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站长：朱建新圆与扇形例题精讲研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． n 圆的面积 ? πr 2 ；扇形的面积 ? πr 2 ? ； 360 n 圆的周长 ? 2 πr ；扇形的弧长 ? 2πr ? ． 360 一、跟曲线有关的图形
元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说 1 1 1 的 圆、 圆、 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 2 4 6 n 分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 ． 360 n 比如：扇形的面积 ? 所在圆的面积 ? ； 360 n 扇形中的弧长部分 ? 所在圆的周长 ? 360 n 扇形的周长 ? 所在圆的周长 ? ? 2 ? 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 360 ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积 ? 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角” ：如图：弯角的面积 ? 正方形-扇形④”谷子” ：如图：“谷子”的面积 ? 弓形面积 ?2二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？圆与扇形 题库page 1 of 42【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米． 【巩固】下图中每一个小正方形的面积是 1 平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是 36 平方厘米． 【例 2】 如图，在 18 ? 8 的方格纸上，画有 1，9，9，8 四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积 的几分之几？【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有 8+15+15+16 ? 54 个，其中部分有 6+6+8 ? 20 个，部分有 6+6+8 ? 20(个)，而 1 个 和1个 正好组成一个完整的小正方形， 所以阴影部分共包含 54+20 ? 74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含 8 ? 18 ? 144(个)完整小正方 74 37 形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的 ，即 ． 144 72 【巩固】在 4×7 的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积 的几分之几？【解析】 矩形纸板共 28 个小正方格，其中弧线都是1 圆周，非阴影部分有 3 个完整的小正方形，其余部分可 4page 2 of 42圆与扇形 题库拼成 6 个小正方格．因此阴影部分共 28－6－3=19 个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的19 ． 28【例 3】 (2007 年西城实验考题)在一个边长为 2 厘米的正方形内， 分别以它的三条边为直径向内作三个半圆， 则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的 2 个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的 等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半， 1 所以阴影部分的面积等于 22 ? ? 2 平方厘米． 2 【巩固】如图，在一个边长为 4 的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 4 ? 4 ? 2 ? 8 ． 【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为 1，正方形的 4 个顶点和 4 条边分别为 4 个圆的圆心和 半径，求阴影部分面积．( π 取 3.14 )【解析】 把中间正方形里面的 4 个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四 个正方形面积与四个 90 ? 的扇形的面积之和，所以， S阴影 ? 4 ? S ? 4 ? S 1 ? 4 ? S ? S圆 ? 4 ? 12 ? π ? 12 ? 4 ? π ? 7.14 ．4 圆【例 5】 图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都 是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【解析】 如下图所示：（ 1?1 ? 2 ） ? 4 ? 0.5 ? 4 ? 2 （平方厘 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为圆与扇形 题库 page 3 of 42米） ，所以阴影部分的总面积为 2 ? 4 ? 8 （平方厘米） ． 【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是2m．2m2m或 【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公 式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于2 （ 2? 2 ） ? 16 （m2 ） ．【例 6】 如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这 些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ ( π 取 3)【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解． 如右上图，连接顶角上的 4 个圆心，可得到一个边长为 4 的正方形．可以看出，与原图相比，正方 形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地 1 方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 4 2 2 4 ? π ? 1 ? 19 (平方厘米)． 【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形， 从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需 要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、 【例 7】 如图中三个圆的半径都是 5 cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取 3.14 )【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为 5 ? 5 ? 3.14 ? 2 ? 39.25(cm2 ) 【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 S1 ，空白部分面积为 S2 ，那么这两个部分 的面积之比是多少？(圆周率取 3.14 )圆与扇形 题库page 4 of 42【解析】 如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来， 这样， 空白部分就是一个圆的内接正方形． 设 2 2 2 大圆半径为 r ，则 S2 ? 2r ， S1 ? πr ? 2r ，所以 S1 : S2 ? ? 3.14 ? 2? : 2 ? 57 :100 ． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．1055AA【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成―个直角梯形． ?5 ? 10? ? 5 ? 2 ? 75 ? 2 ? 37.5 (平方分米)． 【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？4222【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积， 那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路， 那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！ 观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长 为 4 的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积 ．则阴影部分面积 (2 ? 2 ? 2) ? 4 ? (2 ? 2) ? 4 ? 8 【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．103【解析】 法一： 为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．圆与扇形 题库page 5 of 42-=要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一 个长方形的面积．3-=10半圆（cm2） 因此，所求的面积为 10 ? 3 ? 30 ． 法二： 由于原来的月牙形很难直接计算，我们可以尝试构造下面的辅助图形：半圆如左上图所示，我们也可以这样来思考，让图形往右侧平移 3cm 就会得到右上图中的组合图形，而 这个组合图形中右端的月牙形正是我们要求的面积． 显然图中右侧延伸出了多少面积，左侧就会缩进多少面积． （cm2） 因此，所求的面积是 10 ? 3 ? 30 ． 【例 10】 求图中阴影部分的面积．A D A D1212B12CB12C1 1 【解析】 如图，连接 BD ，可知阴影部分的面积与三角形 BCD 的面积相等，即为 ? ?12 ?12 ? 36 ． 2 2【例 11】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取 3.14 )圆与扇形 题库page 6 of 424 4【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针 90 ? ，则阴影部分转化为四分之一圆减去一 1 1 个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 ? π ? 42 ? ? 4 ? 4 ? 4.56 ． 4 2 【巩固】如图，四分之一大圆的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率 π 取近似值22 ． 7【解析】 原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内 的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为 7，所以其面积为： 1 2 1 22 ? 7 ? π ? ? 72 ? ? 38.5 ． 4 4 7 1 四 分 之 一 大 圆 内 的 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 的 面 积 为 ? 7 ? 7 ? 2 4 . 5 ，所以阴影部分的面积为 2 38.5 ? 2 4 .? 5 1 4 ． 【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积．a10b10 (1)(2)【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为 10，高为 5 的三角形，利用三角形面积公式可 1 10 以求得 S阴影 ? ?10 ? ? 25 ； 2 2 在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为 b，宽为 a 的长方形，利用长方形面积公式可以 求得 S阴影 ? a ? b ? ab ． 【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)：43⑴⑵圆与扇形 题库page 7 of 421211⑶⑷6245?⑸ 【解析】 ⑴ 4.5 【例 13】⑵4⑶1⑷2⑸ 1.5⑹ ⑹ 4.5如图， ABCD 是正方形，且 FA ? AD ? DE ? 1 ，求阴影部分的面积．(取 π ? 3 )B CFA B M ND C WEFADE【解析】 方法一：两个分割开的阴影部分给我们求面积造成了很大的麻烦，那么我们把它们通过切割、移动、 补齐，使两块阴影部分连接在一起，这个时候我们再来考虑，可能会有新的发现． 由于对称性，我 们可以发现，弓形 BMF 的面积和弓形 BND 的面积是相等的，因此，阴影部分面积就等于不规则图 形 BDWC 的面积．因为 ABCD 是正方形，且 FA ? AD ? DE ? 1，则有 CD ? DE．那么四边形 BDEC 为平行四边形，且∠E ? 45°．我们再在平行四边形 BDEC 中来讨论，可以发现不规则图形 BDWC 和扇形 WDE 共同构成这个平行四边形，由此，我们可以知道阴影部分面积 ? 平行四边形 BDEC-扇 45 5 形 DEW ? 1? 1 ? ? π ? 12 ? ． 360 8 1 方法二：先看总的面积为 的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，在则阴影面积为总 4 1 面积扣除一个等腰直角三角形，一个 圆，一个 45 ? 的扇形．那么最终效果等于一个正方形扣除一 4 1 5 2 个 45 ? 的扇形．面积为 1?1 ? ? 3 ?1 ? ． 8 8 【巩固】求图中阴影部分的面积(单位： cm )．圆与扇形 题库page 8 of 422 3 4【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积， 1 所以阴影部分面积为 ? (2 ? 4) ? 3 ? 9cm2 ． 2 【例 14】 如图，长方形 ABCD 的长是 8cm ，则阴影部分的面积是cm 2 ．( π ? 3.14 )【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以 2 即 可． 长方形的长等于两个圆直径，宽等于 1 个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：8 ? 8 ? 2 ? ?8 ? 2 ? 2? ? π ? 2 ? 6.882所以左图阴影部分的面积等于 6.88 ? 2 ? 3.44 平方厘米． 【例 15】 (2007 年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为 4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部 cm 2 ． 分面积 A 与其它部分面积 B 之差(大减小)是乙A 1 2 B A B1丙 2乙甲 丙甲乙乙【解析】 如图，将圆对称分割后， B 与 A 中的部分区域能对应， B 仅比 A 少了一块矩形，所以两部分的面积 差为： ? 2 ? 2? ? ?1? 2? ? 8cm2 ． 【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺 寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值 1000 元，问：甲 应偿付给乙多少元？① 2cm ② 5cm 3cm ③ 7.5cm ④① 3cm 2cm ② 5cm 3cm ④ Ⅰ ③ 5cm 7.5cm Ⅱ 2cm【解析】 如右上图所示，④的面积与Ⅰ的面积相等，①的面积等于②与Ⅱ的面积之和．可见甲比乙多拿的部 （5 ? 3） ? （7.5 ? 2） ? 2 ? 5.5 ? 11 （cm2） 分为中间的长方形，所以甲比乙多拿的面积为： ，而原本应是两 11 人平分，所以甲应付给乙： ?1000 ? 5500 (元)． 2 【例 16】 求右图中阴影部分的面积．( π 取 3)圆与扇形 题库page 9 of 4245? 45?20cm【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积， 因为阴影部分非常不规则，无法入手． 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法 1)我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面 积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边 AB 的长度未知．单独求①部分 面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以 AC 为直 角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC ? 10．两个四分之一圆的面积和为 1 150，而①、②部分的面积和为 ? 10 ? 10 ? 50 ，所以阴影部分的面积为 150 ? 50 ? 100 (平方厘米)． 2 (法 2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180°，使 A 与 C 重合，从而 构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积． 1 1 所以阴影部分面积为 ? ? ?102 ? ? 10 ? 10 ? 100 (平方厘米)． 2 2D45? 45?BC AABC【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为 3 的两个正方形 BDKE、正方形 DCFK 并排放置，以 BC 为边向内侧作等边三角形， 分别以 B、C 为圆心， BK、 CK 为半径画弧． 求阴影部分面积．( π ? 3.14 )AAEE K FKFBB D CDC【解析】 根据题意可知扇形的半径 r 恰是正方形的对角线，所以 r 2 ? 32 ? 2 ? 18 ，如右图将左边的阴影翻转右 1 1 边阴影下部， S阴影 ? S扇形 ? S柳叶 ? ?18π ? 2( ?18π ? 3 ? 3) ? 18 ? 3π ? 8.58 3 4圆与扇形 题库 page 10 of 42板块二 曲线型面积计算【例 18】 如图，已知扇形 BAC 的面积是半圆 ADB 面积的4 倍，则角 CAB 的度数是________． 3CDAB1 π π 4 2π 【解析】 设半圆 ADB 的半径为 1，则半圆面积为 π ? 12 ? ，扇形 BAC 的面积为 ? ? ．因为扇形 BAC 2 2 2 3 3 n n 2π 的面积为 πr 2 ? ，所以， π ? 22 ? ，得到 n ? 60 ，即角 CAB 的度数是 60 度． ? 360 360 3 【例 19】 如下图，直角三角形 ABC 的两条直角边分别长 6 和 7 ，分别以 B, C 为圆心， 2 为半径画圆，已 知图中阴影部分的面积是 17 ，那么角 A 是多少度( π ? 3 )A6 B 7C1 【解析】 S△ ABC ? ? 6 ? 7 ? 21 , 2 三角形 ABC 内两扇形面积和为 21 ? 17 ? 4 ， ?B ? ?C 根据扇形面积公式两扇形面积和为 ? π ? 22 ? 4 , 360° 所以 ?B ? ?C ? 120° , ?A ? 60° .【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的4 3 ，是小圆面积的 ．如果量得 15 5小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？3 【解析】 小 圆 的 面 积 为 π ? 52 ? 25π ， 则 大 小 圆 相 交 部 分 面 积 为 25π ? ? 15π , 那 么 大 圆 的 面 积 为 5 4 225 225 15 15 15π ? ? π ，而 ? ? ，所以大圆半径为 7.5 厘米． 15 4 4 2 2【例 21】 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多 少厘米？( π 取 3)圆与扇形 题库page 11 of 42ABC【解析】 由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和． 将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360? ， 所以 BC 弧所对的圆心角是 60 ? ，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长． 而线段 AB 等于塑料管的直径， 由此知绳长为： 5 ? 6 ? 5π ? 45 (厘米)． 【例 22】 如图，边长为 12 厘米的正五边形，分别以正五边形的 5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧， 请问：中间阴影部分的周长是多少？( π ? 3.14 )【解析】 如图，点 C 是在以 B 为中心的扇形上，所以 AB ? CB ，同理 CB ? AC ，则 ?ABC 是正三角形，同理， 有 ?CDE 是正三角形．有 ?ACB ? ?ECD ? 60 ，正五边形的一个内角是 180 ? 360 ? 5 ? 108 ，因此 ?ECA ? 60 ? 2 ? 108 ? 12 ，也就是说圆弧 AE 的长度是半径为 12 厘米的圆周的一部分，这样相同 12 的圆弧有 5 个，所以中间阴影部分的周长是 2 ? 3.14 ?12 ? ? 5 ? 12.56 ? cm? ． 360 【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________ 灰色部分面积．【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的1 ，则 4 个小圆的面 4 积之和等于大圆的面积．而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两 部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 S1 ，空白部分面积为 S2 ，那么这两个 部分的面积之比是多少？(圆周率取 3.14 )圆与扇形 题库page 12 of 42【解析】 如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来， 这样， 空白部分就是一个圆的内接正方形． 设 2 2 2 大圆半径为 r ，则 S2 ? 2r ， S1 ? ? r ? 2r ，所以 S1 : S2 ? ? 3.14 ? 2? : 2 ? 57 :100 ． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 【例 25】 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：所余下的 边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积∶大圆面积 ? πr 2 : πR2 ? 1: 9 ， 1 小圆面积 ? 36 ? ? 4 ， 7 个小圆总面积 ? 4 ? 7 ? 28 ， 9 边角料面积 ? 36 ? 28 ? 8 (平方厘米)． 【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的面积．【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形． 由右图可见， 阴影部分面积等于 面积)，所以相当于1 1 大圆面积减去一个小圆面积， 再加上 120? 的小扇形面积(即 小圆 3 61 2 大圆面积减去 小圆面积．而大圆的半径为小圆的 3 倍，所以其面积为小圆的 3 62? 5 ?1 32 ? 9 倍，那么阴影部分面积为 ? ? 9 ? ? ? π ? 12 ? π ? 2.5 ． 3? 6 ?6【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形．(圆周率取 3.14 )圆与扇形 题库page 13 of 42B A CO【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小 nπR2 扇形面积如何求，有扇形面积公式 S扇 ? ． 360 可求得， 需要知道半径和扇形弧的度数， 由已知正六边形每边所对圆心角为 60°， 那么 ?AOC ? 120? ， 又 知 四 边 形 A B C O是 平 行 四 边 形 ， 所 以 ?ABC ? 120? ， 这 样 就 可 求 出 扇 形 的 面 积 和 为 120 6? ? π ?102 ? 628 (平方厘米)，阴影部分的面积 ? 1040 ? 628 ? 412 (平方厘米)． 360 【例 28】 (09 年第十四届华杯赛初赛)如下图所示， AB 是半圆的直径，O 是圆心， AC ? CD ? DB ，M 是 CD 的中点， H 是弦 CD 的中点．若 N 是 OB 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部 分的面积是 平方厘米．C M H DAONB【解析】 如下图所示，连接 OC 、 OD 、 OH ．CM HDAON B本题中由于 C 、 D 是半圆的两个三等分点， M 是 CD 的中点， H 是弦 CD 的中点，可见这个图形是 对称的，由对称性可知 CD 与 AB 平行．由此可得 ?CHN 的面积与 ?CHO 的面积相等，所以阴影部分 1 面积等于扇形 COD 面积的一半，而扇形 COD 的面积又等于半圆面积的 ，所以阴影部分面积等于 3 1 1 半圆面积的 ，为 12 ? ? 2 平方厘米． 6 6 【巩固】如图， C 、 D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点， O 是圆心，且半径为 6．求图中阴影部分的面积．CDCDAOBAOB【解析】 如图，连接 OC 、 OD 、 CD ． 由于 C 、 D 是半圆的三等分点，所以 ?AOC 和 ?COD 都是正三角形，那么 CD 与 AO 是平行的．所 以 ?ACD 的 面 积 与 ?OCD 的 面 积 相 等 ， 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 扇 形 OCD 的 面 积 ， 为 1 π ? 62 ? ?1 8 . 8． 4 6圆与扇形 题库 page 14 of 42【例 29】 如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影 部分的面积之差．( π 取 3)O BADC【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是 这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同 的图形，再求剩余图形的面积． 如右图所示，可知弓形 BC 或 CD 均与弓形 AB 相同，所以不妨割去弓形 BC ．剩下的图形中，容易 看出来 AB 与 CD 是平行的，所以 ?BCD 与 ?ACD 的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形 ACD 的 60 面积相等，而扇形 ACD 的面积为 π ? 12 ? ? 0.5 ，所以图中两块阴影部分的面积之差为 0.5 ． 360 【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率 取 3.14 ) D D E EA AM F FBCBC【解析】 方法一：设小正方形的边长为 a ，则三角形 ABF 与梯形 ABCD 的面积均为 ? a ? 12? ? a ? 2 ．阴影部 分为： 大正方形 ? 梯形 ? 三角形 ABF ? 右上角不规则部分 ? 大正方形 ? 右上角不规则部分 ?1 圆． 因 4此阴影部分面积为： 3.14 ? 12 ? 12 ? 4 ? 113.04 ． 方法二：连接 AC 、 DF ，设 AF 与 CD 的交点为 M ，由于四边形 ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理 有 S△ ADM ? S△CMF ，所以 S阴影 ? S扇形DCF ? 3.14 ?12 ?12 ? 4 ? 113.04 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积．( π 取 3)G F E D G F E DA10B6CA10B6C【解析】 (法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形 ACD 的面积减去月牙 BCD 的面积，那么求出月牙 BCD 的 面积就成了解题的关键． 1 月牙 BCD 的面积为正方形 BCDE 的面积减去四分之一圆： 6 ? 6 ? ? π ? 6 ? 6 ? 9 ； 4 则阴影部分的面积为三角形 ACD 的面积减去月牙 BCD 的面积，为： 1 S阴影 ? ? ?10 ? 6? ? 6 ? 9 ? 39 ． 2圆与扇形 题库 page 15 of 42(法 2)观察可知 AF 和 BD 是平行的，于是连接 AF 、 BD 、 DF ． 则 ?ABD 与 ?BDF 面积相等， 那么阴影部分面积等于 ?BDF 与小弓形的面积之和， 也就等于 ?DEF 与 1 1 扇形 BED 的面积之和，为： (10 ? 6) ? 6 ? ? ? π ? 62 ? 39 ． 2 4 【例 31】 如图， ABC 是等腰直角三角形， D 是半圆周的中点， BC 是半圆的直径．已知 AB ? BC ? 10 ， 那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取 3.14 )A B A BPDPDCC【解析】 连接 PD 、 AP 、 BD ，如图， PD 平行于 AB ，则在梯形 ABDP 中，对角线交于 M 点，那么 ?ABD 与 ?ABP 面积相等，则阴影部分的面积转化为 ?ABP 与圆内的小弓形的面积和． ?ABP 的面积为： 10 ? ?10 ? 2? ? 2 ? 25 ； 弓形面积： 3.14 ? 5 ? 5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 2 ? 7.125 ； 阴影部分面积为： 25 ? 7.125 ? 32.125 ． 【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形， 并以小正方形中右上顶点为圆心， 边长为半径作一个扇形， 按图中所给长度阴影部分面积为 ；( π ? 3 . 1 4 )E A B46D4C6【解析】 连接小正方形 AC ,有图可见 S阴影 ? S△ ACD ? S扇形 ? S△ ABC1 1 1 ∵ ? AC 2 ? ? 4 ? 4 2 2 2 ∴ AC 2 ? 32 同理 CE 2 ? 72 ，∴ AC ? CE ? 48 1 ∴ S△ ACD ? ? 48 ? 24 2 90 1 S扇形 ? π ? 42 ? 12.56 ， S△ ABC ? ? 4 ? 4 ? 8 360 2 ∴ S阴影 ? 24 ? 12.56 ? 8 ? 28.56【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2 :1.5 : 0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部 分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【解析】 假设最小圆的半径为 r ，则三种半圆曲线的半径分别为 4r ， 3r 和 r ．圆与扇形 题库 page 16 of 421 1 1 2 2 阴影部分的面积为： π ? 4r ? ? π ? 3r ? ? πr 2 ? πr 2 ? 5πr 2 ， 2 2 2 2 空白部分的面积为： π ? 4r ? ? 5πr 2 ? 11πr 2 ，则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5 :11 ． 【例 34】 (2008 年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径 为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖 住的面积是 77.1 平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．( π ? 3.14 )【解析】 ⑴每个圆环的面积为： π ? 42 ? π ? 32 ? 7 π ? 21.98 (平方厘米)； ⑵五个圆环的面积和为： 21.98 ? 5 ? 109.9 (平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为： 109.9 ? 77.1 ? 32.8 (平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为： 32.8 ? 8 ? 4.1 (平方厘米)． 【例 35】 已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， 过它的四个顶点作一个大圆， 过它的各边中点作一个小圆， 再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．( π ? 3.14 )【解析】 39.25 【例 36】 如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧 所围成的阴影部分的面积．( π 取 3)A D A DBaCBaC【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式 求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了 了． 如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得， S阴影 ? 4 ? ? S半圆 ? S三角形 ?2 ?1 a? ?a? 1 ? 4? ? ?? ? ? ? ? ? a ? ? 2? ?2? 2 ?2 ? ? 1 ? a2 2【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆．求阴 影部分面积．( π 取 3)圆与扇形 题库 page 17 of 42ADADBCBC【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴 影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积． 解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分． 1 则阴影部分的面积为 ? ? π ? 42 ? 4 ? 4 ? 8 ； 2 解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积， 1 所以阴影部分面积 ? 2 ? （ ? π ? 42 ? 4 ? 4 ? 2） ?8． 4 【例 37】 (2008 年四中考题)已知三角形 ABC 是直角三角形， AC ? 4cm ， BC ? 2cm ，求阴影部分的面 积．BAC2 2【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 ABC 的面积之差，所以阴影1 ?4? 1 ?2? 1 部分的面积为： π ? ? ? ? π ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 2.5π ? 4 ? 3.85 ( cm 2 )． 2 ?2? 2 ?2? 2【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置 3 个两两重叠、形状相同的圆形纸片 . 它们的面积都 是 100 平方厘米，盖住桌面的总面积是 144 平方厘米， 3 张纸片共同重叠的面积是 42 平方厘米 . 那么图中 3 个阴影部分的面积的和 是平方厘米 .【解析】 根据容斥原理得 100 ? 3 ? S阴影 ? 2 ? 42 ? 144 ，所以 S阴影 ? 100 ? 3 ? 144 ? 2 ? 42 ? 72 （平方厘米） 【例 39】 (2008 年国际小学数学竞赛)如图所示， ABCD 是一边长为 4cm 的正方形， E 是 AD 的中点，而 F 是 BC 的中点．以 C 为圆心、半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 G ，以 F 为圆心、半径为 2cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 H 点，若图中 S1 和 S2 两块面积之差为 mπ ? n(cm2 ) (其中 m 、 n 为 正整数)，请问 m ? n 之值为何？圆与扇形 题库page 18 of 42AE S2 G S1 HDA S S1E S2 G HDB【解析】 (法 1) SFCDEC B F F 1 图1 11 ?第 2? 4题 ? 8cm2 ， S扇形BCD ? ? π ? 42 ? 4π (cm 2 ) ， 4C1 S扇形BFH ? ? π ? 22 ? π (cm 2 ) ，而 4 S1 ? S2 ? S扇形BCD ? S扇形BFH ? S FCDE ? 4π ? π ? 8 ? 3π ? 8 (cm 2 ) ，所以 m ? 3 ， n ? 8 ， m ? n ? 3 ? 8 ? 11 ． (法 2 )如右上图， S ? S1 ? SBFEA ? S扇形BFH ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? π ? 4 ? 8 ? π (cm 2 ) ，S ? S2 ? S ABCD ? S扇形BCD ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? π ? 4 ? 16 ? 4π (cm 2 ) ，所以， S1 ? S2 ? (8 ? π) ? (16 ? 4π) ? 3π ? 8 (cm 2 ) ，故 m ? n ? 3 ? 8 ? 11 ． 【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取 3.14 )【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方 形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇 π π 形减去小扇形，再减去长方形．则为： ? 4 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? 3.14 ? 8 ? 1.42 ． 4 4 【例 40】 如图，矩形 ABCD 中，AB ? 6 厘米，BC ? 4 厘米，扇形 ABE 半径 AE ? 6 厘米，扇形 CBF 的半 径 CB ? 4 厘米，求阴影部分的面积．( π 取 3)A F D EBC【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则 的空白部分 ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定 ABFD 的面积，因为不规则部分 ABFD 与扇形 BCF 共同构成长方形 ABCD， 1 所以不规则部分 ABFD 的面积为 6 ? 4 ? ? π ? 42 ? 12 (平方厘米)， 4 再从扇形 ABE 中考虑，让扇形 ABE 减去 ABFD 的面积，圆与扇形 题库page 19 of 421 则有阴影部分面积为 ? π ? 62 ? 12 ? 15 (平方厘米)． 4 1 1 方法二：利用容斥原理 S阴影 ? S扇形EAB ? S扇形BCF ? S长方形ABCD ? π ? 62 ? π ? 42 ? 4 ? 6 ? 15 (平方厘米) 4 4【巩固】求图中阴影部分的面积．12 121 12 1 1 【解析】 阴影部分面积 ? 半圆面积 ? 扇形面积 ? 三角形面积 ? π ? ( )2 ? π ?122 ? ?122 ? 41.04 ． 2 2 8 2【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是A D平方厘米，( π ? 3.14 )F E B C【解析】 观察可知阴影部分是被以 AD 为半径的扇形、以 AB 为直径的半圆形和对角线 BD 分割出来的，分头 求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求 出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形 ABD 的面积减去扇 形 ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为 ?ADB ? 45? ， 45 45 所以扇形 ADE 的面积为： ? π ? AD2 ? ? 3.14 ? 52 ? 9.8125 (平方厘米)， 360 360 1 那么左下边空白的面积为： ? 5 ? 5 ? 9.8125 ? 2.6875 (平方厘米)， 2 2 1 ?5? 又因为半圆面积为： ? π ? ? ? ? 9.8125 (平方厘米)， 2 ?2? 所以阴影部分面积为： 9.8125 ? 2.6875 ? 7.125 (平方厘米)． 【例 41】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取 3 )3 45? 45?33 A B 33A1.5 1.5B31.5【解析】 图中 A 、 B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的 A 、 B 的面积． 9 27 所以 S A ? SB ? ?1.52 π ? 1.5 ? 3? ? 4 ? ? 32 π ? 3 ? 3 ? 2? ? 8 ? ? 4 ? 9 ? 8 ? ． 4 16 【巩固】图中阴影部分的面积是 ．( π 取 3.14 )圆与扇形 题库page 20 of 423333【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面 积． 2 ?1 1? 1 9 9 ?3? 所分成的弓形的面积为： ? π ? ? ? ? 32 ? ? ? ? π ? ； 4? 8 ? 2? ? ?2 ? 2 16 1 1 9 9 另一部分的面积为： π ? 32 ? 32 ? ? π ? ； 8 4 8 4 9 9 9 9 27 27 所以阴影部分面积为： π ? ? π ? ?? π? ? 1.92375 ? 1.92 ． 16 8 8 4 16 8 【例 42】 已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 O1 、 O2 、 O3 为圆心，求阴影部分 的面积．( π ? 3 )A O3 O1O2B【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面 积减去一个 90 ? 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为： 1 2 S正方形 ? S扇形 ? ? ?? 20 ? 20 ? 100π ? ? 4? ? ? 75 ( 平方厘米 ) ，所以 ?? S正方形 ? S圆 ? ? 4? ? ? 20 ? 20 ? 4 π ? ? 20? ? ? 阴影部分的面积为 75 ? 2 ? 150 (平方厘米)． 【例 43】 一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无 法运动到的部分，面积的和是_____．( π 取 3) 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下 图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相 似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍． 阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到： 90 1 每个角阴影部分面积为 1? 1 ? π ? 12 ? ? ； 360 4 1 那么圆无法运动到的部分面积为 4 ? ? 1 4方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 2 ? 2 ? 3 ? 12 ? 1圆与扇形 题库 page 21 of 42【例 44】已知半圆所在的圆的面积为 62.8 平方厘米，求阴影部分的面积．( π ? 3.14 )AB D C O 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影 部分的面积是一个 45 ° 的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为 62.8 平方厘米，所以 OA2 ? 62.8 ? 3.14 ? 20 ． 因此： S△ AOB ? OA ? OB ? 2 ? OA2 ? 2 ? 10 (平方厘米)．由于 ?AOB 是等腰直角三角形，所以 AB 2 ? 20 ? 2 ? 40 ． 45 45 因此：扇形 ABC 的面积 ? π ? AB2 ? ? π ? 40 ? ? 15.7 (平方厘米)． 360 360 所以，阴影部分的面积等于： 15.7 ? 10 ? 5.7 (平方厘米)． 【例 45】 如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；两个阴影部 分的面积相等．求扇形所在的圆面积．AE C FB【解析】 题目已经明确告诉我们 ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通 过空白部分联系起来． 等腰直角三角形的角 A 为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍． 1 而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即 S扇形 ? ?10 ?10 ? 50 ， 2 则圆的面积为 50 ? 8 ? 400 【例 46】 如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 AB ? 20 ，阴影甲的面积比阴影乙的面积大 7， 求 BC 长．( π ? 3.14 ) A甲乙 B C【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是 如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1 个半圆和 1 个直角三角形， 这个时候我们就可以利用面积公式来求解了． 因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积比直角三角形面积大 7．圆与扇形 题库page 22 of 421 半圆面积为： ? π ?102 ? 157 ，则直角三角形的面积为 157 ? 7 ? 150，可得 BC ? 2 ? 150 ? 20 ? 15． 2【巩固】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ， AB ? 8cm ，求 BC 的长度． AII I B C2【解析】 由于阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ，根据差不变原理，直角三角形 ABC 面积减去半圆面积1 ?8? 为 25cm2 ，则直角三角形 ABC 面积为 π ? ? ? ? 25 ? 8π ? 25 ( cm 2 )， 2 ?2? BC 的长度为 ?8π ? 25? ? 2 ? 8 ? 2π ? 6.25 ? 12.53 ( cm )．【巩固】 如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小 28 平方厘米， AB 长 40 厘 米．求 BC 的长度？( π 取 3.14 )1 【解析】 图中半圆的直径为 AB ，所以其面积为 ? 202 ? π ? 200 ? 3.14 ? 628 ． 2 有空白部分③与①的面积和为 628，又②-① ? 28 ，所以②、③部分的面积和 628 ? 28 ? 656 ． 1 1 有直角三角形 ABC 的面积为 ? AB ? BC ? ? 40 ? BC ? 656 ．所以 BC ? 32.8 厘米． 2 2【例 47】 (2009 年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为 8 : 3 ，求阴影部分的面积．420【解析】 如下图，设半圆的圆心为 O ，连接 OC ． 从图中可以看出， OC ? 20 ， OB ? 20 ? 4 ? 16 ，根据勾股定理可得 BC ? 12 ． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积， 1 为： π ? 202 ? ? (16 ? 2) ?12 ? 200π ? 384 ? 244 ． 2D CAOB【例 48】如图，求阴影部分的面积．( π 取 3)圆与扇形 题库page 23 of 42345【解析】 如图， 图中阴影部分为月牙儿状， 月牙儿形状与扇形和弓形都不相同， 目前我们还不能直接求出 它 们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙 儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就 找到了解决问题的方法了． 1 1 1 阴影部分面积 ? 小圆面积 ? 中圆面积 ? 三角形面积 ? 大圆面积 2 2 2 1 1 1 1 ? ? π ? 32 ? ? π ? 42 ? ? 3 ? 4 ? ? π ? 52 2 2 2 2 ?6 【例 49】 如图，直角三角形的三条边长度为 6,8,10 ，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多 少？610O 8【解析】 S阴影 ? S直角三角形 ? S半圆 ， 设半圆半径为 r ，直角三角形面积用 r 表示为：6 ? r 10 ? r ? ? 8r 2 21 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为 ? 6 ? 8 ? 24 ， 2 所以 8r ? 24 ， r ? 3 1 所以 S阴影 ? 24 ? ? 9π=24 ? 4.5π 2【例 50】 (华校
年度第一学期期中测试第 6 题)大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，两个同心圆构 成一个环形．以圆心 O 为顶点，半径 R 为边长作一个正方形：再以 O 为顶点，以 r 为边长作一个小 正方形．图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环形面积．(圆周率取 3.14 )O【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴 影部分的面积，也就是 R 2 ? r 2 ? 50 平方厘米，那么环形的面积为：圆与扇形 题库 page 24 of 42πR2 ? πr 2 ? π(R2 ? r 2 ) ? π ? 50=157 (平方厘米)．【巩固】图中阴影部分的面积是 25cm2 ，求圆环的面积．【解析】 设大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，依题有R2 r 2 ? ? 25 ，即 R 2 ? r 2 ? 50 ． 2 2 2 2 2 2 则圆环面积为： πR ? πr ? π(R ? r ) ? 50π ? 157(cm2 ) ．【例 51】 (2008 年 101 中学考题)已知图中正方形的面积是 20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和 是 ．( π 取 3.14 )【解析】 设图中大圆的半径为 r ， 正方形的边长为 a ， 则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为 大圆的直径 2r 等于正方形的对角线长，即 (2r )2 ? a2 ? a2 ，得 r 2 ?a ， 2a2 ． 2 所以，大圆的面积与正方形的面积之比为： πr 2 : a 2 ? π : 2 ，所以大圆面积为： 20 ? 2 ? π ? 10 π ；小圆 a 的面积与正方形的面积之比为： π( )2 : a2 ? π : 4 ，所以小圆的面积为： 20 ? 4 ? π ? 5π ；两个圆的面 2 积之和为： 10π ? 5π ? 15π ? 15 ? 3.14 ? 47.1 (平方厘米)．【巩固】图中小圆的面积是 30 平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．( π 取 3.14 )【解析】 设图中大圆的半径为 r ， 正方形的边长为 a ， 则小圆的直径等于正方形的边长， 所以小圆的半径为a ， 2a2 ． 2 a a2 a2 a2 所以，大圆的面积与小圆的面积之比为： πr 2 : π( )2 ? r 2 : ? : ? 2 :1 ， 2 4 2 4 即大圆的面积是小圆面积的 2 倍，大圆的面积为 30 ? 2 ? 60 (平方厘米)．大圆的直径 2r 等于正方形的对角线长，即 (2r )2 ? a2 ? a2 ，得 r 2 ? 【巩固】(2008 年四中考题)图中大正方形边长为 a ，小正方形的面积是 ．圆与扇形 题库page 25 of 42【解析】 设图中小正方形的边长为 b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为 a ，而从图中可 1 以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以 a 2 ? b2 ? b2 ? 2b2 ，故 b2 ? a2 ，即小正方形的面 2 1 2 积为 a ． 2 【巩固】(2008 年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆 22 的半径为 1cm ，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取 π ? ) 71【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算． 内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是 π ? 12 ? 2 ? 2 ? 2 ? π ? 2 ． 内圆的直径为中部正方形的边长，即为 2 ，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部 分面积是 π ? (22 ? 22 ) ? 4 ? 2 ? 2 ? 2π ? 4 ． 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积， 即为 22 ? 22 ? 8 ， 外部正方形的对角线的平方即为外圆的 直径的平方，即为 8 ? 2 ? 16 ，所以外圈阴影部分的面积是 π ? 16 ? 4 ? 8 ? 4 π ? 8 ． 22 所以阴影部分的面积是 7π ? 14 ? ? 7 ? 14 ? 8 (平方厘米)． 7 【例 52】 图中大正方形边长为 6 ，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正 方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？( π ? 3.14 )?1 1 1 1 1? 【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为： ? ? ? ? ? ? ? 6 ? 4 ? 2 3 3 2 3??4? ∴圆的面积为： π ? ? ? 12.56 ?2? 【例 53】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆．哪个 图中阴影部分的面积大？为什么？2圆与扇形 题库page 26 of 42【解析】 设正方形的边长为 a ，每一个圆的半径为 r ，则正方形的每一条边上都有 共有a 个圆，从而正方形内部 2ra a a a 1 ? 个圆，于是这些圆的总面积为： S阴影 ? πr 2 ? ? ? πa2 ． 2r 2r 2r 2r 4 可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有 关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就 是一定的． 由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等． 【例 54】 如图，在 3 ? 3 方格表中，分别以 A 、 E 、 F 为圆心，半径为 3、2、1，圆心角都是 90 ° 的三段 圆弧与正方形 ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比 S1 : S2 ? ?A E F S1S2 B CB B1DA E F S1 B2D D1 D2 C【解析】 如右图，仔细观察图形不难发现带形 S1 的面积等于曲边三角形 BCD 的面积减去曲边三角形 B1CD1 的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出． 1? ? 1? ? ? π? 所以， S1 的面积 ? ? 32 ? π ? 32 ? ? ? ? 22 ? π ? 22 ? ? ? 5 ? ?1 ? ? ； 4? ? 4? 4? ? ? 同理可求得带形 S2 的面积：? π? 带形 S2 的面积 ? 曲边三角形 B1CD1 的面积 ? 曲边三角形 B2CD2 的面积 ? 3 ? ?1 ? ? ； ? 4? 所以， S1 : S2 ? 5 : 3 ． 【例 55】 如图中，正方形的边长是 5cm ，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取 3.14 )3 ? ? 【解析】 ? π ? 52 ? ? 5 ? 5 ? 2 ? ? 2 ? 142.75(cm 2 ) ． 4 ? ?【例 56】 如下图， AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15 厘米， AEB 是以 C 为圆心， AC 为半 径的圆弧，求阴影部分面积．圆与扇形 题库page 27 of 42D E A O B AD E O BCC【解析】 连接 AC 、 BC ．阴影部分面积等于半圆 ADB 的面积减去弓形 AEB 的面积，而弓形 AEB 的面积又等 于扇形 CAB 的面积减去 ?ACB 的面积． 1 1 1 ?ACB 的面积等于以 AB 为边的正方形的面积的 ，即 302 ? ? 225 ，那么 AC 2 ? 225 ? ? 450 ． 4 4 2 90 225 225 那么扇形 CAB 的面积为 π ? AC 2 ? ? π ，弓形 AEB 的面积为 π ? 225 ， 360 2 2 1 ? 225 ? π ? 225 ? ? 225 ． 所以阴影部分面积为 ? π ? 152 ? ? 2 ? 2 ? 【例 57】 如图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15， AEB 是以 C 为圆心，AC 为半径的圆 弧． 求阴影部分面积．D E A O BC【解析】 阴影部分是个月牙形， 不能直接通过面积公式求， 那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形 ABC 再减去扇形 ACB 的结果． 1 半圆面积为 ? π ?152 ， 2 1 1 三角形 ABC 面积为 ? ?15 ? 15? ?15 ? 152 ，又因为三角形面积也等于 ? AC 2 ， 2 2 2 2 所以 AC ? 2 ? 15 ， 90 1 那么扇形 ACB 的面积为 ? π ? AC 2 ? ? π ? 2 ? 152 ． 360 4 阴影部分面积 S阴影 ? S半圆 ? S三角形 ? S扇形1 1 ? ? π ? 152 ? 152 ? ? π ? 2 ? 152 2 4 ? 225 (平方厘米) 【例 58】 如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆． RS 平行于 PQ ．如果大半圆的半径是 1 米，那么 阴影部分是多少平方米？( π 取 3.14 )RSPOQ【解析】 如 左 下 图 所 示 ， 弓 形 RS 的 面 积 等 于 扇 形 ORS 的 面 积 与 三 角 形 ORS 的 面 积 之 差 ， 为圆与扇形 题库page 28 of 421 1 π 1 ? π ?12 ? ?1?1 ? ? (平方米)， 4 2 4 2RSRSP1O1QP21O1Q1 1 OR 2 ? OS 2 1 12 ? 12 π ? RS ? ? π ? 半圆 ROS 的面积为 ? π ? ? ? π ? ? (平方米)， ? 2 2 4 2 4 4 ? 2 ? π 1 π 1 所以阴影部分的面积为 ? ? ? ? ? π ? 1? ? 1.07 (平方米)． 4 2 4 2【例 59】 在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，以 AD 为半径 的圆的一部分． 求阴影部分的面积．ABA2 1B 3 C2DCD1 1 1 π 1 ? AC ? 1 2 2 2 【解析】 如右图所示， S1 ? ? AD2 ? AD2 ， S2 ? S3 ? π ? ? ? ? AD ? π ? AC ? AD ． 2 8 2 4 2 ? 2 ? 2因为 AC 2 ? 2 AD2 ? 4 ， 所以阴影部分的面积为： π 1 1 1 1 1 ? AD2 ? AD2 ? π ? AC 2 ? AD2 ? π ? AC 2 ? AC 2 ? π ? 2 ? 1.14 (平方厘米)． 4 2 8 2 4 2 另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面积，所以阴 π 1 影部分的面积为 ? AD2 ? π ? AC 2 ? AD2 ? 1.14 (平方厘米)． 4 8 【例 60】 某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱 币在桌面上能覆盖的面积为多少？4cm【解析】 将古钱币分成 8 个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形， 中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：? 4? ? 4? ? 4? π ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 4 ? π ? 6π ? 8 ? 10.84 (cm 2 ) ． ? 2? ? 2? ? 2?2 2 2【例 61】 (2006 年小学生数学报竞赛)传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟 面有 10 平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影 (如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米．圆与扇形 题库page 29 of 4212 11 10 9 8 71 2 10 3 9 4 5 812 111 212 11 B' 103 41 2B 9 8AA' 3 46765765【解析】 等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相 等．由 A 与 A' ， B 与 B ' 面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半． 10 ? 2 ? 5 (平方米)． 【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？11 10 9 8 7 6 5 甲 乙 O 4 12 1 2 3【解析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解： 阴影部分甲 ? 120° 的扇形 ? 三角形 ? 小弓形； 阴影部分乙 ? 三角形 ? 小弓形； 由于 120° 扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积： A 12 12 12 11 1 11 1 11 甲 甲 2 10 甲 2 10 10 乙 乙 3 9 3 9 9 O O O 4 8 4 8 87 6 5 7 6 5 7 6B 1 乙 2 3 4 5阴影部分乙的面积 1 =圆的面积的 6120° 阴影部分的面积 1 =圆的面积的 3阴影部分乙的面积 =斜纹三角形B的面积 +斜纹弓形A 的面积1 ?1 1? 综上所述：阴影部分甲的面积 ? 圆的面积的 ? ? ? ? 圆的面积的 ．所以甲、乙面积之比为 1 :1 ． 6 ?3 6? 【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下， 钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？圆与扇形 题库page 30 of 4211 10 9 8 7121 2 3 4DAOC65B【解析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影 部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们 只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系． ?BOD 将原题图中的等边三角形旋转 30°(注意， 只转三角形， 圆形不动)， 得到右上图． 因为 ?AOD 、 OBDA ? AOB 都是等边三角形，所以四边形 是菱形，推知 与 ?ADB 面积相等．又因为弦 AD 所对的弓 形与弦 BD 所对的弓形面积相等，所以扇形 AOB 中阴影部分面积占一半．同理，在扇形 AOC 、扇形 BOC 中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是 10 ? 2 ? 5 (平方米)． 【巩固】如图，已知三角形 GHI 是边长为 26 厘米的正三角形，圆 O 的半径为 15 厘米． ?AOB ? ?COD ? ?EOF ? 90? ．求阴影部分的面积．A G F J O B H C D I E B H C D I O E A G F J【解析】 直接解决． 总阴影面积 ? 每块阴影面积 ?3 ? (大弓形 ? 小弓形) ?3 ． 关键在于大弓形中三角形的面积， 设 J 为弧 GI 的中点，则可知 GOIJ 是菱形， GOJ 是正三角形， 1 15 所以，三角形 GOD 的面积 ? ? ? 26 ． 2 2 1 1 15 所以大弓形的面积： SGJI ? π ? 152 ? ? ? 26 3 2 2 ? 235.5 ? 97.5 ? 138 ． 1 1 小弓形的面积： SFJE ? π ?152 ? ? 152 ? 176.625 ? 112.5 ? 64.125 ． 4 2 所以，总阴影面积 ? ?138 ? 64.125? ? 3 ? 221.625 (平方厘米)． 【例 62】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径， AB 弦约等于 17 厘米，半径 为 10 厘米，求阴影部分的面积．圆与扇形 题库page 31 of 42BBO1O2O1O2AA【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了． 由已知条件，若分别连结 AO1 ， AO2 ，BO1 ，BO2 ，O1O2 ，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各 边长均等于半径)，则 ?AO2O1 ? ?BO2 O1 ? 60? ，即 ?AO2 B ? 120? ． 这样就可以求出以 O2 为圆心的扇形 AO1 BO2 的面积， 然后再减去三角形 AO2 B 的面积， 就得到弓形的 面积，三角形 AO2 B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB ，高是 O1O2 的一半． 所以，阴影部分面积 ? 2 ? S扇形AO2 B ? S?AO2 B??120 1 10 ? ? ? 2 ? ? 3.14 ? 102 ? ? ? 17 ? ? 360 2 2? ? 1 1 ? 209 ? 85 ? 124 (平方厘米)． 3 3【例 63】下图中， AB ? 3 ，阴影部分的面积是A CAHCEFEGFBDBD【解析】 如图可知 EF ? 3，设大半圆半径为 R ，小圆半径为 r ，如右图 R ? EH ， r ? HG ? EG ，根据勾股定 理得 R 2 ? 2r 2 ，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知 S阴影 ? S小圆 ? S柳叶? S小圆 ? （ 2 S扇形EHF ? S ? S小圆 ? 2S扇形EHF ? 2S ? S小圆 ? S大半圆 ? 2SEHF EHF)EHF? 2S EHF ? EF ? GH ? 3 ? 3 ? 2 ? 4.5【例 64】 如图， ABCD 是平行四边形， AD ? 8cm ， AB ? 10cm ， ?DAB ? 30? ，高 CH ? 4cm ，弧 BE 、 DF 分别以 AB 、CD 为半径，弧 DM 、BN 分别以 AD 、CB 为半径，则阴影部分的面积为多少？(精 确到 0.01 )E D N CAM B FH【解析】 因为四边形 ABCD 是平行四边形， AD ? 8cm ， AB ? 10cm ， ?DAB ? 30? ，所以圆与扇形 题库 page 32 of 4230? 25 ? π ? cm2 ? ， 360? 3 30? 16 2 S扇形DAM ? S扇形BCN ? 8 π ? ? π ? cm2 ? ． 360? 3 因为平行四边形 ABCD 的高 CH ? 4 cm ，所以 S S扇形EAB ? S扇形FCD ? 102 π ?ABCD? 10 ? 4 ? 40 ? cm2 ? ．由图中可看出， 扇形 EAB 与 FCD 的面积之和， 减去平行四边形 ABCD 的面积， 等于曲边四边形 DFBE 的面积；平行四边形 ABCD 的面积减去扇形 DAM 与扇形 BCN 的面积，等于曲边四边形 DMBN 的面 积．则 S阴影 ? S曲边四边形DFBE ? S曲边四边形DMBN? ? 2S扇形EAB ? SABCD? 2 ? ? S扇形EAB ? S扇形DAM ? S? ? ?SABCD? 2S扇形DAM ?ABCD?16 ? 25 ? ? 41 ? ? 2 ? ? π ? π ? 40 ? ? 2 ? ? ? 3.14 ? 40 ? ? 5.83 ? cm 2 ? ． 3 ? 3 ? ? 3 ?【例 65】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也 没有滑动)．在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触 到直线，而在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率 为 3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)P【解析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一 种是圆滚动了不足一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了 270? ．另一种是圆在第一 条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置， 可知圆滚动了 270? ? 360? ? 630? ． 因为两条线段共长 30 厘米，所以 270? 的弧长或者 630? 的弧长再加上两个半径是 30 厘米． 270 630 2πr ? ? 2r ? 30 (厘米)，或者 2πr ? ? 2r ? 30 (厘米)，所以圆的半径是 4.47 厘米或 2.31 厘米． 360 360 【例 66】 (第三届希望杯)将一块边长为 12 厘米的有缺损的正方形铁皮 (如图)剪成一块无缺损的正方形 铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.3 7 A 7 D′ D 3 A′ B 12 C′ C D′ D C′ C D D′ C A 7 3 A′ B B′ 12 A 7 3 A′ B B′ 12图1图2图3【解析】 如图 1 所示，使 A?B ? BC ? ? C ?D? ? D?A? ? 12 ? 3 ? 9 (厘米)，则正方形 A?BC ?D ? 的面积为 9 ? 9 ? 81 (平 方 厘 米 ). 如 图 2 所 示 ， 使 AA? ? BB? ? CC ? ? DD? ? 3 ( 厘 米 ) ， 则 正 方 形 A?B ?C ?D ? 的 面 积 为1 12 ?12 ? 4 ? ? 3 ? ( 12 ? 3 ) ? 90 (平方厘米). 2 ? ?A 察 图 3 可 知 3 ? C? D ? D 如 图 所 示 ， 连 结 AC 交 曲 线 于 点 A? ， 使 A? B?? B? C .观 A?B? ? 1 2? 1 ? .5 1 0 . 5).(注： A?B? 的长度在( 10.5 ? 0.2 )厘米之间均可．)于是正方形 A?B ?CD ? 的 (厘米圆与扇形 题库 page 33 of 42面积为 10.5 ? 10.5 ? 110.25 (平方厘米). 因为 81 ? 90 ? 110.25 ，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为 110.25 平方厘米.板块三 曲线型旋转问题【例 67】 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那 么 A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形 在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 π )BACBA【解析】 如图所示， A 点在翻滚过程中经过的路线为两段 120? 的圆弧，所以路线的总长度为： 120 2π ? 6 ? ? 2 ? 8π 厘米； 360 三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个 120? 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为： 120 π ? 62 ? ? 2 ? 15 ? 24π ? 15 平方厘米． 360 【巩固】直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长 10 厘米．如下图所示，三角形 由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B ，C 点分别到达 B1 ，C1 点；再绕 B1 点转动，到达位置Ⅲ， 此时 A ， C1 点分别到达 A2 ， C2 点．求 C 点经 C1 到 C2 走过的路径的长．A2 B 60?Ⅰ 30? A C1 Ⅱ B1 Ⅲ C2C【解析】 由于 BC 为 AC 的一半，所以 ?CAB ? 30? ，则弧 CC1 为大圆周长的 周长的180? ? 30? 5 ? ，弧 C1C2 为小圆 360? 121 ，而 CC1 ? C1 C2 即为 C 点经 C1 到 C2 的路径，所以 C 点经 C1 到 C2 走过的路径的长为 4 5 1 50 65 2π ? 20 ? ? 2π ? 10 ? ? π ? 5π ? π (厘米)． 12 4 3 3【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是 5cm ．让这 个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90 ° 后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位 置．求点 A 走过的路程的长．A1 A2 Ⅳ D EⅠ A BⅡ CⅢ DⅣ EAⅠ BⅡ CⅢ【解析】 因为长方形旋转了三次，所以 A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)． 这三段路程分别是： 1 第 1 段是弧 AA1 ，它的长度是 2 ? π ? 4 ? ( cm )； 4圆与扇形 题库page 34 of 421 第 2 段是弧 A1 A2 ，它的长度是 2 ? π ? 5 ? ( cm )； 4 1 第 3 段是弧 A2 E ，它的长度是 2 ? π ? 3 ? ( cm )； 4 1 1 1 所以 A 点走过的路程长为： 2 ? π ? 4 ? ? 2 ? π ? 5 ? ? 2 ? π ? 3 ? ? 6π ( cm )． 4 4 4【例 68】 草场上有一个长 20 米、 宽 10 米的关闭着的羊圈， 在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见 如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )30 A30 10 10 B 20 C【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为 A ， B ， C 三部分，其中 A 是半径 30 米的3 个圆， B ， C 分别是 41 个圆． 4 3 1 1 所以羊活动的范围是 π ? 302 ? ? π ? 202 ? ? π ?102 ? 4 4 4 3 1 1 ? ? ? π ? ? 302 ? ? 202 ? ? 102 ? ? 4 4 4? ? ? 2512 ．半径为 20 米和 10 米的 【巩固】一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方 的总面积．(圆周率按 3.14 计算)33【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径 4m ，圆心角 300°的扇形与两个半径 1m ，圆心角 120°的扇 形之和．所以答案是 43.96m2 ． 【例 69】 如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60 ? ，此时 B 点移动 到 B ' 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)．B'60? A B【解析】 面积 ? 圆心角为 60 ? 的扇形面积 ? 半圆 ? 空白部分面积 ( 也是半圆 ) ? 圆心角为 60 ? 的扇形面积圆与扇形 题库 page 35 of 42?60 3 ? π ? 32 ? π ? 4.5(cm2 ) ． 360 2【例 70】 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，?ABC ? 60? ，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为中心，将 ?ABC 顺时针旋转 120? ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图 中阴影部分的面积．( π 取 3)E CABD【解析】 注意分割、平移、补齐．E (1)C (2) A BD如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为 ?EBD ? 60? ，那么 ?ABE ? 120? ， 1 则阴影部分为一圆环的 ． 3 1 所以阴影部分面积为 ? π ? ? AB2 ? BC 2 ? ? 75 (平方厘米)． 3 【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋 转 90 ? ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3)AOA'【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之 一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边 OA ． 1 因此可以求得，三角形扫过的面积为： 24 ? ? π ?10 ?10 ? 24 ? 25π ? 99 (平方厘米)． 4 【巩固】(2008 年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中，?B 为直角，且 BC ? 2 厘米， AC ? 4 厘 米，则在将 ?ABC 绕 C 点顺时针旋转 120? 的过程中， AB 边扫过图形的面积为 ．( π ? 3.14 )圆与扇形 题库page 36 of 42AAB'BCBCA'【解析】 如右上图所示，假设 ?ABC 旋转 120? 到达 ?A ' B ' C 的位置．阴影部分为 AB 边扫过的图形． 从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于 扇形 ACA ' 的面积与 ?ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 BCB ' 的面积与 ?A ' B ' C 的面积，由 于 ?ABC 的面积与 ?A ' B ' C 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形 ACA ' 与扇形 BCB ' 的面积之 120 120 差，为 ? π ? 42 ? ? π ? 22 ? 4π ? 12.56 (平方厘米)． 360 360 【例 71】 如图，?ABC 是一个等腰直角三角形， 直角边的长度是 1 米． 现在以 C 点为圆心， 把三角形 ABC 顺时针转 90 度，那么， AB 边在旋转时所扫过的面积是 平方米．( π ? 3.14 )A (B' )AD BD'C A' B C 【解析】 如图， 顺时针旋转后， A 点沿弧 AA ' 转到 A' 点， B 点沿弧 BB ' 转到 B ' 点， D 点沿弧 DD' 转到 D ' 点． 因 为 CD 是 C 点到 AB 的最短线段，所以 AB 扫过的面积就是图中的弧 A' AB 与 BDD' A' 之间的阴影图 形． S阴影 ? S半圆 ? S空白1 1 S△ ABC ? S△BDC ? S△ AD 'C ? ?1? 1 ? (平方米)， 2 2 1 2 S△ ABC ? S正方形ADCD ' ? CD ? (平方米)， 2 π π 1 π 2 所以， S扇形DCD ' ? ? CD ? ? ? (平方米)， 4 4 2 8 π 2 我们推知 S阴影 ? ? BC ? S扇形DCD ' ? (S△BDC ? S△ACD '） 2 π π 1 ? ? ? 2 8 2 3π 1 ? ? 8 2 ? 0.6775 (平方米)．【例 72】 (祖冲之杯竞赛试题)如图， ABCD 是一个长为 4 ，宽为 3 ，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按 顺时针方向旋转 90 ? ，分别求出四边扫过图形的面积．圆与扇形 题库page 37 of 42ABDC【解析】 容易发现， DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的A' A B1 ，如图： 4DCB'因此 DC 边扫过图形的面积为 4 π ， BC 边扫过图形的面积为9π ． 42、研究 AB 边的情况． 在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于 这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：A' A BDCB'下面来求这部分的面积． 观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是： 扇形 ACA ' 面积＋三角形 A ' B ' C 面积－三角形 ABC 面积一扇形 BCB ' 面积＝扇形 ACA ' 面积一扇形 52 π 32 π BCB ' 面积 ? ? 4π ? 4 4 3、研究 AD 边扫过的图形． 由于在整条线段上距离 C 点最远的点是 A ，最近的点是 D ，所以我们可以画出 AD 边扫过的图形， 如图阴影部分所示：A' A BDCB'用与前面同样的方法可以求出面积为：52 π 42 π 9 ? ? π 4 4 4 旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程” ，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的page 38 of 42圆与扇形 题库加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接 告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有． 可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决 对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的． 【例 73】 (2004 年第九届华杯赛初赛)半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑 动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点 A ，观察半径 OA ，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到 与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径 OA 也运动到了与初始时相对的位置．这时 OA 沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到 OA 与初始位置重合，这时 OA 自身转了 1 圈， 因此小铁环自身也转了 1 圈．A O O A ⑵⑴【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以 考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自 己的圆周长，那么小铁环转动了 1 圈． 【巩固】如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁 环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径 OA ，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径 OA 滚动了 540? ，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了 3 圈．OAAO⑴⑵也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这个圆的 周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题 中小圆自身转了 3 圈． 【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的 n ( n ? 1 )倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又 回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离． 设小圆的半径为“单位 1” ，则大圆的半径为“ n ” ．圆与扇形 题库 page 39 of 42⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为 2π ? (n ? 1) ． 2π ? (n ? 1) 所以小圆绕自己的圆心转动了： ? n ? 1(圈)． 2π图（1）图（2）⑵在外侧滚动时，如图⑵所示． 因为圆心滚动的距离为 2π ? (n ? 1) ． 2π ? (n ? 1) 所以小圆绕自己的圆心转动了： ? n ? 1 (圈)． 2π 【例 74】 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？【解析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬 币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了 180? ? 60? ? 60? ? 60? ．而硬币上的每一点都是半径 等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120°． 当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转 了 360? ? 60? ? 60? ? 90? ? 150? ．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转 了 300? ． 长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是 在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边． 120? ? 8 ? 300? ? 4 ? 2160? ， 所以这枚硬币转动了 2160? ，即自身转动了 6 圈． 另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2 π 即滚动了一周． 【巩固】12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形(圆心的连线)．用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬 币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？ 【解析】 对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边” 上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度 ? 2 π ? 自身转动圈数．结论：一样多；都是 6 圈． 【例 75】圆与扇形 题库一枚半径为 1 cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上， 让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回page 40 of 42到原来的位置，那么与原 A 点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长 为_______．D E F A CD C B E F AB1 【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆， ? (2 ? 2π) ? 3 ? 6π ， 2 6 π ? 2 π ? 3 ，即为 3 周，所以答案为 A 点， 3 周， 6 π ． 【例 76】 先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心， 2cm 为半径作弧，形成曲边三角形 (如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图 那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？( π ? 3.14 )A 2 B 2 2 C【解析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才 能实施具体的计算．2 2 2 2 2 A C 2 2 2 B 2图⑴2 2图⑵2 D 2 A C 2 B 2 2 D' 22 22 2 2 A C B 2 2 图⑷ 2 22图⑶在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形” ， “莱洛三角形”有一个重要的性质就是 它在所有方向上的宽度都相同． 为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：圆与扇形 题库 page 41 of 42第 1 步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点 A 的上方滚动到顶点 A 的左边时，这时阴影“莱洛 三角形”滚动的这部分面积是以 A 为圆心、 2cm 为半径、圆心角为 60 ° 的扇形．在顶点 A 、 B 、C 处 各有这样的一个扇形； 第 2 步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边 AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是 以图⑶中 D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以 C 点为圆心的弧 AB 上滚动，可知此时圆心 D 运动 的轨迹是图⑶中的弧 DD' ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以 C 为圆心、 4cm 为 半径、圆心角为 60 ° 的扇形减去半径为 2cm 的 60 ° 的扇形； 综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积． 60 ? 60 60 ? ? ? 2 2 ? π ? 22 ? 滚动时经过的面积是： 3 ? ? π ? 22 ? ? ? 3? ? π ? 4 ? ? ? 8π ? 25.12(cm ) ． 360 ? 360 360 ? ? ?圆与扇形 题库page 42 of 42
4-3-3圆与扇形.题库教师版001―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。