求证:三角形CDF全等三角形的面积相等CBE

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-06-09 06:48 标签： 全等三角形难题
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如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP＝AB．
主讲：王文芳
【思路分析】
延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA＝MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP＝ BM，即AP＝AB．
【解析过程】
证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，CE＝DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE＝∠DCF．∵∠DCF＋∠BCP＝90°，∴∠CBE＋∠BCP＝90°，∴∠BPM＝∠CBE＋∠BCP＝90°．又∵FD＝FA，∠CDF＝∠MAF，∠CFD＝∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD＝AM．∵CD＝AB，∴AB＝AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP＝BM，即AP＝AB．
证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，CE＝DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE＝∠DCF．∵∠DCF＋∠BCP＝90°，∴∠CBE＋∠BCP＝90°，∴∠BPM＝∠CBE＋∠BCP＝90°．又∵FD＝FA，∠CDF＝∠MAF，∠CFD＝∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD＝AM．∵CD＝AB，∴AB＝AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP＝BM，即AP＝AB．
本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．
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在正方形abcd中,点e在ab的延长线上,角fce等于90度,求证三角形cdf全等三角形cbe
在正方形abcd中,点e在ab的延长线上,角fce等于90度,求证三角形cdf全等三角形cbe
证明：∵四边形ABCD是正方形∴BC=DC,∠ABC=∠BCD=∠D=90°∴∠DCF+∠FCB=90°∵∠BCE+∠FCB=∠FCE=90°∴∠DCF=∠BCE又∵DC=BC,∠D=∠CBE=90°∴△CDF≌△CBE（ASA）专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题方法,练习,题型,练习题,全等三角形,典..
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专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题
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全等三角形经典题型50题(含答案).doc12页
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全等三角形证明经典50题（含答案）
已知：AB 4，AC 2，D是BC中点，AD是整数，求AD
延长AD到E,使DE AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE AC 2 在三角形ABE中,AB-BE AE AB+BE
即:10-2 2AD 10+2 4 AD 6
又AD是整数,则AD 5
已知：BC DE，∠B ∠E，∠C ∠D，F是CD中点，求证：∠1 ∠2
证明：连接BF和EF。
因为 BC ED,CF DF,∠BCF ∠EDF。
所以 三角形BCF全等于三角形EDF 边角边 。
所以 BF EF,∠CBF ∠DEF。
在三角形BEF中,BF EF。
所以 ∠EBF ∠BEF。
又因为 ∠ABC ∠AED。
所以 ∠ABE ∠AEB。
所以 AB AE。
在三角形ABF和三角形AEF中，
AB AE,BF EF,
∠ABF ∠ABE+∠EBF ∠AEB+∠BEF ∠AEF。
所以 三角形ABF和三角形AEF全等。
所以 ∠BAF ∠EAF
∠1 ∠2 。
已知：∠1 ∠2，CD DE，EF//AB，求证：EF AC
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则∠DEG ∠DCA，∠DGE ∠2
∴SADC≌SGDE（AAS）
∴∠DFE ∠1
∴∠DFE ∠DGE
在AC上截取AE AB，连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD ∠BAD
又∵AE AB，AD AD
∴SAED≌SABD（SAS）
∴∠AED ∠B，DE DB
∵AC AB+BD
∴∠C ∠EDC
∵∠AED ∠C+∠EDC 2∠C
∴∠B 2∠C证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
因为CE⊥AB
所以∠CEB＝∠CEF＝90°
因为EB＝EF，CE＝CE，
所以△CEB≌△CEF
所以∠B＝∠CFE
因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
所以∠D＝∠CFA
因为AC平分∠BAD
所以∠DAC＝∠FAC
又因为AC＝AC
所以△ADC≌△AFC（SAS）
所以AD＝AF
所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE
证明:在BC上截取BF BA,连接EF.
∠ABE ∠FBE,BE BE,则SABE≌ΔFBE SAS ,∠EFB ∠A;
AB平行于CD,则:∠A+∠D 180°;
又∠EFB+∠EFC 180°,则∠EFC ∠D;
又∠FCE ∠DCE,CE CE,故SFCE≌ΔDCE AAS ,FC CD.
所以,BC BF+FC AB+：AB//ED，∠EAB ∠BDE，AF CD，EF BC，求证：∠F ∠C
AB//ED,AE//BD推出AE BD,
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11∴ ?DAE??BAC?(?EAB??CAD)?(120??10?)?55?． ∴ ?DFB??FAB??B??FAC??CAB??B?10??55??25??90?，
?DGB??DFB??D?90??25??65?．
22.证明：（1）连结AP，因为AE?AF，AP?AP,PE?AB,PF?AC, 所以Rt△APE≌Rt△APF，所以PE?PF.
（2）因为Rt△APE≌Rt△APF，所以?FAP??EAP，
所以点P在?BAC的平分线上.
23.分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到
F?EB即CD?DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得C.AB的距离=点D到AC的距离，
（2）利用角平分线性质证明△ADC≌△ADE，∴ AC?AE，再将线段AB进行转化． 证明：（1）∵ AD是?BAC的平分线，DE?AB，DC?AC，∴ DE?DC． 又∵ BD?DF，∴ Rt△CDF≌Rt△EDB，∴ CF?EB.
（2）∵ AD是?BAC的平分线，DE?AB，DC?AC，
∴ △ADC≌△ADE，∴ AC?AE，
∴ AB?AE?BE?AC?EB?AF?CF?EB?AF?2EB．
24.（1）证明：因为垂直CE于点F,
所以∠CFB?90?，所以?ECB??CBF?90?.
又因为?ACE??ECB?90?，所以?ACE??CBF.
因为AC?BC,∠ACB?90?，所以?A??CBA?45?.
又因为点D是AB的中点，所以∠DCB?45?.所以?DCB??A.
因为?ACE??CBF，∠DCB?∠A，AC?BC，
所以△CAE≌△BCG，所以AE?CG.
(2)解：BE?CM.证明如下：
在△ABC中，因为AC?BC,?ACB?90?，
所以?CAB??CBA?45?，?ACH??BCE?90?.
因为CH⊥AM，即∠CHA?90?,
所以?ACH??CAM?90?,所以?BCE??CAM.
因为CD为等腰直角三角形斜边上的中线,所以CD?AD，?ACD?45?.
在△BCE和△CAM中,BC?CA，?BCE??CAM，?CBE??ACM,
所以△CAM≌△BCE,所以BE?CM.
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