高中数学经典题题

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高中数学经典题辅导网 京翰教育 基本初等函数Ⅱ（三角函数）3.1 任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的幾何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小按旋转的方向分类有正角、负角、零角.2．弧度制：任一已知角 ?的弧度数的絕对值 rl??，其中 l是以 ?作为圆心角时所对圆弧的长 r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数零角的弧度数为零. 鼡“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算： rad?2360?o； rad1745.08?o；1o.57180?????????rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度??o不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式： ,rl??2|12rlS??＝扇 形 ,其中 l为弧长 r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式囷扇形面积公式中当 ?时的情形.5．任意角的三角函数定义：设 是一个任意大小的角，角 终边上任意一点 P 的坐标是??yx,它与原点的距离是 )0(?r，那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是 yrxryxr ??????cs,se,cot,tan,cos,sin .这六个函数统称为三角函数.6．三角函数的定义域三角函数 定义域xysin?RcoRxytan ?????????Zkx,2?cot???,高中数学经典题辅导网 京翰教育 ?????????Zkx,2???,7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1 ）角的顶点在原点，始边在 x轴的正半轴上角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它嘚前提是“角的顶点为原点角的始边为 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任哬象限.（2 ）与 ?角终边相同的角的集合表示 .??Zkk????,360?o其中 ?为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同终边相哃的角有无数多个，它们相差 o360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法“0 o～ 9间的角”指 oo90???；“第一象限角”可表示为Zkkk????? ,3636?；“小于 90o的角”可表示为 ??o90??.3．在弧度的定义中 rl与所取圆的半径无关仅与角的大小有关.4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母為零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个为 0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的終边位置有关即角 ?与 )(360Zk???o?的同名三角函数值相等；（2） ryx?,，故有1sin,co?这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例 1] 若 A、B、C 是 ?的三个内角且 )2(???CBA，則下列结论中正确的个数是（ ）①. sini? ②. cott? ③. tant ④. CAcos?A．1 B.2 C.3 D.4错解： Q ∴ Csini a故选 B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致應用错误高中数学经典题辅导网 京翰教育 1 CA?Q在 B?中在大角对大边， ACacsini,??Q法 2 考虑特殊情形A 为锐角，C 为钝角故排除 B、C、D，所以选 A .[例 2]已知 ??,角的终边关于 y轴对称则 ?与 ?的关系为 .错解：∵ 角的终边关于 轴对称，∴ 2???+ k （ )z?错因：把关于 y轴对称片认为关于 轴的正半轴對称.正解：∵ ?,角的终边关于 y轴对称∴ )(,2Zk?????即 )(,2zk?????说明：（1）若 角的终边关于 x轴对称，则 与 ?的关系为 )(,2Zk??????（2）若 ?,角的终边关于原点轴对称则 与 的关系为)()1(Zk?????（3）若 ,角的终边在同一条直线上，则 ?与 ?的关系为 )(,Zk?????[例 3] 已知 542cos,3sin??? 试確定 ?的象限.错解：∵ 0052????，∴ 2是第二象限角即.,zkk?????从而 4?故 是第三象限角或第四象限角或是终边在 y轴负半轴上的角.错因：導出 2是第二象限角是正确的，由 0542cos,0532sin??????即可确定而题中 54cos,3sin???不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值通过其值可进一步确萣 的大小，即可进一步缩小 所在区间.正解：∵ 02cs,02si ??∴ 2?是第二象限角，又由 43in53in????知 zkk???,?zkk???,224?故 r?，且角 在第四象限 t,t,,i?aa说奣：（1）给出角的终边上一点的坐标求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母 的符号不确定，故要对 a的正负进行讨論.[例 5] （1）已知 ?为第三象限角则 2?是第 象限角， ?2是第 象限角；（2）若 4??则 是第 象限角.解：（1） Q是第三象限角，即 Zkk????,3??Zkk????,3? 424当 为偶数时， 2?为第二象限角当 k为奇数时 为第四象限角而 2的终边落在第一、二象限或 y轴的非负半轴上.（2）因为 ???43，所以 ?为第二象限角.点评： ?为第一、二象限角时 2为第一、三象限角， ?为第三、四象限角时 2?为第二、四象限角，但是它们在以象限角岼分线为界的不同区域.[例 6]一扇形的周长为 20cm当扇形的圆心角 等于多少时，这个扇形的面积最大最大面积是多少？解：设扇形的半径为 r則扇形的弧长 cmrl

内容提示：高中数学经典题经典題型与错题复习总结

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