一阶常微分方程程最后两道填空题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-30 15:56 标签： 常微分方程
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中央电大常微分方程网考统考试题及答案1039.pdf
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文档介绍：
试卷代号: 1076 座位号口口
中央广播电视大学学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷)
常微分方程试题
2013 年7月
题号四五总分
得分评卷人
一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
I.方程中一,的所有常数解是(
A. y=0 B.y= 2
C.y一等 D.y 一粤+ kir,k 二0,士I,士 2,…
。、二dy_广. ,#h & 。‘
2.方程罕~了v+1的奇解().
一’产‘一dx’了
A一个也没有 B.有无数个
C.只有一个 D.只有两个
.方程零二,,过点(1,1)的解的存在区间是(
A.(一 cx,+cX2) B.(一。,2)
C. (0,+的) D.(l,+的)
4一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差(
八.不是其对应齐次微分方程组的解是非齐次微分方程组的解
C.是非齐次微分方程组的通解是其对应齐次微分方程组的解
5.平面自治系统在相平面上的一条轨线,对应( 积分曲线.
A.一条 B.两条
C.无穷多条 D.三条
得分评卷人
二、填空题(每小题3分,本题共15分)
6.方程 xsinydx 十 ycosxdy = 。的所有常数解是
7 ?方程窦一r满足初值解的存在且惟一性的区域是
8. f',(x,y ,有界是保证方程 dxdy 一、(二,,)初值解惟一的―条件.
9.二阶方程犷+f(x)y'+g(x)y 二0的等价方程组是
-- 今一 2x+3y
0 平面系统Z
eese 的奇点类型是
石丁一x卞jy
得分评卷人
三、计算题(每小题S分,本题共40分)
求下列方程的通解或通积分:
11 dx 一,',一‘,
12.!窦一,一’?
13.e'dx+(xe'+2y)dy 二 0.
14. y~xy,+2 (了) '.
-3. yy,,+ (y)+3x2=0.(夕/) 2
得分评卷人
四、计算题(本题共15分)
16.求下列方程组的通解
得分评卷人
五、证明题(本题共15 分)
17.证明:一阶微分方程
=12 不 y2 不1
的任一解的存在区间必是(一。,+。).
试卷代号: 1076
中央广播电视大学
学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷!
常微分方程试题答案及评分标准
2013 年7月
一、单项选择题(每小题3分,本题共15分!
2. A 3. B 4. D 5. C
二、填空题(每小题3分,本题共15分)
6.x =份+姗,y = 舫,k =0 ,士I,士 2,…
7.满足y&0的上半平面
Zj'1已分y
二一 f( I) y :一 g(x)y
10.不稳定结点
三、计算题(每小题8分,本题共40分)
11.解当 y(y-l) 半。时,分离变量,得
忌不 dy(y-l),一“(3分)
积分,得{忌习!:一! dr+Cl (5分)
或{(二一共一与d,一{ dx+C'
Jy 一 L y j
in」y一l卜 lnJyJ ~二+ C'
通积分为y-二二ce?(8分)
,,, -i-- =,、二二dy_Y_ 2
I乙.阱 13住 LX - JX j 一丁一蕊
齐次通解为 y =Cx
令非齐次解为y一C(x)x
代人得C(二,一告 x2 + C
原方程通解为,
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常微分方程期终考试试卷(1)
填空题（30%）
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（
）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）
３、若试求方程组的解并求expAt
５、求方程经过（0，0）的第三次近似解
6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。
１、　　　　
２、　　　
　　　　　
　　　　　　　
７、零　　　　　　稳定中心
１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得
即另外y=0也是解
２、线性方程的特征方程故特征根
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0
不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0
所以原方程的解为
３、解：解得此时 k=1
由公式expAt= 得
４、解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导：
即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为：p为参数
又由得代入（*）得：也是方程的解
６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。
三、??? 证明题
由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：
从而是线性无关的。
常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n
如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里
设的某一解，则它的任一解_____________-。
求方程的通解。
求方程的隐式解。
1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.
《常微分方程》期终试卷答卷
填空题（每空5分）
计算题（每题10分）
1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得
代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=
带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.
故通解为：
解：齐线性方程的特征方程为，
，故通解为
不是特征根，所以方程有形如
把代回原方程
于是原方程通解为
三、证明题（每题15分）
1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。
（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)
常微分方程期终试卷(3)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1.??? 2xylnydx+{+}dy=0
5.??? tgydx-ctydy=0
6.??? {y-x(+)}dx-xdy=0
7．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时
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