我教“鸡兔同笼”_
&本文发表于《小学数学教师》1998年第6期。
这是小学二年级第一学期末的数学课外活动课。学生是自愿报名参加的，没有进行过任何挑选。教学时间是连续两个课时共一个半小时(课间休息10分钟)。使用教材是刘彭芝主编、刘治平副主编及编撰的《华罗庚学校数学课本》二年级上册(第十五讲《画图凑数法》，大百科全书出版社1994年10月)。
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师：同学们，今天我们学习鸡兔同笼问题。
生：老师，什么叫“鸡兔同笼”呀？
师：我先给你们讲个故事吧!我小时候，像你们这样大，一天，在放学回家的路上，一个白胡子老爷爷拦住我，说：“你上学了。我考考你!”我喜欢数学，爱动脑筋，就说：“老爷爷，你考吧!”白胡子老爷爷说：“听着，我出题了：笼中有兔又有鸡，要数腿三百六。要数脑袋一百一，几只兔子几只鸡?”我一听就愣住了，心想太难了!怪不好意思的。白胡子爷爷说：“你现在还小。不会不要紧。记住吧，这叫鸡兔同笼问题。古人云，人非生而知之，而是学而知之，好好读书，日后再学。”我记住了白胡子老爷爷的话。到了上小学五年级时，头一次去县城，在新华书店里，见到一本《小学数学四则应用题详解》，就买回了家，书中讲了这道题，我学会了，特别高兴。直到现在我还记忆犹新呢!
生：这道题该怎么做呀，给我们讲讲吧!
师：先別急，我问问大家，都愿意学鸡兔同笼吗？
生：(齐声回答)愿意!
师：好!这是我国的民间趣题，我希望每个同学都把它记住。我提议，现在大家一起朗读两遍。(教师带领学生大声朗读，群情振奋，童音悦耳。)
[说明]课首先通过讲故事，点出题目，显示难度，造成认知冲突，从而激发学习动机，增强学习兴趣，并暗示老师小时候也不会，促进学生对老师的认同。这对低年级小学生来讲是必要的、适宜的。从心理学角度看，学习的动机、兴趣、情感等属意向活动和非智力因素。在教学活动中，它们同认识活动及智力因素一起发挥作用。上师大燕国材教授讲教学过程的本质“就是认识与意向，亦即智力因素与非智力因素的统一”。上海顾汝佐老师指出，培养学生认识的发展与意向的发展应紧密联系、相辅相成。
另外，本讲高度重视所选例题。大数学家、科学家牛顿曾说过：“在数学上，例子比法则更重要。”这则民间趣题，简明准确、押韵好记，会给小小年纪的孩子们留下终身难忘的深刻印象。我个人的体验即是如此。
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我拿出图画，贴好(见图1)。
师：同学们，咱们先从简单的开始。大家看，一只鸡有两条腿，一只兔有四条腿。我现在问：鸡兔同笼，有2个头，共6条腿，想想，几只兔，几只鸡?
生：1只兔，1只鸡!(大家齐声回答。)
师：对!再听：鸡兔同笼。3个头，8条腿，几只兔，几只鸡?
生：1只兔，2只鸡!
师：好!再听：鸡兔同笼，3个头，lO条腿，几只兔，几只鸡?
生：2只兔，1只鸡！
师：很好!这些简单题，你们一下子就猜出了答案!还有不明白的吗?下面大家可以互相讨论，也可以互相出题考考!
学生们开始讨论，互教互学，教室气氛更活跃了。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(1)通过师生对话问答，学生已经搞清了题意，知道了什么是鸡兔同笼问题了。以上三题，学生猜猜凑凑，都能得出正确的答案。这说明小学二年级学生的心理发展水平已具备了学习鸡兔同笼问题的经验准备。
(2)我的鸡兔同笼教学为什么从最简单的问题开始呢?著名数学家华罗庚教授说：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”美国华盛顿大学数学教授卡尔．B．艾伦多弗，在他所写的供小学教师使用的数学教材中也谈到：“数学中的一切讲授都应该在直观水平上开始。当你抓住概念并把它们与你周围的世界联系起来时，就为更正规的讲述做好了准备。”他认为这是讲课应该遵循的程序。这是从教学过程的认识活动方面考虑的。若是从情感因素方面考虑，我们可举出德国弗来堡师范大学海纳特教授在所著的《创造力》中说过的话：“创造性教学的一个特征是，教师尽量关怀学生的学习，努力使自己返回到学生阶段，也就是开始一个倒回的过程，这样他才有可能把自己与学生看成一致的。并使学生把他视为同一。”
(3)课堂上自由讨论，是根据“数学学习是一种社会性活动”的观点而穿插进来的，以便从小培养学生的合作精神。
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(三)& 过了一会儿，我示意自由讨论停下来。
师：同学们，我出难题了!鸡兔同笼，有10个头，共26条腿，几只鸡，几只兔&&
& 生：咳呀!太难了，猜不出来了!
师：是不好猜了，咱们再想个高级点的办法好不好&&
师：这个办法叫做画图凑数法。请大家拿出纸和笔，跟我一起画。(学生做准备，教师在黑板上开始画，边画边讲。)
师：同学们，咱们画点“●”代表头，该画几个点呀&&
& 生：画10个点。(学生开始画。)
& 师：对，第一步，画l0个点，代表10个头。(见图2)
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&●&●&●&●&●&●&●
●&●&●&
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&图2：10个头&&　第二步，用线段“│”代表腿，我们在每个点下都画上两条腿(线段)，就成了10只鸡，数一数，它们有20条腿(见图3)。&&&&&&&&
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图3：10只鸡20条腿&&
第三步，题里说有26条腿。腿不够，再添腿。一个头(点)下添两条腿(线段)，它就变成了兔。一边画一边数，凑够26条腿就好了(见图4)。
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&图4：共26条腿
数一下，可知有3只兔，7只鸡。这就是答案，你们看，对不对&&
　　生：对!(学生也跟着画完了)
　　接着，我叫学生做教材中习题十五的第1题，即：笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡&&
同学们用刚才的方法得出了答案：4只兔，7只鸡。这表明学生已经掌握这一方法了。
&&&&[说明]这段教画图凑数法，我带领学生边画边数，直至得出满足题目中的两个条件(头数、腿数)为止，答案就得到了。可以看出，这个方法的实质就是一套完整的操作程序，包括画图和数数两个方面。从生理和心理的发展来看，二年级的小学生完成这套操作，是能够胜任的，也是能很快学会的。
按宋淑持老师提出的“小学低年级数学教学中思维能力培养”的做法来看，画图凑数法完成了其中的头三个环节，即利用“形象化”的教学方法“提供感性经验，引发形象思维”，“获取有关表象”，“概括出典型(有代表性的)形象”。如果说这可以叫做第一步的话，那么还应该继续进行下面的第二步：是否可以叫做“引向、形成抽象思维”，和第三步：是否可以叫做“应用、解决实际问题”。
& 另外还需说明的是，用点“●”代表头，用线段“│”代表腿，用“”代表鸡，用“”代表兔，这种替代的实现过程同时就是学生头脑中的抽象过程，即是舍弃了“头”、“腿”、“鸡”、“兔”等事物诸多方面的属性，只保留了与题目有关的数量特性。也只有这样才概括出了这些“典型(有代表性的)形象”（宋淑持语），它们（●，│，，等）是在形象思维中被运演(操作)的对象。这也就不难理解，在数学中的形象思维不同于文学艺术中的形象思维，它的运演(操作)对象一般不再是如鸡、兔那样的原物原型，而是具有一定抽象度的典型形象。
这是否就是把“形象化”教学进一步深化时应该注意的问题呢&&
这是否就是教学生“学会数学地思维”的最起码的要求呢&&
　　再次，可以说，画图凑数法的设计是符合(或说依据)加里培林等心理学家所说的，人的外部活动的动作结构能转化为內部的认知心理结构，即两者具有同构性的假说的理论的。
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　　师：同学们，下面我把题出得再难一些，注意听：一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，今有蛐蛐和蜘蛛共10只，腿68条，蛐蛐和蜘蛛各几只&&
谁说说，对这道题该怎样想&&
& 生：老师，我看这道题像鸡兔同笼一样，也可以用刚才学会的画图凑数法做。
　师：好!让我们画画看吧!大家还跟我一起做。(教师边画边讲，学生边画边听。)画出10个点代表10个头，因为蛐蛐的腿太多，我们在点下写个数字“6”就代表6条腿(见图5)。
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　图5：10只蛐蛐　　算一算，10只蛐蛐共有6&10＝60条腿，与题给的腿数还差：68－60＝8条腿，再给蛐蛐添2条腿，叫它变成“蜘蛛”，算一算，要添出8条腿，只要变出4只蜘蛛就行了(见图6)。
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　　写出算式8&2=4只蜘蛛。同时可知10－4＝6只蛐蛐。
　　这一题是用画图凑数和算式计算结合起来解答的，下一步就要过渡到只用算式计算了。
师：同学们，现在让我们一起解决白胡子老爷爷从前给我出的那道难题吧!
题目：鸡兔同笼，头110个，腿360条，鸡兔各几&&
解：要求在脑子里画图形。
第一步：画出110个头；
第二步：每个头下添2条腿，共有2&110=220条腿；
第三步：算一算还差几条腿&&
还少360－220=140条腿；
第四步：给鸡添2条腿，叫它变成兔：共变成140&2=70只兔；
第五步：最后再算出鸡数：110－70=40只鸡。
& 同学们都能够掌握这个计算程序了，大家很高兴。
& [说明]至此我们用语言、算式表述，把学生的思维活动引向开展的抽象思维。并加以压缩，形成抽象思维，获得了一种解鸡兔同笼问题的思维模式。
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接着，我又引导学生把解鸡兔同笼问题的思维模式(可以说是一套思维操作程序)去解很多类似的问题。具体地讲我让学生在课堂上练习解答教材的例2以及习题的第3、5两题，兹抄录于下：
例2：一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共10辆。数数车轮共有26个，自行车几辆，三轮车几辆&&
习题十五(3)：有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，两队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗&&
习题十五(5)：数学竞赛试卷共有10道题。做对一题得10分，做错一题扣2分，小明最终得了76分，问他做对了几题，做错了几题。
　　很多学生很快就完成了练习，特别是有一些学生用心算马上就做出了，使我这个老师都感到惊讶。如一个学生解习题十五(5)题说：“小明做错了两道题。”我问：“你怎么知道的&&
”他说：“他若是10道都对了就能得100分，错一道就要少12分，他得了76分，所以是错了两道”。这种思维方式完全就是鸡兔同笼的解题模式呀!
&&&[说明]根据模式论的数学观，可以说，相对于各种具体的数学模式而言，思维模式具有更高的层次。由上文所述可见。我们借助于形象思维，使小学二年级学生建构起了解“鸡兔同笼”那样的一大类问题的思维模式，使孩子们经历了一次由形象思维向抽象思维进行过渡的心理体验。实现了教鸡兔同笼问题应该达到的教学目标，即把数学结论应用于实际，使抽象思维与形象思维协同发挥作用，使学生变得更加聪明。
当时，我国小学数学教育专家、八旬高龄的资深编审宋淑持先生，在《小学数学教师》的专栏《松子评课》上发表署名文章，载1998年第6期，评荐拙作：
读刘治平《我教鸡兔同笼》的两点体会
“鸡兔同笼”问题是传统算术中的难题。在传统的教材中是小学高年级，甚至初中一年级里教学的。刘治平老师让二年级小学生学习这种“难题”却取得了很大的成功。这里有什
么“奥秘”呢?我认为主要是由于刘老师把“鸡兔同笼”这一类数学问题作为培养和发展儿童数学思维的载体，引导儿童经历了一次由具体形象到概括了的形象，由形象思维到抽象思
维过渡的心理体验，从而主动构建起了解题的思维模式，实现了提高解题能力和发展思维的教学目标。
我们来看看这课上儿童思维发展的脉络：
(1)老师先出示颜色鲜艳、形象生动的兔子和公鸡的实物图，唤起儿童有关的生活经验，儿童的脑海中呈现了这两种小动物的具体形象。这一步是基础。
(2)再用“●”表示小动物的头，用“│”表示小动物的脚，得到用“”表示鸡，用“”表示兔。这一步很重要。在这里，兔子的白色、鸡的金黄色都不见了，它们的生动的不同形态也不见了，甚至它们的躯体也被忽略了，而只抽取了与数学题有关的“头”与“脚”；而且，“兔头”与“鸡头”的差异，“兔脚”与“鸡脚”的差异，也被舍弃了，只保留了头和脚的一般形象。这对老师来说，是把教学内容加以抽象，考虑到儿童的可接受性，再把抽象的结果形象化。而对儿童来说，他们的心理历程则可能是淡化鸡、兔的具体形象中的其他部分，而把显示鸡、兔的数量属性的形象筛选出来，概括出来，得到一些“符号画”，这一历程是儿童脑中表象的概括化、典型化。
“符号画”既是形象的图画，又是抽象的符号。它是形象思维运演(操作)的“算子”，又是形象思维过渡到抽象思维的桥梁。
(3)运用符号画操作，让儿童在脑子里运演，解出数据较小的问题，使儿童理解“鸡兔同笼”问题的基本结构，并获得解题的感性经验。
(4)随着数据的增大，在符号画中引入数字(见刘文图6)，再加上语言的介入，儿童的思维逐步抽象化，直到用算式表示解题过程，这时儿童的思维也随着发展到抽象思维了。
(5)最后，通过讨论和练习，使儿童形成解“鸡兔同笼”这一类问题的思维模式，并能灵活加以应用。
从上所述，可以看到刘老师教“鸡兔同笼”问题的过程也是根据儿童思维规律，培养儿童的思维的过程。我认为这就是刘老师在教学中取得成绩的主要奥秘。
《我教“鸡兔同笼”》的作者刘治平老师是北京科技大学物理系副教授，北京市华罗庚学校特聘教师，《华罗庚学校数学课本》的副主编。这节课是作者自办的“双休日数学班”对二年级小学生上的数学活动课实录。
有人认为，小学数学只不过是“＋、－、&、&，”是“小儿科”(上海民间俗语，指极其简单的“小事一桩”)，谁都会教。果真是这样么?看了刘老师的《我教“鸡兔同笼”》就可以得到答案了。这篇文章的“说明”部分，说明了教案的设计意图及其理论根据，使我们看到小学数学学科是数学、教育学、心理学与思维学等诸多学科的综合学科，学问大着呢。&&&
刘老师的经验还告诉我们，学生的学习潜力是很大的，就看老师怎样去开发，这就需要有高素质的教师。
当前，新科技革命的浪潮已扑面而来。“科技兴国”的基础在教育，而小学是基础教育。开发小学生的学习潜能，为培养身心健康、高智慧和高情感协调发展的人才打好基础，关键
在教师。我们欢迎资深学者、教授作为“志愿军”加盟小学数学教育的实践、研究工作，使我们的工作更具深度；我们更寄希望于广大的小学教师，立足本职工作，学习刘老师的治学精神，用科学的理论指导实践，在实践中不断充实自己，提高小学数学教育的质量。让我们一起在为“科教兴国”的“基础工程”中奋力拼搏，体现自己的生存价值和生命辉煌!
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。鸡兔同笼问题：鸡和兔子关在一个笼子里,共有8个头,22只脚,鸡和兔子各有几只?）记住,_百度作业帮
鸡兔同笼问题：鸡和兔子关在一个笼子里,共有8个头,22只脚,鸡和兔子各有几只?）记住,
设鸡有x只,兔有y只x+y=82x+4y=22x=5y=3答:鸡有5只,兔有3只
X个鸡，Y个兔子X+Y=82X+4Y=22X=5Y=3
鸡X个，兔子Y个方程：X+Y=8
2*X+4*Y=22X=5 ，Y=3
y=兔x+y=82x+4y=22y=8-x
2x+4(8-x)=222x=10
即 x=5Y=8-X
Y=3所以鸡5只,兔3只
x+y=82x+4y=22x=5 y=3鸡5兔3
设有X只鸡，Y只兔子得方程组：X+Y=8
2X+4Y=22所以 X=8-Y 代入得
2（8-Y）+4Y=22
16-2Y+4Y=22
设鸡有x只,兔有y只 x+y=8 2x+4y=22 x=5 y=3 答:鸡有5只,兔有3只鸡兔同笼,数头共有15只,数脚共有52只,笼中有几只兔子?几只鸡?在11月27日8:35之前回答,否则报废哦!_百度作业帮
鸡兔同笼,数头共有15只,数脚共有52只,笼中有几只兔子?几只鸡?在11月27日8:35之前回答,否则报废哦!
鸡兔同笼,数头共有15只,数脚共有52只,笼中有几只兔子?几只鸡?在11月27日8:35之前回答,否则报废哦!
本题可以设这15只都是兔子那么就会出现60只脚但是题目中有写到数脚共有52只多了8只脚!一只兔子比一只鸡多了2只脚所以只要把其中4只兔子换成4只鸡即可那么就有15-4=11只兔子,和4只鸡了!答：共有11只兔子,4只鸡.参考资料：自己本人 纯手打,鸡兔同笼,数头15只,数腿50条,鸡和兔各有几只?_百度作业帮
鸡兔同笼,数头15只,数腿50条,鸡和兔各有几只?
鸡兔同笼,数头15只,数腿50条,鸡和兔各有几只?
假设法假设全是鸡,则腿有15×2=30条每少一只鸡就多一只兔,就多两条腿所以兔有（50-15×2）÷（4-2）=10只鸡有15-10=5只
这题我们小学时做的题太简单拉吧！
用一笔钱单买拖鞋可以买20双，单买袜子可以买60双，现在把一双拖鞋和一双袜子看做一套，这笔钱可以卖多少套？
设全是兔子：15乘4=60条
60减50=10条
鸡：10除以2=5只
兔：15减5=10只
设鸡有X，兔有Y根据题意得X+Y=152X+4Y=50解方程组得X=5，Y=10
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姓名：。例题1、今有雉兔同笼，上有三十五头，..
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