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如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．
题型：解答题难度：中档来源：不详
作C关于AP的对称点C′，连接AC′、BC′、PC′，则有PC′=PC=2PB，∠APC′=∠APC=60°可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D，使BD=BP，则PD=PC′，又∠C′PB=60°，则△C′PD是等边三角形，由三线合一性质有C′B⊥BP，∠C′BP=90°，因为∠ABC=45°，所以∠C′BA=45°=∠ABC，所以BA平分∠C′BC所以A到BC′的距离=A到BC的距离又因为∠APC′=∠APC，所以PA平分∠C′PC所以A到PC′距离=A到PC（即BC）的距离所以A到BC′的距离=A到PC′的距离所以A是角平分线上的点，即C′A平分∠MC′P所以∠AC′P=12∠MC′P=75°=∠ACB．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，..”主要考查你对&&等边三角形，轴对称，角平分线的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形轴对称角平分线的性质
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。角平方线定理：①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。逆定理：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。角平分线作法：在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；2.连接AN与BM，他们相交于点P；3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。
发现相似题
与“如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，..”考查相似的试题有：
138083362903391934354754363251118472知识点梳理
1.定义：反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。2.使用：当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠A...”，相似的试题还有：
用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”的过程中，第一步应是假设_____．
求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC(提示：反证法)
证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．在△ABC中,PB,PC分别为∠ABC,∠ACB的外角平分线,∠A=50°,求∠P_作业帮
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在△ABC中,PB,PC分别为∠ABC,∠ACB的外角平分线,∠A=50°,求∠P
在△ABC中,PB,PC分别为∠ABC,∠ACB的外角平分线,∠A=50°,求∠P
延长AB,AC交于点P,角A=50度,那么角ABC和角ACB的和就为130度,他们的外角就为230度,则角PBC和角PCB之和为115度,角 P就为180--115=65度
在AB的延长线上取点D，在AC的延长线上取点E∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180∴∠ABC+∠ACB＝180-∠A∵∠DBC＝180-∠ABC，BP平分∠DBC∴∠PBC＝∠DBC/2＝90-∠ABC/2∵∠ECB＝180-∠ACB，CP平分∠ECB∴∠PCB＝∠ECB/2＝90-∠ACB/2∵∠P+∠PBC+∠PCB＝180<...
好像没有∠F吧！不过还是谢谢了如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（　　）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【考点】；；．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC=180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD=AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，∴∠BAC=2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：星期八老师　难度：0.33真题：3组卷：219
解析质量好中差已知△ABC为等边三角形,∠ABC,∠ACB的角平分线交于P,PB的垂直平分线分别交AB、CB于E.F,求证BD=DE=EC._作业帮
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已知△ABC为等边三角形,∠ABC,∠ACB的角平分线交于P,PB的垂直平分线分别交AB、CB于E.F,求证BD=DE=EC.
已知△ABC为等边三角形,∠ABC,∠ACB的角平分线交于P,PB的垂直平分线分别交AB、CB于E.F,求证BD=DE=EC.
你写的条件是错误的,图是正确的.由PB,PC分别平分∠ABC和∠ACB,△ABC是等边三角形,∴∠PBC=∠PCB=30°,∵DG⊥PB,且平分PB,∴BD=PD.由∠PDE=∠PBD+∠BPD=60°,同理：∠PED=∠PDE=60°,∴△PDE是等边三角形,∴BD=PD=DE,同理：CE=PE=DE,∴BD=DE=EC.