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关于高数拉格朗日中值定理的条件
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拉格朗日中值定理:
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
& &(1)在[a,b]连续
&&(2)在(a,b)可导
&&则在(a,b)中至少存在一点c使f&(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
几何意义:如果连续曲线的弧AB上除端点外处处有不垂直于X轴的切线,那么这弧上至少有一点C,使曲线在C点处的切线平行于弦AB
问题:可不可以把不垂直于x轴去掉,变成:除了端点之外处处有切线,那么........
就是如果f(x)中存在垂直于x轴的切线,只要连续,公式依然成立...
再问:一个函数不可导是不是只有两种情况,一种是 分段函数产生的左右导数至少有一个不存在或者存在不相等 一种是:存在垂直于x轴的切线,如x的三分之一次方这个函数...
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问题1：如果存在垂直于x轴的切线，并且“函数连续”，则必定存在某个x使得f(x)值不唯一，此时的“函数”已经不是函数了。
问题2：函数不可导和函数在x0不可导是不同的概念，导数实质上是一种极限，所以在导数的极限定义中如果是只对某个点讨论，则得出在这一点是否可导的结论，如果对定义域内任意点讨论，则可得出函数是否可导的结论。楼主所列的两种情况均是在“点”的不可导，某个函数不可导的例子有很多，比如最简单的：高斯函数，又叫阶梯函数，f(x)=[x]。[ ]表示不大于x的最大整数。
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第一个问题,不能说明存在存在垂直于x轴的切线且连续就不是函数了,上面举例就是典型的连续函数不一定可导的例子:x的1/3次方...在x=0处导数不存在,但这是个函数...
第二个问题是我表述不清楚...就是说,一个函数在一点处导数不存在是不是就两种情况,一种是由分段函数产生的,一种就是上面的情况,存在垂直于x轴的函数...大体是这两种情况...
网上搜所有的关于拉格朗日中值定理的问题都只是简单了课本上的定义,而我们认为,那个公式的成立,并不只是局限于它的条件,在条件范围外的一定情况下,也是可能成立...
在进一步,只针对这个题来说,如果一个函数在一定区间内处处存在切线,它的切线垂直与否不用作为特殊情况处理...
有些乱...不用太为难的想这个东西...只是想证实一些,与考研应该关系不大...
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先说第二个问题，导数不存在，等价于定义的那个极限不存在，而极限不存在或者是因为算出来是无穷，或者是因为左右极限不相同，第三是因为在该点不连续。所以对于连续函数应该就是楼主所说的两种情况。
第一个问题，闭区间连续开区间可导这两个条件缺一不可。存在垂直于x轴的切线也就是等于不可导，也就不能满足拉格朗日定理。对于x的1/3次方，由于在原点不可导，并且在原点去心临域内导数单调，所以在原点的一个小临域内存在ab两点使得[f(b)-f(a)]/(b-a)&[a,b]内任意一点的切线斜率，也就不存在定理中的C点。
这些东西其实和考研关系挺大的，如果有什么不对的地方希望能和楼主继续探讨
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对于x的1/3次方，由于在原点不可导，并且在原点去心临域内导数单调，所以在原点的一个小临域内存在ab两点使得[f(b)-f(a)]/(b-a)&[a,b]内任意一点的切线斜率，也就不存在定理中的C点。
导数单调,为什么存在ab两点使得[f(b)-f(a)]/(b-a)&[a,b]内任意一点的切线斜率?
ps:版主现在是浙大的研究生了吧,看资料无法区分谁是准备考研的,谁已经是研究生了...都是毕业学校,和报考学校...还有,现在考研都不怎么上网了=.=...
[ 本帖最后由 for_dream 于
18:13 编辑 ]
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在原点的去心临域内,导数不单调吧...
我现在脑子都不转了,而且学习效率很低,真是痛苦
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对于x的1/3次方，由于在原点不可导，并且在原点去心临域内导数单调，所以在原点的一个小临域内存在ab两点使得[f(b)-f(a)]/(b-a)
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对于x的1/3次方，由于在原点不可导，并且在原点去心临域内导数单调，所以在原点的一个小临域内存在ab两点使得[f(b)-f(a)]/(b-a)
已考上研究生的有硕士帽。。。2017年考研数学：高数7大中值定理详解_考研_无忧考网
2017年考研数学：高数7大中值定理详解
17:04 来源：网络综合
考研网权威发布2017年考研数学：高数7大中值定理详解，更多2017年考研数学相关信息请访问考研网。
相关推荐： 新东方网校推荐： 　　七大定理的归属。　　零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。　　对使用每个定理的体会　　学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征―含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。　　1、使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。　　2、介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。　　3、用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：　　(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;　　(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;　　(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;　　(4)当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两次使用中值定理的区间应当不同;　　(5)使用微分中值定理的难点在于如何构造函数，如何选择区间。对此我的体会是应当从需要证明的结论入手，对结论进行分析。我们总感觉证明题无从下手，我认为证明题其实不难，因为证明题的结论其实是对你的提示，只要从证明结论入手，逐步分析，必然会找到证明方法。　　4、积分中值定理其实是微分中值定理的推广，对变上限函数使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到积分中值定理甚至类似于泰勒定理的形式。因此看到有积分形式，并且带有中值的证明题时，一定是对某个变上限积分在某点处展开为泰勒展开式或者直接使用积分中值定理。当证明结论中仅有积分与被积函数本身时，一般使用积分中值定理;当结论中有积分与被积函数的导数时，一般需要展开变上限积分为泰勒展开式。高数微分中值定理(四大定理)高数微分中值定理(四大定理)动点数学百家号上一章里我们学习了定积分的概念、性质、基本公式及应用。本章我们学习微分学中的基本定理及其应用。本章包含了微分学中最重要的理论部分(微分学中的重要定理--微分中值定理)和它的若干重要应用。函数的许多重要性质如单调性，极值点，凹凸性等均由函数增量与自变量增量间的关系来表达，微分中值定理(拉格朗日中值定理与柯西中值定理)正是建立了函数增量、自变量与导数间的联系，因此，根据它，可以用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点。在理解有关定理的基础上，掌握用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，并体现在函数的作图上(包括求函数的渐近线)微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。要掌握求最值的方法并会解简单的应用题。求最值关键是求驻点。由柯西中值定理导出的洛必达法则是求某些未定式极限的有力工具，这已在第一章中复习过。微分中值定理及由它导出的一些重要定理还有其他应用。如讨论函数在给定区间内零点的个数，证明函数恒等式或不等式以及证明函数或导函数在某区间存在满足某种特征的点等等。通过学习本章的基本内容和典型题型的解题方法和技巧，力图学会一些论证的方法，如变量替换法和辅助函数法。这是实现由未知向已知转化中常用的方法。辅助函数的构造技巧性较强，要求读者学习怎样从题目所给条件进行分析推导，逐步导出所需的辅助函数或从所要证明的结论中倒出所要构造的辅助函数。还要充分重视直观与分析相结合的方法。常常是直观的几何图形会帮助我们去思考问题。拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形，而它们的证明却是从特殊到一般。(一)极值的定义(二)微分中值定理及其几何意义罗尔定理首先，我们观察图3-1，设曲线弧AB是函数y=f(x)(x∈[a,b])的图形，这是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，可以发现在曲线弧的最高点C处或最低点D处，曲线有水平的切线，如果记点C的横坐标为n，那么就有f'(n)=0.现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就可得下面的罗尔定理，为了应用方便，先介绍费马(Fermat)引理。费马定理及其几何意义1.费马引理设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义，并且在xo处可导，如果对任意的x∈U(xo)，有f(x)≤f(xo)(f(x)≥f(xo))那么f'(xo)=0证：不妨设x∈U(xo)时，f(x)≤f(xo)(如果f(x)≥f(xo),可以类似地证明)。于是 ，对于xo+△x∈U(xo),有f(xo+△x)≤f(xo)从而当△x&0时，f(xo+△x)-f(xo)/△x≤0当△x&0,时f(xo+△x)-f(xo)/△x≥0根据函数f(x)在xo可导的条件及极限的保号性，便得到f'(xo)=f'(xo+)=limf(xo+△x)-f(xo)/△x≤0f'(xo)=f'(xo-)=limf(xo+△x)-f(xo)/△x≥0所以f'(xo)=0.证毕。通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)。2.罗尔定理如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少有一点v(a&v&b)，使得f'(v)=0罗尔定理及其几何意义3.拉格朗日中值定理罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制，如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理
如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点v(a&v&b),使等式f(b)-f(a)=f'(v)(b-a)
(1-1)成立在证明之前，先看一下定理的几何意义，如果把(1-1)式改写成f(b)-f(a)/b-a=f'(v)由图3-2可看出，f(b)-f(a)/b-a为弦AB的斜率，而f'(v)为曲线在点C处的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB。从图3-1看出，在罗尔定理中，由于f(a)=f(b),弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB，由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理及其几何意义4.柯西中值定理及其几何意义上面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB,设AB由参数方程柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点v，使等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f'(v)/F'(v)成立定理几何意义注：微分中值定理建立了函数增量、自变量增量与导数之间的联系。函数的许多性质可用自变量增量与函数增量的关系来描述，因此可用微分中值定理来研究函数变化的性质。本节学习完四大定理，紧接着就要开始利用四大定理进行证明，大学高等数学及考研高数中基本所有的证明题都出自这一章节，而有效的解决证明问题，就是四大定理；所以请小伙伴们及时收藏，防止遗漏。下一节我们学习利用导数研究函数的性态本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。动点数学百家号最近更新：简介:了解数学，体验数学，感悟数学。作者最新文章相关文章更多频道内容在这里查看
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