（2004o大连）如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P．C是⊙O1上任一点（与点P不重合）．实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O1，另一直角边所在直线交⊙O2于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O1于点E、F，连接CE（图2是实验操作备用图）．探究：（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？用你学过的知识证明你的发现；（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现．（3）附加题：如图3，若将上述问题的⊙O1和⊙O2由内切改为外切，其它条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并说明．考点：．专题：．分析：（1）作过点P的切线SP，则由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B，故有EF∥AB；由于AB是圆O1的切线，故有GC⊥AB，所以由垂径定理知，弧CE=弧CF；（2）可证得△PEC∽△FCB，则PE：CF=CE：BF，即CE2=PEoFB；（3）可证得△BCF∽△PCE，则BF：CE=CF：PE，即CE2=PEoFB．解答：解：（1）设过CO1的直径为CG，作过点P的切线SP．由题意知，AB是⊙O1的切线，则有GC⊥AB．∵SP是两圆的切线，∴由弦切角定理知，∠SPA=∠EFP=∠B．∴EF∥AB，∴GC⊥EF，∴由垂径定理知，点C是弧ECF的中点，故有弧CE=弧CF；（2）如图，连接CE，CF，PC．由（1）知，弧CE=弧CF，EF∥AB，∴∠B=∠2，∠3=∠4，CE=CF，∴∠1=∠2．又∵∠BCF=∠4=∠3，∴△PEC∽△FCB，∴PE：CF=CE：BF，即CE2=PEoFB；（3）如图，设CG是⊙O1的直径，作过点P的切线SH，连接CE，CF，PC．∵∠HPE=∠PFE，∠SPA=∠B，∠SPA=∠HPE，∴∠B=∠BFE，∴EF∥CB，∵CB是⊙O1的切线，∴CG⊥CB，∴CG⊥EF，∴弧CF=弧CE，有CF=CF．∵∠B=∠HPE=∠PCE，∠CFB=∠CEP，∴△BCF∽△PCE，∴BF：CE=CF：PE，即CE2=PEoFB．点评：本题利用了切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，弦切角定理，相似三角形的判定和性质求解．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
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选修4-1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过A点作圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1、圆O2交于C，D两点。求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；(Ⅱ)AD=AE。
题型：解答题难度：偏易来源：不详
(Ⅰ)①②,由①，②得(Ⅱ)∴是⊙的切线由（Ⅰ）知∴∥∴⊥, ,∴∴试题分析：（Ⅰ）分别是⊙的割线∴&&&&&①又分别是⊙的切线和割线∴&②由①，②得&& …………………… 5分（Ⅱ）连结、设与相交于点∵是⊙的直径∴&∴是⊙的切线.&由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, &&又∵是⊙的切线，∴又，∴∴&………………………10分点评：此类题目较简单，学生借助于初中所学部分平面几何知识的基础容易解决
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据魔方格专家权威分析，试题“选修4-1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2..”主要考查你对&&平行射影，平面与圆柱面的截线，平面与圆锥面的截线&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线
图形的平行射影：
过点A作平行于l的直线（称为投影线）必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影，一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。正射影是平行射影的特例。常见的正射影：
1、点在直线上的正射影： &2、直线在直线上的正射影：
3、一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影。圆柱形物体的截口：
（1）圆柱形物体平行于底面的截口是圆；（2）圆柱形物体的斜截口是椭圆。对圆柱形物体的截口的理解：
分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成圆柱形物体的母线为投影方向，上面圆在水平面上的射影。其中，点A的投影为点E，点D的投影为F，显然EF&AD。与上面圆的直径AD垂直的直径GH在水平面上的射影PQ的长度保持不变，因此EF&PQ，于是上面圆的射影不是一个圆，而是椭圆。 用一个平面去截一个正圆锥：
如果用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况：（1）如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是一条抛物线；如果平面不与母线平行，那么会出现两种情形：（2）平面只与圆锥的一般相交，这时的交线为椭圆；（3）平面与圆锥的两部分都相交，这时的交线叫做双曲线。 定理：
在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β（当π与l平行时，记β=0），则（1）β&α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β&α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
发现相似题
与“选修4-1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，AB是圆O2..”考查相似的试题有：
854722879477829212879479797900815761已知，圆O1与圆O2相交于A、B两点，点O1在圆O2上，C为圆O2上一点（不与A、B重合）直线CB与圆O相交于另一_百度知道
已知，圆O1与圆O2相交于A、B两点，点O1在圆O2上，C为圆O2上一点（不与A、B重合）直线CB与圆O相交于另一
点D（1）若AC是圆O2直径，求证：AC=CD（2）若C为圆O1外一点，求证：O1C⊥AD（3）若C为圆O1内一点，判断（2）中结论是否成立，为什么？
提问者采纳
（3）解：（2）中的结论仍然成立．理由如下：C在弧O1A上时，延长O1C交AD于F点；连接AO1并延长交⊙O1于E点；连接EB，AB∵AE为直径，所以∠EBA=90°∴∠O1EB+∠BAO1=90°在⊙O1中，劣弧AB所对的圆周角相等∴∠ADB=∠O1EB，∵∠DCF=∠BAO1∴∠ADB+∠DCF=∠O1EB+∠BAO1=90°∴∠CFD=90°∴CO1⊥AD．很高兴为您解答，祝你学习进步！有不明白的可以追问！如果您认可我的回答，请选为满意答案，并点击好评，谢谢！
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出门在外也不愁如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交
练习题及答案
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2．下列结论：①CE∥DF；②∠D=∠F；③EF=2O1O2．必定成立的有（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个
所属题型：单选题
试题难度系数：偏易
答案（找答案上）
连接AB，AE，AF，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得AB⊥01O2．再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AE，AF是直径．①、根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，则∠C+∠D=180°，得CE∥DF；②、因为BD不一定是直径，所以∠F不一定是直角，错误；③、根据三角形的中位线定理，得EF=2O1O2．故选C．
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初中二年级数学试题“如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交”旨在考查同学们对
平行线的判定、
三角形中位线定理、
圆心角，圆周角，弧和弦、
圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
平行线的介绍：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，平行关系是相互的。垂直于同一条直线的两直线平行。过一点，有且只有一条直线和这条直线平行。
平行线判定方法：
1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
两平行线间的距离公式
平行线 - 定理：
1、两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
2、两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。
3、两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
判定方法的逆应用：
1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等。
2、两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补 。
3、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等。 两个角的数量关系两直线的位置关系 ：垂直于同一直线的两条直线互相平行 。平行线间的距离，处处相等 。如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 。
平行线的角度关系：
平面上，用一条直线截另外两条直线线时，会截出两个交点，构成八个角，称为三线八角。这八个角中有对顶角、同位角、同旁内角、同旁外角、内错角和外错角这几种关系。当所截的两条直线平行时，这些角有相等或互为补角（相加等于180&度）的关系。这些角度关系对解决平面几何问题十分有用。
考点名称：
三角形中位线定义：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 。
三角形中位线特点：
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。
三角形三条中位线所构成的三角形是原三角形的相似形。
三角形中位线误区：
要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形中位线逆定理：
逆定理一：
如图DE//BC，DE=1/2BC，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=1/2BC
【证法①】
取AC中点G ，联结DG
则DG是三角形ABC的中位线
∴DG∥BC
又∵DE∥BC
∴DF和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）
如何证明三角形中位线分面积1：3
设三角形ABC，BC边对应的中位线是EF,
则由中位线的性质，平行与底边
那么角B=角AEF，角C=角AFE
所以三角形ABC相似于三角形AEF
2AE=AB,2AF=AC
所以SABC:SAEF
=(AB*AC*SinA):(AE*AF*SinA)
所以SAEF:SEFBC=SAEF:(SABC-SAEF)=1:(4-1)=1:3
考点名称：
圆心角的定义：
指顶点在圆心上的角. 因为顶点在圆心上, 所以角的两边与圆的半径共直线.
圆心角的特点：
①顶点是圆心；&
②两条边都与圆周相交。
有关圆心角的计算公式：
①　L(弧长)=n/180X&r（n为圆心角度数，以下同）；&
②S(扇形面积) = n/360X&r²；&
③扇形圆心角n=（180L）/（&r）（度）。&
④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆周角的定义：
顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的定理及推论：
①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90&的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
弧的定义：
在数学上是一条平面曲线，它是圆上两点间的一段，包含两个端点。而连接弧的两个端点之间的线段称为弦。
弧长的计算公式：
弧长公式:弧长=&*r ,&是弧度 r是半径&
l＝n&r&180 或 l=n/180&&r 或 l=圆心角&r&
在半径是R的圆中，因为360&的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2&R，所以n&圆心角所对的弧长为l＝n&R&180。&
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。&
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1&的角．&
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1&的弧．&
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．&
考点名称：
圆和圆的位置关系：
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
圆和圆位置关系的性质与判定：
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1 & r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l = |r1& r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当l＜|r1 & r2|时，圆C1与圆C2内含.
两圆之间的位置关系：
设d&两圆的圆心距离 ,R&大圆的半径,r&小圆的半径(两圆不是等圆)
1.外离 d&R+r （没有公共点）
2.外切 d=R+r （1个公共点）
3.相交 R-r&d&R+r（2个公共点）(R&r)
4.内切 d=R-r （1个公共点）(R&r)
5.内含 0&d&R-r （没有公共点）(R&r) 特例：两圆同心。
关系二：按交点数分类
相离（没有公共点）：外离、内含
相切（1个公共点）：外切、内切
相交（2个公共点）
关系三：按公切线条数分类
外离：外公切线+内公切线 4条
外切：外公切线+内公切线 3条
相交：外公切线+内公切线 2条
内切：外公切线+内公切线 1条
内含：外公切线+内公切线 0条
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CopyRight & 沪江网2015已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．
已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．
（2011o黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC=CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？
求第三问 一对圆周角相等，还有一对怎么证？
&：（2）C在弧O?A上时
廷长O?C交AD于F点;连接AO?并廷长交O?于E点;连接EB，AB
∵AE为直径，所以∠EBA=90°
∴∠O?EB+∠BAO?=90°
在O?中，&劣弧AB所对的圆周角相等
∴∠ADB=∠O?EB
在O?中，劣弧O?B所对的圆周角相等
∴∠BAO?=∠BCO?
又∵∠BCO?=∠DCF
∴∠DCF=∠BAO?
∴∠ADB+∠DCF=∠O?EB+∠BAO?=90°
∴∠CFD=90°
∴CO?⊥AD&&&&&&&&&&&&&&
(1)连接CO?，AB
∵AC为直径
∴∠ABC=∠AO?C=90°即AD为直径
∴△AO?C≌△DO?C
(3)延长CO?交AD于E，连接AO?延长交○O?于F，连接DF,BA&
∵AF为直径
∴∠FDA=90°=∠FDB+∠ADB
∵FB弧相等
∴∠FDB=∠FAB
∴∠FAB+∠ADB=90°
在○O2中内接四边形对角相加为180°∴∠FAB+∠ECB=180°=∠DCE+∠ECB
∴∠FAB=∠DCE
∴∠DCE+∠ADB=90°
∴CO?⊥AD&
的感言：当代劳模！所有人都应该向你学习！
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