高一数学竞赛数列求和证明问题_百度知道
高一数学竞赛数列求和证明问题
归纳以后xn≥Σ成立，然而后面求和继续放缩，里面还有求和啊，这怎么办
求和的不用放缩的具体是这样的xn+1&=(n+2)xn-Σ=nxn+2xn-Σ&=nxn+2Σ-Σ=nxn+Σ
这个式子恰好是你归纳部分要证明的
我的意思你没听明白，我说归纳完怎么做
哦,归纳完了的话,你再归纳证明一下xn&=x1这个很容易的,之后你就由第一次归纳的结论可以证明出来xn&=(n-1)a最后n充分大的时候xn&=2008!
n取（2008！+1）/a取整吗
对的,只要超级超级的大就可以了
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数列与递进
知识、方法、技能
数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题.
所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1, a2, …,an, …通常简记为{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.
从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.
对于数列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和，则有
I．等差数列与等比数列
1．等差数列
（1）定义：
设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1, 2,…)，数列{bn}满足b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.
（1996年全国数学联赛二试题1）
【思路分析】欲求数列{bn}前n项和，需先求bn. 由ak=bk+1－b&&k, 知求ak即可，利用
ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出ak.
【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1, 又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则有an=2n－1.
由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得
a1=b2－b&1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面n－1个等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an. 即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}的前n项和为
Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.
【评述】求数列的前n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法.
求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三角形.
【思路分析】由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为60°－d, 60°, 60°+d，其中d为常数；又由对应的三边a、b、c成等比数列，知b2=ac，或将三边记为a、aq、aq2，其中q为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明d=0或q=1或a=b=c.
【证】设△ABC的三个内角为A、B、C及其对边a、b、c，依题意b2=ac, ∠B=60°.
【方法1】由余弦定理，得
整理得(a－c)2=0因此a=c.
故△ABC为正三角形.
【方法2】设a、b、c三边依次为a、aq、aq2，由余弦定理有
cosB= ,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）
所以a=b=c,故此△ABC为正三角形.
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高中数学竞赛模拟题(十六套) 模拟试题一2010年全国高中数学联赛模拟试题武钢三中岑爱国一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程2．如图，在，则M2N的值为３．4．单位正方体这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为５．设数列6．已知实数X，Y，Z满足XYZ32，XYZ4，则|X||Y||Z|的最小值为7．若8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．NDCAMB（1）求数列的通项公式；（2）设集合，求证．10．（20分）过抛物线的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求A，B满足的条件，使得一定存在整数K，有成立．二试一．（40分）如图，已知求证二．（40分）设．三（50分）已知N个四元集合，试求N的最大值．这里PDEFABC四．（50分）设为正整数的二进制表示数的各位数字之和，为数列的前N项和若存在无穷多个正整数N，满足，且M，则称是“好数”试问（1）2，3，5是否都是好数（2）是否都是好数模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题江苏省盐城中学陈健第一试一、填空题（每小题7分，共计56分）1若函数图象经过点（2，4），则的反函数必过点__________XFY?2XFY??2A、B、C是从集合??531，，，，中任意选取的3个不重复的数，则CAB?为奇数的概率为___________3已知数列的通项公式是，则数列的前项和_____N124??NAN??NNS4抛物线的准线与轴交于点，过作直线交抛物线于点、，点在281XY??YAMNB抛物线对称轴上，且，则的取值范围是____________MNB??OB5已知，直线与,R???1SINSINCOXY?????1CSINCOSXY?????的交点在直线上，则Y??6如图，四面体中，为等腰直角三角形，ABCD?，，且，09?106??ADC则异面直线与的距离为______________7已知点、，且满足2,,YXP,，则长的取值范围是________????????21,0YXAABCD8将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则4?有_不同的染法（用数字作答）二、解答题（三题共计44分）9（本题14分）已知二次函数，设方程有????210,FXAB????R??FX?两个实数根．12,X①如果，设函数的对称轴为，求证；4???FX0X01X?②如果，且的两实根的差为2，求实数的取值范围10XF?B10．（本题15分）数列满足}{NA,NNAANN?????证明（1）对任意为正整数；2对任意为完全平方数N,?1,?NN11（本题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合求证总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有100个扇形位于大圆的同色扇形上第二试1（本题50分）凸四边形中，是最长边，点分别在边上，且线ABCDNM,BCA,段平分四边形的面积，求证线段平分对角线CMAN,D2（本题50分）定义，其中为正实数，求,XZYXZYXF??ZY,的值域,ZYXF3（本题50分）已知一个给定的平面点集中，任意三点都可被一个半径为1的圆覆盖，求证这个点集能被一个半径为1的圆覆盖4（本题50分）设是一个固定的正整数，证明对任何非负整数，下述不定方程NK有无穷多个正整数解23321???KYXX,21YXN模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷福州一中危志刚第一试一，填空题（每小题7分，共56分）1、设适合等式则的值域是FX12,FXFX??F2、若对所有正数不等式都成立，则的最小值是,YYA??A3、等差数列3，10，17，，，13，，2003中，值相同的项有个4、在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为??1,YXP?2,YQ若到点、的“直角距离”相等，其中,2121YXQPD???C?3A9,6B实数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为XY0?C．5、将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则4?有种不同的染法（用数字作答）6、若为一个平方数，则正整数92N?N?7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，2313且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为?E8、设函数，且，，则14632??XXF1?AF9BF??BA二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9．已知抛物线，其焦点为20YP?F，一条过焦点F，倾斜角为的???直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准?线于点，求四边形的面积．?10．数列定义如下，且当时，??NA1A?2N?21,,NNA???????当为偶数时，当为奇数时．已知，求正整数N．3019N?11．对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、3N?蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问共有多少种不同的染色方法第二试（每题50分，共200分）1、已知，、、、是圆上顺次四ABCD点，且，，的??BA?YXOF平分线交圆于，的平分线交圆于，在由这六个点构成的六边形中，如果有四XBCD?Y条边的长度相等，那么必为圆的直径．2、设，求的最大值和最小值．1,0?BA11BABAS???3、求所有满足方程组的三元实数组．XYZ??????,XYZ4、将8个车放到如图的99棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题东北育才学校张雷一试一、填空题（共56分，每题7分）1、函数的单调递增区间是_______________________．XXFSINLOG21?2、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有______种3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________三角形正方形梯形五边形六边形○1○2○3○4○54、已知（其中是大于1的正整数，且互质）化为最简二次根式后是形BA,BA,PNM式，其中是大于1的正整数，且互质，如果，则的最小PNM,PM,9??PNBA可能值是________5、若关于的方程的两个实数根X????BAXBA满足则的最小值与最大值的积是_________21,,1021?X46、我们定义运算，如，24BABA???????，用整数1，2，3，4和三个????号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________7、平面上满足约束条件的点形成的区域为D，区域D关于直线???????01YX,YX对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为___________XY2?8、令表示正整数的所有数字的和，如，则NPN??PP的值是_____________290831P???二、解答题（共44分）9、（14分）已知圆和圆的两条外公切线为轴及直线，若两个1C2X0??MXYL圆的一个交点为，且两圆半径长度之积为68，求圆心1C和2所在直线的方程6,9和M10、（15分）已知函数2121FXXX????，求1FXA??的解集中元素的个数。11、（15分）如果BA,都是正实数，请给出一个你认为的最小正数T，使得满足TB?的任意实数,，不等式21???BA成立，并证明你的结论模拟试题五联赛模拟题一试一、填空题1不等式1YX??的解集中YX,能使K??2成立时的的最小值为．2一个三位自然数321A如果同时有21A?及23称为凹数，（例如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是．3若X是一个十进制四位整数，记X的各位数码之积为XT，各位数码之和为XS，P为素数，且KPXT?，5?PS，则中的最小者是．4已知复数列}{NA的通项公式为1321NIIIAN???，则1??N等于5一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V，圆柱的体积为2V，且21K?，则?MIN．6??RYX,且YX???3，则X的最大值是___________．7已知和是实数，IZ41，YIZ?42，21Z0?，令34?U，则U的最大值为．8平行六面体的8个顶点中的任意三个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．二、解答题9已知函数XF的定义域是,0??，并且满足01??XF．如果函数1??MFG是奇函数，试求实数M的值．10已知数列}{NA中，1?,21NNA?N?求证18205?A11已知圆12??YXO和抛物线2?XY上有三个不同的点RQP,．如果直线PQ和R都与圆相切．求证直线QR也与圆O相切．二试一、ABC?内接于半径为R的圆O，令I为ABC?内心，R为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明CBBIG???或A3?，其中CB,分别为ABC?三个内角A、B、C所对应的三边长．二、已知CBA,为正实数，且344??CBA，证明1414????CABA三、设BA,是正整数，满足1,12????ABFAB，求,BAF所有可能取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问“好学生”最多可能有多少个证明你的结论．模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题哈师大附中刘利益朱逢迁第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1．从??,210?中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是2．双曲线的中心为原点O，焦点在X轴上，两条渐近线分别为12L，，经过右焦点F垂直于1L的直线分别交12L，于AB，两点．已知OAB????、、成等差数列，且B??与A同向．则双曲线的离心率为3．在BC?中，如果26ABC??，则OTCTANC?的值等于4．已知集合??,3,4MN，定义函数FMN?．设点1,2AFFF，C?的外接圆圆心为D，且DACBR????????，则满足条件的函数FX有＿＿＿＿个．5．设FX是定义在R上的函数，对任意的R?，都有3,FFX??）2?，如果120F?，则1F的值为6．数列??NA满足1,NNAN?,则201KA??7．立方体DCBA?中，点M,分别在线段AB，上（不包括线段的端点），满足NM1?，则1与1所成角的取值范围是8．若非负实数,XYZ满足2234YZXYZ??，则MINXYZ??二、解答题（共56分）9．（本题满分16分）已知直线XMYQ??与椭圆?1232?YX交于不同两点BA、设A关于椭圆长轴的对称点为1A，F为椭圆的右焦点，试求A、F、B三点共线的充要条件10．（本题满分20分）正数,ABC同时满足4ABC?，2219BC??．求证存在以,ABC为三边长的三角形．11．（本题满分20分）数列??NA满足12,A?，21NA??，,23N??试求201A????（注??表示不大于的最大整数，即的整数部分）第二试一、（本题满分40分）如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，圆O在D、E两点的切线交于点H，证明MBC?．HDEOMBCA二、（本题满分40分）已知,ABC都是非负实数，且2ABC??，求22211ABCAPB?的最大值．三、（本题满分50分）设数列??NA满足1221,NNAAN???．求证对任意的N?，1都不含43Q型质因子（Q）．四、（本题满分50分）单位圆内或圆上有8个点，任意三点不共线．求证总有某三个点为顶点的三角形面积小于8?．模拟试题七联赛模拟题一、填空题1以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，得到一个正六边形，则此椭圆的离心率为2在圆4COS???上有两点A，B，它们的极角分别是2,5?；由极点向直线AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是3A,B为锐角，则COS2ACOS2B47SINB?成立的充要条件是4一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为5锐角△C中，D是高线，4C?217，4517,CAD??△AB的面积为6．对任意实数K，曲线X4KX3Y－6X2Y2－KXY3Y40总可把圆X2Y21分成等分7数N201K???的末三位数是8已知方程X3－7X210的最大实根为T，则T2000被7除的余数_______二、解答题9已知三棱锥ＡBCD在顶点A处的三个面角（即∠BAC，∠CAD，∠DAB）分别为75°，90°，105°；从这个顶点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高10．用1，2，3这三个数字构造N位数，但不允许两个1相邻，能构造多少个这样的N位数11已知抛物线C1YX22X和C2Y－X2A如果直线L同时是C1和C2的切线，称L是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段⑴A取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线写出此公切线的方程；⑵若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分加试模拟题1设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足BPE＝FQC＝2求证OO′⊥PQO'PQOCBAFE2求证LN1?＜1123N??≤1＋L,N1,2,3对于给定的正整数K，以F1K表示K的各位数字之和的平方；并设FN1KF1FNK，N1,2,3,试求F的值4．某种彩票的对奖号是个三位数（000999），开出的中奖号也是个三位数．买彩票时可以自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（例如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖．为确保能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票模拟试题八2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题人大附中陈维兵一试一、填空题1求方程2SIN10XY??的实数解_____________2已知数列{}NA满足112,46NNAN???，则201A?________3两位数0,?BA若满足1,?BA，则称AB为好数，则好数共有_____个。4两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有_______个。5若A是12B?与?的等比中项，则2AB?的最大值为。6已知抛物线XY42?及其上的一点P,焦点01，F和25，A，则2PAF?的最小值为。7有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置方案。8设常数K使得方程20XYXYK????在平面直角坐标系XOY中表示两条相交直线，交点为P若点,AB分别在这两条直线上，且1PAB???，则AB????______二、解答题9已知??RWZYX，,，求223WZYXM??的最大值。10数列{}NA定义如下2114,2NNAA???，而数列{}NB定义为N?1,2NN??（1）求的通项公式（2）证明1,NBN???（3）证明711已知椭圆012???BAYAX，其长轴为A1，P是椭圆上不同于A,1的一个动点，直线1,PA分别与同一条准线L交于1,M准线两点，试证明以线段1M为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、在等腰△ABC中,ABAC,D是边AC的中点,E是点D在BC上的投影,F是DE的中点证明BF垂直于AE的充要条件是△ABC是正三角形ACBDEGFH2、设△ABC的三边分别是A,B,C，且ABC3求证???3、设正整数N大于1，它的全部正因数为D1，D2，，DK，满足1D10的值域为1,??,GXLOG2KX22AX2的定义域为A,集合B2,1,若A∩B≠Φ,则实数K的取值范围是___________2已知设A,B为正实常数,Θ为参变量,则满足XSINΘYCOSΘ2YX?且2221COSSINYX????的点X,Y的轨迹方程是______________________；3使得N??21N2为整数的最小正整数N_________4如图,已知⊙C的圆心C在抛物线X22PY上P0运动,且⊙C过定点A0,P,点M,N为⊙C与X轴的交点如果XANM?||则函数FXX1?的值域是______________5对于所有自然数N,使得ANB0N12恒成立,且B取最大值的实数组A,B,C等于_____________________；XYMNACO6用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_______________7设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点则异面直线OE与BF的距离是________8非负实数X,Y,Z满足X2Y2Z21则FX,Y,ZXYZ2XYZ的最大值是___________三解答题本题共3道满分44分914分如图,已知A,B是椭圆012???BAYX的左右顶点,P,Q是该椭圆上不同于顶点的两点,若直线AP,QB相交于点M,直线PB,AQ相交于点NⅠ求证MN⊥ABⅡ若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程1015分设A,B∈R,点集A{N,NAB|N∈Z},B{M,M217|M∈Z},C{X,Y|X22Y2≤66}试求出所有的整数N,使得存在实数A,B满足A∩B≠Φ且A,B∈C1115分设定义域,值域都是实数集R的非常数函数FX,GX,满足对任意X∈R,都有FGXFX,GFXGX1求FX,GX2定义数列{AN}A13,A27,FAN2G5FAN1GAN1N≥2ABCOEFPXYF1F2ABOQMN二试题本题共4道小题每小题50分,满分200分一50分如图,半径分别为R,R的两圆Г1,Г2相交于A,B两点,过点B的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为R∶R求证ⅠCDEFⅡ圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上二50分设数列{XN}满足X12011,??????????NXXN121,N2,3,其中X表示不超过X的最大整数求数列{XN}的通项XN三50分给定素数P,Q,R求证对任意给定的正整数K,总存在无穷多个正整数N,使得PNQNRN1,PNQNRN2,,PNQNRNK均为合数四50分设正整数A1,A2,,A2010满足（1）AI≠211I1,2,,2010,（2）任意连续若干项之和≠211求MIN{??201IA}ABCDEFГ1Г2模拟试题十一全国高中数学竞赛模拟卷湖南师大附中周正安第一试一、填空题每小题8分，共64分1．已知不等式2256XXA???的解集A满足1?，则A。2．求值TANT3TNT54TNT72TN4TA162????????????????。3．在等差数列??N中，33,MNA?，则MNA??。4．某底面是单位圆的圆锥具有性质在过顶点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为。5．设非零复数,ABC满足ABC??，3C??，1?，2020NC??则N。6．用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总共可写出个不同的六位数。7．已知0A?，如果函数21XAF??在,?上为增函数，则A的取值集合为。8．将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有种。二、解答题共56分9．16分已知数列??NA满足12156NNA????????记2211NNNBA?????。1求数列N的通项公式；2求出所有的正整数，值得212NNB????。10．20分定义,,0,YFXX???1设3221,LOG1XFXAB??的图象为曲线C，若存在实数B使得曲线C在04?处有斜率为8的切线，求A的取值范围；2当,XYN?且XY?时，求证,,FXYX?。11．20分已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足||PCB???????（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（M,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率K1、K2满足K1K22求证直线DE过定点，并求出这个定点。第二试一、40分已知B?的内心为123,,IOA分别过B、C，A、C和A、B且与I直交。1OA与2相交于另一点'C，同理可得点'和点'。求证''的外接圆半径等于I半径的2。二、40分设,XYR???，求证11YXXY???。三、50分已知P为质数N，M均是正整数，试求方程38NPM?的所有解。四、50分证明在任意2个人中，可以找到两个人A、B，使得其余2N个人中，至少有N个人他们中的每一个，或者都认识A、B；或者都不认识A、B。模拟试题十二高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．对于任意的X，都有12COS???XBA，则BA?的最大值是。2．对于任意实数A，B，不等式??M,0AC?恒成立，则常数C的最大值是．（注?YZ表示X，Y，Z中的最大者．）3．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，∠BAD60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________．4．已知四个整数DCBA,都是偶数，且DCBA?0，90??A，若CB,成等差数列，C,成等比数列，则DCB?的值等于．5．已知椭圆2164XY??的左右焦点分别为1F与2，点P在直线L380X?上当12P?取最大值时，12的值为．6．已知数列{}NA的前N项之和为NS，且0NSA???，1,23N?，则NS的表达式为___________________．7．已知定义在R上的偶函数FX的图象关于直线1X对称，且当X?时，21FX??，若直线YA??与曲线YF?恰有三个交点，则实数A的取值范围为________________．8．某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________________．二、解答题本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）已知抛物线XY42?的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N1求证直线MN必过定点；2分别以弦AB和CD为直径作圆，求证两圆相交弦所在的直线经过原点2．（本小题满分20分）设函数2FXAB??（其中,为实常数），数列{}NA和{}NB定义为12A?，15NNF?，1NN（,23??），已知不等式430FXX??对任意实数X均成立，数列{}B的前项的和记为NS．（1）求实数A、B的值；（2）若数列{}N的前项的乘积记为NT，证明对任意正整数，12NNT?为定值；（3）证明对任意正整数，都有4215NS???????????????．3．（本小题满分20分）设12,NX?为N个正实数（2,N???），且12NXX???，将2112,,NNX???中最大的数记为S．1令2KKYX??，,??，求证12NS???；2对于给定的正整数N，，求S的最小值，并求出S取最小值时12,X?的值．第二试一、（本小题满分40分）如图，已知两圆1O与2内切，另四个圆3O、4、5、6均与内切，与外切，且连心线、与21的夹角相等，求证点3、4、5、6共圆．二、（本小题满分40分）设??,10IX?I1,2,3?,N．试求下面式子的最大值与最小值O3O4O5O6O2O111NNIIIXS????,其中，1NX??．三、（本小题满分50分）正整数M，N均大于1，已知????12NNM???刚好有3个不同的质因子，求所有满足要求的数组（M，N）．四、（本小题满分50分）甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮流下棋，每次可以将一个棋子放入任意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，，如此进行下去．如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜．请问分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，可以使得对手无法获胜说明理由．模拟试题十三高中数学竞赛模拟试卷大连市第24中学李振权一试一、填空题1．给定数列{XN}，X11，且XN1N??31，则??2051NX2、一个七位数A，其各位数字相加得到B，已知A仍为一个七位数，且AB?各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为。3．Z1、Z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|Z1Z2|2恒定，而Z3Z11IZ2I，则|Z3|的最大值为_________4在椭圆1925??YX中，F是左焦点，点C是左准线上一点，过C点的直线L交椭圆于A、B两点，连结FA、B、，且???50，???20，则__________________。5．我们注意到68910，试求能使N表示成N3个连续自然三数之积的最大正整数N为__________6．对每一实数对X,Y，函数FT满足FXYFXFYFXY1。若F22，试求满足FAA的所有整数A__________7设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有种不同的分法。8、已知斜四棱柱1ABCD?的底面是边长为1的菱形，侧棱长为X，60???，45???，当X?___________时，1AC?平面1BD．二、解答题9、已知AB?中，AC2AB过点C、A分别作B?外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆于点D求证直线BP平分A。10．已知A,B,C∈R，且满足CBAK?≥AB2AB4C2，求K的最小值。11．已知A0，函数FXAXBX2,（1）当B0时，若对任意X∈R都有FX≤1，证明A≤2B；（2）当B1时，证明对任意X∈0,1,|FX|≤1的充要条件是B1≤A≤2B12、已知数列{}NA满足1?，146102NNAA??．（Ⅰ）判断数列21NA???????是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由；（Ⅱ）当?时，求数列{}N的前项和为NS；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明当3?时，34110NS???．二试一、（50分）已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q≠A,B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D．证明CD平分线段QH．二、（50分）设NCBXAXFN,2??为自然数，已知9,61,0??FF，196,43?FF，求XF．三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除四、（50分）设|X|为子集S?中元素的个数；又为XS?，是的补集；IC是IA?对K个参赛选手有相同的判决，证明21BAK?模拟试题十四一填空题1已知111,,,2NNXFNNFXFXF???????对于定义,若1331,FXF?则16的解析式为______________2设,,,ABCDXYZTABCD?若变量是的某一个排列,那么表达式2222,NXYZTTX?????可以取____________个不同的值3设S是集合1{,}NA?含有3个元素的所有子集的元素之和，则2LIMNS???__________4已知,??是方程20,AXBCA??为实数的两根,且?是虚数,2?是实数,则5981K??_____________5当且仅当N被K整除时，多项式221NNX?不被21X?整除，则整数K_________6已知纯虚数219,X?的模均为1,则XXX??被4除所得余数为_______________7设集合{|0,},{,|,}MZFABCDM?????,映射FFZ?使得,FABCDC??,已知,3,,6,,FFUVXYUXVXYUV?则____________812个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中任意两人至少有一次同坐一张桌,则至少要________周二．解答题1．2,F是椭圆21XYAB??的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在X轴上，求值12TANTPF?2数列{}NA中,9321INI???,求该数列前N项和NS3定义在1,1上的函数FX满足1对任意,1,XY??都有1XYFXF??2当1,0X??时,有0FX?求证21532FFNNN????第二试一如图在四边形ABCD中,对角线AC平分,,BADCE?在上取一点BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证GCE?ADECGBF二．设,0,1ABCCA???,求证3331166BCABC???三．证明对于大于2的任意正整数A,存在无穷多个,|1NNNA???使得四．设P是奇质数,,AB是小于P的正整数,证明ABP??的充分必要条件是对任何小于P的正整数N,均有2N?等于正奇数第十五套联赛模拟上海延安丁虬骋一、填空题1若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范182????XX?2,0?X?围是2方程组的实数解共有组????7421XYY,Y3正方体中，点分别在线段上（不包括线段的端点），1DCBA?NM,1AB，满足，则与所成角的取值范围是NM1?14已知上一点,分别是圆与圆P是直线YX?,2213CXY???2C上的点,则的最大值为224X??PN5设函数，定义，其中，且，XF?1LOG2???1NIFSN?2?则NS6长方体中，，，则异面直线与间1DCBA?41A3DDA11B的距离为7求和（其中表示不超?????X过的最大整数）X8扔6次骰子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其IIAK61??KIAMNP中是互质的正整数，则NM,NM76LOGL?二、解答题9设为实数列，满足，其中??,,10NA5121??NAN?求证当时，5?25??NA10设椭圆的焦点，为过焦点的弦，满足，F210XYAB???,ABCDABCD?求“蝶形”面积的最大值和最小值ACBD11设函数283FXA??R??（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值,GF?GXA（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有MA0,X?||5FX?①的表达式；MA②的最大值及相应的值AO2QPO1II2I1DBAC第二试1、在中，是斜边上的高，记分别是，的内ABCRT?DI,21,AD?BAC?心，在边上的射影为；，的角平分线交，分别于，I1OCAB?P；的连线与相交于求证四边形为正方形QP221I2、设,求证,ABCR??3332222ABCABCBC???????3、设的内切圆半径为1，三边长,,若、、都是整ABC?ABC?BACB?ABC数，求证为直角三角形4求证面积为1的凸边形可以被面积为2的三角形覆盖．N6?第十六套高中数学联赛模拟题华南师大附中宋红军一试姓名成绩一选择题每小题8分，共64分1、设集合X{1,0,1},Y{2,1,0,1,2}，从X到Y的映射满足条件F对于每个X?X，恒有XFX为奇数，则这样的映射一共有18个。2、已知XLGX10,Y10Y10，则XY10。3、设FZ3ZCOSISIN?，这里Z是复数，用A表示点F1I，B?6763表示点F0，C表示点4I，则∠ABC60?。4、设抛物线Y22X的焦点为F，以P45,0为圆心，|PF|长为半径作一圆，与抛物线在X轴上方交于点M、N。则|MF||NF|的值是8。5、已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，面SAC⊥面SBD，若△SBC、△SCD、△SDA的面积分别为5,6,7，则△SAB的面积等于。386、若1≤A1≤A2≤A3≤A4≤A5≤A6≤64，则Q的最小值为。A1A2A3A4A5A6347、一个由16个小方格组成的的棋盘，将其中8个小方格染黑，?使得每行、每列都恰有2个黑格，有90种不同的染法。8、已知M27T35S，其中T是奇数，S不能被3整除，则M的所有形如2P3Q（其中P,Q为自然数）的约数之和等于92820。二解答题（9小题每小题16分，10、11小题20分，共56分）9、数列{AN}定义如下A0A11,AN214AN1AN其中N?N，求证对所有的正整数N，2AN1是完全平方数。证明数列{AN}对应的特征方程为X214X10，其两根为X174,X2734，3∴AN?74N?74N33又A0A11∴?,?∴AN74N74N22N22N2N22NN由二项式定理得2N3可设2NXY,其中X,Y为整数，则2NXYN2N23YX233又∵3YX为整数∴2AN1是完全平方数。解法二用归纳法证明。（构造数列{BN}B01,B11,B25,BN24BN1BN，证明2AN1BN2）10、已知A,B,C为正实数，求证A5A23B5B23C5C23≥ABC3证明∵A,B,C为正实数∴A5A3A21A3A21A21A12A1A2A1≥0∴A5A21A3∴A5A23≥A32同理可得B5B23≥B32；C5C23≥C32；∴A5A23B5B23C5C23≥A32B32C32A3B3C32A3B32B3C32A3C34A34B34C38A3B3C3A3A3B31A3A3C31B3A3B31B3B3C31C3A3C31C3B3C31A3B3C3A3B3C311≥A3B3C33A2B3A2C3AB23B2C3AC23BC26ABCABC3当ABC1时取等号。11、点P到定点F1,2和到定直线X3的距离之和等于4。（1）求点P的轨迹方程，并画出曲线L。（2）直线L?为X1TCOS?Y2TSIN?倾斜角，T为参数。与曲线L交于P、Q两点，记F?｜PQ｜，试求F?的表达式及其最大值和最小值。解1设P点的坐标为PX,Y，则有|X3|4X12Y22∴当X≥3时，Y224X当X≤3时，Y2212X4∴P点的轨迹方程为Y224XX≥3Y2212X4X≤32以F1,2为极点，X轴正向为极轴，建立极坐标系，则当X≥3时，P点轨迹为以F1,2为焦点的抛物线，此时的抛物线椎坐标方程为?120?≤?≤120?；21COS?当X≤3时，P点轨迹也为以1,2为焦点的抛物线；此时的抛物线椎坐标方程为?120?≤?≤240?；直线方程为??0；61COS?直线与曲线相交有两种情况（1）直线只与一条抛物线相交时，这条抛物线方程必为?且60?≤?≤120?，此时21COS?4≤|PQ|≤21COS?21COS?41COS2?163当?90?时取最小值；当?60?时取最大值。（2）直线与两条抛物线都相交时，60?≤?≤60?，此时4≤|PQ|≤21COS?61COS?81COS?163当?0?时取最小值；当?60?时取最大值。∴F?且F?的最大值为，最小值为4。163二试姓名成绩一本题满分40分给定锐角△ABC，在BC边上取点A1、A2A2位于A1与C之间；在CA边上取点B1、B2B2位于B1与A之间；在AB边上取点C1、C2C2位于C1与B之间。使得∠AA1A2∠AA2A1∠BB1B2∠BB2B1∠CC1C2∠CC2C1。直线AA1、BB1、CC1可构成一个三角形，直线AA2、
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