盛金公式与费拉里公式解四次方程之特点_百度文库
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盛金公式与费拉里公式解四次方程之特点
虽​然​可​以​用​卡​尔​丹​公​式​解​费​拉​里​公​式​中​的​三​次​方​程​,​但​较​为​复​杂​。​用​盛​金​公​式​解​费​拉​里​公​式​中​的​三​次​方​程​,​具​有​公​式​易​记​、​操​作​简​单​、​过​程​直​观​、​数​据​准​确​、​广​泛​实​用​、​检​查​方​便​、​掌​握​容​易​、​效​率​较​高​等​特​点​。
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新解法——解题法盛金公式1三次方程应用广泛。用解一元三次方程，虽然有著名的，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的的一般式新求根公式，并建立了新判别法。盛金公式2盛金公式3
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一元三次ax^3 +bx^2+cx=d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由的阿尔·花木子米给出。南宋数学家至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。（《数学九章》等）
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秦九韶一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“（有的数学资料叫“卡尔丹公式”）。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是（Tartaglia N.，约）。发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为。 塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元问题上的争论，可是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。 塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 至于ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生找到了。 关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及概念，复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足等性质。它是、解析数论、、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有。 后来年轻的挪威数学家于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？ 不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家利用他创造的全新的所证明，由此一门新的数学分支“”诞生了。
一元三次方程求根公式 -
一元三次方程一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。卡尔丹公式的推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便，约去a得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ， 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ， 所以相加后y^2抵消 ， 得到y^3+py+q=0， 其中p=(-k^2/3)+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为： x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 其中w=(-1+i√3)/2。 ×推导过程： 1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ； 2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。 再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。 设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①， 如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立， 由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。 解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 则u^3=A；v^3=B ， u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ； v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ， 但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解： u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)； u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2； u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 最后：方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 卡尔丹公式方程x^3+px+q=0，（p，q∈R） 判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。 x1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 这就是著名的卡尔丹公式。卡尔丹判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，有一个实根和一对个； 当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等； 当△=(q/2)^2+(p/3)^3&0时，有三个不相等的实根。
一元三次方程求根公式 -
设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则 x1+x2+x3=-b/a； x1x2+x2x3+x1x3=c/a； x1x2x3=-d/a。
一元三次方程求根公式 -
下面介绍一个三次方求根计算方法： X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3 n,n+1是下角标，A。 例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么： 第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1； 第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2； 第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3； 每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
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保存二维码可印刷到宣传品费拉里与一元四次方程的解法,一元二次方程的解法,一元一次方程的解法,一元二次方程..
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费拉里与一元四次方程的解法
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3秒自动关闭窗口高次方程的一般形式　　高次方程的一般形式为
　　anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0
　　等式两边同时除以最高项系数，得：
　　anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0
　　所以高次方程一般形式又可写为
　　x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=0
高次方程解法思想
　　通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．
高次方程根与系数的关系
　　按这个高次方程的形式
　　x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有
　　所有根相加等于系数bn-1的相反数
　　所有根两两相乘再相加等于系数bn-2
　　所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数
　　依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb0
阿贝尔定理
　　对于5次及以上的一元高次方程没有通用的解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
　　换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和的解法。
四次方程解法
　　诞生后，卡尔丹的学生便发明了一元四次方程的求根公式。
　　【费拉里公式】
　　一元四次方程
　　aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，
　　（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
　　令a=1，则
　　X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，
　　此方程是以下两个一元二次方程的解。
　　2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；
　　2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
　　M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
　　y是一元三次方程
　　8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0
　　的任一实根。
三次方程解法
　　一元三次方程的求根公式用通常的思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
1．卡尔丹公式
　　一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
　　判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
　　【卡尔丹公式】
　　X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
　　X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
　　X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
　　其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
　　Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
　　一般式一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0
　　令X=Y—b/(3a)代入上式，
　　可化为适合卡尔丹公式求解的特殊型三次方程Y^3＋pY＋q=0。
２．盛金公式
　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
　　【盛金公式】
　　一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
　　重根判别式：
　　A=b^2－3ac；
　　B=bc－9ad；
　　C=c^2－3bd，
　　总判别式：
　　Δ=B^2－4AC。
　　当A=B=0时，盛金公式①：
　　X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
　　当Δ=B^2－4AC&0时，盛金公式②：
　　X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
　　其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
　　X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，
　　其中K=B/A，(A≠0)。
　　当Δ=B^2－4AC&0时，盛金公式④：
　　X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
　　X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
　　其中θ=arccosT，T=
(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A&0，－1&T&1)
　　【盛金判别法】
　　①：当A=B=0时，方程有一个三重；
　　②：当Δ=B^2－4AC&0时，方程有一个实根和一对共轭；
　　③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两；
　　④：当Δ=B^2－4AC&0时，方程有三个不相等的实根。
　　【盛金定理】
　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
　　盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
　　盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
　　盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
　　盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
　　盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
　　盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
　　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not
with radical sign, and efficiency higher for solving an
equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
　　盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院（版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL
SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province,
China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new
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Shengjin. PP·91—98 .
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。71一元三次方程求解史话
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71一元三次方程求解史话
一元三次方程求解史话；数科院08（1）肖云霞；一、引言庞加莱（法国）曾经说：“如果我们希望预知；二、方程的历史；2.1方程的起源；中国古代&九章算术&(8)方程:线性；十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国；十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者；2.1.1方程
一元三次方程求解史话数科院 08（1）肖云霞 一、 引言
庞加莱（法国）曾经说：“如果我们希望预知数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”了解历史才能更好的研究和促进数学学科的发展。通过对一元三次方程求解的公式的历史追溯，了解其曲折的发展过程，进一步洞悉一元三次方程的求解公式及其在求四次方程中的巧妙应用。二、 方程的历史2.1方程的起源中国古代&九章算术&(8)方程:线性方程组解法和正负术.是具有世界先驱意义的首创.是世界古代著名数学著作之一.十六世纪,随著各种数学符号的相继出现,特别是法国数学家韦达创立了较系统的表示未知量和已知量的符号以后,&含有未知数的等式& 这一专门概念出现了,当时拉丁语称它为&aequatio&,英文为&equation&。 十七世纪前后,欧洲代数首次传进中国,当时译&equation&为&相等式. 由于那时我国古代文化的势力还较强,西方近代科学文化未能及时，在我国广泛传播和产生较少的影响,因此&代数学&连同&相等式&等这些学科或概念都只是在极少数人中学习和研究.十九世纪中叶,近代西方数学再次传入我国.1859年,李善兰和英国传教士伟烈亚力,将英国数学家德.摩尔根的&代数初步&译出. 李.伟 两人很注重数学名词的正确翻译,他们借用或创设了近四百个数学的汉译名词,许多至今一直沿用.其中,&equation&的译名就是借用了我国古代的&方程&一词.这样,&方程&一词首次意为&含有未知数的等式.1873年,我国近代早期的又一个西方科学的传播者华蘅芳,与英国传教士兰雅合译英国渥里斯的&代数学&,他们则把&equation&译为&方程式&,他们的意思是,&方程&与&方程式&应该区别开来,方程仍指&九章算术&中的意思,而方程式是指&今有未知数的等式&.华.傅的主张在很长时间里被广泛采纳。2.1.1方程的定义直到1934年,中国数学学会对名词进行一审查,确定&方程&与&方程式&两者意义相通.方程（英文：equation）是指含有未知数的等式,使等式成立的未知数的值是方程的解,如一元一次方程、二元一次方程等。，广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。数值函数即方程是在变量数学时期发展起来的，是从常量到变量的飞跃。是数学发展中的一次历史性的跨越。2.2一元三次方程求解的历史2.2.1一元三次方程求解的重要历史人物人类很早就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题（在初一和初二就会学习到有关内容），就是利用韦达定理求解一元二次方程，使其求解有固定的公式解决。但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。于是对一元三次方程的求解使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。
帕西奥利1494年，意大利数学家帕西奥利对一元三次方程进行过艰辛的探索，然后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解一元三次方程，犹如化圆为方的问题一样，是根本不可能解决的，这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔达诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔达诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。 以此为序曲引出了我们要讲述的关于一元三次方程求解的历史。 费罗(Scipione del Ferro, )费罗(Scipione del Ferro, )是一位大学教授，他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项一元三次方程的求解公式.在求解一元三次方程的道路上，这是一个不小的成功。但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果，与广为传播自己的成功相反，他对自己的解法绝对保密！在当时有其原因，那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一杀手锏传给他的一个学生。这样他的学生菲奥尔以这一杀手锏的唯一传人在我们的历史中作为第二个人物露面了，菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世，只不过他没能炫耀太久，一个厉害的挑战者塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, ) 出现在他的面前。塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia, )塔塔利亚这是我们历史中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。由于口吃的后遗症得了塔塔利亚的绰号，意大利语就是口吃者的意思。那时他还只有13岁，这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式，在数学上达到极高的成就。1534年他宣称自己已得到了形如x3+mx2=n这类没有一次项的三次方程的解的方法。不久，菲奥尔就听到了这个消息， 二人相约在米兰进行公开比赛，双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜塔塔利亚在日，在参加比赛前夕，经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来这样他以30:0的战绩大获全胜。这次胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉。塔塔利亚为胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法。到1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表。卡尔达诺(Girolamo Cardano, )卡尔达诺(Girolamo Cardano, )，一位或许是数学史中最奇特的人物他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生，但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋，除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳在他去世后一百年，莱布尼兹概括了他的一生：卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人，没有这些缺点，他将举世无双。在我们历史中，卡尔达诺正是一个将才能与不佳的人品集于一身的人 。在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，在此之前卡尔达诺对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果。于是可以想象得到他很想知道塔塔利亚的解三次方程的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教一元三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了，但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于日向卡尔达诺公开了自己的求解方法。 然而卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起当然，其实卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造。然而，这种失信激怒了塔塔利亚，1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去。 费拉里(Ludovico Ferrari, )日在米兰的公开辩论，使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari, )，费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆，主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手。18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学。其最大的贡献是发现四次方程的一般解法。现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了。在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指则对方不能解四次方程。最后以塔塔利亚的失败而告终。后者宣称了自己胜利是由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为卡尔达诺公式，塔塔利亚之名反而湮没无闻了。2.2.2一元三次方程求解的具体方法首先介绍一元二次方程的求根公式, 从这个韦达定理中, 人们受到启发,对一元三次方程及一元四次方程进行求根公式的探索和发现。①一元二次方程的解对于一元二次方程的一般形式：ax2+ bx+ c= 0 ( a≠0) 化成平方形式变形得a(x?b2a)?c?2b24ab?0，即(x??b2a)?2b?4ac4a22，上式整理得到x?，这个就是对于一元二次2a2a2a2a方程的公式解，即只要知道a,b,c的值，就得到一元二次方程的解。 b??故有x??②一元三次方程的解法⒈ 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax3+bx2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x3+px+q=0(缺二次项)的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x?u?v型，即为u3、v3两个数开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出u、v，也就是用p和q表示u和v。方法如下：（1）将x3?u?v两边同时立方可以得到
333（u+v）（2）x?(u?v)?u?v?3uv（3）由于x3?u?v,所以（2）可化为
x?(u?v)?u?v?3uvx,移项可得
（4）x33?3uvx ?（u?v）?0,和一元三次方程和特殊型33x?px?q?0作比较，可知
(5)p??3uv,q??(u?v)，变化形式得（6）p3?27（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，?uv，(u333?v)??q 3因为u和v可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ax2+ bx+ c= 0 ( a≠0)的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）x1?x2??33ba,x1x2?ca3
(9)对比（6）和（8），可令u3a?27a(10)由于形如ax2+ bx+ c= 0 ( a≠0)的一元二次方程的求根公式为 b2a?3?x1,v?x2，p3?c，q?b x??2a3 将(9)中的u?x1,v?x2，x2p3?27?ca，q?ba，构造成一元二次方程?qx?p3?27?0
代入（10）可得3(11)由根与系数的关系知：u??q2?12，v??3q2?(12)由（11）可得u,v的三个解，即u,uw,uw2或v,vw,vw2将u,v代入x?u?v得(13)u0?(?q22一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。 ?13,v0?(?q?13,只是一元三次方程的⒉塔塔利亚发现的特殊一元三次方程的解法设一元三次方程的特殊形式是 x3+px2+q=0（缺一次项）,那又该如何求解呢？这种方程更接近于一般方程的求解。塔塔利亚将这种方程通过变量平移的形式，转化成缺二次项的形式，具体操作如下： 如果作一个横坐标平移x?t?b3a,那么我们就可以把方程的二次项消b3a去。所以我们只要考虑形如x3+px+q=0(缺二次项)的一元三次方程（上面已经解决）。 假设对于一般方程ax3+bx2+cx+d=0的解x可以写成x?t?里t是待定的参数。代入方程，我们就有
a(t?t?3的形式，这b3a3)?b(t?23b3a)?c(t?2b3a)?d?0整理得到 3ac?b3a322t?2b?9abc?27ad27a23?0
即由一元三次方程根的求解公式可2知，2b?9abc?27ad27a3,q?2b?9abc?27ad27a33,转化成t?pt?q?03的形式，由（11）中的公式一定可以解出t，进而得到x,再由x?t?b3a求出一般的一元三次方程的根。即缺一次项的一元三次方程（c=0）均可转化为缺二次项的一元三次方程，进而利用已经得到的求根公式求解。这一求解至今仍有着广泛的应用，则关于x的一般一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a?0）的三个根分别设为x1,x2,x3，则x1?x2?x3??ba，x1x2?x2x3?x3x1?ca，x1x2x3??da，此结论概括了一元三次方程的根与系数关系，亦称为韦达定理。此式作为一元二次方程的韦达定理有很广泛的应用，在思维上有一定的灵活性和深广度（现代人根据塔塔利亚的解法归纳出的）。3.一元三次方程的应用费拉里发现的一元四次方程的解法，可以归结为一元二次和三次方程进行计算。包含各类专业文献、应用写作文书、中学教育、各类资格考试、71一元三次方程求解史话等内容。　
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