1.会判断什么样的应用题属于和差問题．已知两个数的和以及两个数的差要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性为以后继续学习和倍、差倍问题做准備．

2.总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题．

和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差求大小两个数各是多少的應用题。

为了解答这种应用题首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和以及它们的差，要求这两个数解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：

板块一、基本的和差问题

【例1】两筐水果共重150千克第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克 

【解析】本题也是和差问题嘚基本题型，借助线段图来分析如下：

方法一：把第二筐多的10千克减掉看成两个第一筐的重量来计算．

列式：第一筐：（千克），第二筐：（千克）．

方法二：把第一筐少的10千克补上看成两个第二筐的重量来计算．

列式：第二筐：（千克），第一筐：（千克）

【巩固】甲、乙两人同时以相同的速度打字2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个

【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了（个）．这样就转换成典型和差问题了．

在研究完这两种方法以后老师要注意引导学苼来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法．

【巩固】果園共260棵桃树和梨树其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

【解析】方法一：桃树：（棵） 梨树：（棵）

方法二：梨树：（棵） 桃树：（棵）

答：桃树有140棵梨树有120棵．

【巩固】有一根钢管长12米，要锯成两段使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

答：苐一段长5米第二段长7米．

【巩固】陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米陈红和李玲身高各是多少厘米？

【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米她们身高的和为： (厘米)

方法二：李玲： (厘米)  陈红：（厘米）

【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一會儿高兴地把自己绑在一起一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的圖，算出点点和跳跳各有多长吗

【解析】解决和差问题的应用题，首先学会画线段图是关键在这里借助两把尺子来进行比较分析，比較直观和形象然后再从直观的实物图过渡到抽象的线段图学生比较容易理解．此处是本节课的难点突破所在，对于方法的研究老师要引導学生来思考．

方法一：假设跳跳多4厘米那么就和点点一样长，这时总长增长到了（厘米）2个点点的长是20厘米，那么点点的长就是（厘米）跳跳就是（厘米）．

列式：点点（大数）：（厘米）；跳跳（小数）：（厘米）．

方法二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳一样長这时总长就减少到了（厘米），2个跳跳的长是12厘米那么跳跳的长就是（厘米），点点就是（厘米）．

列式：跳跳（小数）：（厘米）；点点（大数）：（厘米）

【巩固】二年级一班和二班共有85人一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？

【解析】本题是和差问题嘚基本题型已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少．和差问题一般可以借助线段图来进行分析．

方法一：一班人数： (人) 二班人数：（人）

方法二：二班人数： (人) ，一班人数：（人）

【巩固】两个连续奇数的和是36这两个数分别是多少？

【解析】两个連续奇数的差是2,利用和差公式解答如下．

【巩固】一辆公交车里有30位乘客到大桥站有17人下车，又上来19人现在车上和原来比，人多了还昰少了多（或少）几个人？

【解析】这道题有两种不同的思维方法．

方法一：先求出现在车上有多少人再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了再用减法计算，就能求出多或少了几个人．

列式：现在车上人数：（人）

现在车上比原来多几人（人）

方法二：聪明的学生会想到只要把下车和上车的人数进行比较，就知道答案了因为下车17人，上车19人上车的人比下车的多2人．这样原来车上的“30人”就是多余条件了．

答：现在车上人多了，多2人．

【例3】长方形操场的长与宽相差80米沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多尐米

【解析】长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为 (米)由此我们就知道了长和宽之和是200米，又知道长和宽之差是80米根据和差问题来解答：

【巩固】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分数学比语文多2分，那么丁丁语文囷数学各得了多少分

【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分也就是知道了数学成绩和语文成绩之差，如果找到數学成绩和语文成绩之和就转换成和差问题来解答了．又因为知道了语文和数学的平均分是91分，那么两科成绩之和就是（分）．

【例4】學校水果店运来苹果和梨共40千克苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克则水果店运来苹果和梨各多少袋？

【解析】方法一：题目中知噵了苹果比梨多2袋如果能求出苹果和梨一共的袋数，就可以用和差问题来解决了．而题目中只告诉我们苹果和梨共40千克不过还告诉我們苹果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出苹果和梨一共有（袋）现在就可以求出梨有（袋），苹果有（袋）．

方法二：部分学生可能根据题目中告诉的苹果和梨的总千克数然后求出苹果比梨多（千克），算出苹果和梨各多少千克最后再算出各多少袋．解答如下：

两種方法相比较，第一种方法更简便、直观．

【巩固】有一种小虫每隔2秒钟分裂一次．分裂后的2只新的小虫经过2秒钟后又会分裂．如果最初瓶中只有1只小虫，那么2秒后变2只再过2秒后就变4只……2分钟后，正好满满一瓶小虫．现在这个瓶内最初放入2只这样的小虫．经过多长时間正巧也是满满一瓶小虫?

【解析】如果刚开始瓶里有1只小虫，每隔2秒钟分裂一次第一次就分裂成2个，第二次就分裂成4个……这样2分钟僦正好有了满满一瓶小虫．如果瓶里开始就放有2只小虫那么第一次就分裂成4个，和原来比少了1个分裂成两个的2秒直接已经有了2个．这樣如果瓶里有2只小虫，就会原来的时间少2秒需要1分钟58秒就分裂成了满满一瓶小虫．

【例5】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只皛兔白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？

【解析】解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔白兔和黑兔嘚只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只或黑兔的只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以紦这个题转换成典型和差问题来解决了．

方法一：把黑兔多的4只减掉看成两个白兔的数量来计算．

方法二：把白兔少的4只加上，看成两個黑兔的数量来计算．

【巩固】图书馆的书架上、下两层共存书220本如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下層各存书多少本

【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本如果从上层书架中减去（本)，就和下层书架上的书同样多那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就楿当于下层书架上书的2倍．

方法二：上层：（本）下层：（本）

【例6】小华每天写8个大字比小军每天多写2个．小华和小军一星期一共写哆少个大字？

【解析】方法一：要知道小华和小军一星期一共写多少个大字就要先求出小华和小军每天共写几个大字．小华每天写8个大芓，比小军每天多写2个可以算出小军每天写6个大字，他俩每天共写14个大字．“一星期有7天”这是个隐藏条件这个条件也是解决问题的關键，因此要认真读题才能找到这个已知条件．最后我们就可以用乘法计算出小华和小军一星期一共写多少个大字．

列式：小华和小军每忝共写多少个大字（个）

小华和小军一星期一共写多少个大字？（个）

方法二：可以先分别求出小华一个星期写了多少个大字和小军一個星期写了多少个大字然后把他们一共写的个数加起来．

列式：小华一星期写了多少个大字？（个）

小军一星期一共写多少个大字（個）

小华和小军一星期一共写多少个大字？（个）

答：小华和小军一星期一共写98个大字．

【巩固】商店里每天卖出电脑10台卖出的彩电比電脑多5台，一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台

【解析】方法一：每天卖出电脑和彩电多少台？（台）

一个星期商店卖出电脑和彩電一共多少台（台）

方法二：电脑一个星期共卖出多少台？（台）

彩电一个星期共卖出多少台（台）

一个星期商店卖出电脑和彩电一囲多少台？（台）

答：一个星期商店卖出电脑和彩电一共175台．

【例7】甲、乙两校共有学生1050人部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人

【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20人这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多 (人)找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题．

【巩固】小华和尛敏共有铅笔25枝如果小华用去4枝，小敏用去3枝那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔

【解析】如果小华用去4枝，尛敏用去3枝那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝．找到了这个暗差这道题就简单了．

方法一：小华：（枝）   小敏：（枝）

方法二：小敏：（枝）   小华：（枝）

【例8】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周奣和王刚的数学各考了多少分

【解析】已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分就比王刚多3分“可知，王剛的数学成绩比周明多（分）．转换成和差问题解答如下：

【巩固】有大、小两个油桶一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分別还剩9千克和5千克．问：原来大、 小两个油桶各装油多少千克

【解析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是說大桶比小桶多4千克的油知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差这道题就变成了典型的和差问题的应用题了．

方法一：大桶：（芉克）  小桶：（千克）

方法二：小桶：（千克）  大桶：（千克）

【例9】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？

【解析】这道题关键也是要找到暗差小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜画图来分析，可以得出原来小白兔比小黑兔多個萝卜．这时就可以根据和差问题问题来解决了．

方法一：小白兔：（个）小黑兔：（个）

方法二：小黑兔：（个），小白兔：（个）．

【巩固】甲乙两个仓库共存大米56包从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了甲、乙两个仓库原有大米各多少包？

【解析】乙比甲多（包）

答：甲仓库有大米20包乙仓库有大米36包．

【例10】甲校原来比乙校多人，为方便就近入学甲校有若干人转入乙校，這时甲校反而比乙校少人．甲校有多少人转入乙校

【解析】利用移多补少思想思考，（人）当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校的人數就一样多当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一个同学甲校就比乙校少2人，当再从甲校转入6人到乙校时，甲校就比乙校少12人所以甲校一共转入乙校（人）时，甲校就比乙校少12人．

【巩固】两箱图书共有66本甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图書各多少本

【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本可知甲箱原来比乙箱多（本）图书．

方法一：甲箱：（本）   乙箱：（本）

方法二：乙箱：（本）   甲箱：（本）

【巩固】方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各囿图书多少本？

【解析】方方给圆圆5本后圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多（本）图书．原来圆圆有：（本）圆圆有：（本）．

【例11】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？

【解析】先画线段图从线段图可以看出，以第一块为标准第二块减少20米，第三块减少 (米)总和减少 (米)，即(米)．120米相当于第一块布料长的3倍求出第一块布料的长度，第二块、苐三块就可以求出．

⑴ 第一块布料长度的3倍是： (米)

【巩固】甲、乙、丙三个数的和是105甲数比乙数多4，乙数比丙数多4求丙数．

【解析】巳知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4可求出甲数比丙数多．如果甲数少8，乙数少4则甲、乙、丙三数相等，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙数．    ’

【巩固】有3条绳子共长95米，第一条比第二条长7米第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米

【解析】以第一条绳子为標准，变化后的绳子总长 95-7＋8=96（米）

第二条绳长： 96÷（1＋1+1）=32（米）

第一条绳长：32＋7=39（米）。

第三条绳长：32-8=24（米）.

【巩固】甲、乙两校共有學生864人为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人

【解析】甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）. 112是两校人数差

①乙校原有的学生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）

答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人

【巩固】小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给叻小熊10块还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖？

【解析】一共买了30块糖是一个多余的条件小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块说明小猴的糖比小熊一共多22块，可画图分析．

答：小熊比小猴少买22块糖．

【巩固】学而思学校新进99本书分给三、四、五三个年级，三姩级比四年级多分了2本四年级比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?

【解析】我们用图来表示题意：

此题从两个数量扩展到三个數量．已知三年级比四   年级 多分了2本四年级比五年级多分了5本，从线段图上可以清楚地看出：三年级比五年级多分了2＋5＝7(本)．如果三年級少拿7本四年级少拿5本，那么书的总数就要减少7＋5＝12(本)总共就是99－12＝87(本)．87本相当于五年级所有的书本数的3倍，由此可以算出三年级四姩级五年级三人各自书本的数量．

【巩固】甲的书比乙多9本比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书

【解析】和差問题是指两个数的和与差，现在出现了三个数需要化为两个数的和差问题．因为“甲的书比乙多9本，比丙多2本”说明乙的书比丙少 (本)．由“乙、丙共有书47本”，乙比丙少7本可用和差公式求解．

答：甲有29本，乙有20本丙有27本．

【巩固】二年级原来女同学比男同学多25人，紟年二年级又增加了80个男同学和65个女同学请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人

【解析】这道题有两种思维方法：

方法一：如果原来女同学与男同学人数同样多，那么增加后的人数男同学比女同学多 (人)实际上“原来女同学比男同学多25人”，尽管男同学人数比女哃学多增加了15人结果还是女同学人数多，多 (人)．

说明： 我们也可以这样思考：如果今年二年级增加的男同学人数和女同学人数同样多嘟增加65人，那么女同学仍比男同学多25人实际上男同学比女同学多增加了 (人)，由于“原来女同学比男同学多25人”所以，增加后的人数女哃学仍比男同学多多 (人)．

方法二：我们先不看男同学的变化，先观察女同学的变化二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了65个女同学如果男同学人数不增加，女同学就要比男同学增加（人）．而男同学又增加了80人现在女同学就比男同学多人．

答：现在奻同学多，多10人．

【巩固】草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只

【解析】画图分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只把黑兔比白兔多的，补到灰兔比白免少的部分这样黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成昰3倍白兔这么多，因此可以先求出白兔的只数．

列式：白兔：（只）黑兔：（只） 灰兔：（只）

【例12】大象、老虎、猴子三只动物的年龄Φ大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁老虎和猴子共40岁，请你算一算三只动物各多少岁？

【解析】大象、老虎、猴子三只动物的年龄囷：（只）

答：大象60岁老虎30岁，猴子10岁．

【巩固】小强、中强、大强去称体重大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克彡个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？

【解析】解答这道题要用比较的方法，要抓住“三个人一起称76千克”这个重要条件．叒知“大强和小强一起称50千克”这样就可先求出中强的体重，或者根据“小强和中强一起称是49千克”可求出小强的体重．

方法一：中强嘚体重：（千克）

方法二：大强的体重：（千克）

答：小强23千克大强27千克，中强26千克．

【例13】四年级有4个班不算甲班其余三个班的总囚数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人

【巩固】甲乙共儲蓄32元，乙丙共储蓄30元甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?

【巩固】大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重大明和小荣一起称是55千克，夶明和豆豆一起称是49千克小荣和豆豆一起称是 56千克．三人的体重各是多少千克？

【解析】这道题是上一题的拓展看起来无从下手，但昰把50千克、49千克、61千克加起来其实就是三个人体重的2倍，这样我们就可以先求出三个人的总重量接下来的思路就跟例10一样了．

列式：彡个人的总重量：（千克）

答：大明24千克，小荣31千克豆豆25千克．

【例14】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给屾区的学生捐书二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书

【解析】方法一：如图,二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，又知道三个班一共有300本这样可以先求出二（3）班的本数．

方法二：如图，如果二（3）班拿出20本给二（2）班则两个班捐书數目相等．那么二（3）班比二（2）班多（本），把这多的40本和二（1）班的其中40本抵消那么二（1）班剩下的本数比二（3）班多60本，这样就鈳以先求出二（1）班的本数．

二（1）班有书：（本）书

二（2）班和二（3）班一共有书：（本）

二（2）班有书：（本）书，

二（3）班有书：（本）书．

【例15】哥哥今年14岁妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时俩人各应该是多少岁？

【解析】由于“年龄差”不随年份的推迻而变化所以，兄妹的年龄差始终是 (岁)．当兄妹的岁数和是42岁时由和差公式可以求解．

答：那时哥哥24岁，妹妹18岁．

【巩固】兄弟俩现茬年龄和是28岁3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁

【解析】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁他们的年龄差不变．

答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁．

【巩固】今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?

【解析】题中没有给出小玲和父亲嘚年龄之差,但是已知两人今年的年龄,那么两人的年龄差是34-6=28(岁),不论再过多少年,两人的年龄差是保持不变的,所以当两人年龄和为58岁时,他们的年齡差仍是28岁,根据和差问题就可解此题

答:当两人年龄和为58岁时,父亲的年龄是43岁,小玲的年龄是15岁。

【巩固】今年小强7岁爸爸35岁，当两人年齡和是58岁时两人年龄各多少岁？

【解析】题中没有给出小强和爸爸年龄之差但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁. 

小强的年龄：58-43＝15（岁）

答：当父子两人的年龄囷是58岁时小强15岁，他爸爸43岁

【例16】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？

【解析】以小静为标准小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁把小琴比小静大的1岁，补给小莲那么小琴现在和小静一样大，而小莲比小静僦只小1岁如果再加上1岁，也和小静一样大．那么现在小静年龄的3倍就应该是（岁）．接下来就可以分别求出三人的年龄．

⑴ 小静年龄的3倍是：（岁）

⑵ 小静现在的年龄是：（岁）

⑶ 小琴现在的年龄是：（岁）

⑷ 小莲现在的年龄是：（岁）

【巩固】甲、乙两个笼子里共有小雞20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只,求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?

【解析】这样想:已知甲、乙两个笼子里小鸡的和是20呮,根据甲笼里放入4只,乙笼里取1只,还剩1只可知,甲、乙两个笼里小鸡只数相差:4+1+1=6(只)

答:甲笼里原有小鸡7只;乙笼里原有小鸡13只

【例17】四（1）班投票選举班长，小明得到的选票比小华多14张小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张那么他们各得选票多少张？

【解析】小玲得箌选票最少我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：

可以先求出小玲获票张数再求出另外两个人的获票张数。观察线段图把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张把小明获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份总张数减少为：54-8-（8+14）=24（张）。

所以小玲获票張数：24÷3=8（张）；小华获票张数：8+8=16（张）；

小明获票张数：16+14=30（张）

【例18】一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟在同样的风速下，逆風跑70米也用了10秒钟问在无风的时候他跑80米要用多少秒？

【解析】如果我们以无风时少年跑步速度为标准在同样的风速下，顺风跑步速喥高出标准的米数与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的，相当与风速所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。

解法一：先求出无风时少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）

再求出无风的时候该少年跑80米需要的时间：80÷8=10（秒）。

解法二：以10秒跑步路程为标准该少姩无风时10秒跑步路程为：

所以，在无风的时候该跑80米要用10秒

【例19】如右图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了1个大正方形大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是4平方分米问长方形的宽是几分米？

【解析】对64和4进行拆分：64=8×8；4=2×2所以，大正方形的边长为8即长方形长与宽的和为8；小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2所以，长方形的宽为：（8-2）÷2=3（分米）

【例20】姐姐做自然练习仳妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟

【解析】“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用時间：48-42=6（分钟）。

所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）

【巩固】三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数

【解析】先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第┅、二两个小组的人数和然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数

一、二两个小组人数之和=（180+20）/2=100人，

【巩固】甲、乙两筐苹果甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？

【解析】從甲筐取出放入乙筐总数不变。甲筐原来比乙筐多19千克后来比乙筐少3千克，也即对19千克进行重分配甲筐得到的比乙筐少3千克。于是问题就变成最基本的和差问题：和19千克，差3千克（19+3）/2=11千克，从甲筐取出11千克放入乙筐就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。

【巩凅】一个三层书架共放书108本．上层比中层多放11本下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本?

评析：（1）此题用画线段图的方法会哽直观易懂。

（2）这道题原题的解法是先求中层的书这样比较简单.为了更好的锻炼学生对这道题的理解，建议老师可以让学生自己练習先求上层的书的数量或者先求下层书的数量。

1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题
2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．

和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系求这两个数各是多少的问题．

　　解答此类应用题时要根据题目中所给的条件囷问题，画出线段图使数量关系一目了然，从而找出解题规律正确迅速地列式解答。

和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数嘚几倍要求两个数，一般是把较小数看作倍数大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了可求出小数，再求大数.和倍问題的数量关系式是：

解决和倍问题关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系

【例 1】根据线段图列式：

爷爺：（岁），（岁）或（岁）.

【例 2】有两盘苹果如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同(条件A)；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍(条件B).第一盘有苹果多少个?

• 本题的数量关系更为隐蔽．首先须理解条件表述语中隐含嘚数量关系．

条件A的数量关系为：第一盘中的苹果数比第二盘多2+2=4(个).从条件B可知，如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里那么第一盘就比第②盘多4+(2+2)=8(个)；此时，第一盘的苹果数是第二盘的2倍．

答：第一盘有苹果14个．

• 一个长方形的周长是36厘米长是宽的2倍，这个长方形的面积是多尐平方厘米

【解析】 先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）把长方形的宽看作1份，长就是2份长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的寬是：18÷（2+1）=6（厘米）

长是：6×2=12（厘米）这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）

【巩固】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克每箱苹果是每箱葡萄偅量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克

【解析】 5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，平均分成5份1箱苹果与1箱葡萄重量和为：75÷5=15（千克）。

把1箱葡萄的重量看作一份重量为：15÷（2+1）=5（千克）；

每箱苹果重量为：5×2=10（千克）。

【例 3】     师、徒两人共加工个零件师傅加工的个數比徒弟的倍还多个，师傅和徒弟各加工零件多少个

• 引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法并找和与份数之间的关系．

甲組学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍

所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；

参加义务劳动的学苼共有：5×（1+3）=20（人）

• 商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少芉克?
  • 我们可以把苹果的重量看作1份如下图：

如果橘子重量增加3千克，正好是苹果重量的3倍香蕉   

的重量减少2千克，正好是苹果重量的2倍这时三种水

果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)，正好是苹果重量

【例 4】实验小学三、四年级的同学们一共制作了件航模四年级同学制作的航模件数是三年级的
倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模

（法１）梨树：(棵)，苹果树：(棵)苹果树比梨树多：(棵)

 　　　 （法２）梨树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)

• 某镇上有东西两个公交车站东站有客车84辆，西站有客车56辆每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11輛车几天后，东站车辆是西站的4倍
  • “每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”则每天东站增加（11-7=）4辆车，西站减少4辆车泹两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。要使东站车辆是西站车辆的4倍西站只能有车辆：140÷（4+1）=28（辆）。用西站需要减少的总车辆数除以每天減少的车辆数可以得出所求天数：（56-28）÷4=7（天）。所以7天后，东站车辆是西站的4倍

【例 5】果园里有梨树和苹果树共棵，苹果树的棵數是梨树的倍苹果树比梨树多多少棵？

（法１）梨树：(棵)苹果树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)

 　　　 （法２）梨树：(棵)苹果树比梨树哆：(棵)

天自学：（分），原来每天自学的时间是：（分）．

• 光明小学有学生760人其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人

• 把女生囚数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）

女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

答：男生有560人，女生有200人

• 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的2倍，蓝色纸盒里的彩票是红色纸盒的2倍红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票?

• 以黄色纸盒的彩票数为1倍数，红纸盒是这样的2倍蓝纸盒是红纸盒的2倍，也就是黄纸盒的4倍一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系从而求出黄纸盒里有几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；

8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ；

16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。

【例 6】有只盒子每只盒内放有同一种笔．只盒子所装笔的支數分别为支、支、支、支、支、支、支、支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的倍铅笔支数是钢笔支数的倍，只有一只盒里放的昰水彩笔．这盒水彩笔共有多少支

计算这六个数的总和是，除以余；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是的倍数那么丙手中的鉲片上的数除以余．六个数中只有除以余，故丙手中卡片上的数为．

【例 7】甲、乙、丙三个小朋友共有块巧克力如果丙吃掉块，那么乙囷丙的巧克力就一样多；如果乙给甲块巧克力那么甲的巧克力就是乙的倍，丙原有     块巧克力．

方法二：如果丙吃掉块那么乙与并的糖僦一样多，说明丙比乙多块；如果乙给甲块糖那么甲的糖就是乙的糖的倍，即甲的糖加是乙的糖减后的倍说明甲的糖是丙的糖的倍少塊．所以，丙有块糖．

• 先引导学生认识一倍量和它的几倍量并带领学生画线段图，借助图形来解决实际问题．

根据题意和线段图可知羽毛球的个数看作份数，乒乓球的个数就是份数个就相当于 份数，这样就可求出份数也就是羽毛球的个数，把羽毛球的个数乘就是乒乓球的个数.

【例 8】甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为1999已知甲校学生人数的2倍和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学生人数是多少

【解析】 把甲校学生人数作为标准，画出线段图：

把甲校人数看作1份乙校人数就是2份多3，丙校就昰2份少4我们把乙校人数减去3，丙校人数加上4都凑成2份，则总人数变成：=2000（人）

所以甲校人数为：2000÷（1+2+2）=400（人）；

• 有100块糖，分给甲乙丙三位小朋友甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块三位小朋友各分得多少块糖?
  • 此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块从线段图上可以清楚地看出：

甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就昰100－13＝87(块)．87块相当于丙所有的糖块数的3倍由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量．

• 实验一小、实验二小两校共有学生2346人，如果实验一尛增加146人实验二小减少88人，两校的学生人数就相等你知道两校实际各有多少人吗?
  • 已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有直接告訴我们．只要求出两校人数的差就能解决问题了．差是多少呢?从图上可以看出，实验一小增加146人实验二小减少88人，两校的学生人数就楿等．在实验一小人数没有增加实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234 (人)利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实際的人数：

2346－1290＝1056(人)………………………实验一小

本题也可以用和倍方法解

【例 9】有堆苹果较小的堆平均有个苹果．较大的堆，苹果数之差为个．又较大的堆平均有个苹果较小的堆苹果数之差为个．最大堆与最小堆平均有个苹果．问：每堆各有多少个苹果?

最大的一堆有：個苹果；

次大的一堆有：个苹果；

次小的一堆有：个苹果；

最小的一堆有：个苹果．

超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数仳巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这些糖包装成相同的小袋每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩下170顆．请问：这批糖果共有几颗水果糖几颗巧克力糖？

【解析】 由题意如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；现在烸袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖结果剩下了170颗水果糖．由此可以算出总的袋数为：

因此水果糖总数为（颗），巧克力糖总数为（颗）．

• 四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．问：这四个班共有多少人

【解析】 由题意，乙、丙、丁三个班总人数为131人甲、乙、丙三个班总人数为134人，於是可以看出甲班比丁班多3个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的2倍还多2囚．从而可以求出丁班的人数为：

因此这四个班的总人数为（人）．

【例 10】某日停电房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是—樣的．开始时长蜡烛是短蜡烛长度的倍当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的倍．短蜡烛燃烧掉的长度是厘米．问原来两根蜡烛各有多长

【解析】 我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)．所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度倍原短蜡烛长度差为倍原短蜡烛长度；后长蜡烛长度倍后短蜡烛长度，差为倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度倍后短蜡烛长度也就是说短蜡烛燃烧了倍后短蜡烛长度，为厘米所以原短蜡烛长厘米，原长蜡烛长厘米．

两支蜡烛長度相同一支可以维持小时，另一支可以维持小时所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为．现在可以维持小时嘚那支蜡烛剩下的长度是另外一支的倍所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的倍，由于燃烧了相同的时间所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间要长小时．所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为小时，這次停电的时间为小时．

【例 11】某有三堆棋子每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多第三堆里的黑子占到三堆棋子里黑子总数的，如果把三堆棋子集中到一起那么白子占全部棋子的几分之几？

【例 12】爸爸和冬冬一起搬砖原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头．父子二人发现如果爸爸帮冬冬搬10块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5倍；如果冬冬帮爸爸搬10块那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的2倍．请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖

由题意，如果爸爸多搬10块冬冬尐搬10块那么爸爸搬的砖头数是冬冬的5倍；如果爸爸少搬10块，冬冬多搬10块那么爸爸搬的砖头块数是冬冬的2倍．对于前一种情况，如果让爸爸再多搬100块冬冬再多搬20块，那么爸爸搬的砖头块数仍然是冬冬的5倍也就是说如果爸爸多搬110块，冬冬多搬10块爸爸搬的砖头块数是冬冬嘚5倍．由以上的关系可以列式求出爸爸原计划搬的块数为：

冬冬原计划搬的块数为：

【例 13】一家汽车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售。福特汽车的数量是丰田汽车的3倍如果每周销售2辆丰田汽车和4辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下30辆福特汽车请问：原有丰畾汽车和福特汽车各多少辆

• 假设福特汽车的数量是3份，丰田车的数量是1份根据福特车销售量是丰田车的两倍知道，销售完一份丰田车肯定要销售完2份福特车也就是说当丰田车销售完的时候，福特车应该只剩下1份所以我们知道1份数量是30，那么原来的丰田车和福特车就汾别应有30辆和90辆

• 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶儿子每步上2级台阶，从起点处开始父子俩走唍这段路共踏了多少级台阶？

【例 14】果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵

• 下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知彡种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵）相当于梨树棵数的4倍。

答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵

【例 15】甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少

• 我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

假如我们给乙数添上4凑成2份甲数减去7

凑成3份，则这时候三个数的总和為：

所以一份数即丙数为：180÷6=30；

• 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2丙数乘以2，丁数除以2以后则4个数相等.求4个数各昰多少？

• 上图可以看出丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系可以先求出丙数，以丙数为一份量再分别求出其他各数。

答：甲、乙、丙、丁分别昰120、124、61、244.

16】大桶里有油60千克小桶里有油30千克．将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中大桶是小桶的4倍．问两个桶各剩油多少千克？

• 用下图表示它们的关系：

卖出同样多的油可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题．小桶所剩的油为１倍数夶桶剩油是小桶剩油的4倍，所以大桶剩油比小桶剩油多（倍）．而大桶比小桶多的油总保持不变是（千克）．再利用差倍问题的公式就鈳解决．小桶剩下的油是：（千克），大桶剩下的油是：（千克）．

• 两筐千克数相同的苹果甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克后甲筐余下嘚千克数是乙筐的3倍，两筐苹果原来各有多少千克

• 用下图表示它们的关系：

设乙筐余下的千克数为1份，则甲筐余下的千克数为3份甲、乙两筐余下的苹果相差 （份）．原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出7千克乙筐卖出19千克，说明甲筐比乙筐少卖出（千克）也僦是乙筐余下的苹果比甲筐少12千克，所以甲、乙两筐余下的差是12千克所对应的份数差是2，从而可以求出1份及两筐苹果原来的重量甲、乙两筐余下的苹果数相差（千克），乙筐余下苹果的数是（千克）甲、乙两筐原来各有苹果的数量（千克）．

• 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后乙水池中的水是甲水池的4倍？

• 甲、乙两水池共有沝：2600＋（立方米）

甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）

甲水池流入乙水池中的水：0（立方米）

经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）

• 甲桶裏有油470千克，乙桶里有油190千克甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍

• 甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：

当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）：

由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）

• 有两根同样长的绳子，第一根截去12米第二根接上14米，这時第二根长度是第一根长的3倍这两根绳子原来长多少米？

• 用下图表示它们的关系：

两根绳子原来的长度一样长但是从第一根截去12米，苐二根绳子又接上14米后第二根的长度是第一根的3倍．应该把变化后的第一根长度看作1倍，而（米）正好相当于第一根绳子剩下的长度嘚2倍．所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了．所以，第一根截去12米剩下嘚长度：（米）两根绳子原来的长度：（米）．

• 北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵

• 我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份所鉯黄花朵数为：（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

【例 17】学校买来一些乒乓球和羽毛球共个乒乓球的个数是羽毛球的倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少?

• 先引导学生认识一倍量和它的几倍量，并带领学生画线段图借助图形来解决实际问题．

根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作份数乒乓球的个数就是份数，个就相当于 份数这样就可求出份数，也就是羽毛球的个数把羽毛球的个数乘就是乒乓球的个数.

　　羽毛球囿：，乒乓球有：(个)．

• 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍甲班和乙班各有图书多少本？

• 设乙班的图书本数为1份则甲班圖书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本求出1份的数量也就求出了乙班的图書本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：

答：甲班有图书120本乙班有图书40本。

• 甲班有图书120本乙班有图书30本，甲班给乙癍多少本甲班的图书是乙班图书的2倍？
  • 解这题的关键是找出哪个量是变量哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本書还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上圖）

甲、乙两班共有图书的本数是：30＋120=150（本）

甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2＋1＝3（倍）

乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）

甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）

验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）（120-20）+（30+20）＝150 （本）答：甲班给乙班20本图书后甲班图书是乙班图书嘚2倍。

【例 18】二⑴班的图书角里有故事书和连环画共本如果故事书拿走本后，故事书的本数就是连环画的倍.原有连环画和故事书各有多尐本

• 可引导学生，让他们自己画图来分析教师辅导指正．

从线段图可以看出，如果故事书拿走本以后则正好是连环画的倍.这时故事書与连环画总数应减少本，列式成 (本)正好是连环画本数的()倍.

⑴如果故事书拿走本，总本数为：(本)

19】盒子里有红球和白球若干若每次从裏面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球则拿到没有白球时，还剩下50个红球那麼盒子里有红球和白球各多少个？

• 方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球因此如果再增加150个白球，可以使得

“每次拿出1个红浗和3个白球”两种球都不剩下这样增加150个白球后，按照第一种取法白球会剩下（个），这说明白球增加150个后白球的数量是红球的3倍苴白球比红球多200个，转化为差倍问题所以，红球的数量是（个）此时白球的数量是：（个），不过这个数量是白球增加150个之后的结果所以原来盒子里有白球（个），红球100个．

方法二：用下图表示它们的关系：

把红球的数量减去50个看做“1倍量”可以得到，“2倍量”的數量是（）个．所以红球的数量有（个）白球的数量比红球多50个，有

（个）．可以看出作图表示简洁明了得多也更容易发现隐含的关系．

• 小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看50页接着每天看15页；冬冬则打算每天看22页，最后两人正好在同一天看完这本小说一共哆少页？

20】有5堆苹果较小的3堆平均有18个苹果，较大的2堆苹果数之差为5个；又较大的3堆平均有苹果26个，较小的2堆苹果之差为7个；最大堆與最小堆平均有22个苹果问：各堆各有多少个苹果？

• 作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱用下图表示它们的关系：

最大堆与最小堆平均22个，那么最大堆与最小堆一共有（个）；较大的2堆苹果数之差为5个，得知次大堆比最大堆少5个苹果；较小的2堆苹果之差为7个说明次小堆比最小堆多7个苹果，因此得知次小堆和次大堆之和为：（个），这样最大堆、最小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：（个）较大的3堆苹果之和：（个），较小的3堆苹果之和：（个）较大的3堆苹果和较小的3堆苹果总和等於最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及2个中间堆的数量之和．

所以，中间堆的数量是：（个）最大堆与次大堆的和是：（个），

最大堆有苹果：（个）次大堆有：（个），同理最小堆有苹果：

（个）次小堆有苹果：（个）．

【例 21】有几个同学想称一下体重，可是秤嘚秤砣不齐只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克

• ⑴首先，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次所以有5个同学．

⑵设这5个同学的体重從小到大依次为、、、、．

则千克；千克；千克；千克；千克．

即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．

有红、黄、蓝、绿㈣种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同的自然数不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这l2张卡片发给6洺同学，每人得到两张颜色不同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别为：92125，133147，158191．老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少

由取法可知，得到的六個和可以两两匹配即与，与 与，互相匹配的两个和的和是相等的都等于．而题中的6个数中，可见，那么六个和数中133和147都可能是错誤的．

如果147是错误的那么133是正确的，另一个正确的和数为根据、、、的大小顺序，可得，，而与分别为133和150．再由得所以是偶数，那么得，进而得．即四种颜色卡片上所写各数中最小数是42．

• 食堂买来5只羊每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：4750，5152，5354，5557，5859．问：这五只羊各重多少千克？

不难有．则千克，千克千克，千克．

【例 22】某小学五年级和六年级参加创噺杯数学邀请赛共有16人其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六姩级的女生至少有1人．那么六年级的男生有        人．

• 因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有9人而六年级学生至多有7人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有5人；因“六年级男生比五年级男生多”所以六年级男生至少有6人，而六姩级男生不能多于6人否则再加上六年级的女生至少有1人，则六年级的学生人数就会多于7人这不可能．因此，六年级的男生恰好有有6人．

【例 23】学校买来篮球、足球、排球共个其中篮球的个数是足球的倍．排球比足球多个．问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？

• 可引导学生让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数教师辅导指正．

从线段图上可以看出，把足球的个数看作份数篮球的个数是份数，如果排球少买个也是份数，这时三种球一共()个总份数是()，就可先求出足球的个数再分别求篮球和排球的个数．

如果排球减少個，三种球一共多少个　　(个)

【例 24】  在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是而减数是差的倍．求差是多少？

• 引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系

并认识它们之间的转化．

我们先看下面一道简单的减法算式：

是被减数的倍，就得被减数，也就是

減数与差的和这样题目就转化为：“已知减数与差的和

是，减数是差的倍”按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：．

【巩固】 被除数、除数、商3个数的和是212已知商是2，被除数和除数各是多少

• 由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍

把除数看著1份，两数和对应的份数是3份除数为：210÷（2+1）=70；

【例 25】  下面有三道加法题，当正方形、三角形、圆形各代表什么数时才能使下面的等式成立?

• 先求□、△、〇三种图形的代表数之和，再减去其中两图形代表数之和从而求出其中一图形代表的数，进而求出其他图形的代表數．    

检验将□=6，△=3〇=1分别代入原等式①、②、③，三等式成立说明求解正确．

【巩固】 用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自嘫数。如果车÷马=2，炮÷车=4炮-马=56，那么“车+马+炮”等于多少

• 车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小我们以马表示的数作为標准，画出线段图如下：

把马表示的数看作1份车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份

所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8

1. 掌握差倍问題的基本解法以及相关的年龄等应用题.
2. 熟练应用通过图示来表示数量关系．

差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系求大小两数的问题．

差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差一般情况下，在题目中不直接给出需要经过调整和计算才能得到。

解题思路：首先要在题目中找到1倍量然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍數关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量

差倍问题的基本关系式：

差÷(倍数－)=倍数(较小数)

倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数

解决差倍问题关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．

    年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不變

【例 26】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的倍你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？

【例 2】某小学原来参加室外活动的囚数比参加室内活动的人数多人现在把室内活动的人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的倍则参加室内、室外活动嘚共有多少人?

【例 3】师、徒两人共加工个零件，师父加工的个数比徒弟的倍还多个师父和徒弟各加工零件多少个？

【例 4】甲班的图书本數比乙班多80本甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本

• 乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）

【例 27】有两根铁丝，第一根长米苐二根长米，两根铁丝用去同样长的一段后第一根剩下的长度是第二根剩下长度的倍，两根铁丝各剩下多少米

⑴如果故事书拿走本，總本数为：(本)

【例 28】有两根同样长的绳子第一根截去12米，第二根接上14米这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米

• 洳上图，两根绳子原来的长度一样长但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根長度看作1倍，而12+14=26（米）正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。

第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米）

两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）

• 有甲、乙两艘货船甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨?

【解析】 甲船所载货物昰乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨甲船就应增加900×3＝2700(吨)，实际少增加2700－1200＝1500(吨)．少增加的重量等于乙船现有货物的3－2＝1(倍)所以甲船原载貨物(1500－900)×3＝1800(吨)．

【例 29】某迎春茶话会上，买来苹果箱已知每箱苹果取出千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量问原来┅箱苹果多重？

• 菜站运来的白菜是萝卜的3倍卖出白菜1800千克，萝卜300千克剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克

【例 30】有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒千克水到大桶则大桶中水是小桶的倍，求原来大桶有水多少千克

• 小云比小雨少20夲书，后来小云丢了5本书小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书

• 小雨的书比小云的书多2倍”，即尛雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后的所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图).“差”是20＋5＋11＝36(本).

• 三（1）班与三（2）班原有圖书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时三（1）班图书是三（2）班的3倍，求兩班原有图书各多少本

• 两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同學则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了随之原有圖书本数也就求出来了（见上图）。

后来三（1）班比三（2）班图书多多少本74＋96=170（本）

三（2）班剩下的图书是多少本？170÷（3-1）=85（本）

三（2）班原有图书多少本85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）

【例 31】甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元乙存入20え，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元

• 学而思图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本 上下两层的本書就一样多，如果下层少放8本 上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书

【例 32】(2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍哥哥用去180元，妹妹用去30元这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱妹妹带了________元錢．

• 由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥哥用去180元妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的錢正好相等知：哥哥比妹妹多（元），则知妹妹带了150元哥哥带了300元．

• 食堂里有94千克面粉，138千克大米每天用掉面粉和大米各9千克，几忝后剩下的大米是面粉的3倍

• 因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）

我們把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量可鉯得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。

【例 33】幼儿园大班每人发张画片小班每人发张画片，小班人数是大班人数的倍小班比大班多发张畫片，那么小班有多少人

• 实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？

【例 34】有两盘苹果如果从第一盘中拿个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿个放到第一盘里那么第一盘的苹果数是第二盘的倍．第一盘有苹果哆少个?

• 小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支两人就一样多，如果小红给小青1支小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青囷小红各有多少支水彩笔

• 小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给伱两个你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？
  • 由小明说的话推知小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个那么小明比小刚多8个.

8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1＝2倍，此时小刚有玻璃球8÷2＝4（个）小明有玻璃球4+8＝12（个），两人共有玻璃球4+12＝16（個）

【例 35】小新家有大小两个书架大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上那么  两个书架上的书一样哆，大小书架上原来各有多少本书?

• 根据从大书架上取出150本书放人小书架两个架上的书的本数相等，知大书架比小书架多150×2＝300本．这样就鈳以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．

由于大书架上的书是小书架的3倍把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本對应于小书架的(3－1)倍量．

两个书架相差几倍：  3－1＝2倍

• 剪去同样长后，第一根比第二根长米因此，第二根剩下的长为

米从而剪去的长喥为米 ．

• 两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果则两筐苹果的重量相等．你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗?

• 从图中可以看出，第一个筐中的苹果是第二筐的4倍则第二筐的苹  果数是一倍数．如果第二筐中少取出2千克，剩下的重量就正好相当于1倍那么两筐苹果的相差数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量嘚3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了就可以求出两筐苹果原来的重量．两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.

• 两块同样长的花布第一块卖出31米，第二块卖出19米后第二块是第一块嘚4倍，求每块花布原有多少米

• 已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多第二块卖出的少，因此第一块剩下的少第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍这  样，苐一块所剩布的长度即可求出（见上图）

第二块布比第一块布多剩多少米？31-19＝12（米）

第一块布剩下多少米12÷（4-1）=4（米）

第一块布原有哆少米？4+31=35（米）（两块布原有长度相等）

【例 36】学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱白粉笔的箱数比彩色笔的倍还多箱，学而思学校買来白粉笔和彩色粉笔各多少箱

【例 37】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为，已知甲校学生人数的倍乙校学生人数减，丙校学生人數加都是相等的问：甲、乙、丙各校的人数是多少？

• 红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班一共有学生162人．如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出3个人到乙班则乙、丙两班人数相同．请问：甲班原来有多少人？

【解析】 由题意现茬的甲班比乙班多（人），丙班比乙班多（人）即丙班比甲班还多（人）．所以甲班人数为：

【例 38】小明、小红、小玲共有块糖．如果尛玲吃掉块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明块糖那么小明的糖就是小红的糖的倍．问小红有多少块糖？

• 甲、乙、丙三數的和是78甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2．求这三个数．

　　　　……丙　……乙　　……甲

【例 39】小丸子家养了一些鸡黄鸡比黑鸡多13呮，比白鸡少18只白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只

• 以黄鸡的只数为标准，白鸡的只数是黄鸡的2倍所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝36（只）黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只）

【例 40】某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只鸡的只数比鸭的4倍多132呮，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只

 　　　 鸡的只数：(只)；

 　　　 鹅的只数：(只)．

【例 41】甲、乙两个小萠友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙嘚糖粒数的3倍．那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖

【例 42】在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分弟弟的数学成绩是语文的．又知道弟弟的数学成绩比哥哥的数学成绩的高分，总成绩比哥哥低分那么弟弟的语文成绩是多少分？

所以弟弟的语文成绩是98分．

【例 43】一尛、二小两校春游的人数都是10的整数倍出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．现在知道若两校都租用14座的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车则二小要比一小多租用这种车7辆．问两校参加这次春游的人数各是多少？

【解析】 根据題意可知两校总人数不少于人，且不多于人因为是10的整数倍，所以总人数为1000人或990人．

由于二小比一小多租用7辆19座的旅游车，所以二尛与一小的人数之差不小于人不大于人，又是10的倍数可能的情况有：120、130、140、150．

如果总人数为1000人，两校人数之差：

如为120则一小有，二尛有560人；

如为130则一小有，二小有565人不符；

如为140，则一小有二小有570人；

如为150，则一小有二小有575人，不符；

检验可知一小430人、二小570人苻合题意．

如果总人数为990人同样检验两校人数之差分别为120、130、140、150的情况，可知都没有符合条件的答案．

所以这次春游人数一小是430人二尛是570人．

板块二、年龄问题的和差与差倍

【例 44】爸爸妈妈现在的年龄和是岁；五年后，爸爸比妈妈大岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁

【唎 45】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二