傅里叶级数_百度百科
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傅里叶级数
法国数学家发现，任何周期函数都可以用和构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
傅里叶级数来源
傅里叶级数
法国数学家J.-B.-J.在研究的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在以及工程中都具有重要的应用。
傅里叶级数公式
给定一个周期为T的x(t)，那 么它可以表示为：
（1）（j为虚数单位），
可以按下式计算：
（2） ，注意到
；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率
，称为一次谐波或基波，类似的有
傅里叶级数
二次谐波，三次谐波等等。
傅里叶级数性质
傅里叶级数收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足的表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
在任何周期内，x(t)须绝对可积；
傅里叶级数
在任一有限中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个。
：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
傅里叶级数正交性
所谓的两个不同正交是指它们的为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
傅里叶级数
傅里叶级数奇偶性
，可以表示为正弦级数，而偶函数
，则可以表示成余弦级数：
只要注意到欧拉公式：
，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
傅里叶级数
傅里叶级数广义傅里叶级数
类似于几何空间上矢量的正交分解，周期函数的傅里叶级数是在内积空间上函数的正交分解。其正交分解从
基推广到Legendre（勒让特，）多项式和Haar（哈尔，）小波基等，称为广义傅里叶级数。
任何正交函数系
，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程：
（4），那么级数
（5） 必然收敛于f(x），其中：
傅里叶级数
事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：
成立，这称作(Bessel）。此外，式（6）是很容易由推出的，因为对于任意的单位正交基
上的投影总为
．挑战杯官方网站[引用日期]
．知网[引用日期]
本词条认证专家为
副教授审核
南京理工大学
清除历史记录关闭三角函数到底是怎么传入中国的三角函数到底是怎么传入中国的鼎盛麒麟百家号三角函数是六类基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。阿拉伯历史进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒(10″)的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉的《无穷小量分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。弦表的发明根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克 (Hipparchus，约前180~前125)不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上”分”和”秒”这两个单位得起源。建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60°弧(1/6圆周长)所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的1/60为一个单位)；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值(如图四)。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。传入中国三角学输入中国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sine译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。鼎盛麒麟百家号最近更新：简介:中国综合性演艺策划传媒服务品牌企业！作者最新文章相关文章扫二维码下载作业帮
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高等数学：第十一章 无穷级数（2）函数的幂级数展开式、傅里叶级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数
如果在处具有任意阶的导数，我们把级数
称之为函数在处的泰勒级数。
它的前项部分和用记之，且
由上册中介绍的泰勒中值定理，有
当然，这里是拉格朗日余项，且
因此，当时，函数的泰勒级数
就是它的另一种精确的表达式。即
这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。
特别地，当时，
这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。
将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数
处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。
【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。
证明：设在的某邻域内可展开成的幂级数
据幂级数在收敛区间内可逐项求导，有
把代入上式，有
于是，函数在处的幂级数展开式其形式为
这就是函数的麦克劳林展开式。
这表明，函数在处的幂级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。
二、函数展开成幂级数
1、直接展开法
将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行
OE求出函数的各阶导数及函数值
若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；
?写出麦克劳林级数
并求其收敛半径。
?考察当时，拉格朗日余项
当时，是否趋向于零。
若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；
若，则函数无法展开成麦克劳林级数。
【例1】将函数展开成麦克劳林级数。
于是得麦克劳林级数
对于任意 ，有
这里是与无关的有限数，
考虑辅助幂级数
的敛散性。 由比值法有
故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即
【例2】将函数在处展开成幂级数。
于是得幂级数
容易求出，它的收敛半径为
对任意的，有
由例一可知，，故
因此，我们得到展开式
2、间接展开法
利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质( 如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。
【例3】将函数展开成的幂级数。
解：对展开式
两边关于逐项求导， 得
【例4】将函数展开成的幂级数。
将上式从到逐项积分得
当时，交错级数
下面，我们介绍十分重要牛顿二项展开式
【例5】将函数展开成的幂级数，其中为任意实数。
于是得到幂级数
因此，对任意实数，幂级数在内收敛。
下面，我们证明，该幂级数收敛的和函数就是函数。
设上述幂级数在内的和函数为，即
两边同乘以因子，有
引入辅助函数
因此，在内，我们有展开式
?在区间端点处的敛散性，要看实数的取值而定，这里，我们不作进一步地介绍。
·若引入广义组合记号 ，牛顿二项展开式可简记成
最后，我们举一个将函数展开成的幂级数形式的例子。
【例6】将函数展开成的幂级数。
解：作变量替换，则 ，有
函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算。
1、一些近似计算中的术语
OE误差不超过
设为精值，而为近似值，则表示与之间的绝对误差。
误差不超过(
近似值与精值之差，在小数点后的位是完全一样的，仅在小数点后的第位相差不超过一个单位。
有时，也将误差不超过说成：精确到小数点后位。
?截断误差(或方法误差)
函数用泰勒多项式
来近似代替，则该数值计算方法的截断误差是
用计算机作数值计算，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，用这些近似表示的数据作计算，又可能造成新的误差，这种误差称为舍入误差。
例如，用3.14159 近似代替 p，产生的误差
d =p - 3.14159 = 0.0000026L
就是舍入误差。
2、根式计算
【例1】计算的近似值( 精确到小数四位)。
求根式的近似值，要选取一个函数的幂级数展开式,可选牛顿二项展开式
要利用此式，需要将表示成的形式，通常当较小时，计算效果会较好。
这里，可取，。
解：利用二项展开式，有
如果我们截取前四项来作计算， 则
由于的系数是单调递减的，其截断误差可如下估计
?表达式也可选其它形式，如
?在数列的极限理论学习中，我们已形究过数列
，它单调下降，下界为，且
利用此迭代算式,编写Matlab程序gs1101.m,运行此程序，更容易获得的高精度近似值。
3、对数的计算
【例2】计算的近似值(精确到小数后第4位)。
解：我们已有展开式
利用此数项级数来计算的近似值，理论上来说是可行的。其部分和的截断误差为
欲使精度达到，需要的项数应满足，即
，亦即，应要取到10000项，这实在是太大了。
运行Matlab程序gs1102.m,取级数前一万项(n=10000)来作近似计算，可获得下表。并仔细观察项数与所求近似值对照表与计算速度。
由上述程序的运行与结果，有几点感受
?部分和的项数取得太大，达到了一万；
?其近似值仅有小数点后三位是精确的；
?项数增加几十项，并未提供多少有效位数字；
?计算花费了太多的时间。
这迫使我们去寻找计算ln2更有效的方法。
中的换成，得
两式相减，得到不含有偶次幂的展开式
令，解出。以代入得
再对此数项级数编程Matlab下的计算程序gs1103.m，运行该程序可获得项数与所求近似值对照表如下
由表可发现，计算速度大大提高，近似值的精度有十分显著的改进，这种处理手段通常称作幂级数收敛的加速技术。
4、p 的计算
在小学数学学习中，我们就已接触到了圆周率p，可对它的计算却从未真正做过。现在是我们了却这一夙愿的时候了。
两边积分，有
令，则，于是有
利用此式可以进行计算，效果(速度与精度)也不错，只是需要的值。借助三角公式，作适当地变形，可构造出不需要计算表达式。
据上式，编写Matlab程序gs1104.m,运行它可获得如下结果。
5、定积分的近似计算
【例3】计算定积分
的近似值，精确到0.0001。
解：因，所给积分不是广义积分，只需定义函数在处的值为1，则它在上便连续了。
展开被积函数，有
在区间上逐项积分，得
因为第四项
所以可取前三项的和作为积分的近似值
对上述级数展开式，我们编写了Matlab程序gs1105.m,运行此程序，可给出截取级数任意项时，此定积分含有更多位有效数值的近似值。
定积分的近似值
二、欧拉公式
设有复数项级数为
其中为实常数或实函数。如果实部所成的级数
收敛于和，并且虚部所成的级数
收敛于和，就说级数(1)收敛且其和为。
如果级数(1)各项的模所构成的级数
收敛，由于
则级数(2)、(3)绝对收敛，从而级数(1)收敛，这时就说级数(1)绝对收敛。
考察复数项级数
它的模所形成的级数
绝对收敛。因此，级数(5)在整个复平面上是绝对收敛的。
在轴上()，它表示指数函数，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作。于是定义为
当时，为纯虚数，(6)式成为
把换写为，上式变为
这就是欧拉公式。
应用公式(7)，复数可以表示为指数形式
其中： 是的模，是的辐角。
在(7)式中把换为，又有
与(7)相加、相减，得
这两个式子也叫做欧拉公式。
(7)式与(9)式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系。
根据定义(6)
并利用幂级数的乘法，我们不难验证
特殊地，取为实数，为纯虚数，则有
这就是说，复变量指数函数在处的值是模为、辐角为的复数。
傅立叶级数
一、三角级数与三角函数系的正交性
描述简谐振动的函数
就是一个以为周期的正弦函数，其中ｙ表示动点的位置，ｔ表示时间，A为振幅，为角频率，为初相。
在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。
如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为的周期函数用一系列三角函数组成的级数来表示，记为
其中都是常数。
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。
为了讨论的方便，我们将正弦函数变形成为
并且令则(1)式右端的级数就可以改写为
一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中都是常数。
如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。
我们首先介绍三角函数系的正交性。
所谓三角函数系
在区间[]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[]上的积分等于零，即
以上等式都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下。利用三角学中的积化和差公式
在三角函数系(3)中，两个相同函数的乘积在区间[]上的积分不等于零，且有
二、函数展开成傅立叶级数
设是以为周期的周期函数，且能展开成三角级数
我们自然要问：
系数与函数之间存在怎样的关系？换句话说，如何利用把表达出来？
为此，我们进一步假设级数(4)可以逐项积分。
先求，对(4)式从－到逐项积分有
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，故
其次求，用乘(4)式两端，再从－到逐项积分，我们得到
根据三角函数系(3)的正交性，等式右端除一项外，其余各项均为零，故
类似地，用乘(4)式的两端，再从－到逐项积分，可得
由于当时，的表达式正好为，因此，已得结果可以合并写成
如果公式(5)中的积分都存在，则系数叫做函数的傅立叶系数，将这些系数代入(4)式右端，所得的三角级数
叫做函数的傅立叶级数。
一个定义在上周期为的函数，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出的傅立叶级数(6)，但(6)不一定收敛，即使它收敛，其和函数也不一定是，这就产生了一个问题：
需满足怎样的条件，它的傅立叶级数(6)收敛，且收敛于？换句话说，满足什么条件才能展开成傅立叶级数(6)？
下面我们叙述一个收敛定理（不加证明），它给出了关于上述问题的一个重要结论。
【定理】（收敛定理，狄利克雷充分条件）
设是周期为的周期函数，如果它满足：
1、在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
2、在一个周期内至多有有限个极值点，
则的傅立叶级数收敛，并且
当是的连续点时，级数收敛于；
当是的间断点时，级数收敛于
收敛定理告诉我们：只要函数在上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅立叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的算术平均值，可见，函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多。
【例1】设是以为周期的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解:函数的图形如下：
函数仅在处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理，的傅立叶级数收敛，并且当时，级数收敛于
当时，级数收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
【例2】设是周期为2的周期函数，它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数。
解：函数的图形如下：
如图可知，满足收敛定理条件，在间断点处，的傅立叶级数收敛于
在连续点)处收敛于。
计算傅立叶系数如下：
的傅立叶级数展开式为
如果函数仅仅只在[-，]上有定义，并且满足收敛定理的的条件， 仍可以展开成傅立叶级数，做法如下
1、在或外补充函数的定义，使它被拓广成周期为的周期函数，按这种方式拓广函数定义域的过程称为周期延拓。
2、将展开成傅立叶级数。
3、限制，此时，这样便得到的傅立叶级数展开式。根据收敛定理，该级数在区间端点处收敛于。
【例3】将函数
展开成傅立叶级数。
解：将在上以为周期作周期延拓，其函数图形为
因此拓广后的周期函数在上连续，故它的傅立叶级数在上收敛于，计算傅立叶系数如下
故的傅立叶级数展开式为
利用这个展开式，我们可以导出一个著名的级数和。
令，有，于是有
from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/
求幂级数展开的部分和 / 求分数序列前N项和 / 特殊a串数列求和
幂级数展开公式
傅里叶级数
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