2014年中考数学压轴题(含答案)
2014年中考数学压轴题(含答案)
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
　　　　2014中考压轴题突破训练目标熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。题型结构及解题方法　　　压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。考查要点&常考类型举例&题型特征&解题方法问题背景研究&求坐标或函数解析式，求角度或线段长&已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息&研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。模型套路调用&求面积、周长的函数关系式，并求最值&速度已知，所求关系式和运动时间相关&分段：动点转折分段、图形碰撞分段；利用动点路程表达线段长；设计方案表达关系式。&&坐标系下，所求关系式和坐标相关&利用坐标及横平竖直线段长；分类：根据线段表达不同分类；设计方案表达面积或周长。&求线段和（差）的最值&有定点（线）、不变量或不变关系&利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。套路整合及分类讨论&点的存在性&点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10&抓定量，找特征；确定分类；.根据几何特征或函数特征建等式。&图形的存在性&特殊三角形、特殊四边形的存在性&分析动点、定点或不变关系（如平行）；根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。&&三角形相似、全等的存在性&找定点，分析目标三角形边角关系；根据判定、对应关系确定分类；根据几何特征建等式求解。
答题规范动作试卷上探索思路、在演草纸上演草。合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。 23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。20分钟内完成。　　　实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。课程名称：2014中考数学难点突破1、图形运动产生的面积问题2、存在性问题3、二次函数综合（包括二次函数与几何综合、二次函数之面积问题、二次函数中的存在性问题）4、2014中考数学压轴题全面突破（包括动态几何、函数与几何综合、点的存在性、三角形的存在性、四边形的存在性、压轴题综合训练）
&& 一、图形运动产生的面积问题知识点睛研究_基本_图形分析运动状态：①由起点、终点确定t的范围；②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．分段画图，选择适当方法表达面积．二、精讲精练已知，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒．（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积．（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． &&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1题图&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2题图如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，高CE＝，对角线AC、BD交于点H．平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发，沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．　　（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；　　（2）若，求x．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．　　（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？　　（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）S能否为？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．　& 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2．（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；（2）当t=_____s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．　　　　　　　　　　　　　
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．　（1）求M，N的坐标．（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与自变量t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围． &二、二次函数中的存在性问题一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标． 　　　　　　　　　　　　　　　抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．　　　　　　　　　　　　　
已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
三、二次函数与几何综合一、知识点睛　　“二次函数与几何综合”思考流程：　　　 　　　整合信息时，下面两点可为我们提供便利：①研究函数表达式．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b； 　　　②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练& 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．　　（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　& 如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a&0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．　（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　& 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．&　　（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
& 已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．　　（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
& 已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).　　（1）求抛物线的解析式；　　（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；　　②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．&四、中考数学压轴题专项训练
1.如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0&t&4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．　　（1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式．　　（2）求S与t的函数关系式． （3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．　　（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标．（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 　　　　
3.（11分）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．　　（1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D．　　（1）求抛物线的解析式；　　（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线，交直　　线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
5.（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为　(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m&0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．　　　　　 　　附：参考答案　　一、图形运动产生的面积问题1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的面积为平方厘米．（2） 当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t＜3时，&&&&&&& 2．（1）90°；4&& （2）x=2.&& 3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上.　　（2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时，&&& 　　（3）由（2）问可得，当0＜t≤时， ；　　当＜t≤6时，；　　　解得，或，此时.&&&&&&&&&&&& 4．（1）1& （2）（3）当1＜t≤时，；当＜t＜2时，.& 5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2）&& （2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；当1＜t≤时，. 6．（1）M（4，2）&& N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；当1＜t≤4时，；当4＜t≤5时，；当5＜t≤6时，；当6＜t≤7时，&& 　　二、二次函数中的存在性问题1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；若△BAP∽△AOB，如图1，可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），代入，可知，若△BAP∽△BOA，如图2，可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），代入，可知，当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；若△ABP∽△AOB，如图3，可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），代入，可知，若△ABP∽△BOA，如图4，可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），代入，可知，
2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正方形.则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）可得BQ解析式为y=－x+4.（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.当∠DCE=30°时，a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.则可证△DCH∽△DEK.则，在矩形DHQK中，DK=HQ，则.在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.&由对称性可得此时点P坐标为（1－,）当∠DCE=60°时，过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.则可证△DCM∽△DEN.则，在矩形DMQN中，DN=MQ，则.在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P（1+,）.b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1－,）综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8&&& ∴在Rt△OAB中，OA=6&& ∴ A（6，0）将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，& （2）存在：如果△AMN与△ACD相似，则或设M（0&m&6）假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示：
当时，，即∴∴如图2验证一下
当时，，即& &∴（舍）2）如果点M在x轴上方的抛物线上： 当时，，即& ∴& ∴M& 此时,& ∴& ∴△AMN∽△ACD& ∴M满足要求当时，，即&& ∴m=10（舍）综上M1,M24.解：满足条件坐标为：思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线；&(1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP；&&∵点A、P纵坐标差为2& ∴点M、N纵坐标差为2；& ∵点M的纵坐标为0& ∴点N的纵坐标为2或-2& ①当点N的纵坐标为2时& 解：& 得& 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、　②当点N的纵坐标为-2时　解：& 得& 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、&(2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0）&MN一定过AP的中点（0，-1）则N5（-m，-2），N5在抛物线上&& ∴（负值不符合题意，舍去） ∴&& ∴综上所述:符合条件点P的坐标为：
5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可。由题知：，，，故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况：
①如图1，，，令PM=QN，　　　　　解得：（舍去），；②如图2，，，令PM=QN，　　　　　解得：（舍去），；③如图3，，，令PM=QN，　　　　　解得：，（舍去）；④如图4，，，令PM=QN，　　　　　解得：，（舍去）；综上，m的值为、、、． 三、二次函数与几何综合解：（1）令x=0，则y=4，&& ∴点C的坐标为（0，4），∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称，又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5， 在Rt△ACO中，OA=，∴点A的坐标为A（，0），∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得，& ∴抛物线的解析式是（2）存在，M（，）理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴；∴当点M在直线AC上时，值最大，设直线AC的解析式为，则，解得，∴令，则，∴M（，）2、解：（1）∵抛物线过点B（，0），∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴令y=0，则x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，令x=0，则y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a∵D为抛物线的顶点，∴D（1，4a） 过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°，又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴， ∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a∴，∴，∵a&0，∴a=1∴抛物线的解析式为： （2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D， ∴F（1，4）．综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．&&&&&&& 3、解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 由抛物线经过A、B两点，得&&& 解得 （2）设直线与y轴交于点M当x=0时，y=. ∴OM=.∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM= ∴OM：OA：AM=3：4：5.由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.∴DE：PE：PD=3：4：5∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∴PD=∴&由题意知：&&& 4、解：(1) ∵拋物线y1=ax22axb经过A(1，0)，C(0，)两点，∴，∴，∴拋物线的解析式为y1= x2x（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM由y1= x2x可知顶点M(1，2) ，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°∴∠QPB=∠PMA又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA∴& 将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，可得，即.∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0x＜3 则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x&3)解法二：过点M作MN⊥AB交AB于点N.由y1= x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2.&&& ∴…①，又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22由、得y2=x2x.∵0x&3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x&3)& 5、解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为.（2）①令，解得& ∴B（3， 0）则直线BC的解析式为& 当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.解方程组，得&&& ∴点当点P在x轴下方时，如图1，根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴ 综上所述，点P的坐标为：，②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°& ∴∠CBF=∠ABC=45°又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC&&&&& ∴△ACB≌△FCB∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C& ∴直线CP的解析式为.
四、中考数学压轴题专项训练答案& 1．（1）；　　（2）；　　（3）t=1或2．2．（1），；　　（2）；　　（3）存在，点P的坐标为．3．（1），；（2）；（3）15．4．（1）；　　（2）；　　（3）．5．（1）；　　（2）①，当时，； 　　　②．6．（1）；　　（2）； （3）． 文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y &
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2015届九年级数学上期中试卷(含答案和解释)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数：415
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本资料为WORD文档，请点击下载地址下载江苏省苏州市景范中学2015届九年级上学期期中数学试卷一、（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） A．
B． ax2+bx+c=0 C． （x﹣1）（x+2）=1 D． 3x2﹣2xy﹣5y2=02．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1+x2等于（） A． ﹣2 B． ﹣5 C． 2 D． 53．一个三角形三边之比为4：6：7，与之相似的另一个三角形最长边为28cm，则最短边为（） A． 12cm B． 16cm C． 24cm D． 49cm4．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（） A．
D． 5．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知正确的是（） A． 其图象的开口向下 B． 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C． 当x＜3时，y随x的增大而增大 D． 其最小值为16．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为（） A． （3，3） B． （4，3） C． （3，1） D． （4，1）7．若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（） A．
D． 8．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取 、3、0时，对应的函数值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系是（） A． y1＞y2＞y3 B． y2＞y1＞y3 C． y3＞y1＞y2 D． y3＞y2＞y19．如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12， 则DF=（） A． 3 B． 7 C． 12 D． 1510．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．其中正确的个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=，另一个根为．12．已知a、b为一元二次方程x2+2x﹣2014=0的两根，那么a2+2a+ab的值是．13．将抛物线y=﹣ x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对应的函数关系式为．14．如图，△ABC中，AB=18，AC=16，D在AB上，AD=9，在AC上取一点P，问AP=时，以A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=m．16．已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t（s），△PAB面积为S（cm2）．当点P在边DA上运动时，则S关于t的函数表达式为．18．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的结论是．三、解答题（共11小题，满分66分）19．解方程：（x+1）2=4．20．解方程：x2﹣6x﹣6=0．21．解方程：2x2﹣x﹣6=0．22．解方程： ．23．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）方程有两个实数根x1，x2且有x1+x2+2x1x2=0，求k．24．在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=3 ，AE=3，求AF的长．25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，已知A（﹣1，0）、D（2，3），并且二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、C、D三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y=kx+d经过B、C两点，试判断直线BC是否经过抛物线的顶点M，说明理由；并结合函数的图象探索：当二次函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．26．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）27．已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．若在AB上有一点P使矩形MPND的面积最大，请你求出此时矩形MPND的边长DN、PN．28．理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．29．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2 ）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上， 点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM= ，直接写出l，P表示的函数解析式．江苏省苏州市景范中学2015届九年级上学期期中数学试卷一、（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（） A．
B． ax2+bx+c=0 C． （x﹣1）（x+2）=1 D． 3x2﹣2xy﹣5y2=0考点： 一元二次方程的定义． 专题： 方程思想．分析： 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答： 解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．故选：C．点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1+x2等于（） A． ﹣2 B． ﹣5 C． 2 D． 5考点： 根与系数的关系． 专题： ．分析： 直接根据根与系数的关系求解．解答： 解：根据题意得x1+x2=2．故选C．点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．3．一个三角形三边之比为4：6：7，与之相似的另一个三角形最长边为28cm，则最短边为（） A． 12cm B． 16cm C． 24cm D． 49cm考点： 相似三角形的性质． 分析： 根据相似三角形的性质得出与之相似的另一个三角形的三边比为4：6：7，根据最长边求出每一份的值，即可求出答案．解答： 解：∵一个三角形三边之比为4：6：7，∴与之相似的另一个三角形的三边比为4：6：7，∵最长边为28cm，∴每一份为4cm，∴最短边为4×4cm=16cm，故选B．点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．4．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（） A．
D． 考点： 相似三角形的判定． 分析： △ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．解答： 解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B、三角形各角的度数都是60°，C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C．点评： 此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．5．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知正确的是（） A． 其图象的开口向下 B． 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C． 当x＜3时，y随x的增大而增大 D． 其最小值为1考点： 二次函数的性质． 分析： 根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．解答： 解：A、∵二次函数y=2（x﹣3）2+1中，a=2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；B、∵二次函数的解析式是y=2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x=3，故本选项错误；C、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x=3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵由函数解析式可知其顶点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确．故选D．点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为（） A． （3，3） B． （4，3） C． （3，1） D． （4，1）考点： 位似变换；坐标与图形性质． 专题： 几何图形问题．分析： 利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解答： 解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．点评： 此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．7．若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（） A．
D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．专题： 压轴题．分析： 根据b＜0，可以判断一次函数图象与y轴的负半轴相交，根据选项可得只有B、D符合，再根据一次函数图象经过一三象限，判断出a＞0，所以二次函数图象开口向下，再利用二次函数的对称轴进行验证即可进行选择．解答： 解：∵b＜0，∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交，故排除A、C选项，B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限，∴a＞0，二次函数开口向上，故D选项不符合题意，∵a＞0，b＜0时，对称轴x=﹣ ＞0，B选项符合题意．故选B．点评： 本题考查了同一坐标系中一次函数图象与二次函数图象的关系，根据一次函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键．8．已知二次函数y=a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取 、3、0时，对应的函数值分别为y1、y2、y3，则y1、y2、y3的大小关系是（） A． y1＞y2＞y3 B． y2＞y1＞y3 C． y3＞y1＞y2 D． y3＞y2＞y1考点： 二次函数图象上点的坐标特征． 分析： 根据二次函数图象开口方向向上，对称轴为直线x=2，然后利用增减性和对称性解答即可．解答： 解：∵a＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴为直线x=2，∴x分别取 、3、0时，对应的函数值分别为y1最小y3最大，∴y3＞y2＞y 1．故选D．点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增减性，理解各点距离对称轴的远近是解题的关键．9．如图为△ABC与△DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=（） A． 3 B． 7 C． 12 D． 15考点： 相似三角形的判定与性质． 分析： 已知△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．解答： 解：∵△ABC与△DEC的面积相等∴△CDF与四边形AFEB的面积相等∵AB∥DE∴△CEF∽△CBA∵EF=9，AB=12∴EF：AB=9：12=3：4∴面积比=9：16设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k∵△CDF与四边形AFEB的面积相等∴△CDF=7k∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形∴面积比等于底之比∴DF：EF=7k：9k∴DF=7．故选B．点评： 本题考查的是相似三角形的性质的理解及运用．10．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为﹣3．其中正确的个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点： 二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系． 分析： ①利用根的判别式△＞0判定即可；②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x=2012代入函数关系式计算即可得解．解答： 解：①∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴对称轴直线x=﹣ ≥1，解得m≥1，故本小题错误；③∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，∴平移前的图象经过点（3，0），代入函数关系式得，32﹣2mo3﹣3=0，解得m=1，故本小题错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为直线x= =1006，∴﹣ =1006，解得m=1006，∴函数关系式为y=x2﹣2012x﹣3，当x=2012时，y=2×2012﹣3=﹣3，故本小题正确；综上所述，结论正确的是①④共2个．故选B．点评： 本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，主要利用了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的对称性以及增减性，熟记各性质是解题的关键．二、题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=2，另一个根为2．考点： 一元二次方程的解；根与系数的关系． 专题： 待定系数法．分析： 根据方程有一根为1，将x=1代入方程求出m的值，确定出方程，即可求出另一根．解答： 解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，解得：m=2，方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，则另一根为2．故答案为：2，2．点评： 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12．已知a、b为一元二次方程x2 +2x﹣2014=0的两根，那么a2+2a+ab的值是0．考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： ．分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到a2+2a=2014，再根据根与系数的关系得到ab=﹣2014，然后利用整体代入的方法计算．解答： 解：∵a为一元二次方程x2+2x﹣2014=0的根，∴a2+2a﹣2014=0，即a2+2a=2014，∵a、b为一元二次方程x2+2x﹣2014=0的两根，∴ab=﹣2014，∴a2+2a+ab==0．故答案为0．点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．也考查了一元二次方程的解．13．将抛物线y=﹣ x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线所对应的函数关系式为y=﹣ （x﹣1）2+2．考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 先确定抛物线y=﹣ x2的顶点坐标为（0，0），再根据点的平移规律得到点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点的坐标为（﹣1，2），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．解答： 解：抛物线y=﹣ x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点的坐标为（﹣1，2），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣ （x+1）2+2．故答案为y=﹣ （x+1）2+2．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．如图，△ABC中，AB=18，AC=16，D在AB上，AD=9，在AC上取一点P，问AP=8或 时，以A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似．考点： 相似三角形的判定． 分析： 因为AB和AC、AD和AP有共同的夹角∠A，故使得 = 或 = ，即可求出AP的长度，即可解题．解答： 解：∵AB和AC、AD和AP有共同的夹角∠A，∴ = 或 = ，均可使得△ADP和△ABC相似，∴ = 或 = 解得AP= 或8．故答案为：8或 ．点评： 本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中讨论 = 或 = 是解题关键．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=5.5m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．解答： 解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D∴△DEF∽△DCB∴ = ∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，∴ = ∴BC=4米，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，故答案为：5.5．点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．16．已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+9．考点： 抛物线与x轴的交点． 分析： 设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x轴上截得的线段长为6，求出a的值即可．解答： 解：设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣h）2+k，∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴h=2，k=9，∴y=a（x﹣2）2+9，∵且它在x轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a（x﹣2）2+9，即：ax2﹣4ax+4a+9=0，∵抛物线ya（x﹣2）2+9在x轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x1，x2，∴x1+x2=4，x1ox2= ，∴|x1﹣x2|= =6，即16﹣4× =36解得：a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9，故答案为：y=﹣（x﹣2）2+9．点评： 此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．17．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．动点P从点B开始沿折线BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度运动到点A．设点P运动的时间为t（s），△PAB面积为S（cm2）．当点P在边DA上运动时，则S关于t的函数表达式为 ．考点： 动点问题的函数图象． 分析： 如图，首先作辅助线求出AD的长度；然后运用相似三角形的判定及其性质表示出QF的长度，问题即可解决．解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；当点P运动到点Q的位置时，连接BQ，过点Q作QF⊥AB于点F；则四边形DEBC为矩形，DE=BC=4cm，BE=DC=5cm，∴AE=8﹣5=3（cm）；由勾股定理得：AD2=32+42=25，∴AD=5（cm）；由题意得：DQ=t﹣﹣4﹣5=t﹣9，AQ=5﹣（t﹣9）=14﹣t；∵QF⊥AB，DE⊥AB，∴QF∥DE，∴△AQF∽△ADE；∴ ，∴QF= ；∴ = ，故答案为： ．点评： 该命题主要考查了动点问题的函数图象及其应用问题；解题的关键是抓住动点在运动过程中的变化规律，动中求静，以静制动．18．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的结论是①③④．考点： 二次函数的性质． 分析： 利用待定系数法求出二次函数解析式为y=﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确．解答： 解：∵x=﹣1时y=﹣1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，∴ ，解得 ，∴y=﹣x2+3x+3，∴ac=﹣1×3=﹣3＜0，故①正确；对称轴为直线x=﹣ = ，所以，当x＞ 时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；方程为﹣x2+2x+3=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，正确，故③正确；﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0正确，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④．故答案为：①③④．点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．三、解答题（共11小题，满分66分）19．解方程：（x+1）2=4．考点： 解一元二次方程-直接开平方法． 分析： 两边直接开平方可得x+1=±2，然后再解一元一次方程即可．解答： 解：两边直接开平方得：x+1=±2，则x+1=2，x+1=﹣2，解得：x1=1，x2=﹣3．点评： 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．20．解方程：x2﹣6x﹣6=0．考点： 解一元二次方程-配方法；解分式方程． 分析： 首先把方程移项变形为x2﹣6x=6的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解解答： 解：（x﹣3）2=15，x﹣3=± ．∴x1=3+ ，x2=3﹣ ．点评： 本题主要考查了配方法，是解一元二次方程的一种基本方法．21．解方程：2x2﹣x﹣6=0．考点： 解一元二次方程-因式分解法． 分析： 利用十字相把方程的左边分解因式，即可化为两个一元一次方程，即可求解．解答： 解：原式即（2x+3）（x﹣2）=0，则2x+3=0或x﹣2=0，解得：x1=﹣ ，x2=2．点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．解方程： ．考点： 解分式方程． 专题： 计算题．分析： 先把方程两边同时乘以x2﹣4，再求出x的值，代入最简公分母进行检验即可．解答： 解：方程两边同时乘以x2﹣4得，4﹣（x2﹣4）=x+2，解得x1=2，x2=﹣3，检验：当x=2时，22﹣4=0；当x=﹣3时，（﹣3）2﹣4=5．故x=2是原方程的增根，x=﹣3是原方程的根．点评： 本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要把最后结果代入最简公分母进行检验．23．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）方程有两个实数根x1，x2且有x1+x2+2x1x2=0，求k．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 分析： （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．（2）利用根与系数的关系求得x1+x2、x1x的值，然后将其代入x1+x2+2x1x2=0列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．解答： 解：（1）依题意得△=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，解得 k＜1；（2）∵x1+x2=﹣2（k﹣1），x1x2=k2﹣1，∴由x1+x2+2x1x2=0，得﹣2（k﹣1）+2（k2﹣1）=0，解得 k=0．点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=3 ，AE=3，求AF的长．考点： 勾股定理；平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 几何综合题．分析： （1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，∴AE⊥AD；在Rt△ADE中，DE= ，∵△ADF∽△DEC，∴ ；∴ ，解得AF= ．点评： 此题主要考查的是平行四边形的性质及相 似三角形的判定和性质．25．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，已知A（﹣1，0）、D（2，3），并且二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、C、D三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y=kx+d经过B、C两点，试判断直线BC是否经过抛物线的顶点M，说明理由；并结合函数的图象探索：当二次函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．考点： 二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质． 分析： （1）根据平行四边形对边平行可得CD∥AB，然后求出抛物线的对称轴为直线x=1，再设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，然后将点A、D的坐标代入求解即可；（2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后求出点M的坐标并代入直线解析式验证即可；根据函数图象写出二次函数图象在直线上方部分的x的取值范围即可．解答： 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵D（2，3），∴抛物线对称轴为直线x=1，设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+k，将点A（﹣1，0）、D（2，3）代入得， ，解得 ，所以，抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3），∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（﹣3，0），设直线BC的解析式为y=kx+d，则 ，解得， ，所以，y=x+3，∵抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4的顶点坐标M（1，4），∴当x=1时，y=1 +3=4，∴点M在直线BC上；二次函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围是0＜x＜1．点评： 本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，抛物线解析式利用顶点式形式求解更简便．26．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼 台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．（1）设李明每月获 得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）考点： 二次函数的应用． 专题： ．分析： （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．解答： 解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）oy，=（x﹣20）o（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000， ，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣，解这个方程得：x1=30，x2=40，答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000，∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000，设成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000，∵a=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P最小=3600，答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．点评： 此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．27．已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．若在AB上有一点P使矩形MPND的面积最大，请你求出此时矩形MPND的边长DN、PN．考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质． 分析： 设DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积为S=xy，再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解．解答： 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），过点B作BH⊥PN于点H，∵正方形ABCD的边长为4，∴CN=4﹣x，EM=4﹣y．∵EF∥BH，∴∠BAF=∠PBH，∠F=∠BHP=90° ，∴△ABF∽△BPH，∴ = ，∴ = ，即 = ，∴y =﹣ x+5，S=xy=﹣ x2+5x（2≤x≤4），∵此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大．对2≤x≤4来说，当x=4，即PM=4时，S有最大值，∴S最大=﹣ ×42+5×4=12．∴DN=4，PN=3．点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的长．28．理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．考点： 相似形综合题． 专题： 几何图形问题．分析： （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE= ∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，BC边之间的数量关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．解答： 解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°∴∠ADE=∠CEB，在△ADE和△BEC中， ，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE= ∠BCD=30°，BE= ，在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°= ，∴ ．点评： 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．29．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联 直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为y=﹣4x+4．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM= ，直接写出l，P表示的函数解析式．考点： 二次函数综合题；一次函数的应用；勾股定理；等腰直角三角形；平行四边形的性质；作图-旋转变换． 专题： 压轴题；新定义．分析： （1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标 ，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；（2）根据对称轴的定义解答即可；（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．解答： 解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得： ，解得 ，∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）．∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得： ，解得 ，∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=﹣ ；令x=0，得y=n．∴A（﹣ ，0）、B（0，n），∴D（﹣n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0），∵DN=AN，∴﹣ ﹣x=x﹣（﹣n），∴2x=﹣n﹣ ，∴P的对称轴为x=﹣ ．（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4），∴C（0，2）、D（﹣4，0）．可求得直线CD的解析式为：y= x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y= x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=﹣2．∵点F在直线ll：y=﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y= x+4，当x=﹣1时，y= ，∴Q1（﹣1， ）；若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y= x+9，当x=﹣1时，y= ，∴Q2（﹣1， ）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1， ）、Q2（﹣1， ）．（4）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG= AB，OH= CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG= OM= o =2 ，∴AB=2OG=4 ．∵l：y=mx﹣4m，∴A（4，0），B（0，﹣4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4 ）2，解得：m=﹣2或m=2，∵点B在y轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2．∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8；∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣ x2﹣x+8．点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．
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