2010重点中学老师指点高考数学复习：抓住高分题
2010重点中学老师指点高考数学复习：抓住高分题
　　每次练习之后建立失分档案　　孙惠华(杭州第二中学)　　明确方向，减轻备考负担　　认真学习 2010浙江省考试说明中的要求，对比教学内容，对不作要求的内容(如反函数、定积分、几何概率等)不必花费时间与精力。对重点主干知识要加强理解，多关注知识的形成过程，感悟数学思想，揭示数学本质。另外，新课程改革的一大功能体现在给学生减负，因此，复习要注重基础，不要盲目提高复习要求，注重对通法的理解和掌握，要注重回归课本。　　注重反思，提高训练效率　　面对一套套的模拟卷，无奈的学生只好忙于应付。固然，适当的训练是必要的，但我希望老师要以“仁”为本，注重引导学生养成反思的习惯！训练后，要反思在解题过程中运用了哪些知识点、分析题设条件与知识点之间的联系，加深对知识的理解；训练后，要注意反思所用的方法，认真总结规律，以达到举一反三的目的，这样有利于强化知识的理解和运用，提高知识的迁移能力；训练后，回忆与该题同类的习题，进行对比，分析其解法，找到解这一类题的技巧和方法，从而达到触类旁通的目的；训练后，更要反思题中易混易错的地方，总结经验，提高辨析错误的能力。这样可以避免太多的重复，充分发挥训练功能，提高训练的效率。　　调节心理，保持良好状态　　平常比较优秀的考生更需要质的提高(回归学科思想与精神品质)，平常处于中游的考生需要回味和记忆自己的学习成果，增添考试的信心，平常较为落后的考生更需要回归基础，力争最佳增长。每个考生都要摆正自己的位置，不要盲目想当然，努力调节心态，多交流、多总结、多记忆，相信 “功到自然成”，只有抓好基础，才可能超水平发挥。　　科学备战，做好规定动作　　临近，考生应注重做好几个规定的动作。首先每次训练或考试之后，认真分析失分点，计算上是否失分？书写表达是否失分？知识能力上是否失分？要建立自己的失分档案，以便及时反思，寻求应对策略，要关注非智力因素失分；其次每天规定一定的时间看书，每周写点复习的心得体会；最后别忘了定期对IB 的两个模块的内容进行复习，重点关注考纲中理解和掌握的内容，重点掌握绝对值不等式、基本不等式、柯西不等式的应用及不等式证明的基本方法，重点理解极坐标的意义、直线的参数方程、参数思想方法的应用。　　常用的数学思想要灵活运用　　李丽丽(杭州学军中学)　　注重一些重点和热点的专题复习　　在知识网络交汇点设计综合试题，是试题的主要特点之一。建议可从以下方面进行专题训练：(1)三角函数与平面向量的综合问题；(2)概率综合题；(3)立体几何与向量的综合；(4)解析几何与向量的综合；(5)函数、导数与不等式的综合；(6)选择题的解法；(7)探索性问题；(8)高考数学创新题；(9)数学思想方法专题。　　对于高考中必考的内容，难度又不太大的，主要是以专门训练为主，争取多得分，例如：选择题的训练，重点在答题的策略性、合理性和迅速性；三角函数的训练，突出考查三角函数的图像和性质以及三角公式的应用和解三角形，常常与平面向量相结合。近几年，这类题大部分出现在解答题第一题的位置，难度不大，在第一轮复习的基础上，再集中训练，就可以有较大的提高；概率解答题一般出现在第二题，难度也不大，但审题很重要，准确理解和把握题意是关键，一旦审题出错就会“失之毫厘，谬以千里”；立体几何的训练、试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算。　　认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法　　数学解题的基本方法主要有：分析法、综合法、配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、归纳法等。高中常用的数学思想有：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。　　(1)函数与方程思想：函数与方程是高中数学中最为重要的内容，是历年来高考考查的重点。函数与方程思想主要应用于求值、解(证)不等式、解方程、求参数范围、含参方程或不等式的讨论、构造函数、方程或不等式求解问题等等。　　(2)数形结合思想：数形结合思想是应用数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，“以形助数，以数解形”，实现代数与几何的互化，特别在解选择、填空题时往往发挥奇特功效。数形结合往往借助：① 函数与图像的对应关系；② 方程与曲线的对应关系；③数与式的结构具有明显的几何意义。　　(3)分类讨论思想：将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题。分类讨论的实质是“化整为零、积零为整”。科学分类的基本原则是不重不漏，合理，便于讨论。科学分类的步骤是：发现分类讨论的诱因、找到分类的目标、确定分类的标准、分类讨论、归纳小结得出结论。　　(4)转化与化归思想：在研究和解决一些数学问题时常采用某种手段进行命题变换，以达到解决问题的目的。主要有以下几个原则：①复杂问题简单化原则；②抽象问题具体化原则；③高维问题低维化原则；④正难则反原则。常见的转化方法有：直接转化法、换元转化法、数形结合转化法、构造模型转化法、类比转化法、等价命题转化法、特殊化法、补集法等。　　重视中档题训练，培养良好的学习习惯　　重视审题训练。在高考中，往往是审题决定成败。建议同学们在审题时首先弄清问题的已知条件和未知条件，其次注意题目的隐含条件，然后弄清各条件与目标之间的相互联系，列出关系式求解。对题目中的特殊条件可用笔圈出，以提醒自己。若时间允许，在解题完成后可再审一次题，以防遗漏。　　重视中档题训练。容易题和中档题是试卷的主要构成部分，是得分的主要来源。不要过多做难题，而应定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率。　　《参考试卷》新课程新增内容约占13%　　周顺钿(杭州高级中学)　　研究2009年考题，明确“怎么考”　　2009年浙江省高考数学试题作为我省实施新课程以来的开局之作，试题严格遵循省普通高考考试说明，立意新，重心低，情景朴实，选材源于教材而又高于教材，宽角度、高视点、多层次地考查了数学理性思维。试题既重视考查数学基础知识和基本技能，又能够考查考生继续学习所必须具备的数学素养和潜能。　　试题在基本覆盖所有章节内容的前提下，注重主干知识的考查，在解答题中考查的三角恒等变换和解三角形、概率统计、空间线面关系、解析几何、函数与导数等内容，均是高中数学的重点知识，做到了“重点内容重点考”，层次要求恰当，试题均可用常规常法和通性通法来解决，淡化特殊技巧，但是考生要完整准确地解答，则需要有扎实的双基和良好的数学素养。另外，试题中对数学思想方法的考查处处渗透，贯穿始终。特别强化了函数与方程的数学思想和转化化归思想的考查。新课程新增内容的考查充分，难度不大，而被新课程删减的内容试题中一律没有出现，有利于师生更新观念，推进新课程的改革。客观题知识点清楚明确，不堆砌组合。　　研读《考试说明》，明确“考什么”　　浙江省教育考试院编写的《考试说明》是省自行命题学科高考命题的直接和主要依据，也是考生复习迎考的指南。2010年的《考试说明》新鲜出炉，对试卷构成的结构、题型的变化等，需认真研读，细心揣摩。　　《参考试卷》涉及内容有集合、常用逻辑用语、函数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、计数原理、概率与统计、导数及其应用、算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数引入等知识，试题覆盖了高中数学的主体内容，其中新课程新增内容约占13%，在填空题中设计了三角测量的应用问题。多年来支撑高中数学学科知识的常考常新的主干知识，如函数、三角函数、平面向量、不等式、立体几何、解析几何、概率与统计、导数及其应用，仍然是考查的重点。注重全面考查与突出双基相结合，命题转换、分类讨论、数形结合等数学思想方法渗透在不同的试题之中。　　关注《参考试卷》理科压轴题的变化。2009年浙江卷理科压轴题考查以导数为主要解题工具的三次函数问题，而今年《参考试卷》理科压轴题则变成了以考查函数与方程思想为主的分式函数问题，主要考查函数的基本性质、基本不等式、零点存在性等基础知识，解答过程不涉及导数工具。但适当换元后，问题可转化为反比例函数的图像与以(1，1)为圆心的圆之间的位置关系，这就是问题的几何背景，可以利用导数工具予以解决。　　合理安排时间，明确“做什么”　　在进行知识专题复习时，一是要根据《考试说明》的要求来梳理知识，确保没有知识盲点；二是要针对高考题型抓住主干知识综合专题的复习，加强各板块知识的综合。　　为提高复习效率，还需注意以下几点：(一)加强复习的计划性。由于第二轮复习知识的前后跨度比较大，方法综合性比较强，这就要求考生要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。(二)加强阅读分析能力的培养。上课时要认真体会老师对问题的分析过程 (读题、审题)，密切注意老师是怎样寻找解决问题时的 “突破口和切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高分析问题的能力。(三)适度进行强化训练。定时定量做一些客观题和中档题，训练速度和正确率，适量做一些综合题，提高解题思维能力。(四)注意答题规范训练。计算、推理、画图、语言表达，这些必须做得非常规范，非常熟练，减少失分。(五)注意防止以下问题：(1)防止简单重复复习，不求深度思考。(2)防止片面追求解题技巧。(3)防止机械地就题做题，不能触类旁通，举一反三。(4)防止眼高手低，简单的不想做或做得不规范，难的又做不出来或害怕做。　　此外，新课程实施后，文理差异十分明显，要正视文理考生在学习内容、学习能力、学习效用的差异。理科注重考查推理论证与理性思维，文科侧重于简单的推理方法和数值运算，在抽象思维、代数运算、空间想象、问题解决等方面，与理科相比应适当降低要求。
　　分值高的大题要积极争取分段得分　　朱豪(杭州第十四中学)　　精做题，学会举一反三　　参考书上例题不能看一下就过去了，因为看时往往觉得什么都懂，其实自己并没有理解透彻。所以，在看例题时，把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到，该注意什么，哪一种方法更好，还有没有另外的解法。　　数学能力的提高离不开做题，“熟能生巧”这个简单的道理大家都懂。但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到很多题。一节课与其抓紧时间大汗淋淋地做二三十道考查思路重复的题，不如深入透彻地掌握一道典型题。例如深入理解一个概念的多种内涵，对一个典型题，尽力做到从多条思路用多种方法处理，即一题多解；对具有共性的问题要努力摸索规律，即多题一解；不断改变题目的条件，从各个侧面去检验自己的知识，即一题多变。　　优化解题，学会节省做题时间　　解题上要抓好三个字：数，式，形；阅读、审题和表述上要实现数学的三种语言自如转化(文字语言、符号语言、图形语言)。要重视和加强选择题的训练和研究。不能仅仅满足于答案正确，还要学会优化解题过程，追求解题质量，少费时，多办事，以赢得足够的时间思考解答高档题。要不断积累解选择题的经验，尽可能小题小做，除直接法外，还要灵活运用特殊值法、排除法、检验法、数形结合法、估计法来解题。在做解答题时，书写要简明、扼要、规范，不要“小题大做”，只要写出“得分点”即可。　　分析试卷，将存在问题一一分类　　每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类。(1)遗憾之错。就是分明会做，反而做错了的题。(2)似非之错。记忆的不准确，理解的不够透彻，应用得不够自如；回答不严密、不完整；第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了；一道题做到一半做不下去了等等。(3)无为之错。由于不会，因而答错了或猜的，或者根本没有答。这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。原因找到后就消除遗憾；弄懂似非；力争有为。切实解决“会而不对、对而不全”的老大难问题。　　养成好习惯，积极争取“分段得分”　　审题可采取“一慢一快”战术，即审题要慢，要看清楚，步骤要到位，动作要快，步步为营，稳中求快，立足于一次成功。将平常的考试看成是积累考试经验的重要途径，把平时考试当做高考，从各方面进行不断地调试，逐步适应。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤＝丢分。根据解答题评卷实行“分段评分” 的特点，你不妨做个心理换位，根据自己的实际情况，从平时做作业“全做全对”的要求中，转移到“立足于完成部分题目或题目的部分”上来，积极争取“分段得分”，尽量避免整道大题一分不得。当然考试中应统筹安排时间，采用先易后难、先熟后生的策略应试，不要在一道题上花费太多时间，有时放弃可能是最佳选择。　　每天向准确迅速规范的解答要求靠拢　　邸士荣(杭州第四中学特级教师)　　突出数学内容的重中之重　　扎实的数学基础知识，是学好数学的关键，更是应对高考命题风云变化而立于不败之地的基础。经过第一轮的全面系统复习，同学们都能较全面系统地掌握高中数学的基础知识、基本技能和基本方法，但历年的高考阅卷信息表明：考生由于概念不清，基本运算不正确，基本思想方法不熟练而失分的情况十分严重。在复习过程中每个学生对每一知识点掌握的程度不一样，存在的问题也不同，所以，必须在进入第二轮复习时，首先要根据学生实际认真盘查知识的薄弱点，自始至终 “咬定基础不放松”：如果是个别问题，则及时面对面地辅导帮助解决，如果是普遍性问题，则必须对症下药，进行有针对性的强化训练和讲评，务必做到“颗粒归仓”。　　削枝强干抓重点，是冲刺阶段数学总复习的重中之重。分析《考试说明》与近年分布不难发现，浙江省的高考命题内容始终都以《考试说明》为依据，且重点也大致相同，特别突出数学知识的主干，重点内容重点考，新课程标准实施后的高考更是如此。　　在代数部分重点考查函数的图像与性质、导数及其应用、三角函数图像、性质及简单的三角变换、概率与统计中的随机变量及其分布、数列中的等差数列与等比数列等内容，立体几何着重考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和空间向量方法，解析几何则着重考查直线和圆锥曲线(文科侧重考查直线与抛物线，理科则侧重考查直线与椭圆、直线与抛物线，特别是它们的位置关系。　　突出典型问题分析　　由于学生知识水平、能力的不同，在应用一些概念、性质、定理、公式解题时常忽略解题基本原则，导致漏洞百出。如解对数问题先考虑定义域再变形转化的原则；解直线与二次曲线位置关系问题时必须考虑直线斜率不存在情况的原则；解排列组合混合应用题先组合再排列的原则，空间向量方法求角和距离时对答案进行技术处理的原则、函数有若干个单调区间不能求并的原则等。忽略挖掘问题的隐含条件而造成解题失误的也很多，如正、余弦函数的有界性，基本不等式求最值等号成立的条件，等比数列求和公式中对公比q的要求，一元二次方程有解的条件，轨迹中的范围、倾角的取值范围等都是学生解题中易出现问题的地方。　　突出提高解题准确与速度　　每天的作业和每次的强化考试都应要求我们的学生做到“四要”：一要熟练、准确，二要简捷、迅速，三要注重思维过程、思维方式的科学性，四要规范，这是高考取得高分的保证。　　选择题、填空题在数学科中的比例较大、分值较高，在冲刺阶段很有必要有设计这方面的专题进行复习。强化对解答选择题、填空题方法的教学与指导。让我们的考生逐步拥有计算和解答小题方面的优势。　　突出对课本基础知识的再挖掘　　《考试说明》是高考命题的宪法，高考复习的指导性文件。与此同时，课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性。突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本习题潜在功能的挖掘与利用。冲刺阶段要指导学生回到课本去，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引伸、推广，发挥其应有作用。　　解析几何题仍然可能是压轴题　　石生润(西湖高级中学)　　删除和增加部分　　与《2009年浙江省普通高考考试说明(文科数学)》相比删除部分：1.知道指数函数是一类重要的函数模型。2.知道对数函数是一类重要的函数模型；3.了解指数函数与对数函数互为反函数。4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。5.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。6.了解几何概型的意义。7.了解数列是自变量为正整数的一类函数。8. 能根据导数定义，求函数的导数。9.生活中的优化问题。会利用导数解决某些实际问题。　　与《2009年浙江省普通高考考试说明(文科数学)》相比增加部分：1.会计算球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。 2.理解二面角的概念。3.掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质。　　对2010年浙江省普通高考考试说明(文科数学)题型分析　　通过对 2010年浙江省普通高考考试说明(文科数学)的样卷分析，五道大题(解答题)的题型如下：第一大题(18题)是三角题。主要考查三角函数及其最值(值域)，对称轴，对称中心，单调区间，周期等。在题干部分隐含三角公式及其应用的考查，考查辅助角公式。当然也不排除三角形中的三角函数。　　第二大题(19题)是立体几何题。以棱锥、棱柱为载体，考查空间中点线面的位置关系(以平行、垂直为主)。考查线线，线面所成角。二面角不会考查。　　第三大题(20题)是数列题。考查数列的基本知识，如前n项和与第n项的关系，通项公式，前n项和公式，首项，公差，公比等。以等差数列和等比数列为主体考查，或可以转化为等差数列和等比数列的问题。　　第四大题(21题)是函数与导数题。主要考查函数的导数求法，利用导数求函数的单调性、极值、最值；或已知函数的单调性、极值、最值等求字母或式子的取值范围。　　第五大题(22题)是解析几何题。考查直线与圆锥曲线的位置关系。以抛物线与直线的位置关系为主体，考查抛物线定义及方程求解，抛物线与直线的相交，相切关系，点的坐标等等。　　选择题和填空题不拘泥于重点内容和热点内容，可以考查非重点内容，如复数、统计与概率、集合、充要条件、算法、线性规划等。立体几何题的考查以传统方法解决问题为主。解析几何题仍然可能是压轴题。（记者 张向瑜）
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& 学年高中数学 第三章《对数函数》讲解与例题 北师大版必修1
学年高中数学 第三章《对数函数》讲解与例题 北师大版必修1
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资料概述与简介
5　对数函数
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，特别地，我们称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．
对数函数解析式的结构特征
在对数函数y＝logax中，logax的系数必须是1，对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x.有些函数貌似不是对数函数，实际上却是，如y＝2logax(a＞0，a≠1)，y＝log2都是对数函数，因为y＝2logax＝，y＝log2＝log2x＝log4x.
【例1】下列函数是对数函数的是________(填序号)．
(1)y＝4x；(2)y＝logx2；(3)y＝－log3x；(4)y＝；(5)y＝log(2a－1)x，且a≠1，x是自变量；(6)y＝log2(x＋1)．
解析：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中y＝－log3x＝是对数函数；(4)式中y＝＝是对数函数；(5)中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只有自变量x，而是关于x的表达式x＋1，故不是对数函数．由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数．
答案：(3)(4)(5)
2．同底的指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝ax和对数函数x＝logay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域为R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域为(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数y＝logax是指数函数y＝ax的反函数，指数函数y＝ax也是对数函数y＝logax的反函数．
通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)．因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
反函数是一种函数吗？
我们知道，一个学生不能说是同桌，同桌是两个学生之间的关系，不能独立存在．反函数也是如此，一个函数不能说是不是反函数，只有两个函数之间才能说是否具有反函数的关系，即反函数是两个函数之间的相互关系，且成对出现．例如，函数y＝log7x的反函数是y＝7x.同样，函数y＝7x的反函数是y＝log7x.
【例2－1】写出下列函数的反函数：
(1)；(2)y＝ln x；(3)；(4)y＝0.2x＋1.
解：(1)指数函数，它的底数是，它的反函数是对数函数.
(2)对数函数y＝ln x，它的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
(3)对数函数，它的底数是，它的反函数是指数函数.
(4)因为y＝0.2x＋1，即y－1＝0.2x，所以它的反函数是y＝log0.2(x－1)．
同底的指数函数与对数函数互为反函数
指数函数y＝ax的反函数是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)；对数函数y＝logax的反函数是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)，即同底的指数函数和对数函数互为反函数．
【例2－2】已知函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，则g(2)＝________.
解析：指数函数f(x)＝2x的反函数是同底的对数函数g(x)＝log2x，故g(2)＝log22＝1.
3．对数函数y＝log2x的图像和性质
(1)画对数函数y＝log2x的图像，可以有两种不同的方法：①描点法；变换法：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．描点法是画函数图像的常规方法，其基本步骤是“列表—描点—连线”；由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的，通常用x表示自变量，把x轴、y轴的字母表示互换，就得到y＝log2x的图像，习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像，其变换过程如下：
这种变换法经历了由指数函数到对数函数的过程，体现了两个函数间的关系．但是，也要看出，要画出给定的对数函数的图像，这种方法是不方便的，通常还是用描点法画图．
(2)观察对数函数y＝log2x的图像可知，函数y＝log2x有如下性质：图像恒过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＝log2x的图像位于x轴下方，即0＜x＜1时，y＜0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
怎样根据函数的图像判断函数的性质？
函数图像含有函数的全部特征．它具有很强的直观性，我们要充分重视函数图像的应用，养成借助函数图像进行思考的习惯．函数图像的特征与性质的对应关系为：
(1)函数图像上所有点的横坐标的取值范围是函数的定义域．
(2)函数图像上所有点的纵坐标的取值范围是函数的值域．
(3)在区间I上，函数图像是上升的，说明函数在区间I上是增加的；函数图像是下降的，说明函数在区间I上是减少的．
(4)函数的图像关于原点对称，说明函数是奇函数；函数的图像关于y轴对称，说明函数是偶函数．
(5)函数的图像经过点(m，n)，说明f(m)＝n.
【例3－1】函数f(x)＝log2(1－x)的定义域为________．
解析：因为零和负数没有对数，即对数的真数应大于0，所以1－x＞0，即x＜1.
答案：(－∞，1)
【例3－2】函数y＝log2x，且f(m)＞0，则m的取值范围是(　　)．
A．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
解析：由函数y＝log2x的图像可知，若f(m)＞0，则实数m应落在1的右侧，即m的取值范围是(1，＋∞)．
【例3－3】设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则当x＜0时，f(x)等于(　　)．
A．－log2x
B．log2(－x)
D．－log2(－x)
解析：f(x)是奇函数，
f(－x)＝－f(x)．
又当x＜0时，－x＞0，且当x＞0时，f(x)＝log2x，
x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．
【例3－4】方程－log2x＝0的解的个数是(　　)．
解析：在同一坐标系中画出函数与y＝log2x的图像，如图所示．
由图知它们的图像有一个交点，即方程＝log2x仅有一个解，也就是方程－log2x＝0有一个解．
【例3－5】函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a＞0)上的最大值与最小值之差为________．
解析：f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝＝log22＝1.
4．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与性质
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．
a＞1 0＜a＜1
质 定义域 (0，＋∞)
定点 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
的变化 当x＞1时，y＞0，
当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0，
当0＜x＜1时，y＞0
单调性 是(0，＋∞)
上的增函数 是(0，＋∞)
上的减函数
对数函数图像和性质的记忆及其补充
1．对数函数图像和性质的助记口诀：
对数增减有思路，函数图像看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行．
底数若是大于1，图像从下往上增，
底数0到1之间，图像从上往下减．
无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．对数logax的符号判断：
当0＜x＜1,0＜a＜1或x＞1，a＞1时，logax＞0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax＞0，也就是为正数，简称为“同正”；
当0＜x＜1，a＞1或x＞1,0＜a＜1时，logax＜0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax＜0，即为负数，简称为“异负”．
因此对数的符号简称为“同正异负”．
3．同底的指数函数和对数函数的图像关于直线y＝x对称：这是因为函数y＝logax与函数y＝ax互为反函数，设对应于函数y＝logax图像上的任意一点为P(m，n)，则P点关于直线y＝x的对称点Q(n，m)总在函数y＝ax图像上；反之也成立；所以，函数y＝logax的图像与函数y＝ax的图像关于直线y＝x对称．
【例4－1】函数y＝logax的图像如图所示，则实数a可能取的值是(　　)．
解析：由图像得函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a＞1.
【例4－2】函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为(　　)．
A．[－2,2]
B．(－2,2)
解析：由4－x2＞0，得x2＜4，即|x|＜2，所以－2＜x＜2，因此，函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为(－2,2)．
【例4－3】若＜1，那么a的取值范围是(　　)．
C．(1，＋∞)
解析：当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，若＜1，即＜logaa，则，此时a＞1；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
若＜1，即＜logaa，则，此时0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
【例4－4】为了得到函数的图像，只需要把函数y＝log3x的图像上所有的点(　　)．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：由对数的运算性质得＝log3(x－3)－log33＝log3(x－3)－1，所以，要得到函数，即y＝log3(x－3)－1的图像，只需把函数y＝log3x的图像向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
5．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响
(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝logax和y＝logbx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数在(0，＋∞)上都是增函数：
当0＜x＜1时，总有logbx＜logax＜0；
当x＝1时，总有logax＝logbx＝0；
当x＞1时，总有logbx＞logax＞0；
对数函数的底数越小，当x＞1时，其函数值增长得越快．
(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝logax和y＝logbx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数在(0，＋∞)上都是减函数；
当0＜x＜1时，总有logax＞logbx＞0；
当x＝1时，总有logax＝logbx＝0；
当x＞1时，总有logax＜logbx＜0；
对数函数的底数越大，当0＜x＜1时，其函数值减小得越快．
几个对数函数的底数的大小比较
由于对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与直线y＝1交点的横坐标为对数的底数a，所以，我们常作出直线y＝1，来比较同一直角坐标系中几个对数函数的底数
的大小．如图是四个对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一直角坐标系中的图像，易知0＜c＜d＜1＜a＜b.可简记为：在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大．
【例5】如图的曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a的取值分别为，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)．
解析：由底数对对数函数图像的影响这一性质可知，
C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，，，.故选A.
6．与对数函数有关的函数的定义域和值域的求法
(1)求函数的定义域，就是求使函数各部分都有意义的自变量的取值集合，涉及到对数的式子应满足底数大于0且不等于1和真数大于0两个条件．
(2)充分利用对数函数的单调性和图像是求对数函数值域的常用方法．对于求形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的复合函数的值域的步骤为：
①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
求f(x)的定义域；
求u的取值范围，即f(x)的值域；
利用y＝logau的单调性求出y＝logaf(x)的值域．
若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．【例6－1】函数的定义域为________．
解析：要使函数有意义，
即0＜5x－3≤1，
因此，该函数的定义域为.
【例6－2】求函数y＝的值域．
解：设u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8，
u≥8，函数在[8，＋∞)上是减函数，
函数y＝的值域为(－∞，－3]．7．对数值大小的比较方法
比较两个对数值的大小常用的方法有：
(1)单调性法：当对数式的底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．如比较log31.9与log32的大小，可构造对数函数y＝log3x，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，1.9＜2，所以log31.9＜log32.
(2)图像法：当对数式的真数相同时，可在同一直角坐标系内画出相应的两个对数函数的图像，借助图像比较大小．如比较与的大小，可构造对数函数和，根据“在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大”的特点，在同一直角坐标系内画出两个函数的图像如下，
易知，当x＝3时，＜.
(3)中间量法：当对数式的底数和真数都不相同时，则需要引入中间量进行比较，通常借助常数－1,0,1.如比较log23与log0.32的大小，因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
(4)分类讨论法：当底数与1的大小关系不确定时，对数函数y＝logax的单调性有两种情况，此时可结合底数与1的大小关系，分类讨论处理．如比较logaπ与loga3.141的大小．当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，π＞3.141，则有logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ＜loga3.141，所以，综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
8．简单的对数型不等式的解法
(1)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)＞0；
(2)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)0＜f(x)＜g(x)．
以上是解简单的“同底型”对数不等式的基础．例如，解不等式log2(2x－1)＜log2(－x＋5)，根据对数函数y＝log2x的单调性以及真数必大于0的性质，可得到不等式组解得,【例7－1】若，b＝log43，，则a，b，c的大小关系为(　　)．
A．b＞a＞c　　　B．a＞b＞c　　　C．c＞a＞b　　　D．a＞c＞b
解析：因为函数在R上是减函数，所以，即a＞1；
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，所以log44＞log43＞log41，即0＜b＜1；
因为函数在(0，＋∞)上是减函数，所以，即c＜0.因此a，b，c的大小关系为a＞b＞c.
【例7－2】比较下列各组数的大小．
(1)________；(2)log26________log36；
(3)log34________log43；(4)loga5.1________loga5. 9(a＞1)；
(5)logxa________logya(x＞y＞1,0＜a＜1)；
(6)loga(b2－b＋1)________(0＜a＜1)．
解析：(1)对数和的底数都是2，可构造对数函数y＝log2x，利用其单调性比较两个值的大小．由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，，故.
(2)对数log26和log36的真数相同，可在同一直角坐标系中画出相应的两个对数．
函数y＝log2x和y＝log3x的图像，由图像可知，log26＞log36.
(3)log34＞log33＝1，log43＜log44＝1，log34＞log43.
(4)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，5.1＜5.9，故loga5.1＜loga5.9.
(5)在同一直角坐标系中，画出函数f(t)＝logxt和g(t)＝logyt(x＞y＞1)的图像如下，易知，当t＝a(0＜a＜1)时，logxa＞logya.
(6)b2－b＋1＝，
又当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
loga(b2－b＋1)＜.
答案：(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜　(5)＞　(6)＜
比较对数值的大小
比较对数值的大小，首先要看底数，底数相同时用单调性，不同时要找“桥梁”，如果底数为参数时要分类讨论．
【例8】已知＜1，那么a的取值范围是(　　)．
D．0＜a＜或a＞1
解析：因为logaa＝1，所以＜1＝logaa.
当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，原不等式等价于a＞，此时a＞1；即＜x＜2，所以原不等式的解集是.由此可以看出，解对数不等式通常转化为不等式组，其依据是对数函数的单调性，而且要遵循“定义域优先”原则．对于含有字母的对数不等式，应考虑分类讨论．②当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，原不等式等价于，此时0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是0＜a＜或a＞1.
9．对数型函数的定点问题
由于loga1＝0(a＞0，a≠1)，即1的对数等于0，所以，对于对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，不管其底数取任何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(1,0)．因此，讨论有关对数型函数的定点问题时，关键是确定真数等于1的条件．
一般地，函数g(x)＝klogaf(x)＋b(a＞0，a≠1，k，b是常数)．若f(m)＝1，则函数g(x)恒过定点(m，b)．【例9－1】函数y＝loga(3x－2)(a＞0，a≠1)的图像过定点(　　)．
A．　　　B．(1,0)　　　C．(0,1)　　　D．
解析：当3x－2＝1，即x＝1时，不论a如何变化都有y＝loga1＝0，故过定点(1,0)．所以选B.
【例9－2】函数f(x)＝loga(x＋1)－2(a＞0，a≠1)恒过定点P的坐标是________．
解析：对数函数y＝logax恒过定点(1,0)，即当x＝1时，无论a取何值(需a＞0，a≠1)必有loga1＝0.因此只要loga(x＋1)中x＋1＝1，即x＝0时，f(x)恒过定点P(0，f(0))，即(0，－2)．
答案：(0，－2)
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