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方程组的几何解释
乘法和逆矩阵
转置-置换-向量空间R
列空间和零空间
求解Ax=0：主变量、特解
求解Ax=b：可解性和解的结构
线性相关性、基、维数
四个基本子空间
矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
正交向量与子空间
子空间投影
投影矩阵和最小二乘
正交矩阵和Gram-Schmidt正交化
[第18课]行列式及其性质
行列式及其性质
行列式公式和代数余子式
克拉默法则、逆矩阵、体积
特征值和特征向量
对角化和A的幂
微分方程和exp(At)
马尔可夫矩阵;.傅立叶级数
对称矩阵及正定性
复数矩阵和快速傅里叶变换
正定矩阵和最小值
相似矩阵和若尔当形
奇异值分解
线性变换及对应矩阵
基变换和图像压缩
单元检测3复习
左右逆和伪逆
学校：麻省理工学院
讲师：Gilbert Strang
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：“线性代数”，同微积分一样，是高等数学中两大入门课程之一，不仅是一门非常好的数学课程，也是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识，侧重于那些与其他学科相关的内容，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。
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【线性代数】§1-5 行列式的性质
第一章：行列式§1-5 行列式的性质
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几张图让你明白行列式的性质
作者，【陌生，爱），哆嗒数学网群友，就读于湖北理工学院。微信、手机QQ搜索关注 哆嗒数学网 每获得更多数学趣文新浪微博：http://weibo.com/duodaa今天小编想给大家讲一下行列式，诸位看到行列式是不是觉得特别亲切，大一的时候学习行列式有没有很痛苦啊？——反正当年小编学习这个是及其痛苦的——也许我比较笨吧，:)。是否还记得《线性代数》或者《高等代数》里面的行列式定义？一般的教材对行列式的定义大概两种吧，逆序定义和展开式定义，无论哪种定义方法，都让我当你感觉莫名其妙，一直要到很后面学习了线性方程组，建立了方程与行列式的联系，才知道这些定义的意义。在没有任何直观意义的帮助下，学习行列式的各类性质简直和死记硬背没有区别。今天小编抛开这些通常线性代数或者高等代数教材上的定义，从几何上让读者们更直观的理解什么是行列式，并用几何方法来介绍行列式的基本性质。那我们现在开始来说说行列式吧！首先来看简单的二阶行列式：如上图，平行四边形OACB的面积为：毫不意外的（取m = l = 1），我们用这种方式来记忆和角公式：因此二阶行列式的值，可以表示两个向量所构成的平行四边形的面积。那么三阶行列式表示什么含义呢？n阶行列式又代表什么含义呢？类推一下相信大家就能想出来。没错三阶行列式的几何意义为三维欧式空间里平行六面体的体积。当然n阶行列式就由n个n维向量组成，其结果为n维平行多面体的体积。下面的文字我们将来解释行列式基本性质的几何意义了。下面我们一起来看行列式性质的几何解释，这里我们取二阶或者三阶行列式进行说明。性质1：行列互换行列式不变（转置）。数学语言表述为：几何解释：很显然平行四边形两条邻边互换，它的面积依然不变。这说明行列式的行和列等价，也就是说凡是对行成立的性质，对列也成立。性质2：以一常数乘行列式的一行就相当于用这个数乘以此行列式。数学表述为：对于二阶行列式，我们看上图就很直观，我们将其中一个向量变成原来的k倍，面积也跟着变成了原来的k倍。类似的三阶行列式有，平行六面体体积的k倍相当于其中一个向量变成原来的k倍。平行六面体体积的增大可以看成其中某个棱长增大相应的倍数。性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式对应的行一样。数学表述为：如图所示，图中的紫色平行六面体的体积可以看成两个小平行六面体的体积之和，也就是说一个行列式可以通过拆分其中的一个列向量得到两个行列式的和。性质4：如果行列式两行成比例那么行列式为零。数学表述为：先考了特殊情形，当k取1时，也就是说行列式有两列或者两行元素相等时，它所对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相应的就是将平行六面体压成高度为零的二维平行四边形，其体积为零，即行列式为零。当k不等于1时，相对应这组向量里面有共线的向量，即由n维降低到n-1维，对应的度量体积为零。性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。数学表述为：这条性质表述为，以向量a和b为底的平行六面体在向量a方向上做切向变换。我们知道将平行六面体平推它的体积依然不变。故对应行列式的值不变。性质6：对换行列式两行的位置行列式取反号。数学表述为：因为向量具有方向性，如果我们把符合右手定则的向量积定义为正值的话，则它的反向定义为负值。当det（A）为负值时它就确定了原像的一个反射。其实一个行列式的几何意义是有向线段（一阶行列式）或有向面积（二阶行列式）或有向体积（高阶行列式）。行列式是由各自坐标轴上的有向线段所围起来的有向体积的和。这就累加要注意方向，同向相加，反向相减。相信读者应该理解了行列式的几何意义了吧，是不是对行列式有了更新的认识啊？其实小编一直的觉得很多数学量或者数学概念，都可以找出它所对应的直观意义，这样我们的数学学习就不会那么抽象那么难理解了，反而会很有意思。最后希望大家能喜欢数学，反正小编就很喜欢数学——数学虐我千百遍，我却待它如初恋——不管你信不信，反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~。
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线性代数行列式的性质
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线性代数之行列式的性质及计算Ch.doc 13页
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线性代数之行列式的性质及计算Ch
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行列式的性质与计算
教学目标：⑴使学生掌握行列式的性质；
⑵使学生熟练掌握行列式的计算.
教学重点：行列式的性质、行列式的展开.
教学难点：行列式的展开;n阶行列式的计算.
教学关键：使学生明确行列式的计算方法:一个是利用性质来把行列式化简为上三角行列式;一个是按行按列展开为低阶的行列式来计算；但在实际计算过程中,往往结合起来使用.
教学方法：启发式教学法
教学时数：2课时
教学过程：
第一环节：新课引入
行列式的性质与计算
第二环节：讲授新课
行列式的性质
考虑将它的行依次变为相应的列，得
称为的转置行列式 .
行列式与它的转置行列式相等.（）
事实上，若记 则
说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.
互换行列式的两行()或两列()，行列式变号.
若行列式有两行（列）完全相同，则.
证明: 互换相同的两行, 则有, 所以.
性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数，等于数乘以此行列式，即
推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；
(2) 中某一行(列)所有元素为零，则；
性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．
性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即
由行列式定义
行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变，即
计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
例1: 计算行列式
此方法称为归边法.
计算n阶行列式
(箭形行列式)
(2) 注意到行列式各行元素之和等于,有
证: 对作行运算, 把化为下三角形行列式:
对作列运算, 把化为下三角形行列式:
先对的前k行作行运算, 然后对的后列作列运算, 把化为下三角形行列式:
1.计算行列式
4.计算行列式
(2)左边右边
4. 解: 从第4行开始，后行减前行得，
行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.
问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n－1阶行列式来计算？
一、余子式与代数余子式
定义：在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列，余下的元素按原来的顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作；而称为元素的代数余子式.
三阶行列式 中元素的余子式为
元素的代数余子式为
四阶行列式中元素的代数余子式为
二、行列式按行（列）展开
阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
（1）元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;
将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;
将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;
经次对调后，就位于第一行、第一列，即
(3) 一般地
n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
考虑辅助行列式
该行列式中有两列对应元素相等.而，所以.
关于代数余子式的重要性质
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.
计算行列式常用方法：化零，展开.
例4: 计算四阶行列式.
例5 已知4阶行列式
解: (方法1) 直接计算
(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.
例6: 计算阶行列式
例7: 计算四阶行列式.
解: 按第1行展开，有
对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得
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