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哥德尔、图灵、丘奇、波斯特、克林……这些开创者们，告诉了我们“计算”到底是什么，而计算之外又有什么。但平心而论，我们给这些开拓者的颂扬还远远不够。在一般人心中，他们仍然寂寂无名。这些开拓者们，生前大多没有什么好的结局，就连死后也没有得到多少廉价的赞赏。他们为我们开拓了一个信息化自动化的黄金时代，但他们又得到了什么呢？
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尽管人力能及的只有可计算的问题，但通过逻辑推演，我们能认识到，在那些我们无法解答的问题中，竟然还存在着一个精巧的结构。而正是波斯特向我们首次展示了这个无法触及的世界。
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在数学界，证明就是一切。没有证明，即使看上去再确定无误的结论，哪怕拥有再多的间接证据，哪怕是最优秀的数学家的想法，都只能是猜想，而不是定理。要确立一个定理，就必须有一个滴水不漏的证明。这就是数学界的规则。而很不巧，本篇文章的主角，波斯特的研究风格比图灵更依赖直觉，换种说法就是更不严谨。
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本期科学一课结束后，收到多篇观众回顾投稿。一场数学主题演讲能有这样的反馈，让主办方觉得或许“概率”作为开始，可以做一系列数学主题演讲。
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要知道，逻辑体系种类繁多，从弗雷格电路图一般的“概念文字”，到罗素和怀特黑德的《数学原理》中略显奇异的近代逻辑符号，再到现代一般使用的一阶逻辑，又到更复杂的模态逻辑与线性逻辑，甚至到现代如雨后春笋层出不穷的新逻辑体系，它们无论是符号、意义还是表达范围都千奇百怪，要找到一个能囊括过去、现在甚至未来出现的定义，这无疑是个令人挠头的工作。
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图灵的这段文字其实定义了一种新的图灵机，图灵把它叫做“o-机”，而它的现代术语叫“谕示机”。一台谕示机就是一台有点特别的图灵机，仅仅多了一个新功能，就是能“免费”得到某一个特定的判定问题的答复。
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这些天看到不少人在“摆十二月”，不到作为死理性派，想知道的是，十二月“全开”的概率究竟有多大呢？
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硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端。据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。足球场上开球方的决定，习惯上也是用硬币决定的。除此之外，硬币作为垂手可得的小道具，也能玩出各种花样的小游戏。对于这些小游戏，你又知道多少呢？
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实际上，许多关于无穷的看似矛盾结论，都可以归根于我们在日常经验中对数量与顺序的混淆。比如说有人会认为偶数比自然数少，是因为自然数除了偶数之外还有奇数，但实际上这种说法隐含了“先数偶数再数奇数”的这一清点顺序。
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走遍美国全部50个州最短需要多长时间？
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我是一个作家，于是我想知道在电脑上写出一部小说的过程中手指成千上万次敲击键盘的总能量是多少？
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数学的跨度实在太广了，而每个领域都太深奥了，现在，即使穷尽一个人的一生，也难以涉猎数学的所有领域，而这些专家的所有工作横跨各种各样的领域，要一一详细解释更是难上加难。即使是数学系学生，对于很多没有钻研过的领域的理解，也只是“听说过大概是那么一回事”的程度而已。
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图灵在普林斯顿的生活踏入第二年。作为博士导师的丘奇，向图灵提出了一个新的题目：探求超越哥德尔不完备性定理的方法。
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如果烘焙咖啡店Au Bon Pain真的输掉了这场诉讼，不得不赔偿给原告 2*10^36美元该怎么办？
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可惜，保罗大帝早已经永远离开我们了。不过没关系，我们这次同样有无比强大的世界杯冠军预测阵容，其中包括了《时间简史》的作者、物理学家史蒂芬·霍金，还有世界著名的投资银行高盛公司的经济学家们。在世界杯难以抵挡的魅力之下，他们也都不务正业了一把。
欧洲，现代化工的第一抹亮色诞生在一名化学专业学生的烧瓶底上，随之而来的，除了如火如荼的颜色产业，蜂拥而上的时尚潮流，未来将成长为化工巨擘的小作坊……还有五颜六色的莱茵河支流。
植物人来广州了！活动免费，欢迎现场变身好奇心宝宝，尽情为难植物人史军！
科学家也在为揭开衰老背后的秘密而努力。科学不是幻想，在面对衰老问题时，也要遵从科学研究的规律。而且，必须要告诉大家的是，“迄今为止，所有号称延缓或者逆转衰老的疗法，都没有科学证据的支持。对那些号称“科学”却又宣称被科学界“打压”的“抗衰老疗法”来说，“科学”不过是他们的一块幌子而已。”
在松鼠会，每一位成员都站在自己的ID背后，在一个线上的平台中，平等交流、共同探讨，以期写出更多有容、有趣的科学文章，同你一起分享科学之美，之乐趣，因为我们共同的愿景是：让科学流行起来！你呢，想和我们一起吗？还在犹豫？或是苦于找不到引路人？或是怵于传说中苛刻艰险的层层考验？
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数学期望，早在17世纪，有一个赌徒向著名挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率pi乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望[1]
（设级数绝对收敛），记为E（x）。数学期望(mean)是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。
若随机变量X的F(x)可表示成一个非负f(x)的积分，则称X为，f(x)称为X的（分布密度函数）。
能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。
与连续型随机变量也是由随机变量取值范围(取值)确定，
变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量，
比如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，
k是随机变量，
k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数√20，
因而k是离散型随机变量。
如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量，
比如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，
x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。
连续型随机变量X的为f(x),若积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为：
按照定义，离散随机变量的一切可能取值与其对应的概率P的乘积之和称为数学期望，记为E.如果随机变量只取得有限个值:x,y,z,...则称该随机变量为。
1 决定可靠性的因素常规的是根据经验而选取的，即取材料的强度极限均值（概率理论中称为数学期望)与工作应力均值（数学期望)之比
和统计学中，一个离散性的（或数学期望、或，亦简称期望）是试验中每次可能结果的乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）
对于数学期望的定义是这样的。数学期望
E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn)
X1,X2,X3，……，Xn为这几个数据，p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)为这几个数据的函数。在随机出现的几个数据中p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi).则：
E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2） + …… + Xn*fn(Xn)
北京大学数学教学系列丛书
容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术。
我们举个例子，比如说有这么几个数：
1，1，2，5，2，6，5，8，9，4，8，1
1出现的次数为3次，占所有数据出现次数的3/12，这个3/12就是1所对应的频率。同理，可以计算出f(2) = 2/12, f(5) = 2/12,f(6) = 1/12,f(8) = 2/12,f(9) = 1/12,f(4) = 1/12 根据数学期望的定义：
E(X) = 1*f(1) + 2*f(2) + 5*f(5) + 6*f(6) + 8*f(8) + 9*f(9) + 4*f(4) = 13/3
所以 E(X) = 13/3,
这些数的：
Xa = （1+1+2+5+2+6+5+8+9+4+8+1）/12 = 13/3
所以E(X) = Xa = 13/3
陈晓龙．概率论与数理统计：东南大学出版社，2011数学美_百度百科
数学是理性思维和想象的结合，它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。主要有：统一性、、简单性。
数学是理性思维和想象的结合,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的及定义中建立起严谨推导出的真理。它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。主要有：统一性、、简单性。
它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所，却很少有人把它与美学联系起来，数学起源于建筑，正是对美的追求，才产生了数学。似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识，数学以一种独特的方式来诠释美学。
古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的
论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素,到处闪现着美的光辉。早在二千年多前,哲学家、数学家就极度赞赏的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。第五世纪著名数学评论家普洛克拉斯进而断言：“那里有数,那里就有美”。近现代许多著名的数学家对数学中的美更是赞叹不已。英国著名数理逻辑学家指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”英国著名数学家认为,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。美国数学家、的创始人则说：数学实质上是艺术的一种。
我国著名数学家教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学家教授指出：“数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园,这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。”
数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。
和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感。和谐性的表现形式很多，就数学而言,其典型表现有以下几种形式。
统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。
（1） 数学概念、规律、方法的统一。一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在中,便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均——定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名,都可以统一于一元凹、的琴森不等式。
在上，同样渗透着统一性的美。例如,从结构上分析，、三角法、法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于。数学中的,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。
（2）数学理论的统一。在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。的《》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个,在数学的高度统一性上给人一美的启迪。
（3）数学和其它科学的统一。数学和其它科学的相互渗透，导致了。正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步。力学的使牛顿建立了经典力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。建立在相对论和量子论两大基础理论上的物理学,其各个分支都离不开的应用,它们的理论表述也采用了数学的形式。化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向和精确科学过渡。化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段,从转向定量研究,这个数学化的方向,必将同物理学、化学的数学化方向一样,把人类对的认识提高到一个崭新的水平。不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、、、史学、考古学、语言学等社会科学领域,日益显示出它的效用。数学进入经济学领域最大的成就是本世纪出现的计量经济学。数学进入语言学领域，使语言学研究经历了、和算法语言学三个阶段。数学向文学的渗透,发现了数学的抽象推理和符号运算同文学的形象思维之间有着奇妙的联系。
是和谐性的一种特殊的表现。它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有、、等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称,还有与坐标无关的更为复杂的对称。数学的对称美,实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。
从数学美来讲,对称包括狭义对称、对称与等,内容十分丰富。狭义对称可分为代数对称（、、、轮换对称多项式、的法则、对称、、、反厄米特矩阵等)与几何对称（、中心对称、等）,常义对称包括同构、、映射、、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、、、等价性和匀称等。
简单、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一
致。因此,简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简单美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。
（1）数学结构的简单美。简单性是数学结构美的基本内容。就数学理论的逻辑结构而论,它的简单性一般包括两个方面的内容:一是理论前提的简单性,独立的概念简单明确,以最少的来建立理论;二是理论表述的简单性，以抓住现象的本质，定理和公式简单明晰。著名的算术公理系统,就是逻辑结构简单美的一个典范。
（2）的简单美。简单性是数学方法美的重要标志。指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题,所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答”。这就是说,一个美的数学方法或,一般都包含着简单性的涵义。如解决果尔丹问题的方法就是数学方法简单美的一个范例。正是由于希尔伯特的方法简单而深刻,才使它能进一步应用到抽象代数中去,并把群、环、域的抽象理论提高到显著的地位。
（3）数学形式的简单美。简单性也是数学形态美的主要特征。数学形态美，是数学美的外部表现形态，是数学定理和(或表达式)的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简单性。例如，用F=ma概括了力、质量、加速度之间的；用E=mc^2 揭示了自然界的的转换关系；这里F=ma、E=mc^2就外在形式而论，都是非常简洁的，不失为数学形态美的范例。再如，数学家和语言学家教授关于分布的猜测：当2^（2^n）&p&2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是（p为素数；n为自然数；Mp为）。中国著名数学家院士认为，“”以非常简洁、优美的形式揭示了数学之美。
(1 )。突变是一种突发性变化，是事物从一种质态向另一种质态的飞跃。它来之突然，变化剧烈，出人意料，因而能给人一新颖奇特之感。在数学世界中，突变现象是很多的。诸如的中断、函数的、曲线的尖点等，都给人一突变之感。法国数学家托姆创立的，就是研究自然界和社会某些突变现象的一门数学学科。他运用、和结构稳定性等，研究自然界和社会一些事物的性态、结构突然变化的规律，所给出的拓扑模型既形象又精确，给人一种特有的美感。
(2) 反常性。反常是对常态、常规的突破，它常常以矛盾冲突的新的数学对象，丰富数学的内容，推动数学的发展，因而能给人一种革旧立新、开拓进取的美感。数学对象的反常性主要表现为：反常事实，如德国数学家在1856年提出的一个处处连续又处处不的函数，就与人们的传统认识 “至少在某些点处可导”相冲突；反常命题，如非欧几何的命题“三角形的和小于二”，反常于欧氏几何的“三角形的内角和等于二直角”；反常运算，如代数中“四元数不可交换性”与传统代数学的“”相背离；反常理论，如积分反常于、非欧几何反常于欧氏几何等；反常方法，如和黑肯借助计算机证明“”，超出了传统数学手工式证明的研究模式。
(3) 无限性。无限历来使哲学家、数学家为其深奥而动情，它深远、奥妙无穷、充满着美的魅力。1925年，在纪念魏尔斯特拉斯的会议上，发表了题为“论无限”的著名演讲。在演讲中他深有感触的说：“没有任何问题能象无限那样，从来就深深的触动着人们的感情；没有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效的激励着人们的智慧；也没有任何概念能象无限那样，是如此迫切的需要澄清。”集合论中的无限性命题令人惊叹，诸如“无穷集合可以和它的建立元素之间的一一对应关系”、“两个的圆周上的点存在一一对应关系”等等。集合论创立者发现“直线上的点和整个n维空间的点存在一一对应关系”，曾激动地说：“我看到了它，但我简直不能相信它。”
(4) 奇巧性。奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是令人赏心悦目。数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。给出的著名公式eip+1=0,将最基本的0，1，i和p，e用最基本的运算符号，通过最方便的方式巧妙的组合在一起，可谓数学创造的艺术精品。欧拉求 1/n2和的方法、投针求p值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。
(5) 神秘性。神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。比如，在历史上，曾一度被看作是“幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；dx曾长期被蒙上神秘的面纱，被英国大主教称为“消失了量的鬼魂”；把比喻为“病态数学”，外尔则称关于基数的等级是“雾上之雾”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为“想象的几何”、“虚拟的几何”等等。当然，当人们认识到这些数学对象的本质后，其神秘性也就自然消失了。
曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。
和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征 ，是对数学美的两个侧面的模写和反映，它们既相互区别，又相互依存、相互补充，数学对象就是在两者的对立统一中显现出美的光辉的。
数学有着自身特有的语言———，其中包括：
1 数的语言——符号语言
关于“∏” ，《》 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其长不能表示成之比”这一“”而被抛进大海的（公元前五世纪成员）。还有sin?、∞ 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。
2形的语言——视角语言
从形的角度来看——（“”、“”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如中：对数记号、以及三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。
爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？
在数学中，像这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2πR
：两直角边的平方和等于的平方 。
：ΔABC的半径R，则
数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。
美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性．
没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。
—— Carus,Paul
数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
： ，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 ――（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大――与紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”。
和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的 ，即0.…。
在中，边长与长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为 ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。
在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。称黄金分割比 为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与 有关的问题还有许多， “”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。
全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数 ，不合理地把b约去得到 ，结果却是对的？
经过一种简单计算，可以找到四个分数： 。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。
还有一些“歪打正着等式”，比如
人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的，
当e&1时，形成的是椭圆．当e&1时，形成的是双曲线．当e=1时，形成的是抛物线．
常数e由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截所得到的截线。
椭圆与会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。
在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。学派认为，一切中，最美的是球形；一切中，最美的是圆形。圆是圆形――圆心是它的，圆也是――任何一条直径都是它的。
梯形的：S=（上底 +下底﹚h÷2 ，
等差数列的前n项和公式： ，
其中a是上底边长，b是下底边长，其中a&shy；1是首项，an是第n项，这两个中，a与a1是对称的，b与an是对称的。h与n是对称的。
对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。、也正是由对称的研究而发现了。从中我们体会到了对称的美与成功。
曾经是完美的经典几何学，其中的5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二”，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。没有。这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无飘渺的，当我们进行遥远的时，用罗氏几何学是很方便的，原子物理、狭义相对论中也有应用；而爱因斯坦建立的中，较多地利用了这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每一个理论都在需要不断创新，每一个奇思妙想、每一个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受的难到不是切入肌肤的美吗？如果我们再大胆设想一下，是不是还存在一个能包容欧氏几何和非欧几何的更广泛的几何学呢？事实上，通过可以将三种几何统一在曲面的内在几何学中，还可以通过几何学与的观点将三种几何统一起来。在不断创新的过程中，数学得到了发展。
数的概念从自然数、分数、、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把的概念继续推广。
英国数学家苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了，即形为a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 为实数）的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位。若a3 =a4 =0，则四元数a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数。四元数的研究推动了的研究，并在此基础上形成了线性代数理论。物理学家利用四元数理论建立了。
数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。
解析几何中的语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑 我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如， 与 对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？ 以及形如 的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从进入，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中。
抽象美和自由美
从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如所说的：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以透露给我们的”。
数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力，在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何一个具体数的代数，但它又不等于任何具体数。比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片……也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或者说100？……“知道”中蕴含着“不知道”，“具体”中充满了“不具体”，它就是这样一个抽象的数！
达·芬奇是15至16世纪的一位艺术大师和科学巨匠。他用一句话概括了他的《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”
历史上不少著名人物都迷恋音乐，纳克就是一例。一位数学王子何以如此迷恋音乐？原因也许是多方面的，依我看，最重要的一点就是数学和音乐均为一种抽象语言，它们都充满了抽象美、自由美。而且，数学和音乐还是两个人造的金碧辉煌的世界，前者仅用十个阿拉伯数字和若干符号便造出了一个无限的、绝对真的世界，后者仅用五条线和一些蝌蚪状的音符就造出了一个无限的、绝对美的世界。如果说，音乐是人类感情活动最优美的表现，那么数学便是人类理性活动最惊人的产品。
熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的能明确地表达出各种辩证的关系和转化。
例如：初等数学中：点与坐标的对应；之间的关系；所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高三数学里所涉及的：极限概念，特别是现代的极限语言，很好地体现了有限与无限，近似和精确的辩证关系；牛顿——公式描述了微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等。
这类事例在数学中比比皆是。当然，要真正掌握好“数学美”，仅仅知道一些数学知识还是远远不够的，还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间的联系和转化。唯其如此，才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，之美妙，究其思路，往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的。
掌握了“两优择其重，两劣择其轻”这一辩证的比较思想，我们就掌握了解这类题目的钥匙。其实，全部数学无处不在贯彻“两优择其重，两劣择其轻”这一原则。数学无处不体现着辩证法，数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。教授80年代在北大讲学时说：“人们常说，三角形和等于180°，但是，这是不对的！”……“说三角形内角和为 180°不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形是360°！把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是180°；四边形内角和是360°；五边形内角和是 540°……n边形内角和是 （n-2）*180°，虽然找到了一个计算内角和的公式，但公式里包含边数n。如果看外角呢？三角形外角和是360°，四边形外角和是 360°，五边形外角和是360°，……，n边形外角和是 360°。
勾股弦三边比例的协调