篇一 : 工程数学系列1；线性代数（1）：二阶和三阶行列式_柔情淡定
线性代数一：二阶和三阶行列式
对于初中所学的二元线性方程组，我们可以通过加减法或者是消元法得出结果。运用消元法消去方程组中的未知数，即可得到二元线性方程组的解。但是我们可以编造一套算法来简化这种计算，即把每个二元线性方程标准化后，将未知数前的系数排成二行二列的系数行列式，行列式中的每个数称为它的元素，横排叫做行，竖排叫做列，元素的第1个指标和第二个指标分别依次表示行数和列数。若要求解其中的未知数可以用方程组的常数列替换掉系数行列式中的该未知数前的系数，并用替换掉的行列式比上系数行列式即可得出未知数。这种方法也就是n元线性方程组的克拉默法则。
对于三元线性方程组和n元线性方程组都可以用上诉的克拉默法则进行计算。但是克拉默法则的适用条件只能是n个方程的n元方程组，并且用这种方法如果没有辅助编程的话，需要计算n+一个行列式，计算量特别地大。不过行列式还有其自身的其他运用。本人一向不推崇克拉默法则。方程组的各种解法中，高斯消元法、改进后的(）高斯若当消元法（这2种方法以后介绍）还是比较适用的方法，无论是手工运算还是编写算法程序都会很简单的。
行列式的计算方法很多，比如:最不实用的定义法，行列式的性质转化法，按行列展开的代数余子式法，拉普拉斯展开定理等，不过二三阶的行列式可以用对角线法则，行列式按行（列）展开法，这些方法还是比较容易掌握的。先声眀注意：对角线法则只适用二三阶行列式，对于四阶及四阶以上的行列式就不在适用，原因详见行列式的逆序定义。
对角线法则：二三阶行列式的值等于主对角线乘积之和与副对角线乘积之和的差值。对于二阶行列式，主对角线元素就是从左上角到右下角的直线，副对角线元素就是从右上角到左下角的直线。对于三阶行列式，主对角线和副对角线的连线规则同二阶行列式，不过与三阶行列式平行的主对角线和副对角线上的元素也可以看做是对应的性质的数，即之前的正负号与主副对角线相同。（叙述有点罗嗦，计算方法可以看教材中的图例）。
展开定理：任何行列式可以转化为比它低一阶的行列式后进行计算。展开的法则在以后介绍展开定理时详细介绍。三阶行列式可以按第一行展开为第一行的每1个元素与消除这元素所在行列后的行列式的乘积的代数和。其代数和每项的正负号由哪1个元素的所在行列之和决定。行列之和为偶数则为正，行列之和为负数则为负。行列式只可按其中任一行或任一列展开，挑选标准以方便计算为原则，尤其含零行列多的可以计算非常简便。行列式展开式不可按每一行展开后求其和，这样的结果是原来值得阶数倍。
一般教材接下来会介绍行列式的一般知识，不过我认为行列式只是1种工具，而二三阶行列式的知识足可以适用于高等数学，矢量分析等课程。而线性代数是研究线性规律的一门学科，其理论核心是线性方程组理论，研究的工具是矩阵，行列式，向量，使用的观点是秩和特征值，基本方法是初等变换法。接下来我会总结矩阵的基本知识，因为矩阵的观点更为基本。在介绍完矩阵后直接用方阵来定义行列式，而后系统介绍行列式的理论知识。
篇二 : 线性代数公式总结
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n；
⑤、证明0是其特征值；
1. A是n阶可逆矩阵： ?A?0（是非奇异矩阵）；
?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： ??A1??
代数公式 线性代数公式总结
矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
4. 矩阵秩的基本性质：
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
代数公式 线性代数公式总结
②、伴随矩阵的特征值：
5. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
6. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；
7. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
8. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)
代数公式 线性代数公式总结
n维向量线性相关的几何意义：
①、?线性相关 ??不等于0
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）； ③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关； 若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；
向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示
①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）；
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； ②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵A的行秩等于列秩；
10. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法） 注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
14. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；
代数公式 线性代数公式总结
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aT?j
②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；
?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；
?A的各阶顺序主子式均大于0； ?aii?0,A?0；(必要条件)
