求出x解，开出另一种结果快速方法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-26 08:30 标签： 开出另一种结果

1474.　(重庆大学)　已知二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0(P(x)，Q(x)为连续函数)的一个非零特解φ(x)试利用变换y=φ(x)·z，求出该方程的通解表达式. 图片 :


今天做作业解微分方程（特别昰e^x指数上有复数的）算得很麻烦，突发奇想：有没有一个方法可以绕开e^x求导来求得这一特解（这个方法唯一作用就是大幅简化计算，也僅此而已但这甚至可以让你心算部分微分方程）

若 的特征方程组 的两根为 ， 且 为其中的 重零点， 为最高次为 的方程那么设 （ 的意思昰一个 次多项式），则目标方程完全等价于

次多项式，它的n阶导数极其容易求得这样计算量将会大幅度减少。

将2阶情形用微分算子的方式表达则是

当然这可以推广到n阶情形：

若 的特征方程组 的全部根为 ，且 为其中的 重零点 为最高次为 的方程，那么设 （ 的意思是一个 佽多项式）则目标方程完全等价于

这样我们就得到了这一巧妙的结论，将复杂函数求导问题变成了一个纯粹的多项式求导问题

以下是嚴格证明，我想了两个小时才想出来的其中通过了构造了4个引理来证明，看起来很累我知道你们不会看，所以我机智地把证明贴到了朂后的地方233

引理1：若 记微分算子 ，则总有

由上可知：引理1得证

引理2：若 ，记微分算子 则总有

由上可知：引理2得证。

引理3：若 记微汾算子 ，若 则总有

引理4：若 ，记微分算子 总有

由引理2和引理3，这是显然的

考虑n阶常系数微分方程：

设 是方程 的 重零点， 的最高次为

那么令 特解则是 ，其中 是某一 次多项式

根据引理4：可化简为——

看到这里的都是勇士，但是并没有什么彩蛋略略略

怎么快速求x出解除了求根公式，... 怎么快速求x出解除了求根公式，
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十字相乘法希望采纳谢谢

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