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关于线性代数的问题: 急求亲们解答！ 这道例5.17中，题目中已知r(A)=r,而最后得出的结论是
关于线性代数的问题: 急求亲们解答！ 这道例5.17中，题目中已知r(A)=r,而最后得出的结论是: n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，那不就是可以得出来r(A)=n吗？这个地方，没弄明白，求解释哈，非常感谢！
A有多少个线性无关的特征向量和A本身的秩没有直接关系（比如n阶零矩阵和单位阵都有n个线性无关的特征向量）线性无关的特征向量个数为k说明的是在AP=PΛ中rank(P)最大可以取到k，这里P和Λ都是n阶方阵，且Λ是对角阵，而rank(P)和rank(A)之间没有必然的联系
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线性代数 标注题号 解答题要格式规范
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baidu，且都小于3时，有无穷多组解.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos，有非零解第3题第4题可以对角化：
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[精选数学]线代的几何意义之一(什么是线性代数)
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关注微信公众号&p&前置阅读：&/p&&ul&&li&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解矩阵乘法？&/a&&/li&&li&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解相似矩阵？&/a&&/li&&/ul&&p&线性代数中，把方阵的对角线之和称为“迹”：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-adc6e0ce7ff5a8e_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&487& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&487& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-adc6e0ce7ff5a8e_r.jpg&&&/figure&&p&为什么叫这个名字啊？翻下字典：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b7f06caa0b782afecbcee3_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&1342& data-rawheight=&536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1342& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b7f06caa0b782afecbcee3_r.jpg&&&/figure&&p&确实，“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。&/p&&p&上面那幅图还有个有意思的地方，用了金、篆、隶、楷来写“迹”字，虽然各有千秋，却又“相似”，彷佛在暗示，线代中的“迹”反映出矩阵“相似”这个特征。&/p&&p&本文准备如下来讲解：&/p&&ul&&li&什么是线性变换？&/li&&li&同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵&/li&&li&相似矩阵的“迹”都相等&/li&&li&相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系&/li&&/ul&&p&&b&1 什么是线性变换？&/b&&/p&&p&函数我们很早就接触了，直观地讲，就是把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的点映射到曲线上（下面是函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dsin%28x%29& alt=&y=sin(x)& eeimg=&1&& ，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的点映射到了正弦曲线上）：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e54ff2cfeb52f_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&435& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e54ff2cfeb52f_r.jpg&&&/figure&&p&还有的函数，比如 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dx& alt=&y=x& eeimg=&1&& ，是把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的点映射到直线上，我们称为线性函数：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc047ea08b96aad68f62cd5_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&594& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&594& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc047ea08b96aad68f62cd5_r.jpg&&&/figure&&p&如果我们放宽限制，不再只考虑 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的点，而是考虑整个平面，把平面上某直线上的点映射到另外一条直线上去（注意，不是把整个平面的所有点映射到同一根直线上去）：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-0cb6da2d57b2e52ea81f_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&590& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&590& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-0cb6da2d57b2e52ea81f_r.jpg&&&/figure&&p&这其实也是线性函数，只是一般我们把这称为线性变换。&/p&&p&线性变换虽然说也是函数，但是因为自变量已经不在坐标轴上了，用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Df%28x%29& alt=&y=f(x)& eeimg=&1&& 的形式不好表示了，所以我们用线性变换的独有的表示方式，向量与矩阵：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7By_%7B%7D%7D%3DA%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%5C%5C& alt=&\vec{y_{}}=A\vec{x_{}}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&可见，所谓的矩阵乘法，其实就是线性函数，写成这样子是不是更像函数：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7By_%7B%7D%7D%3DA%28%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%29%5C%5C& alt=&\vec{y_{}}=A(\vec{x_{}})\\& eeimg=&1&&&/p&&p&只要回答了下面两个问题，就可以得到这个矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& （值域、定义域这里就忽略了）：&/p&&ul&&li&坐标系是什么？这在线性代数里面称为&b&基&/b&&/li&&li&映射法则是什么？这在线性代数里面称为&b&线性变换&/b&&/li&&/ul&&p&综合上面两点，其实，所谓矩阵就是指定基下的线性变换。&/p&&p&&b&2 同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵&/b&&/p&&p&之前提到的线性变换，为了示意整个平面的点都被变换了，我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换（增加一个参考点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D& alt=&\vec{x_{}}& eeimg=&1&& 方便观察）：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-14ddf14d9d61f5e1a40d7ef0fd08e46a_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&410& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-14ddf14d9d61f5e1a40d7ef0fd08e46a_r.jpg&&&/figure&&p&可见，这就是一个围绕蓝点旋转的线性变换，并且作为文章作者，我可以准确的告诉你，所有的点旋转了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& 弧度（蓝点，即中心点也可以认为旋转了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& 弧度）。&/p&&p&我们来看看该线性变换在不同基下的矩阵是什么样子的。&/p&&p&下面我会给出所有具体的数字，你可以去计算一下，省得说我骗你。&/p&&p&&b&2.1 标准正交基下的矩阵&/b& &b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&&/b&&/p&&p&标准正交基是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%5C%5C+0+%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0+%5C%5C+1+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%7D+& alt=&\{ \vec{i_{}}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{j_{}}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} & eeimg=&1&& ，它们所张成的线性空间如下（关于这幅图画的解释，可以参考 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解矩阵乘法？&/a& ）：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a213ecee537c6dd642cd16_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&402& data-rawheight=&402& class=&content_image& width=&402&&&/figure&&p&旋转矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 在此基下，旋转 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2& alt=&2& eeimg=&1&& 弧度：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-41d065bb9c5b3eec6d2669_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&443& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-41d065bb9c5b3eec6d2669_r.jpg&&&/figure&&p&在标准正交基 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%2C%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D%5C%7D+& alt=&\{ \vec{i_{}},\vec{j_{}}\} & eeimg=&1&& 下，用一个旋转矩阵来表示来表示此线性变换：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+cos%282%29+%26+-sin%282%29%5C%5C+sin%282%29%26+cos%282%29+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Capprox+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+-0..C+0..41615%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&A=\begin{pmatrix} cos(2) & -sin(2)\\ sin(2)& cos(2) \end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix} -0.41615& -0.90930\\ 0.90930& -0.41615\end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&2.2 另外一个基下的矩阵&/b& &b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&&/b&&/p&&p&不是一定要在标准正交基下，我们也可以在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+%5Cvec%7Bi%27%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%5C%5C+0.5+%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0.5+%5C%5C+1+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%7D+& alt=&\{ \vec{i'}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \end{pmatrix},\vec{j'}=\begin{pmatrix} 0.5 \\ 1 \end{pmatrix}\} & eeimg=&1&& 下表示这个线性变换：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e0f4460ac7e8_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e0f4460ac7e8_r.jpg&&&/figure&&p&可见淡蓝色网格代表的线性变换是没有发生变化的，只是基不一样了。&/p&&p&矩阵具体计算出来就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B%3DP%5E%7B-1%7DAP%5Capprox+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+-1..C+1..79625%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&B=P^{-1}AP\approx \begin{pmatrix} -1.62854& -1.51550\\ 1.525\end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+%5Cvec%7Bi%27%7D%26+%5Cvec%7Bj%27%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1%26+0.5%5C%5C+0.5%26+1%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&P=\begin{pmatrix} \vec{i'}& \vec{j'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 0.5\\ 0.5& 1\end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&为什么这么计算，就请查看 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解相似矩阵&/a& 这篇文章了。&/p&&p&&b&2.3 相似矩阵&/b&&/p&&p&淡蓝色网格代表的线性变换，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%2C%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D%5C%7D+& alt=&\{ \vec{i_{}},\vec{j_{}}\} & eeimg=&1&& 基下为矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B+%5Cvec%7Bi%27%7D%2C%5Cvec%7Bj%27%7D%5C%7D+& alt=&\{ \vec{i'},\vec{j'}\} & eeimg=&1&& 基下为矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&。&/p&&p&同一个线性变换在不同基下的矩阵，就是相似矩阵， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 互为相似矩阵。&/p&&p&&b&3 相似矩阵的“迹”都相等&/b&&/p&&p&这个线性变换，悄悄在这两个相似矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 中留下了&b&痕迹&/b&，就是它们的主对角线之和相等：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-0.-0.D-1..C& alt=&-0.41615+(-0.41615)=-1.25\\& eeimg=&1&&&/p&&p&主对角线之和因此称为“迹”。&/p&&p&从另外一个观点来看，我们也可以认为“迹”与坐标无关，也可以说“迹”是相似不变量。&/p&&p&&b&4 相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系&/b&&/p&&p&&b&4.1 行列式&/b&&/p&&p&因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 代表同一个线性变换，而根据 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&行列式的意义&/a& ，行列式代表的是线性变换的伸缩比例。&/p&&p&既然是比例，那么也和坐标无关：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7CA%7C%3D%7CB%7C%3D1%5C%5C& alt=&|A|=|B|=1\\& eeimg=&1&&&/p&&p&行列式又是一个相似不变量。&/p&&p&&b&4.2 特征值&/b&&/p&&p&根据 &a href=&https://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&特征值&/a& 分解的定义，特征值矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+& alt=&\Lambda & eeimg=&1&& ：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+%3D+Q%5E%7B-1%7DAQ%5C%5C& alt=&\Lambda = Q^{-1}AQ\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这里用 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 是为了和之前的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&& 进行区别。&/p&&p&可见， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+& alt=&\Lambda & eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 也是相似矩阵。&/p&&p&无悬念的，对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&& 求特征值矩阵都得到的是同一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+& alt=&\Lambda & eeimg=&1&& （特征向量有所不同，因为在不同的基下）：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+%5Capprox+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+-0..9%5C%5C+0%26+-0.30i%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&\Lambda \approx \begin{pmatrix} -0.30i& 0\\ 0& -0.30i\end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&特征值是两个复数。&/p&&p&根据 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda+& alt=&\Lambda & eeimg=&1&& ，我们可以得到迹为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-0..9-0.30i%29%3D-0.923%5C%5C& alt=&-0.30i+(-0.30i)=-0.923\\& eeimg=&1&&&/p&&p&行列式为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28-0..9Ctimes+%28-0.30i%29%3D1%5C%5C& alt=&(-0.30i)\times (-0.30i)=1\\& eeimg=&1&&&/p&&p&更一般的可以得到这两个相似不变量分别为：&/p&&ul&&li&迹= &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+_1%2B%5Clambda+_2%2B%5Ccdots+& alt=&\lambda _1+\lambda _2+\cdots & eeimg=&1&&&/li&&li&行列式= &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+_1%5Ccdot+%5Clambda+_2%5Ccdot+%5Ccdots+& alt=&\lambda _1\cdot \lambda _2\cdot \cdots & eeimg=&1&&&/li&&/ul&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+_1%2C%5Clambda+_2%2C%5Ccdots+& alt=&\lambda _1,\lambda _2,\cdots & eeimg=&1&& 是矩阵的特征值。&/p&&p&你的相貌随着年岁变换，我却还能一眼认出，就是因为其中藏着特征。&/p&&p&什么是特征，不被变换所改变的就是特征。&/p&&p&迹、行列式都是相似变换中的不变量，也就是线性变换的特征，现在全部被特征值表示了出来。看来特征值这个名字名副其实啊。&/p&
前置阅读：线性代数中，把方阵的对角线之和称为“迹”：为什么叫这个名字啊？翻下字典：确实，“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。上面那幅图还有个有意思的地方，用了金、篆、隶、楷来写“迹”字，虽然各有千秋，却又…
&p&通过矩阵来研究二次函数（方程），这就是线性代数中二次型的重点。&/p&&p&&b&1 二次函数（方程）的特点&/b&&/p&&p&&b&1.1 二次函数&/b&&/p&&p&最简单的一元二次函数就是：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eba205f5a8c_b.png& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eba205f5a8c_r.png&&&/figure&&p&给它增加一次项不会改变形状：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d6a434999ead02cc8fdcb9_b.jpg& data-rawwidth=&670& data-rawheight=&495& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&670& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d6a434999ead02cc8fdcb9_r.jpg&&&/figure&&br&&p&增加常数项就更不用说了，更不会改变形状。&/p&&p&&b&1.2 二次方程&/b&&/p&&p&下面是一个二元二次方程：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-47bec6fa291ff1aa6b1d_b.png& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-47bec6fa291ff1aa6b1d_r.png&&&/figure&&p&给它增加一次项也不会改变形状，只是看上去有些伸缩：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-21b6e595b744ca7efefcc4c5fda9cd23_b.jpg& data-rawwidth=&677& data-rawheight=&530& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&677& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-21b6e595b744ca7efefcc4c5fda9cd23_r.jpg&&&/figure&&p&&b&1.3 小结&/b&&/p&&p&对于二次函数或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次这部分就够了。&/p&&p&&b&2 通过矩阵来研究二次方程&/b&&/p&&p&因为二次函数（方程）的二次部分最重要，为了方便研究，我们把含有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 个变量的二次齐次函数：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdot+%2Cx_+n%29%3Da_%7B11%7Dx_1%5E2%2Ba_%7B22%7Dx_2%5E2%2B%5Ccdots+%2Ba_%7Bnn%7Dx_+n%5E2%2B2a_%7B12%7Dx_1x_2%2B2a_%7B13%7Dx_1x_3%2B%5Ccdots+%2B2a_%7Bn-1%2Cn%7Dx_%7Bn-1%7Dx_+n& alt=&f(x_1,x_2,\cdot ,x_ n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots +a_{nn}x_ n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_ n& eeimg=&1&&&/p&&p&称为二次型。&/p&&p&&b&2.1 二次型矩阵&/b&&/p&&p&实际上我们可以通过矩阵来表示二次型：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4d6cde544f1a74ccc2daf11c660b8329_b.png& data-rawwidth=&631& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&631& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4d6cde544f1a74ccc2daf11c660b8329_r.png&&&/figure&&p&更一般的：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4a33c2cbffece10d7a5e_b.png& data-rawwidth=&593& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&593& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4a33c2cbffece10d7a5e_r.png&&&/figure&&p&可以写成更线代的形式：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c01cfcabe74_b.png& data-rawwidth=&593& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&593& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c01cfcabe74_r.png&&&/figure&&p&所以有下面一一对应的关系：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c16658bfad849f41c7cff_b.png& data-rawwidth=&711& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&711& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c16658bfad849f41c7cff_r.png&&&/figure&&p&在线代里面，就是通过一个对称矩阵，去研究某个二次型。&/p&&p&&b&2.2 通过矩阵来研究有什么好处&/b&&/p&&p&&b&2.2.1 圆锥曲线&/b&&/p&&p&我们来看下，这是一个圆：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9cebbf28c7c15_b.png& data-rawwidth=&459& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9cebbf28c7c15_r.png&&&/figure&&p&我们来看改变一下二次型矩阵：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-702effd53c980e191b53dd549ddb7770_b.png& data-rawwidth=&459& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-702effd53c980e191b53dd549ddb7770_r.png&&&/figure&&p&哈，原来椭圆和圆之间是线性关系呐（通过矩阵变换就可以从圆变为椭圆）。&/p&&p&继续：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-adbe4aea5385ee_b.png& data-rawwidth=&459& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-adbe4aea5385ee_r.png&&&/figure&&p&咦，双曲线和圆之间也是线性关系。&/p&&p&其实圆、椭圆、双曲线之间关系很紧密的，统称为圆锥曲线，都是圆锥体和平面的交线：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f8d17a0bbb_b.jpg& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&230& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5f8d17a0bbb_r.jpg&&&/figure&&p&从上面动图可看出，一个平面在圆锥体上运动，可以得到圆、椭圆、双曲线，这也是它们之间具有线性关系的来源（平面的运动实际上是线性的）。&/p&&p&&b&2.2.2 规范化&/b&&/p&&p&再改变下矩阵：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-618a807b6d61dd60afe77ae7c533bfed_b.png& data-rawwidth=&459& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&459& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-618a807b6d61dd60afe77ae7c533bfed_r.png&&&/figure&&p&这个椭圆看起来有点歪，不太好处理，我们来把它扶正，这就叫做规范化。&/p&&p&如果我们对矩阵有更深刻的认识，那么要把它扶正很简单。&/p&&p&往下读之前，请先参看我在 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解特征值&/a& 下的回答。&/p&&p&首先，矩阵代表了运动，包含：&/p&&ul&&li&旋转&/li&&li&拉伸&/li&&li&投影&/li&&/ul&&p&对于方阵，因为没有维度的改变，所以就没有投影这个运动了，只有：&/p&&ul&&li&旋转&/li&&li&拉伸&/li&&/ul&&p&具体到上面的矩阵：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e97c0dfeffc3_b.png& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e97c0dfeffc3_r.png&&&/figure&&p&我把这个矩阵进行特征值分解：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b9c9ea3ee9b12acdbca6c6_b.png& data-rawwidth=&731& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&731& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b9c9ea3ee9b12acdbca6c6_r.png&&&/figure&&p&注意我上面提到的正交很重要，为什么重要，可以参看我在 &a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何理解特征值&/a& 。&/p&&p&对于二次型矩阵，都是对称矩阵，所以特征值分解总可以得到正交矩阵与对角矩阵。&/p&&p&特征值分解实际上就是把运动分解了：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0adfb121cb5bbb96bd0b1a_b.png& data-rawwidth=&748& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&748& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0adfb121cb5bbb96bd0b1a_r.png&&&/figure&&p&那么我们只需要保留拉伸部分，就相当于把矩阵扶正（图中把各自图形的二次型矩阵标注出来了）：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5abd5bbdd_b.png& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5abd5bbdd_r.png&&&/figure&&p&所以，用二次型矩阵进行规范化是非常轻松的事情。&/p&&p&&b&2.2.3 正定&/b&&/p&&p&正定是对二次函数有效的一个定义，对方程无效。&/p&&p&对于二次型函数， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx%5E+TAx& alt=&f(x)=x^ TAx& eeimg=&1&& ：&/p&&ul&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3E0%2Cx%5Cne+0%2Cx%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&f(x)&0,x\ne 0,x\in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 为正定二次型， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为正定矩阵&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Cgeq+0%2Cx%5Cne+0%2Cx%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&f(x)\geq 0,x\ne 0,x\in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 为半正定二次型， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为半正定矩阵&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3C0%2Cx%5Cne+0%2Cx%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&f(x)&0,x\ne 0,x\in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 为负定二次型， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为负定矩阵&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Cleq+0%2Cx%5Cne+0%2Cx%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&f(x)\leq 0,x\ne 0,x\in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 为半负定二次型， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 为半负定矩阵&/li&&li&以上皆不是，就叫做不定&/li&&/ul&&p&从图像上看，这是正定：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebdfb7cd6e79c1ef37b3_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebdfb7cd6e79c1ef37b3_r.png&&&/figure&&p&半正定：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-99b76aeceb983bf4a30f048_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-99b76aeceb983bf4a30f048_r.png&&&/figure&&p&不定：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-374e0eef3c259af60bef57c22beb937e_b.png& data-rawwidth=&617& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&617& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-374e0eef3c259af60bef57c22beb937e_r.png&&&/figure&&p&既然二次型用矩阵来表示了，那么我们能否通过矩阵来判断是否正定呢？&/p&&p&下面我分别给出了二次型的图形，以及对应的特征值矩阵的图形，你可以自己动手试试(3D窗口可以通过鼠标旋转，方便观察)，得出自己的结论：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-48d6eaed389_b.png& data-rawwidth=&1227& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1227& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-48d6eaed389_r.png&&&/figure&&br&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.matongxue.com/madocs/271.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&起码，我们可以观察出这个结论，特征值都大于0，则为正定矩阵。&/p&&p&&b&3 总结&/b&&/p&&p&在很多学科里，二次型都是主要研究对象，很多问题都可以转为二次型。线代作为一门数学工具，在二次型的研究中也发挥了很好的作用。&/p&
通过矩阵来研究二次函数（方程），这就是线性代数中二次型的重点。1 二次函数（方程）的特点1.1 二次函数最简单的一元二次函数就是：给它增加一次项不会改变形状： 增加常数项就更不用说了，更不会改变形状。1.2 二次方程下面是一个二元二次方程：给它增加…
行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，&b&理解只需要三步&/b&。这酸爽~&br&&br&&br&1，行列式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29& alt=&det(A)& eeimg=&1&&是针对一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&&的矩阵&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&而言的。&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&表示一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间中的一个新立方体。&br&&br&2，原来立方体有一个体积&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V_%7B1%7D& alt=&V_{1}& eeimg=&1&&，新的立方体也有一个体积&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V_%7B2%7D+& alt=&V_{2} & eeimg=&1&&。&br&&br&3，行列式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29& alt=&det(A)& eeimg=&1&&是一个数对不对？这个数其实就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V_%7B2%7D+& alt=&V_{2} & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdiv+& alt=&\div & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V_%7B1%7D+& alt=&V_{1} & eeimg=&1&&
，结束了。&br&&br&就这么简单？没错，就这么简单。&br&&br&&br&&br&所以说：行列式的本质就是一句话：&br&&br&&b&行列式就是线性变换的放大率！&/b&&br&&br&&br&&br&&br&理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！&br&&br&&br&&br&你先进行一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&变换，再进行一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&变换，放大两次的放大率，就是式子左边。&br&你把“先进行&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&变换，再进行&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&变换”定义作一个新的变换，叫做“&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=BA& alt=&BA& eeimg=&1&&”，新变换的放大律就是式子右边。&br&&br&然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：&br&&br&“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=3%5Ctimes+5%3D15& alt=&3\times 5=15& eeimg=&1&&&br&&br&翻译成线性代数的表达就是： &br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&&br&&br&这还不够！我来解锁新的体验哈~&br&&br&上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&那么很自然，你很轻松就理解了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28AB%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det(AB)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&so easy，因为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28AB%29%3Ddet%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&同时你也必须很快能理解了&br&&br&&b& “矩阵&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&可逆”
完全等价于
“&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%5Cne+0& alt=&det(A)\ne 0& eeimg=&1&&”&/b&&br&&br&因为再自然不过了啊，试想&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&是什么意思呢？不就是线性变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&把之前说的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！&br&&br&请注意我们这里说的体积都是针对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间而言的，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&& 就表示新的立方体在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间体积为0，但是可能在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n-1& alt=&n-1& eeimg=&1&&维还是有体积的，只是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。&br&&br&所以凡是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&的矩阵&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%7B-1%7D+& alt=&A^{-1} & eeimg=&1&&的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。&br&&br&&br&&br&当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：&br&&br&由
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=AA%5E%7B-1%7D%3DI+& alt=&AA^{-1}=I & eeimg=&1&&&br&&br&可知
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%5Ctimes+det%28A%5E%7B-1%7D++%29%3Ddet%28I%29%3D1& alt=&det(A)\times det(A^{-1}
)=det(I)=1& eeimg=&1&&&br&&br&这怎么可能啊~？ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&了，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%5E%7B-1%7D+%29& alt=&det(A^{-1} )& eeimg=&1&&等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5E%7B-1%7D+& alt=&A^{-1} & eeimg=&1&&不存在。所以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&自然不可逆。&br&&br&&br&&br&&br&YES！竟然真的过1000了，我来加点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：&br&&br&&b&傅里叶变换也可以求行列式！！！&/b&&br&&br&&br&是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&& 居然也可以求行列式！！！&br&&br&&br&首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%3D%5Csum_%7B%5Csigma+%5Cin+S_%7Bn%7D+%7D%5E%7B%7D%7B%7D++sgn%28%5Csigma+%29%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D+A_%7B%5Csigma+%28i%29i%7D+& alt=&det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{}
sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i} & eeimg=&1&&&br&&br&&br&然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A_%7Bij%7D+& alt=&A_{ij} & eeimg=&1&&了。我在痴人说梦吗？&br&&br&但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个&变换&，难道它也是“线性变换”？！！！&br&&br&&br&一检查，尼玛还真的是。所有函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&明明是函数啊，怎么就变成了向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&呢？向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&不是一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间中的箭头吗？长得也不像啊。&br&&br&&br&&br&其实 “所有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：&br&&br&1，向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&和向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&可以相加，并且有交换律&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%2Bg%28x%29%3Dg%28x%29%2Bf%28x%29& alt=&f(x)+g(x)=g(x)+f(x)& eeimg=&1&&&br&&br&2，存在零向量 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D0%28x%29& alt=&f(x)=0(x)& eeimg=&1&&，即处处值为零的函数&br&&br&3，任何一个向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&都存在一个与之对应的逆向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-f%28x%29& alt=&-f(x)& eeimg=&1&&，使得相加之和等于零向量 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%2B%28-f%28x%29%29%3D0%28x%29& alt=&f(x)+(-f(x))=0(x)& eeimg=&1&&&br&&br&以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。&br&&br&&br&&br&艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T&br&&br&&br&好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~&br&&br&一旦接受了向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！&br&&br&&br&接下来不妨思考一下，傅里叶变换 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&& 是把一个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成了另一个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29& alt=&F(k)& eeimg=&1&&，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成了另一个线性空间中的向量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29& alt=&F(k)& eeimg=&1&&吗？ 我整个人都咆哮了！！！&br&&br&&br&&br&而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%28v_%7B1%7D%2Bv_%7B2%7D%29%3DAv_%7B1%7D%2BAv_%7B2%7D+& alt=&A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2} & eeimg=&1&&
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%28k+%5Ctimes+v_%7B1%7D%29%3Dk%5Ctimes+++Av_%7B1%7D& alt=&A(k \times v_{1})=k\times
Av_{1}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&因为积分变换的线性性：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%2Bg%28x%29& alt=&f(x)+g(x)& eeimg=&1&&的傅里叶变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28f%28x%29%2Bg%28x%29%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx%2B%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+g%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx%3D& alt=&=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的傅里叶变换+&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%0A& alt=&g(x)
& eeimg=&1&&的傅里叶变换&br&&br&加法达成。当然数乘也轻松满足：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28kf%28x%29%29e%5E%7Bikx%7Ddx%3Dk%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&br&&br&&br&于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：&br&&br&&b&傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式&/b&&b&！！！&/b&&br&&br&&br&（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3De%5E%7B-x%5E%7B2%7D+%2F2%7D+& alt=&f(x)=e^{-x^{2} /2} & eeimg=&1&&，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）&br&&br&&br&&br&言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%29& alt=&det(F)& eeimg=&1&& 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？&br&&br&&br&&br&那阿哲就把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%29& alt=&det(F)& eeimg=&1&& 求出来给你看：&br&&br&很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cinfty+%5Ctimes+%5Cinfty+& alt=&\infty \times \infty & eeimg=&1&&矩阵表达式并套用公式。&br&&br&所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&有如下性质：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28A%29%5Ctimes+det%28A%5E%7B-1%7D+%29%3Ddet%28I%29%3D1& alt=&det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1& eeimg=&1&&&br&&br&如果把傅里叶变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&看做是一个无穷维的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。&br&&br&艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。&br&&br&若傅里叶变换是：
&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&br&&br&则它的逆变换是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+F%28k%29e%5E%7B-ikx%7Ddk& alt=&f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk& eeimg=&1&&
（说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）&br&&br&现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%29%5Ctimes+det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D1& alt=&det(F)\times det(F^{-1} )=1& eeimg=&1&& 为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。&br&&br&没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&\frac{1}{2\pi } & eeimg=&1&&，以及积分因子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bikx%7D+& alt=&e^{ikx} & eeimg=&1&&多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bikx%7D+& alt=&e^{ikx} & eeimg=&1&&多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&变成了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-i& alt=&-i& eeimg=&1&&，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&\frac{1}{2\pi } & eeimg=&1&&）。&br&&br&于是也就是说&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+det%28F%29& alt=&det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)& eeimg=&1&&&br&&br&结合之前的式子 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%29%5Ctimes+det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D1& alt=&det(F)\times det(F^{-1} )=1& eeimg=&1&&&br&&br&我们很容以得到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28F%29%3D%5Csqrt%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&det(F)=\sqrt{2\pi } & eeimg=&1&&&br&&br&（更严格来说更对称的傅里叶变换版本&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28k%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi+%7D+%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&的行列式为1）&br&&br&&br&我去，真的可以求啊。是的，你已经求出来了，虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现，但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋：&br&&br&&br&都说求导可以把一个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成另一个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28x%29& alt=&f'(x)& eeimg=&1&&，如果我们把“求导这个操作”&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&当做是一个线性变换，发现其实也是完全合理的：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=D%3A+++f%28x%29%5Crightarrow+f%27%28x%29& alt=&D:
f(x)\rightarrow f'(x)& eeimg=&1&&&br&&br&线性性完美地满足:
&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=D%3A+++k_%7B1%7D+f%28x%29%2Bk_%7B2%7D+g%28x%29%5Crightarrow+k_%7B1%7Df%27%28x%29%2Bk_%7B2%7Dg%27%28x%29& alt=&D:
k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)& eeimg=&1&&&br&&br&那么请问&求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢？&br&&br&&br&思考一下。。。&br&&br&&br&再思考一下。。。前方剧透请小心手滑！！！&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&。。。&br&&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=det%28D%29%3D0& alt=&det(D)=0& eeimg=&1&&&br&&br&&br&因为，它是不可逆的！&br&&br&你要问我兹次不兹次？我可以明确告诉你，不可逆的线性变换都是耍流氓，行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。&br&&br&（全剧终，其他文章连载继续。时间太少更新不够勤，请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现，也请海涵。）&br&&br&&br&★★★★★
知识创造乐趣，你是你的大学
&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.wanmen.org& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&wanmen.org&/span&&span class=&invisible&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
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行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~ 1，行列式det(A)是针对一个n\times n的矩阵A而言的。A表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换…
最近刚刚学了这些 来献丑了 &br&
首先你要理解特征向量的含义。&br&
把矩阵理解成一个空间，那么对于一个对称正定的矩阵A，它的特征向量就是对A所构成的空间的一个正交化。特征值大小就代表 空间在 该特征值对应的特征向量上的“影响”能力，即越大在对应特征向量这个基上，包含信息‘最多’。&br&
所谓合适的低维空间，举例说明，以128*128的图像说明，我们选最大的10个特征值对应的特征向量重构图像（如下图)&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6b739d71eb63e55e870ad_b.jpg& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&205& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&https://pic2.zhimg.com/6b739d71eb63e55e870ad_r.jpg&&&/figure&再将这10个图像叠加，就能得到和原图相差无几的图片，实际上这10个特征向量构成的空间包含了原图95%的能量。&br&&br&第二问参考&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive//lda-and-pca-machine-learning.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习中的数学(4)-线性判别分析（LDA）, 主成分分析(PCA)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&基本思想是&br&我们找一组基底，按照方差最大为原则，得到目标函数，用拉格朗日法，求该目标函数极值，这样发现该基底为特征向量时取得极值。 如&a data-hash=&cd8edd5ecd543cde29cd90& href=&//www.zhihu.com/people/cd8edd5ecd543cde29cd90& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@姚鹏鹏& data-hovercard=&p$b$cd8edd5ecd543cde29cd90&&@姚鹏鹏&/a&所说，参考博客中还提到了按照能量损失最小为原则，也得到了一样的结果。&br&&br&这里有一点&b&要注意&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b4f668ded1c75e1a9c255b_b.jpg& data-rawwidth=&269& data-rawheight=&54& class=&content_image& width=&269&&&/figure&&br&这里的S是原矩阵每一行Xi 自相关得到的矩阵的和，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%7D%5E%7B%7D%7B%7D++x_%7Bi%7Dx_%7Bi%7D%5E%7BT%7D+& alt=&\sum_{i}^{}{}
x_{i}x_{i}^{T} & eeimg=&1&&。那么按照之前的理论分析，我们应该求这个矩阵的特征值而不是协方差矩阵，有关教科书上理论推导也都是求这个矩阵特征值。&br&但是实际情况 都是求的协方差矩阵的特征值。&br&而他们之间的特征向量存在转换关系，如下式&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/82333bfd1ddaa8c32ffb241_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&80& class=&content_image& width=&354&&&/figure&&br&右边的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CPhi+& alt=&\Phi & eeimg=&1&&是协方差矩阵的特征向量 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CPsi+& alt=&\Psi & eeimg=&1&&是上面S矩阵的特征向量，U是原矩阵。&br&具体证明可参照 边肇祺的模式识别，其实就是svd分解。&br&这样一个好处就是，还是以128*128图片为例子，就不用去解128*128维的特征值，大矩阵的特征值计算很费时，转而求小规模矩阵的特征值，然后再转化回去。&br&你所说的&br&去均值的原矩阵*(去均值的原矩阵的协方差矩阵的特征向量作为列向量形成的矩阵）&br&实际上之后还要做一步归一化的过程，也就是上面那个公式。
最近刚刚学了这些 来献丑了 首先你要理解特征向量的含义。 把矩阵理解成一个空间，那么对于一个对称正定的矩阵A，它的特征向量就是对A所构成的空间的一个正交化。特征值大小就代表 空间在 该特征值对应的特征向量上的“影响”能力，即越大在对应特征向量这…
看到那么多带公式的，完善的推导，我写个带图的，公式少一些详细一些，但是不严谨的直观理解把，仅供参考。&br&&br&&b&一、先&/b&&b&从旋转和缩放角度，&/b&&b&理解一下特征向量和特征值的几何意义&/b&&br&从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A1.5+%26+0.5%5C%5C+%0A0.5+%26+1.0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}
1.5 & 0.5\\
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&&br&求这个变换的特征向量和特征值，分别是：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A0.85+%26+-0.53%5C%5C+%0A0.53+%26+0.85%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&U=\begin{bmatrix}
0.85 & -0.53\\
0.53 & 0.85
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&（列向量）&br&和&br&1.81，0.69&br&&br&用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/02d26c0f63edd30cd75faa3cfb21f47f_b.png& data-rawheight=&487& data-rawwidth=&562& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&562& data-original=&https://pic4.zhimg.com/02d26c0f63edd30cd75faa3cfb21f47f_r.png&&&/figure&&br&为方便演示笑脸图案在0,0和1,1围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。经过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A1.5+%26+0.5%5C%5C+%0A0.5+%26+1.0%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}
1.5 & 0.5\\
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/8f00cbd08d019eed528e2fc_b.png& data-rawheight=&325& data-rawwidth=&556& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&556& data-original=&https://pic1.zhimg.com/8f00cbd08d019eed528e2fc_r.png&&&/figure&可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。这就是特征向量的一般的几何理解，这个理解我们也可以分解一下，从旋转和沿轴缩放的角度理解，分成三步：&br&&br&&br&&b&第一步&/b&，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/8cab219fd933_b.png& data-rawheight=&506& data-rawwidth=&1370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1370& data-original=&https://pic4.zhimg.com/8cab219fd933_r.png&&&/figure&&br&这一步相当于用U的转置，也就是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=U%5E%7BT%7D& alt=&U^{T}& eeimg=&1&&进行了变换&br&&br&&br&&b&第二步&/b&，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A1.81+%26+0%5C%5C+%0A0+%26+0.69%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}
1.81 & 0\\
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/df8b69b3f9d598cae81d_b.png& data-rawheight=&428& data-rawwidth=&1147& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1147& data-original=&https://pic2.zhimg.com/df8b69b3f9d598cae81d_r.png&&&/figure&&br&&br&&b&第三步&/b&，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U就可以了&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/7f732e1ce6f2_b.png& data-rawheight=&369& data-rawwidth=&1126& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1126& data-original=&https://pic3.zhimg.com/7f732e1ce6f2_r.png&&&/figure&所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转--&沿坐标轴缩放--&转回来，的三步操作，表达如下：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%3DU+%5CSigma+U+%5E%7BT%7D+& alt=&T=U \Sigma U ^{T} & eeimg=&1&&&br&多提一句，这里给的是个(半)正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转--&沿坐标轴缩放--&旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%3DU+%5CSigma+V%5E%7BT%7D+& alt=&T=U \Sigma V^{T} & eeimg=&1&&&br&这个就是SVD分解，就不详细说了。&br&另外，这个例子是二维的，高维类似，但是形象理解需要脑补。&br&&br&&b&二、协方差矩阵的特征向量&/b&&br&PCA的意义其他答主都说得差不多了，一句话概括就是找到方差在该方向上投影最大的那些方向，比如下边这个图是用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A1+%26+0.5%5C%5C+%0A0.5+%26+1%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D& alt=&\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}& eeimg=&1&&作为些协方差矩阵产生的高斯分布样本：&br&：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/19ea169deb44ba6240fd_b.png& data-rawheight=&409& data-rawwidth=&671& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&https://pic2.zhimg.com/19ea169deb44ba6240fd_r.png&&&/figure&大致用个椭圆圈出来分布，相关性最强的（0.707，0.707）方向就是投影之后方差最大的方向。&br&接下来我们不尝试严格证明，而是从旋转和缩放的角度形象理解一下，我们可以考虑把这个分布也旋转一下，让长轴在x轴上，短轴在y轴上，变成如下：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/36ed9b9bffaa7bfad708_b.png& data-rawheight=&345& data-rawwidth=&544& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&544& data-original=&https://pic1.zhimg.com/36ed9b9bffaa7bfad708_r.png&&&/figure&然后再沿着x轴和y轴，除以标准差，缩放成标准差为1的单位分布&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/327ecefd51c178b4c1eb0af2_b.png& data-rawheight=&461& data-rawwidth=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&481& data-original=&https://pic3.zhimg.com/327ecefd51c178b4c1eb0af2_r.png&&&/figure&注意，在这个除以标准差的过程中，标准差最大的轴，就对应着原空间中，样本投影后方差最大的方向。接下来，假设这个分布中的样本为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_U& alt=&X_U& eeimg=&1&&，则我们可以把一开始的样本表示为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%3DULX_U& alt=&X=ULX_U& eeimg=&1&&&br&用这么别扭的表示方式主要是为了接下来推公式方便，所以接下来推个简单的公式：&br&协方差矩阵，用S表示，则有&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7Bij%7D%3DE%5Cleft%5B+%28X_i-%5Cmu+_i%29%28X_j-%5Cmu+_j%29+%5Cright%5D+& alt=&S_{ij}=E\left[ (X_i-\mu _i)(X_j-\mu _j) \right] & eeimg=&1&&&br&因为这个分布里两个维度的均值都是0，所以有&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7Bij%7D%3DE%5Cleft%5B+X_iX_j+%5Cright%5D+& alt=&S_{ij}=E\left[ X_iX_j \right] & eeimg=&1&&&br&所以&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D+XX%5ET& alt=&S=\frac{1}{N} XX^T& eeimg=&1&&&br&其中N是样本数，根据前面的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%3DULX_U& alt=&X=ULX_U& eeimg=&1&&，进一步展开这个公式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D+XX%5ET%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%28ULX_U%29%28ULX_U%29%5ET%3DUL%28%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7DX_U%7BX_U%7D%5ET%29L%5ETU%5ET& alt=&S=\frac{1}{N} XX^T=\frac{1}{N}(ULX_U)(ULX_U)^T=UL(\frac{1}{N}X_U{X_U}^T)L^TU^T& eeimg=&1&&&br&因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X_U& alt=&X_U& eeimg=&1&&是个单位方差的且无相关性的样本，所以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7DX_U%7BX_U%7D%5ET%3DI& alt=&\frac{1}{N}X_U{X_U}^T=I& eeimg=&1&&&br&另外L是个对角矩阵所以有&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3DULL%5ETU%5ET%3DUL%5E2U%5ET%3DU%5CSigma+U%5ET& alt=&S=ULL^TU^T=UL^2U^T=U\Sigma U^T& eeimg=&1&&&br&&br&这个公式上一部分已经说过了。&br&所以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma+& alt=&\Sigma & eeimg=&1&&对角线上的元素对应的就是方差的大小，而缩放倍数就是标准差的大小，也就是特征值的开根号，而U就是要沿着缩放的方向，也就是问题中投影的方向，正是特征向量。
看到那么多带公式的，完善的推导，我写个带图的，公式少一些详细一些，但是不严谨的直观理解把，仅供参考。 一、先从旋转和缩放角度，理解一下特征向量和特征值的几何意义 从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当…
题主厉害，我猜测目前还没有哪位天才敢说自己会计算所有的Jordan标准型（我猜写这个“型”应该也不算错），尤其是当基本域很复杂时。因为计算Jordan标准型的一部分过程等价于不可约多项式的分解，而众所周知这可不是什么简单问题。&br&&br&当然上面只是玩笑话。说到这里就不得不提到一个很经典的题目了，各种基础线性代数教材基本都会介绍复数域和实数域上的Jordan标准型，而且有些教材还会给出反例证明不存在整数Jordan标准型（比如李尚志的《线性代数》）。那么问题来了，我们知道矩阵元素一般属于除环，当然对于一般交换环我们也可以定义以其为元素的矩阵，那么是不是对所有的这样的矩阵，其上的Jordan标准型是存在的呢？&br&&br&当然不是。&b&定理：对于一个域来说，我们一定有Jordan标准型。&/b&&br&&br&这是一个很经典的近世代数的应用。一个著名的定理说，K[x]是主理想整环（PID）当且仅当K是域。根据PID上的模分解理论，任何有限生成K[x]模可以有形如&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K%5Bx%5D%5E%7B%5Coplus+n%7D+%5Coplus+%28%5Coplus_%7Bi%7D+%5Cfrac%7BK%5Bx%5D%7D%7B%28%7Bf_i%7D%5E%7Bs_i%7D%29%7D+%29& alt=&K[x]^{\oplus n} \oplus (\oplus_{i} \frac{K[x]}{({f_i}^{s_i})} )& eeimg=&1&&的唯一标准分解，其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f_i& alt=&f_i& eeimg=&1&&是K[x]中的不可约多项式。一个类比是有限生成阿贝尔群（即是有限生成Z模）的分解，它的形式和上面的分解一模一样。&br&&br&而分解Jordan标准型，等价于上述的PID模分解，因为K[x]模的作用在基本域上是固定的，所以整个多项式环的作用取决于x的作用。一旦x的作用确定，整个表示也就确定了。所以，如果我们考虑&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5Bx%5D%7D%7B%28f%29%7D+%2Cf%28x%29%3Dx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B...%2Ba_1x%2Ba_0& alt=&\frac{K[x]}{(f)} ,f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0& eeimg=&1&&（由于K是域，我们可以假设多项式首一），这是一个商模，所有的元素都可以用次数不超过&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctextrm%7Bdeg%7D%28f%29-1& alt=&\textrm{deg}(f)-1& eeimg=&1&&的多项式表示。从而&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2Cx%2Cx%5E2%2C...%2Cx%5E%7B%5Ctextrm%7Bdeg%7D%28f%29-1%7D& alt=&1,x,x^2,...,x^{\textrm{deg}(f)-1}& eeimg=&1&&构成其的一组基，我们只需要知道x在基上的作用就可以了。对于次数小于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctextrm%7Bdeg%7D%28f%29-1& alt=&\textrm{deg}(f)-1& eeimg=&1&&的基，x作用相当于左乘，而对于最后一项，x将其变为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D-...-a_0& alt=&-a_{n-1}x^{n-1}-...-a_0& eeimg=&1&&。从而这是K[x]在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K%5En& alt=&K^n& eeimg=&1&&上的作用，这等价于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K%5En& alt=&K^n& eeimg=&1&&上的线性变换，从而等价于n*n的矩阵。我们把它的矩阵形式写出来，是这个样子的：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D%0A0+%26+1+%26+0+%26...+%26+0+%5C%5C%0A0+%26+0+%26+1+%26...%26+0+%5C%5C%0A%26%26...%5C%5C%0A0%26...%260%260%261%5C%5C%0A-a_0%26-a_1%26...%26-a_%7Bn-2%7D%26-a_%7Bn-1%7D+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29%5C%5D+& alt=&\[ \left( \begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 &... & 0 \\
0 & 0 & 1 &...& 0 \\
0&...&0&0&1\\
-a_0&-a_1&...&-a_{n-2}&-a_{n-1} \end{array} \right)\] & eeimg=&1&&&br&&br&这个矩阵我们称为&b&Jordan矩阵&/b&，把它记作C。我们把下面这个矩阵记为M：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D%0A0+%26+...%260+%26+1++%5C%5C%0A0%26...%260%260%5C%5C%0A+%26+...+%26+++%5C%5C%0A0%26...%260%260%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29%5C%5D+& alt=&\[ \left( \begin{array}{cccc}
0 & ...&0 & 1
0&...&0&0\\
0&...&0&0\\
\end{array} \right)\] & eeimg=&1&&&br&&br&那么经过简单的计算，我们知道&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5Bx%5D%7D%7B%28%7Bf%7D%5E%7Bs%7D%29%7D& alt=&\frac{K[x]}{({f}^{s})}& eeimg=&1&&上的作用的矩阵形式是&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D%0AC+%26+M+%260%26+...+%26+0+%5C%5C%0A0+%26+C+%26+M+%26...%26+0+%5C%5C%0A%26%26...%5C%5C%0A0%26...%260%26C%26M%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29%5C%5D+& alt=&\[ \left( \begin{array}{ccccc}
C & M &0& ... & 0 \\
0 & C & M &...& 0 \\
0&...&0&C&M\\
\end{array} \right)\] & eeimg=&1&&&br&&br&这个矩阵被称为&b&Jordan块&/b&。我们最先的定理说，任何有限生成K[x]模都有唯一标准分解。从而所有方阵A都同构于若干个Jordan块的直和，我们把这个矩阵称为A的&b&Jordan标准型&/b&。&br&&br&在K是复数域的情况下，由代数基本定理我们知道，所有复数域上的不可约多项式都是一维的，从而所有的Jordan矩阵都是1*1矩阵，所以复数域上的Jordan标准型是&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccccccccccc%7D%0A%5Clambda_1+%26+1+%260%26+...+%26+0+%5C%5C%0A0+%26+%5Clambda_1+%26+1+%26...%26+0+%5C%5C%0A%26%26...%5C%5C%0A0%26...%260%26%5Clambda_1%261%5C%5C%0A%26%26%26%26%5Clambda_2%261%260%26...%260%5C%5C%0A%26%26%26%26%26%26...%5C%5C%0A%26%26%26%26%26%26%26%26%5Clambda_2%5C%5C%0A%26%26%26%26...%5C%5C%0A%26%26%26%26%26%26%26%26%26%26%26%5Clambda_s%0A%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%29%5C%5D+& alt=&\[ \left( \begin{array}{ccccccccccccc}
\lambda_1 & 1 &0& ... & 0 \\
0 & \lambda_1 & 1 &...& 0 \\
0&...&0&\lambda_1&1\\
&&&&\lambda_2&1&0&...&0\\
&&&&&&...\\
&&&&&&&&\lambda_2\\
&&&&&&&&&&&\lambda_s
\end{array} \right)\] & eeimg=&1&&&br&（当然副对角线上不一定有1）。&br&&br&如果对Jordan标准型感兴趣的人，一定知道对于有理数我们也是有Jordan标准型的，形式可仿照上面写出。而Q上的不可约多项式分解到现在还没有完整的判别定理，故而对于任何有理数矩阵的Jordan标准型，没有任何机器算法。&br&&br&但至少我们可以给出一个可行的算法，我们把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=xI-A& alt=&xI-A& eeimg=&1&&称为A的特征矩阵，容易看出，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7BA%7D+%5Cunderset%7B%5Cpsi%7D%7B%5Crightarrow+%7D%5Ctilde%7BA%7D+%5Cunderset%7B%5Cphi%7D%7B%5Crightarrow+%7DK%5En%5Crightarrow0& alt=&\tilde{A} \underset{\psi}{\rightarrow }\tilde{A} \underset{\phi}{\rightarrow }K^n\rightarrow0& eeimg=&1&&&br&是正合列，其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpsi%3DxI-A& alt=&\psi=xI-A& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cphi%3DA& alt=&\phi=A& eeimg=&1&&是作用矩阵。现在，由于我们直到核与余核在相抵下不变，我们只需要找到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=xI-A& alt=&xI-A& eeimg=&1&&的相抵标准型，从而也就知道了A的Jordan标准型。我们把这个相抵标准型称为A的&b&Smith标准型&/b&。&br&&br&在很多教科书里都会讲到如何通过Smith标准型得到矩阵的不变因子组和初等因子组，从而得到A的Jordan标准型，在这里我就不赘述了。需要提醒的是，这个方法对于任何域都是可用的。
题主厉害，我猜测目前还没有哪位天才敢说自己会计算所有的Jordan标准型（我猜写这个“型”应该也不算错），尤其是当基本域很复杂时。因为计算Jordan标准型的一部分过程等价于不可约多项式的分解，而众所周知这可不是什么简单问题。 当然上面只是玩笑话。说…
注1：我本人并不擅长代数，所以当年花费了不少功夫学习线性代数底层知识，刷了不少题，算是在线性代数方面身X百战了。今看到知乎上真正针对本科低年级的代数文章太少了，勉强写一写，算是新年礼物吧。限于本人代数水平有限，文章不妥之处难免。补充：可能我推荐的资料对大部分人来说偏难，所以圈定目标读者群体为985院校理工科生吧。&br&&br&看到知乎上很多大一新生学习线性代数很辛苦，即然有缘，作为一名掌（xue）者（zhang），有必要给学弟学妹们和其他读者分享一点人生的经验，相信本文也适合大二大三本科生。&br&&br&注2:知乎上有些人试图去认识线性代数所谓本质，为此似乎分出两派。一类是过度直观派，以工科生为主，默认的本质“定义”似乎就是几何直观。另一类以数学系抽象派为主，他们更倾向于从Abel群甚至模的角度理解线性代数本质。我在这里不想探讨谁更本质，只想谈谈这些年与线性代数打交道的体会，我认为线性代数是一种具体语言，而不是抽象语言，而语言必须附着于具体载体才有价值（比如社会领域的语言与文化）。简言之，把一个应用的或抽象的问题最后化简到用线性代数语言来讨论。有限元法在实际应用中，最后化简为解大规模线性方程组（自然交给计算机），其它计算类工程问题也类似。而在所谓纯数学领域，比如微分拓扑里的Donaldson对角化定理，可以说属于四维流形上的二次型理论。最后把膜空间转换，号差协边不变性等化归到讨论正定矩阵对角化问题上---到这一层面相当于工科大一线性代数水平。虽然有争议，但在个人来看，真正体会到线性代数的深刻性只有放到具体问题中，而不是什么几何直观，膜之类。&br&&br&以上讨论太哲学化，还是说些具体的吧。先说三件事：&br&1、线性代数本身入手难。线性代数有着现代数学主流典型的抽象化和公理化痕迹，但适应其膜式之后会发现其套路并不复杂，可这个过程一般至少需要一年。想学的深一些、透彻一些则可看看蓝以中的《高等代数简明教程》和《线性代数应该这样学》，这两本书是公认的国内线性代数中文好教材。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-885d55aab699d71b1f30a90_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-885d55aab699d71b1f30a90_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bd7b72e32dacf2e3d04511_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bd7b72e32dacf2e3d04511_r.jpg&&&/figure&&br&前边两本属于soft风格线代教材，而喜欢啃硬线性代数风格教材的同学则可以看下本书：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-6f4bfd458b27_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-6f4bfd458b27_r.jpg&&&/figure&2、线性代数应用范围超出新手们的想象，即使限制在数学领域。这方面可以参考我的知乎文章《线性代数在数学领域中的一些微小应用例子》&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&知乎专栏&/a&，例子范围从高中立体几何的异面直线夹角到微分拓扑的Donaldson对角化定理。体现了线性代数语言与思想的深刻性。写这篇文章是为了纠正一些偏好所谓纯数学的新手对线性代数的偏见，在思想上告诉他们为什么线性代数这样红。&br&&br&注3：插一个八卦，下图中四维流形上的二次型理论的Donaldson对角化定理是D在25岁读博二期间证明的，四年后，D凭借该定理荣获1986年菲尔兹奖，当年D的获奖年龄为29岁。可以看出，定理最后化简成线性代数问题。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2e7e2ae86fd868bcebac_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2e7e2ae86fd868bcebac_r.jpg&&&/figure&&br&3、从应试角度讲，想考高分，做一些质量高的试题，看一些高质量辅助教材很重要。对此给出一个可操作性方法：a读书，推荐一本线性代数辅助读本《高等代数.定理.问题.方法》（这是一本牛书，工科的可把多项式那部分pass）。B站有些线性代数国外公开课视频和考研线性代数讲座视频也是可以看看的。&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cf60b821c8fa603fbb89c4_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cf60b821c8fa603fbb89c4_r.jpg&&&/figure&&br&b做题。本校历年期末考试题必做，此外建议把最近十年考研数学一和数学三中的线性代数大题系统做一遍，约40道试题。若能做到上述内容，线性代数上90分斯斯碎。如果你是数学系的本科生，则可以做做北大科大南开浙大它们的高等代数研究生考试题。如果你是题霸的话，可以鼓起勇气去刷丘维声那两本砖头高代习题集（可以当作高代字典），丘爷爷的这本高代习题集可是与数分中的裴礼文习题集齐名。&br&&br&当然了，下面说点非主流的次要的话。对于想把线性代数学得透彻的，肯定要进入高等代数领域，其实两者差别纯粹人为划分（美苏）。除了前边推荐的著名辅助读本《高等代数.定理.问题.方法》外，再补充推荐一本网友xida写的《高等代数葵花宝典》电子书（好像有N个版本），相当于一本高代学习笔记。作者是隔壁数院的一位助教，这是他在宝典里写的番外话：&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d3dcf2b5ccfaab_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d3dcf2b5ccfaab_r.jpg&&&/figure&&br&我想，每个喜欢数学的人总会碰见几个类似蓝明月那样的喜欢数学的女孩吧。当然，这跑题了，还是谈谈宝典吧。作者是一个学霸，但不是学神。其实，只要大家细想一下，在大一大二这样的基础课程中，优秀的教材或文章大多出自学霸之手，而非学神。高手间也类似，比如我最熟悉的数学分析教材这块，我就觉得教材优秀度：Zorich&Rudin&Tao。其实张筑生老师也是一个例子，他并不是学神。&br&&br&下面是宝典节选内容：&br&宝典栗子1&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d9a4a3577fce57622dca_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d9a4a3577fce57622dca_r.jpg&&&/figure&&br&宝典栗子2&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f24bdc1b82fc178f717f6e6ca994cf2d_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f24bdc1b82fc178f717f6e6ca994cf2d_r.jpg&&&/figure&补充：下图是高代葵花宝典作者xida写的一篇关于约当标准型的深刻长文，转载自zyymat的数学博客：&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c8de766ecfa8_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c8de766ecfa8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-23830affc594ea95faa5c60dbedfd6f9_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-23830affc594ea95faa5c60dbedfd6f9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f2e33c783c4bafcfcdd158e5_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f2e33c783c4bafcfcdd158e5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c37a826dd5aeec90f44452e_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c37a826dd5aeec90f44452e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a2c24fbe086_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a2c24fbe086_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic2.zh