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行列式性质计算克莱姆法则
行列式的性质和计算行初等变换? 交换矩阵 A 第 i、j 行（ri ? rj ）? 第 i 行乘数 k （kri）? 第 j 行乘 k 加到第 i 行（ri+krj ）行初等变换? 交换矩阵 A 第 i、j 行（ri ? rj ）? 第 i 行乘数 k （kri）? 第 j 行乘 k 加到第 i 行（ri+krj ）? 与线性方程组对应起来行初等变换? 交换矩阵 A 第 i、j 行（ri ? rj ）? 第 i 行乘数 k （kri）? 第 j 行乘 k 加到第 i 行（ri+krj ）? 与线性方程组对应起来? 对于列的初等变换（ci ? cj ，kci ， ci+krj ）定理：交换行列式的两行(列)，则行列 式的值变号。定理：交换行列式的两行(列)，则行列 式的值变号。如：二阶矩阵?a b ? ?c d ? A?? ??B?? ? ?c d? ?a b ?则|A|=ad – bc， |B|= bc – ad定理：交换行列式的两行(列)，则行列 式的值变号。证明：将矩阵 A 的第 k 行和第 k+1 行交换得矩阵 B，求 |A| 时按第 k 行展开，求 |B| 时按第 k+1 行展开。对应的代数余子式恰好相差一个负号。 因此，|A|=-|B|定理：交换行列式的两行(列)，则行列 式的值变号。证明：若将矩阵 A 的第 k 行和第 k+p行交换，先将第 k 行换到第 k+1 行，第 k+2 行，...，第 k+p 行，经 p 次。再将第 k+p 向上经 p-1 次换到第 k 行。 一共换 2p-1 次(奇数)负号推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0证明：假设 A ? A1其中Ai=Aj，则?AiAjAn ? An ? ? AA ??? ? B ? ? A1ci ?c jAjAi于是，|A|=-|B|=-|A|? |A|=0推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0(2) 若矩阵 A 两列(行)成比例，则|A|=0推论：(1) 若矩阵 A 有两列(行)相等， 则 |A|=0(2) 若矩阵 A 两列(行)成比例，则|A|=0证明：假设 A ? ? A1记 B ? ? A1AiAiAn ?AikAiAn ?则 |B|=0?|A|=k|B|=0定理：经过第三种行(列)初等变换 (即 ri+krj，ci+krj)，行列式的值不变定理：经过第三种行(列)初等变换 (即 ri+krj，ci+krj)，行列式的值不变证明：记ci ? kc jA ? ? A1AiAjAn ?Aj An ?A ??? ? B ? ? A1记Ai ? kAjC ? ? A1kAjAjAn ?则 |C|=0?|B|=|A|+|C|=|A|对三种初等变换的总结? 第一种，交换行(列)，变号? 第二种，k ?第 i 行(列) ， k ?|A|? 第三种，ri+krj，ci+krj，不变对三种初等变换的总结? 第一种，交换行(列)，变号? 第二种，k ?第 i 行(列) ， k ?|A|? 第三种，ri+krj，ci+krj，不变用途：通过第一、三种初等变换将行列式变成容易求得的形式如 上三角阵、下三角阵例1 求 det A、 det B，其中? ?1 ? 3 A?? ?1 ? ? ?12 0 3 01 0 2 20? ?2 ? ? 2? 3 ，B ? ? ?1 1? ? ? 3? ?25 1 0 72 2 6 11? ? 2? 5? ? 1?例2 求证 det (-A)=(-1)n det A， 其中 A为 n 阶方阵。例2 求证 det (-A)=(-1)n det A， 其中 A为 n 阶方阵。? A2， ， ? An ? 证明：det(? A) ? det ? ? A1， ? ? det ? A1， ? A2， ， ? An ? ? (?1) det ? A1，A2， ， ? An ?2? ? (?1) det ? A1，A2， ，An ?n n? (?1) det A例3 设 A为 n 阶反对称阵，n为奇数， 求证 det A=0。例3 设 A为 n 阶反对称阵，n为奇数， 求证 det A=0。证明：A 反对称即 A=-AT，因此，det A=det (-AT)=(-1)n det AT )=(-1)n det A 由于 n 为奇数，det A=0例4 求 det D?a b b ? b a b D?? ? ? ?b b bb? ? b? ? ? a?例4 求 det D?a b b ? b a b D?? ? ? ?b b bb? ? b? ? ? a?注意 D 的行之间具有“循环”性质 将其他行加到第一行，第一行相等例5 求范德蒙行列式 1 1 1a1 2 D ? a1 an ?1 1a2 2 a2 an ?1 2a3 2 a3 an ?1 31 an 2 an an ?1 n例5 求范德蒙行列式 1 1 1a1 2 D ? a1 an ?1 1a2 2 a2 an ?1 2a3 2 a3 an ?1 31 an 2 an an ?1 n注意 D 的相邻两行之间的关系， 利用上一行消掉下一行中第一个元例5 求范德蒙行列式 1 1 1a1 2 D ? a1 a?n ?1 1a2 2 a2 an ?1 2a3 2 a3 an ?1 31 an 2 an an ?1 n相邻两行差别不大，利用第一行 消掉其它行中第一个元效果不好例5 求范德蒙行列式 1 1 10 D? 0a2 ? a1 2 a2 ? a1a2n ?1 2 n?2 1 2a3 ? a1 2 a3 ? a1a3 a ?a an ?1 3 n?2 1 31 an ? a1 2 an ? a1an an ?1 n0 a ?a a?a an?2 1 n去掉第一行，并提取每一列的公因式 a2-a1，a3-a1，…，an-a1例5 求范德蒙行列式 D ? (a2 ? a1 )(a3 ? a1 ) (an ? a1 ) D1D1 ?递推可得1 a2 an?2 21 a3 an?2 31 an an?2 nD?1?i ? j ? n?(ai ? a j )例6 求行列式D?1 ? a1 1 1 1 ? a2 1 11 1 1 ? an例6 求行列式D?1 ? a1 1 1 1 ? a2 1 11 1 1 ? an? 没有 a1 该多好！例6 求行列式 1 1D1 ?1 1 ? a2 1 11 1 1 ? an 1 1 1 ? an? a2 a3anD2 ?a1 1 0 1 ? a2 0 1，递推例7 求解方程1 1 1 1 1 x 2 2 ?0 2 2 x 1 3 3 1 x例7 求解方程1 1 1 1 1 1 x 2 2 0 ? 2 2 x 1 0 3 3 1 x 0 ? ( x ? 1) ( x ? 4)21 1 x ?1 1 0 x?2 0 ?21 1 ?1 x ?3解为 x1=x2=1，x3=4克莱姆法则回顾：n 阶矩阵的行列式det A=a11A11+a12A12+...+a1nA1ndet A=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin问题：当aij与Akj的脚标不一样时，ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=？克莱姆法则回顾：n 阶矩阵的行列式det A=a11A11+a12A12+...+a1nA1ndet A=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin问题：当aij与Akj的脚标不一样时，ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=？? 恰好 A 中第 k 行用第 i 行代替！克莱姆法则当 i=k 时，ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=det A当 i≠k 时，ai1Ak1+ai2Ak2+...+ainAkn=0若按列展开，有类似的结论克莱姆法则将上两式写成行向量乘以列向量i=k 时，(ai1，ai 2， ，ain )( Ak1，Ak 2， ，Akn ) ? det AT当 i≠k 时，(ai1，ai 2， ，ain )( Ak1，Ak 2， ，Akn ) ? 0T克莱姆法则定义? A11 ? A 12 ? A* ? ? ? ? A1nA21 A22 A2 nAn1 ? ? An 2 ? ? ? Ann ?则 AA*=det A En ，称A*伴随矩阵 1 ?1 若 A 可逆，则 A ? A* det A克莱姆法则对于线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ann xn ? bn写成矩阵形式 Ax=b克莱姆法则对于线性方程组Ax=b当 A 可逆时，有唯一解xj=det Aj(b)/det A（j=1，2，...，n）其中，矩阵 Aj(b)是用 b 代替 A中第 j 列得到的新矩阵。习题：2（2、3、7） 3（1、3、5） 4（2），6百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆!
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【行列式的性质】网友提问，专家在线解答，一共有10个相关问题。
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第一章 行 列 式 第一讲：行列式的定义与性质 一、 二 三阶行列式 123 12 ??1 121??6 34 212 二、 行列式的定义 1、 排列与运序 定义1：由n个数字1.2.┉n组成一个有序的数组称为一个n元排列。 定义2：在一个排列中，一…
唐山师范学院本科毕业论文 题 目 行列式的性质及应用 学 生 王 峰 指导教师 陈 军 副教授 年 级 2006级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2008年5月 郑重声明 本人的毕业论文(设计)是在…
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第32卷第2期2011年6月淮北师范大学学报(自然科学版) JournalofHuaibeiNormalUniversity(NaturalScience)Vol．32No．2Jun．2011 行列式性质的简单证明 王信松1，姚维柱2，陈 摘 昊1 …
第 3卷第 1期 南京审计学院学报 V01. 3, No . 1 2006年 2月 Journal of Naniing Audit University Feb ., 2006 行列式性质的运用 耿锁华 (南京审计学院应用数学系,江苏南京 2100…
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δ矩阵的行列式性质 02—0055—01 本文对8矩阵的行列式的性质作以下讨论: ….磐 1.)萼阵,则A的8矩阵为n(n一1)/2阶矩阵.本文的结论是, 当n?4时,ll:lAl. 4的情况以后将作进一 步讨论.. 当lAl=0时文章:1j的性质3…
§1.2 行列式的性质(二) 回顾 性质1 行列式转置后的值不变，即D T =D 性质2 变换两行（列），行列式的值变号（注意交换次数，每交换一次变一次号）记为：r r i j c i c j 性质3 ?某两行(列) 对应元素相同?D =0?某两…
行列式的性质 第五节 行列式的性质
转置行列式的概念 a11 a12
若 D= a1n a2n
ann ，则记 DT = 则记 a11 a21 a12 a22
a1n a2n an1 an2
ann ， a21 a22
重庆三峡学院毕业设计（论文） 题目：行列式的性质与计算 目录 摘要 ..........................................................................................…
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教案编:号N3O 课题 第:节 行三式的性质列 教 学间时 :学教班:级 授类型课:讲新课 教授学目的要求的 ：1. 理行列解式性的质 ；2 能够.用使行列的式质对性行式列简化 。 学重点：教1 . 理行解列式性质的； 2 会用.列式的性行对质列进行…
重庆三峡学院毕业设计(论文) 题目:行列式的性质与计算 专 业:数学与应用数学 年 级:2010级 学 号: 作 者:幸晓霞 指导老师:姜友谊(教授) 完成时间:2014年5月 目录 摘要 ..................…请在APP上操作
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&&&灵活运用行列式的性质计算n阶行列式
灵活运用行列式的性质计算n阶行列式
行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，大多是利用行列式的性质将所求行列式进行变形、化简进而找到较为简捷的办法。本文通过对几个典型n阶行列式的求解，分析了在计算n阶行列式时如何运用行列式的性质，其中的分析思路可以启发学生在计算（证明）行列式时能够灵活运用行列式的性质。
摘要： 行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n阶行列式的计算，大多是利用行列式的性质将所求行列式进行变形、化简进而找到较为简捷的办法。本文通过对几个典型n阶行列式的求解，分析了在计算n阶行列式时如何运用行列式的性质，其中的分析思路可以启发学生在计算（证明）行列式时能够灵活运用行列式的性质。&&
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server is ok几张图让你明白行列式的性质几张图让你明白行列式的性质草香综合百家号作者，【陌生，爱），哆嗒数学网群友，就读于湖北理工学院。微信、手机QQ搜索关注 哆嗒数学网 每获得更多数学趣文新浪微博：http://weibo.com/duodaa今天小编想给大家讲一下行列式，诸位看到行列式是不是觉得特别亲切，大一的时候学习行列式有没有很痛苦啊？——反正当年小编学习这个是及其痛苦的——也许我比较笨吧，:)。是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式定义？一般的教材对行列式的定义大概两种吧，逆序定义和展开式定义，无论哪种定义方法，都让我当你感觉莫名其妙，一直要到很后面学习了线性方程组，建立了方程与行列式的联系，才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下，学习行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。今天小编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义，从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式，并用几何方法来介绍行列式的基本性质。那我们现在开始来说说行列式吧！首先来看简单的二阶行列式：如上图，平行四边形OACB的面积为：毫不意外的（取m = l = 1），我们用这种方式来记忆和角公式：因此二阶行列式的值，可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积。那么三阶行列式表示什么含义呢？n阶行列式又代表什么含义呢？类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积。当然n阶行列式就由n个n维向量组成，其结果为n维平行多面体的体积。下面的文字我们将来解释行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式性质的几何解释，这里我们取二阶或者三阶行列式进行说明。性质1：行列互换行列式不变（转置）。数学语言表述为：几何解释：很显然平行四边形两条邻边互换，它的面积依然不变。这说明行列式的行和列等价，也就是说凡是对行成立的性质，对列也成立。性质2：以一常数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。数学表述为：对于二阶行列式，我们看上图就很直观，我们将其中一个向量变成原来的k倍，面积也跟着变成了原来的k倍。类似的三阶行列式有，平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式对应的行一样。如图所示，图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面体的体积之和，也就是说一个行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的和。性质4：如果行列式两行成比例那么行列式为零。先考了特殊情形，当k取1时，也就是说行列式有两列或者两行元素相等时，它所对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相应的就是将平行六面体压成高度为零的二维平行四边形，其体积为零，即行列式为零。当k不等于1时，相对应这组向量里面有共线的向量，即由n维降低到n-1维，对应的度量体积为零。性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。这条性质表述为，以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变。故对应行列式的值不变。性质6：对换行列式两行的位置行列式取反号。数学表述为：因为向量具有方向性，如果我们把符合右手定则的向量积定义为正值的话，则它的反向定义为负值。当det（A）为负值时它就确定了原像的一个反射。其实一个行列式的几何意义是有向线段（一阶行列式）或有向面积（二阶行列式）或有向体积（高阶行列式）。行列式是由各自坐标轴上的有向线段所围起来的有向体积的和。这就累加要注意方向，同向相加，反向相减。相信读者应该理解了行列式的几何意义了吧，是不是对行列式有了更新的认识啊？其实小编一直的觉得很多数学量或者数学概念，都可以找出它所对应的直观意义，这样我们的数学学习就不会那么抽象那么难理解了，反而会很有意思。最后希望大家能喜欢数学，反正小编就很喜欢数学——数学虐我千百遍，我却待它如初恋——不管你信不信，反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。草香综合百家号最近更新：简介:分享些情感、星座、综合类的文章作者最新文章相关文章