求正弦函数图像的无穷乘积证明过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-22 04:57 标签： 什么是正弦函数
用无穷乘积表示 π
英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）于1655年给出用无穷乘积表示的π（其实是二分之π）：
在我10月7日推送的《微积分与π》中，我们得到过下面这个式子：
在上式中令 x = π / 2 ，得
这就是著名的沃利斯乘积（或沃利斯公式，也有翻译成威廉斯乘积的）。上面所讲的这个方法是欧拉在18世纪上半叶计算那个著名的无穷级数（结果为6分之π^2的那个）时顺便得到的“副产品”，方法非常简单。但这个公式最先却是由约翰·沃利斯在早于欧拉大约一个世纪时得出的。约翰 · 沃利斯（John Wallis，）是英国数学家，毕业于剑桥大学伊曼纽尔学院，对现代微积分的发展有很大贡献。他比微积分的发明者之一、同为英国人的艾萨克 · 牛顿（）大27岁。沃利斯在他的著作《无穷计算》中得出这个公式的方法有些复杂。后人的方法更加简单。后人要超越前人是必然的，但沃利斯是先驱。
还有一种推导方法也可以得出沃利斯乘积，它是利用分部积分法求正弦函数的m次方的积分。具体来说，可以得到公式
当m为偶数2n时，可以反复运用上式，求得这个积分为
当m为奇数2n+1时，反复运用上面公式，求得这个积分为
因为当0&x&π/2时，0&sin x&1，所以
把前面所得结果代入，得
令n→∞,上式两边都趋于1，所以，中间的式子的极限为1，再把π/2单独写在左边，就最终得到沃利斯乘积：
特别注意，上式中，最右边的三点省略号必须要有，不能省略。
沃利斯乘积的特点可以这样记忆：取n=1，乘积中分子有两项：两个2相乘即2×2，分母也有两项：(2-1)×(2+1)，即1×3；取n=2，乘积中分子有四项：(2×2)×(4×4)，分子也是4项：(1×3)×(3×5)；......，每次比之前的多取两项。
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三角函数的无穷乘积sinx的形式推导cosx?如何利用正弦函数的无穷乘积:sin(x)=x∏(n=1…∞)[1-x2/n2π2],推导cosx的无穷乘积形式
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证明出来这玩意管什么用?能当饭吃,还是高考的时候能加分?考试又不会去考你如何证明,所以啊只要记住了去运用才最实在哟再给你来几个吧,放在一起比较方便记.（一）正弦函数的无穷乘积：sin(x)=xΠ(n=1…∞)[1-x2/n2π2]（二）余切函数的分式级数：cot(x)=Σ(n=-∞…∞)[1/(x-nπ)]=1/x+Σ(n=1…∞)[(2x)/(x2-n2π2)]（三）余弦函数的无穷乘积：cos(x)=Π(n=-∞…∞)[1-x/(n-1/2)π]=Π(n=1…∞)[1-4x2/(2n-1)2π2]（四）正切函数的分式级数：tan(x)=Σ(n=-∞…∞)(-1)/[x-(n-1/2)π]=Σ(n=1…∞)[(-2x)/[x2-(n-1/2)2π2]（五）正切函数的无穷乘积：tan(x)=xΠ(n=1…∞)[1-4x2/n2π2](-1)^n（六）余割函数的分式级数：1/sin(x)=Σ(n=-∞…∞)[(-1)n/(x-nπ)]
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正弦函数sinx的无穷乘积展开式
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正弦函数无穷乘积式的证明如何用初等方法证明：sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²).
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1、正弦函数的幂级数展开式： sinZ=Z∑(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z) 注： (1)Z为所有复数时，该级数都收敛， (2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞) 2、设f(Z,m)=∑(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}， f(Z,m)的所有零点为c(n,m)(n=±1、±2、……±m) 3、由代数基本定理得： 若b(n)(n=1～M)是g(Z,M)=1+∑(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点， 则g(Z,M)=∏(n=1～M)[1-Z/b(n)] 故f(Z,m)=∏(n=1～m)[1-Z²/c²(n,m)] 4、取m→∞得： c(n,m)→c(n) f(Z,m)→f(Z) 即sinZ=Z∏(n=1～∞)[1-Z²/(nπ)²] 令Z=xπ得： sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²).
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