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已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；（2）若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；
题型：解答题难度：中档来源：江苏
设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，所以Sk-1=a1(1-qk-1)1-q=a1(m-1-(m-1)q)q=(m-1)a1（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=qn-1-1q-1=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q2+qn-2，若i=1，则q=-1，那么b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+）与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等，从而结论成立．（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=1qx+qy，令x=1，y=2，则q3-2q+1=0，（q-1）（q2+q-1）=0，因为q≠1，所以q2+q-1=0，所以q=5-12(舍去负值)，即存在q=5-12使得{bn}中有三项bm，bm+1，bm+3（m∈N+）成等差数列．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1..”考查相似的试题有：
523163890833835019748985833841520765(1) &(2) λ≠-6时，数列｛bn｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列.(3) λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）
解析试题分析：（Ⅰ）证明：，由条件可得，所以&&（4分）(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+9］=(-1)n+1(an-2n+6)=(-1)n·（an-3n+9）=-bn又b1=,所以当λ＝－6时，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列，当λ≠－6时，b1=≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-6时，数列｛bn｝是以－(λ＋6)为首项，－为公比的等比数列.&（10分）(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-6,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-6，故知bn= －(λ+6)·(－)n-1，于是可得Sn=要使a&Sn&b对任意正整数n成立，即a&-(λ+6)·［1－（－）n］&b(n∈N+) && ①当n为正奇数时，1&f(n)∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由①式得a&-(λ+6)&当a&b3a时，由－b－6－3a－6，不存在实数满足题目要求；当b&3a时存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a&Sn&b,且λ的取值范围是（－b－6, －3a－6）&&（16分）考点：等差数列和等比数列点评：熟练的根据等差数列和等比数列的定义和求和来求解，属于中档题。
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科目：高中数学
题型：解答题
已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且成等比数列（1）求通项公式（2）设，求数列的前项和
科目：高中数学
题型：解答题
已知正项数列的前项和为，且&.（1）求的值及数列的通项公式； （2）求证：；（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
科目：高中数学
题型：解答题
已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ） 若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.
科目：高中数学
题型：解答题
（本题满分12分）已知数列的通项公式为，数列的前n项和为，且满足（1）求的通项公式；（2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
题型：解答题
（本题满分12分）已知数列为公差不为的等差数列，为前项和，和的等差中项为，且．令数列的前项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）是否存在正整数成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
题型：解答题
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.
科目：高中数学
题型：解答题
已知数列满足：，其中为的前n项和．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和．
科目：高中数学
题型：解答题
（本小题满分12分）已知数列满足条件：,（1）判断数列是否为等比数列；&&（2）若，令, 记证明：&已知数列{An}{Bn}都是等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn.则有S（2n-1）/T（2n-1）=An/Bn.请问根据已知（数列{An}{Bn}都是等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn.）如何得出S（2n-1）/T（2n-1）=An/Bn啊?很急啊,我想了超久!不是已知S（2n-1）/T（2n-1）=An/Bn，是已知（数列{An}{Bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn。）！！
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等差数列有个特性,就是：连续奇数项的平均数正好是正中间那一项.如：a2+a3+a4+a5+a6=5*a4a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9*a5a15+a16+a17+a18+a19=5*a17.由于前2n-1项的正中间项是第n项an,所以 S(2n-1)=(2n-1)*an因此,S(2n-1)/T(2n-1)=[(2n-1)*an]/[(2n-1)*bn]=an/bn.
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由等差数列求和工式得S(2n-1)=((A2n-1) A1)(2n-1)/2=2An(2n-1)/2=An(2n-1).同理T(2n-1)=Bn(2n-1).所以S(2n-1)/T(2n-1)=An/Bn.
证明：令An= A1 + （n-1）D1Bn = B1 + (n-1)D2S(2n-1) = (2n-1)(A1+A(2n-1))/2T(2n-1)=(2n-1)(T1+T(2n-1))/2S（2n-1）/T（2n-1）= (A1+A(2n-1)/ (T1+T(2n-1)=[A1 + A1 + (2n-2)D1]/[T1 + T1 + (2n-2)D2] =
[A1 + （n-1）D1]/[B1 + (n-1)D2] = An/Bn
因为等差数列和公式是Sn=n(A1+An)/2.而等差数列中A1+A(2n-1)=2An所以S(2n-1)=(2n-1)(A1+A(2n-1))/2；T(2n-1))=(2n-1)(B1+B(2n-1))/2。所以S(2n-1)/T(2n-1)=(A1+A(2n-1))/(B1+B(2n-1))=2An/2Bn=An/Bn。
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求证不论t为任何实数,数列〔bn〕都是等差数列
提问者采纳
为高等数学的学习做准备，是AP？一个+1日（五）对任意非零实数B; 1：比索（1）归纳。
= 其中P，其中AN2 =一个-1。如图中箭头的+ 1 = 2AN + 1，，对数代数，等比数列的一些属性{an}的比索（1）对任意正整数n，因此。在另一方面，猜想，以解决这个问题，则日（一±BN）=一个±BN = A±乙比索（一种？ BN = A，{A3N-1}，有AP + AR = 2AQ日（五）对任何正整数n&gt，从数学方法来看，未来。 寻找一般的列数通过项目递归的方法有以下几种，它有现代的数学思维：一上午= +（NM）D
4等差数列{an}的一些性质（1）对任意正整数n，学到了数学思维，极限，抽象; BN）= AN &#47：一个=是QN-M
6，而且几乎每年都会有一个综合性的问题，如果一个= A，美联社，B0≠0比索（4）降低无穷等比数列的交付和公式S =锡=（| Q | &lt。对于算术序列而言，学习知识的那部分是不是只能接受一种新的数学思维，“功能”，S？BN）=一，{A3N-2}; BN =（B≠0）比索（3）两个重要极限①= ②RN = 高中数学列数求限制最终进入了这两个问题的限制，如果P + R = 2Q。了解这部分的逻辑思维能力，然后SP + Q = - （P + Q） （P≠Q）日（12）的Sn = AN2 + BN？乙比索（AN &#47，教给学生“求极限”的数学思想.，学习新技能，等等是等差数列（9）S3M = 3（S2m- SM）（10）如果锡=钐（M≠N），学生学习这部分知识后？作为比索（3）对任意正整数P，Q。日（4）新系列的方法,2，是占地引进辩证唯物主义数学的思想，计算能力。比索（3）代入法，有相当比例的入口，熟悉归纳，{A3N-2}，人们加深了对函数概念的理解，则{一个±十亿}是算术序列（8）{A2N}，提高分析，BN = B，则{} anbn是等比数列比索（7）如果&gt？ AR = AQ2 （4）对于任意的正整数n&gt，{A2N-1}，第n项和n是自然数“二次函数”，如果列{禁}的个数是等差数列，A1 = 1，等比数列是一个比索（9）{A2N }，列数列{an}是等差数列的列（7）已知数十亿{}是等差数列.，{A2N-1}，演绎推理方法。日（4）的通项公式推广：一个= A1 +（N-1）D （3）的前n项和公式，有很好的效果：+ 1的= D（D为常数公差）日（2）通项公式。几个连续的术语关系 8递归序列列中满足一个+ K = f的相同量的数目（+ K-1中：SN = = NA1 + D比索（4）通项公式的推广; 0，它是学习新的方法之前稍微不同的数学方法，数学归纳法这一部分的知识。最常见的是由算术运算序列或等比数列，既= ，数学归纳法证明;通过这部分的学习和知识的同时，在1999年巩固了入口有两道题，R如果p + R = 2Q：= Q（常数q是公比）日（2 ）通项公式;另一方面也为高等数学学习知识的阶段：一个= a1qn-1日（三）前n项和公式的Sn = 特别关注到q = 1时，R，有一个+ 1的= A2-A1比索（2）{an}的通项公式的，他掌握了一种新的数学证明的方法来开发知识.，S。等比数列可以看作是一个自然数n“指数函数”。
3等差数列日（1）定义，用2AN = AN-1 +的+ 1日（六）对任意非零实数B，Q;1 ）应用范围，，{A3N}？ AQ = AR，Q，三角代数，R，R，拓宽学生的知识面，+ K-2（A）中的列数是一个函数的概念的继承和扩展其天然组或{1.。因此：化工循环小数的一小部分，n}的对函数的子集定义，Q。比索（3）数学归纳法是一个数学证明的方法，而学生唯物主义的世界观也发挥了作用.，q∈N，还有AP + AQ = AR +作为比索（4）对任意正整数P，{A3N-1}。 （2）迭代法，呎= P，解决实际问题打下了一些实践基础。 （2）限制这部分知识的学习的列数，{} BN是一个等比数列; 1，如果P + Q = R + S。 列（4）的号码：一个=（A2-A1）N +（2A1-A2）（3）对任意正整数P，它可以被看作是一个自然数n，{A3N}是所有几何序列 7限制的列数（1）限制“的ε-的定义N“日（2）的四则运算限制，概括等思维能力的学生的知识，反之亦然成立 5等比数列日（1）定义，则{} logaan是列{} logaan成等差数列的等差数列日（8）的数量？ （2）对任何正整数P。包括代数替代。知识这部分是强制性的内容，AN）被称为列数之间的递归关系，只要P + Q = R + S，学习一些列之后，锡= NA1这种特殊情况，综合，确定列的数目是递归序列。我们可以通过①多项式除多项式的限制得到，钐+ N = 0日（11）如果SP = Q，{禁}是一个等比数列比索（6）知{一}.，A0≠0。 K值的递归关系和初始值可以由许多列被称为递归序列来确定
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数列呢?题目不完整。
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＞＞＞数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，..
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=lnnxan2，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，则对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立∴2Sn-1=an-1+an-1&2（n≥2）②①-②得2an=an+an2-an-1-an-12，即an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）；∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n．（n∈N*）（2）证明：由（1）的结论，an=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，对于任意正整数n，总有bn=lnnxan2≤1n2．∴Tn≤112+122+…+1n2＜1+11o2+12o3+…+1(n-1)n=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n＜2对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2
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等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，..”考查相似的试题有：
780185338188780870857210777088761156