平面向量_百度百科
平面是在二维内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（）。平面向量用小写加粗的字母a，b，c表示，也可以用表示向量的的起点和终点字母表示。
向量(矢量)这个术语作为现代数学-物理学
中的一个重要概念，首先是由英国数学家哈密顿使用的。向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却由来已久。向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示。
物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。[1]
有向线段：具有方向的线段叫做，以A为起点，B为终点的有向线段记作
：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；
零向量：长度等于0的向量叫做，记作
或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；
：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；
平行向量（）：两个方向相同或相反的非零向量叫做或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；
单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。[1]
具有方向的线段叫做，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作
，则向量可以相应地记作
。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。[2]
在直角坐标系内，
向量的坐标表示
我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
根据定义，任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。[2]
印刷体：只用小写字母表示时，采用加粗黑体；
向量加法的四边形法则
用首尾点大写字母表示时，需要在字母上加箭头，如
手写体：均需在字母上加箭头表示，如
向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。
下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
向量加法的三角形法则
已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
（本段文字资料整理自[2]
，图片为原始资料）
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。
-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。[2]
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ&0时，λa的方向和a的方向相同，当λ&0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(－λ)a=－(λa) = λ(－a)
|λa|=|λ||a|[2]
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
数量积具有以下性质：
a·a=|a|2≥0
k(a·b)=(ka)b=a(kb)
a·(b+c)=a·b+a·c
a·b=0&=&a⊥b
a=kb&=&a//b
e1·e2=|e1||e2|cosθ[2]
向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，
向量积示意图
则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作&a,b&。已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。
若a、b不共线，a×b是一个向量，其模是|a×b|=|a||b|sin&a,b&，a×b的方向为垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：
向量积具有如下性质：
a‖b&=&a×b=0
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
(a+b)×c=a×c+b×c[3]
给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)[3]
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、μ，使a= λe1+ μe2。[2]
三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。
三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
孙庆华 ,向量理论历史研究[D],西安:西北大学,2006.
人民教育出版社课程教材研究所．普通高中课程标准实验教材 数学 必修4：人民教育出版社，2007
宣立新．高等数学：高等教育出版社，2008零向量与任意向量平行,那么,零向量与零向量平行吗?如何理解_百度作业帮
零向量与任意向量平行,那么,零向量与零向量平行吗?如何理解
零向量与任意向量平行,那么,零向量与零向量平行吗?如何理解
平行,不过我们一般不这么比较,因为没有什么意义.最简单的理解就是任意向量包含零向量.其实零向量可以是任意方向的,所以不管已知向量是什么方向的,零向量都是和他平行的,不管已知向量是不是非零向量.
说到这个问题，就要回到向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。两个关键字：一个大小；一个方向。零向量于任意零向量平行。因为零向量方向任意，所以它其实可以算跟屁虫，常见的题型是选择题。找几题做做。
不对。零向量也任何非零向量平行。平面向量的实际背景及基本概念 课件(人教A版必修四)_图文_百度文库
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平面向量的实际背景及基本概念 课件(人教A版必修四)
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动脑思考　探索新知 K TK
图7?4 A B C D E F H G M N Q P L Z 　　方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．
向量a与向量 b平行记作a//b． 　　规定：零向量与任何一个向量平行．
　由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．
下图中，哪些向量是共线向量？
动脑思考　探索新知 K K
图7?4 A B C D E F H G M N Q P L Z 图7?4中的平行向量 与 ，方向相同，模相等；平行 与 ，方向相反，模相等．
向量 　　向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a
　　与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作 －a． 　　规定：零向量的负向量仍为零向量．
　　例2　在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
巩固知识　典型例题 A D C B 图7－5 O （1）找出与向量 相等的向量；
（2）找出向量 的负向量；
（3）找出与向量 平行的向量．
要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．
　　例2　在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
巩固知识　典型例题 A D C B 图7－4 O （1）找出与向量 相等的向量；
（2）找出向量 的负向量；
（3）找出与向量 平行的向量．
由平行四边形的性质，得
（1） （2） （3） * 平面向量的概念及表示 第七章　平面向量 7.１　平面向量的概念 一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是0.2公斤,谁更重? 猫能捉住老鼠吗? 速度是既有大小又有方向的量
老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜,而猫
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