观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题
练习题及答案
观察下列图形： 如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：（1）设第n个图形和第n-1个图形中所有三角形的个数分别为an、an-1，问：它们之间有什么数量关系？请写出这个关系式。 （2）请你用含n的代数式来表示an，并证明你的结论。
题型：解答题难度：偏难来源：竞赛题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
解：（1）按题中图形的排列规律可得：an =3an-1 +2 （2）由（1）得：an =3an-1 +2 ，an-1 =3an-2 +2 ，             两式相减得： an -an-1=3（an-1-an-2）                          ①             当n分别取3、4、5、…、n时，由①式可得下列（n-2）个等式：              a3-a2=3（a2-a1）, a4-a3=3（a3-a2）, a5-a4=3（a4-a3）,…, an-an-1=3（an-1-an-2）              显然an-an-1≠0，        以上（n-2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：        an-an-1=3n-2 (a2-a1)                                                        ②          ∵ a2-a1=17-5=12，由（1）又可知an-1=（an-2），         将它们代入②式即得：an=2×3n-1
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初中一年级数学试题“观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题”旨在考查同学们对
看图形找规律、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
看图形找规律
所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。随着新课标的改革，看图形找规律的题目考的越来越频繁，通常，做这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。只有抓住了变量，才能抓住解决问题的关键。
看图形找规律的解题方法：
一、基本方法&&看增幅
(一)如增幅相等(此实为等差数列)：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28&&，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)&6=6n-2
(二)如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅;
2、求出第1位到第第n位的总增幅;
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
(三)增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.
(四)增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
(一)标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，&&。试按此规律写出的第100个数是什么。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，&&。
序列号： 1，2，3， 4， 5，&&。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
(二)公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。
例如：1，9，25，49，( )，( )，的第n为(2n-1)2
(三)看例题：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n
(四)有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
(五)有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
(六)同技巧(四)、(五)一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
(七)观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
看图形找规律解题思路
一、单个地看。一般找规律的题都和他的项数(就是他是第几个数有关)，你就先一个一个看，一般找倍数或者和平方数有关。
我以前遇到的题什么1 3 8 15...或者2 5 10 17...还有什么1 3 7 15 31...这些看似都没什么关系,其实都是123456的平方丫，或者2的次方之类的。做多了就回有手感了- -...这是实话。
二、一列一起看，就是每个数之间是有关联的。
比如第二个数是第一个数的多少多少倍或者多少多少次方呀在加减多少多少的。这类我上了初中就接触得很少了，小学的时候经常遇到。
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找规律填数2 5 6 7 11 128 10 （）4 18 26 10 12 9 20 13请说出答案和规律.规律可能纵向,也可能横向.
米莫的光0087
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这个是把第一排的一个数加上第二排相对应的数的一半,然后得出第三排相对应的数如：2+8的一半=2+4=6；5+10的一半=5+5=10所以6+X的一半=12 X=12
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12. 这麼简单
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规律什么的都是骗人的
数学规律都是成立的吗？数学规律能来做推理的依据吗？
本文作者:matrix67
永远不要拿规律当作推理的依据，这是数学中一个非常危险的错误！大多数时候，寻找规律都是有帮助的；但就有这么一些极端的例子，能成立很久的规律竟然是错误的。该证明的还是要老老实实证明，投机取巧总会有倒霉的时候。
貌似整数的数
你知道吗：
哇，小数点后三位都是 9 ，该不会整个数正好就是 20 吧？其实不然：
这还不牛。我们有更像整数的数：
直到小数点后第 6 位才出现第一个不是 9 的数。
小数点后面有连续 9 个 9！
质数生成公式？
1772 年，大数学家欧拉（Euler）发现，当 n 是较小的正整数时，代入 n 2 + n + 41 得到的总是质数。事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, , , , , 1601
这些数全都是质数。第一次例外发生在 n = 40 的时候，此时 40 2 + 40 + 41 = 40 2 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。一直要算到 n = 40 ，才能破除这个“伪规律”。
这也太巧了吧
定义数列 s(1) = 8，s(2) = 55，并且 s(n) 等于最小的使得 s(n)/s(n-1) & s(n-1)/s(n-2) 的数。这个数列的头几个数是：
8, 55, 379, , 1, ,
, , , , …
这个数列似乎符合一个简单的四阶递推方程：s(n) = 6·s(n-1) + 7·s(n-2) - 5·s(n-3) - 6·s(n-4)。事实上，数列的前 11056 项一直与这个递推方程相吻合。到了第 11057 项（此时数列里的数已经有上千位了），才第一次出现例外。
千万不要妄下结论
圆周上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？
上图显示的就是 n 分别为 2、3、4 的情况。可以看到，圆分别被划分成了 2 块、4 块、8 块。规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。
事实上真的是这样吗？让我们看看当 n = 5 时的情况：
果然不出所料，整个圆被分成了 16 块，区域数依旧满足 2 n-1 的规律。此时，多数人都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了。偏偏就在 n = 6 时，意外出现了：
此时区域数只有 31 个，推翻了我们之前的猜想。根据规律妄下结论，终究是会翻船的。
最坚挺的猜想
下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果：
4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
其中，4、6、9、10 包含偶数个质因子，其余的数都包含奇数个质因子。你会发现，在上面的列表中一行一行地看下来，不管看到什么位置，包含奇数个质因子的数都要多一些。1919 年，匈牙利数学家波利亚（George Pólya）猜想，质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说，对于任意一个大于 1 的自然数 N，从 2 到 N 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的波利亚猜想。
波利亚猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数，必然都已经提前经历过了“有奇数个质因子”这一步。不过，这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到了 1958 年，英国数学家哈赛格庐乌（C. B. Haselgrove）发现，波利亚的猜想竟然是错误的。他证明了波利亚猜想存在反例，从而推翻了这个猜想。不过，哈赛格庐乌仅仅是证明了反例的存在性，并没有算出这个反例的具体值。哈赛格庐乌估计，这个反例至少也是一个 361 位数。
1960 年，谢尔曼·莱曼（R. Sherman Lehman）给出了一个确凿的反例：N = 906 180 359。而波利亚猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的：N = 906 150 257。也就是说，从 2 一直数到 9 亿多，波利亚猜想看起来都是成立的！
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文章标题犯了和文章内容同样的错误。因为举了几个例子，就得到结论说 规律“都”骗人 了，瓦哈哈哈
所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2
软件工程师，小众软件爱好者
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2曾经做过这样一道题. 原题不记得了 大概是这个样子的.1 , 2 , ( ). 让填写括号里的数. 填了3 (+1关系). 结果被判错 .答案是4.......(X2关系) - -|||
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全部评论(99)
谁这么闲的 算这些玩意!~可见, 破除规律 是需要一定功力的...
是概括规律是需要一定勇气的……就像数学家严谨地时候只会说哥德巴赫猜想一样……而不会哥德巴赫规律……话说这个到底证明完了没 从小学就一直听说陈景润先生临门一脚 到今天全世界也没有进展么……
所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2
本来通过经验（或者说前面几项结果）得到的规律就不一定是正确的，还是得有表达式形式的证明才能说的通，比如用数学归纳法。。。
2L说的好呀!!!
Perrin数列也是一个漂亮的例子：令P(0)＝3,P(1)=(0),P(2)=2,P(n)=P(n-3)+P(n-2)前几项为:3,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39…规律：当且仅当n为素数时，n整除P(n)
n 2 + n + 41 ,应该一眼就能看出来40 2 + 40 + 41 = 40 2 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41吧。。。
看个更巧合的 E^(Pi*Sqrt(163))=262,537,412,640,768,744?
理论物理博士，科学松鼠会成员
公务员要是考这个...全部吐血！
数学也会糊弄人啊，哈哈哈！！！
分圆那个高三时被坑过...
数学/化学爱好者
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2对，拉格朗日插值多项式直接秒杀之……
引用 Ekoms 的回应：引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2对，拉格朗日插值多项式直接秒杀之……这……您这习惯，应该学过数学竞赛吧……
书架上就有一本George Pólya 的书 《How to solve it 》
文章标题犯了和文章内容同样的错误。因为举了几个例子，就得到结论说 规律“都”骗人 了，瓦哈哈哈
确实如此，有时候可以搞出好多规律，天知道哪个是出题者的答案引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2
引用 小乐 的回应：文章标题犯了和文章内容同样的错误。因为举了几个例子，就得到结论说 规律“都”骗人 了，瓦哈哈哈这个是证否吧？给出反例就可以的吧？
数学中不能够正面证明的，很多时候本身就是存在反例呀
n^2 + n + 41这个，n=41时也肯定不行，因为必然能被41整除。
有意思嗯以前好像看过把圆分割成几部分的题目
软件工程师，小众软件爱好者
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2曾经做过这样一道题. 原题不记得了 大概是这个样子的.1 , 2 , ( ). 让填写括号里的数. 填了3 (+1关系). 结果被判错 .答案是4.......(X2关系) - -|||
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2完全同意……
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2这么2的题目，我小时候竟然做得不亦乐乎。。。
引用 帝归 的回应：所以每次看到有列出4、5个数字然后要求找规律写出下一个数字的题我都觉的很2初中数学有时候就是坑爹~
神奇的数学
AMO物理博士生
发现楼主很喜欢number和geometry。。。不知以前写过没有。。可以介绍下graph theory，最近由于在computer science的活跃，这科目还是经常听人提到的。。。比如有名的four-color theorem，能够写出来给大家分享下应该还挺有意思的。。。：D
全是数字 看的头疼
我想知道分圆的那题的结果能用公式表示么？
最后那个确实坚挺
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