◎5＝？
（3）12◎(3◎4)＝？解析
新运算符号前后两个数之积减去这两个数之和，注意有括号的先计算．（1）7◎11＝7×11－(7＋11)＝59（2）12◎5＝12×5－(12＋5)＝43（3）12◎(3◎4)＝12◎［3×4－(3＋4)］＝12◎5＝12×5－(12＋5)＝43例3
已知2*3＝2＋22＋222＝246，3*4＝3＋33＋333＋．求：（1）3*3＝？（2）5*4＝？（3）若1*x＝123，求x＝？解析
观察已知两个等式可以发现，“*”定义的是连加计算，第一个加数是“*”前面的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数．（1）3*3＝3＋33＋333＝369（2）5*4＝5＋55＋555＋（3）1*x?1?11?111?...?1...1?123 ?x个1倒着算，123－1＝122122－11＝111111－111＝0即1＋11＋111＝1*3＝123所以x＝3例4
设a为大于1的整数，规定a*b?ab?a?b（如：3*5＝3×5＋3－5＝13）． 计算：(4*6)*(6*4)＝？28解析
a*b是这样计算的：先求a与b的乘积，再求此乘积与a的和，最后再减去b．(4*6)*(6*4)＝(4×6＋4－6)*(6×4＋6－4)＝22*26＝22×26＋22－26＝568这个例子说明4*6≠6*4，计算时要严格按照运算顺序，且先算括号内的．例5 对于正整数a与b，规定a*b?a?(a?1)?(a?2)?...?(a?b?1)．如果(x*3)*2?3660，那么x?？解析
a*b表示a是第一个乘数，以后每一个乘数比前一个乘数多1，一直乘到(a?b?1)为止． 设x*3?a，则a*2?a(a?1)?，得a?60所以x*3?60，x*3?x(x?1)(x?2)?60，即3×4×5＝60，所以x?3．解题的关键是要学会把原式化简，所以采用设值方法．?应用与探究?１．如果定义a△b?a?b，其中a,b都是自然数，那么9△2＝？（11）２．如果定义a◇b?2?a?b，其中a,b都是自然数，那么(3◇5)◇7＝？（29）３．如果定义a*b?2?a?b，其中a,b都是自然数，那么5*2*2＝？（5）４．a*b表示a的3倍减去b，例如：1*2＝3×1－2＝1．根据以上的规定，计算：①10*6；②7*(2*1)．
（①24；②16）５．定义新运算a?b?a?b?a?b，求：①5?3；②(1?2)?3．
（①23；②23）６．如果令A※B?4A?3B，例如2※4＝4×2＋3×4＝20．那么(2※3)※(4※5)的值是多少？（161）７．观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋，推知9*5的值是多少？
（11105） ８．a◎b?2?a?3?b，其中a,b表示两个自然数，那么(2◎3)◎4＝？（38）９．设“■”是一种新的运算规则，如2■3＝2＋3＋4＝9，5■4＝5＋6＋7＋8＝26，按此规则计算：①7■4；②1■x?15，求x?？
（①34；②5）１０．如果4?2＝14，5?3＝22，3?5＝4，7?18＝31，求6?9的值是多少？（27）
29第十三讲
加法原理与乘法原理?知识引领?加法原理和乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来，当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数．加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，?，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种不同的方法．应用加法原理的关键是分类，即将所有计数对象依据同一标准，分为不重不漏的若干类．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种不同的方法．应用乘法原理的关键是分步，即将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程．分步时要注意其合理性，各步骤顺次完成后就完成了原事件．?经典题例?例1
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班．那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解析
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4＋2＋3＝9（种）不同的走法．例2
学校组织读书活动，要求每位同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的英语书150本，不同的科技书200本，不同的小说书100本．他要借一本书，问有多少种不同的选法？解析
在这个问题上，小明选一本书有三类方法，即要么选英语，要么选科技书，要么选小说书，所以应该用加法原理计算：150＋200＋100＝450（种）例3
如图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解析
从甲地到丙地共有两大类方法：第一类：从甲地经乙地到丙地，这时要分两步走．第一步，从甲地到乙地，共有4种方法；第二步，从乙地到丙地共有2种走法，所以从甲地经乙地到丙地共有4×2＝8（种）走法．第二类：从甲地直接到丙地，由条件可知，有3种不同走法．30因此，一共有4×2＋3＝11（种）．例4
有5家英国公司、6家日本公司、8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问：要安排多少次会谈场次？解析
此题既用乘法原理，又用加法原理．由乘法原理，中、英会谈需5×8个场次，英、日会谈需5×6个场次，中、日会谈需6×8个场次，这三类会谈互不重叠，由加法原理，共需5×8＋5×6＋6×8＝118个场次．例5
1995的数字和是1＋9＋9＋5＝24．问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？解析
小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9＋9＝18，因此，百位数字至少是5．百位为5时，只有1599一个；百位为6时，有两个；百位为7时，有，1797三个；百位为8时，有，四个；百位为9时，有，，1995五个．总计共：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）．例6
有壹角币1张，贰角币1张，伍角币1张，壹元币4张，伍元币2张，用这些钱币任意付款，可以付不同数额的款项共有多少种？解析
为了付某数额的款项，壹角币可以不取或取1张，有两种取法；同样，贰角币、伍角币也各有两种取法；壹元币可以不取，或取1张、2张、3张、4张，有5种取法；同理，伍元币有3种取法．由乘法原理，并除去都不取的情况，不同数额的款项有2×2×2×5×3－1＝119（种）．?应用与探究?１．3所学校共订300份《绵阳晚报》，每所学校最少订99份，最多订101份．一共有多少种不同的订法？（7种）２．数字和是4的三位数有多少个？（10个）３．有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子．从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的搭配方式？解：5×3×4＝60（种）４．书架上有6本不同的画报、10本不同的科技书，请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书，共有多少种不同的取法？解：6×10＝60（种）５．甲、乙、丙三人去照相，摄影师要他们排成一行，共有几种不同的排法？解：3×2×1＝6（种）31６．一辆长途车，中途要停靠六个站，那么要准备多少种不同的车票？解：（7＋6＋……＋1)×2＝56（种）７．某小组的一次集会，参会的人每两人握手一次，共握手36次，这个小组有多少人？
（9人）８．用0，1，2，3，8，7六个数字可以组成多少个能被9整除而又没有重复数字的四位数？解：3×3×2×1＋4×3×2×1＝42（个）９．有6只颜色不同的小球放入3只不同的盒子里，每只盒子只放一只球，有多少种不同的放法？解：6×5×4＝120（个）１０．A、B、C、D、E五个同学排成一排，其中A、B两人不排在一起，共有多少种不同的排法？解：3×2×1×4×3＝72（种）１１．有6个小朋友，要每两个小朋友互通一次电话，你能算出他们共打了几次电话？
解：6×5÷2＝15（次）32
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