多元函数_百度百科
[duō yuán hán shù]
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是。下同）当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数定义
多元函数多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的。
若对于每一个（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）
多元函数——二元函数z=f(x,y)的图象
当n=1时，为，记为y=f(x),x∈D;
当n=2时，为，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。
二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数其他定义
设D是n维空间的一个，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z=f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z=f（P），P∈D。　若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。
当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。
二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。
多元函数三要素
多元函数定义域
集合D={（x1,x2,…,xn）| y=f（x1,x2,…,xn）}，称为函数的定义域，也可以记为D（f）或Df（f是下标）。
多元函数对应规则
对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律）f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。
多元函数值域
对于（x10,x20,…,xn0）∈D,所对应的y值，记为y0=f（x10,x20,…,xn0）称为当（x1,x2,…,xn）=（x10,x20,…,xn0）时，函数y=f（x1,x2,…,xn）的函数值。
全体函数值的集合{y∣y=f（x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D}称为函数的值域，记为Z或Z（f）。
多元函数背景
人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。
例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。
多元函数几点说明
多元函数研究一元函数的思想方法
研究一元函数的思想方法是研究多元函数、尤其是二元函数的基础。研究二元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。
多元函数多元函数性质
象一元函数一样，它也有定义域、值域、自变量、因变量、等概念和性质。
多元函数三种定义的异同
这里分别给出了多元函数的三种定义。极限、导数即有序数组定义、n维空间定义和笛卡尔积定义。可以说前两者是等价的。后者外延更广泛。
多元函数本质
多元函数的本质是一种关系。是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵；等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。
人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。
设点（x1，x2，…，xn） ∈G，（u1，u2，…，un）∈U，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数：y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(为整数)，当α是奇数时为（ －∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
②指数函数：y=a^x（a&0 ，a≠1），定义域为（ －∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a&0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2&x1时，y2&y1） ，0&a&1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y=a^x和y=log(x)的图形关于y轴对称。如图4。
③对数函数：y=logax（a&0）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a&1 时是严格单调增加的，0&a&1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
④三角函数：见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。
⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。
[编辑]补充
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
多元函数参考资料
《高等数学手册》、《一元微积分》、《多元微积分》、《高等代数》、《实变函数论》、《数学教学论》、《中学数学教师手册》
多元函数图书信息
书 名: 多元函数
作　者：（美）弗莱明
出版时间：
开本： 16开
定价: 45.00 元
多元函数内容简介
The book is suitable for a one-year course at the advanced undergraduate level. By omitting certain chapters, a one semester course can be based on it. For instance, if the students already have a good knowledge of partial differentiation and the elementary topology of E', then substantial parts of Chapters 4, 5, 7, and 8 can be covered in a semester. Some knowledge of linear algebra is presumed. However, results from linear algebra are reviewed as needed (in some cases without proof).
& 本书适用于一年制的课程的高年级本科生的水平。通过省略某些章节，一学期的课程，可以基于它。举例来说，如果学生已经有部分分化良好的知识和E的基本拓扑结构“，那么大量，第4章，57的部分，和8可以覆盖在一个学期。线性代数的一些知识推测。然而，从线性代数结果需要（在某些情况下没有证明）进行审查。 &
多元函数目录
euclidean spaces
1.1the real number system
1.2euclidean en
1.3elementary geometry of en
1.4basic topological notions in en
1.5convex sets
elementary topology of en
2.1functions
2.2limits and continuity of transformations
2.3sequences in e"
2.4bolzano-weierstrass theorem
2.5relative neighborhoods, continuous transformations
2.6topological spaces
...............
企业信用信息& & 这是一本让众多考生豁然开朗的中考数学辅导书，里面涵盖了中考数学压轴题的全部题型，几乎所有的压轴题都可以在这里找到影子。
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第1章常用几何辅助线添加方法1.1连接1.2延长1.3平行1.4垂直第2章三大几何辅助线技巧2.1截长补短2.2倍长中线2.3旋转第3章常见几何模型3.1垂直模型3.2角平分线模型3.3一线三等角模型3.4等腰直角三角形模型3.5中位线模型3.6垂径定理模型3.7折叠模型3.8旋转模型第4章三角形的存在问题4.1直角三角形的存在问题4.2等腰三角形的存在问题4.3等边三角形的存在问题4.4等腰直角三角形的存在问题4.5全等三角形的存在问题4.6相似三角形的存在问题第5章四边形的存在问题5.1平行四边形的存在问题5.2矩形的存在问题5.3菱形的存在问题5.4正方形的存在问题第6章面积问题6.1面积最大值6.2面积最小值6.3面积比值6.4重叠部分面积6.5面积的加减乘除第7章最短路径问题7.1最短路径问题——和最小7.2最短路径问题——差最大第8章其他问题8.1垂直平分8.2角相等8.3中点路径8.4圆8.5角度定值8.6新定义8.7平移抛物线8.8中心对称抛物线第9章部分城市中考数学压轴题分析9.1北京中考数学压轴题分析9.2上海中考数学压轴题分析9.3广州中考数学压轴题分析
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版权所有(C)2014 清华大学出版社有限公司 京ICP备号 京公网安备48号毕达哥拉斯（大约公元前 572—前 497）也许是人类历史上，既是具有深刻影响力的自然哲学家，又是富于个人魅力的思想哲学家的第一人，他是科学家和宗教思想家的统一。事实上，有人认为是毕达哥拉斯创造了“哲学（philophy）”和“数学（mathematics）”这两个词1。其中，“哲学”的字面意思是智慧之爱，而“数学”的字面意思是学习的学科。今天，尽管毕达哥拉斯的手稿已经荡然无存了（如果说它们的确还存在的话，也只是口口相传，并未形成文字），我们能看到的关于毕达哥拉斯的个人传记却一共有 4 本。有 3 本详细的传记大约在公元 3 世纪左右成书2（可能只有部分内容真实可信），第四本由一位匿名作者撰写，是从拜占 庭主教和哲学家佛提乌斯（Photius，大约 820—891）的著作中保留下来的。要想评价毕达哥拉斯的个人贡献，最主要的困难在于，他的信徒和追随者组成了所谓的“毕达哥拉斯学派”，他们都将自己的研究归功于毕达哥拉斯。因此即使是亚里士多德（公元前 384—前 322）都很难辨别3，毕达哥拉斯学派的哲学中，究竟哪一部分是毕达哥拉斯本人的。因此，亚里士多德笼统地将其称之为“毕达哥拉斯学派”或“所谓的毕达哥拉斯学派”。由于毕达哥达斯在后人中的崇高声望，通常大家公认，他至少是某些毕达哥拉斯学派理论的创始人。柏拉图，甚至哥白尼，都从毕达哥拉斯学派的理论中受益良多。
1 亚姆利库，大约公元 300 年（a、b）；加思里在 1987 年讨论这一点。
2 拉尔梯乌斯（Laertius），约公元 250 年；波尔菲里（Porphyry），约公元 270 年；亚姆利库，约公元 300 年（a、b）。
3 亚里士多德，约公元前 350 年；伯克特（Burkert）在 1972 年讨论了这一点。
毫无疑问，毕达哥拉斯大约于公元前 6 世纪早期出生在萨摩斯岛（Samos，爱琴海东部的一座岛屿，距离现在的土耳其海岸不远）。早年他曾经四处游学，足迹遍布埃及，也许还包括巴比伦。他的数学知识至少有一部分是在那里学的。后来，他移居古希腊的克罗顿（Croton，意大利南端附近）。在那里，他的周围迅速聚集了一大批热情的追随者和信徒。
古希腊的历史学家希罗多德（Herodotus，约公元前 485—前 425）认为毕达哥拉斯是“所有希腊人中最有才干的”4。前苏格拉底派的哲学家、诗人安培多克莱（Empedocles，约公元前 492—前 432）对毕达哥拉斯更加推崇5：“但是，在他们之中，有一个人把其他所有人都远远抛在了身后。他学识渊博，见解深刻，他几乎精通所有的科学领域，并在各个领域都作出了卓越贡献，足以被称为大师。在任何时候，只要他全身心地投入，他就能轻易发掘并分辨出所有的真相。他似乎有十个人，不，是二十个人的智慧。”当然也不是所有人都欣赏他。据说爱菲索斯的哲学家赫拉克得特（Heraclitus，约公元前 535—前 475），与毕达哥拉斯本人之间有一些私人恩怨，因此他虽然承认毕达哥拉斯具有广博的学识，但同时又用轻蔑的口吻评价道：“多学习并不能产生智慧，否则的话，就能教会赫西奥德（Hesiod，古希腊诗人，大约公元前 700 年）和毕达哥拉斯了。”
4 希罗多德，公元前 440 年。
5 波尔菲里（Porphyry），约公元 270 年。
毕达哥拉斯和早期的毕达哥拉斯学派，在他们所生活的那个时代里，既不是严格意义上的数学家，也不是纯粹的科学家。事实上，数字代表的形而上哲学才是他们理论和教义的核心。对毕达哥拉斯学派而言，数学不仅是有生命的存在，也是宇宙运行的法则。它贯穿于任何事物，无论是天上的天国，还是人类的道德，都概莫能外。换句话说，在毕达哥拉斯学派眼中，数字有两种截然不同，却又紧密相联、互为补充的含义。一方面，数字有明确的物理存在形式；另一方面，它们又是抽象的法则，基于这种法则才能形成万事万物。例如，单子6（数字17）被认为是所有其他数字的基数，是和水、空气、火（当时它们被认为是构成物质世界最基础的要素）一样的独立存在体。同时，单子也被认为是一种思想，代表形而上哲学中的统一，是所有人类创造物的源头。英国哲学史学家托马斯·斯坦利（Thomas Stanley，）曾用优美的文字（这种优美只是针对 17 世纪的英文而言）描述过毕达哥拉斯学派与数字联系在一起时的两种特点8：
数字有两种类型，知性的（或者说是无形的）和知识的。知性的数字讲的是数字永恒的本质。毕达哥拉斯在他有关上帝的一次演讲中宣称，这种知性是天堂、人间，以及两者之间的自然界中最神奇的一条法则……这也被称为所有事物的法则、根源、基础……知识的数字，被毕达哥拉斯定义为本源的行为拓展和产物，这种本源存在于单子及单子自身的累积之中。
6 关于毕达哥拉斯学派观点请参阅斯特罗迈耶（Strohmeier）和韦斯特布鲁克（Westbrook）在 1999 年的讨论。
7 代表不可再分的最简单的客观实体。——译者注
8 斯坦利，1687 年。
因此，数字不只是用来表示数量的工具。事实上，数字的发现是必然的，因为它们是自然界中万物形式上的代表。宇宙中的所有东西，从物质的实体——例如地球，到抽象的概念——例如正义，都是数。
有人认为数字令人迷恋9，这也许并不奇怪。即使是我们在日常生活中每天都会遇到的那些最普通的数字，也有一些有趣的特性。例如，一年有 365 天，365 是 3 个连续的数的平方之和（365＝102＋112＋122），而 365 又是两个连续的数的立方和（365＝133＋143）。让我们再以二月的天数 28 为例。28 是自己所有的约数（被它除后无余数）之和，28＝1＋2＋4＋7＋14，具有这种特性的数字被称为完全数（最小的 4 个完全数是 6、28、496、8 218）。注意，28 还是最小的两个奇数的立方和，28＝13＋33。还有 100，它在今天我们这个十进制的世界里得到了广泛的应用，也具有一些独特的特性，如 100＝13＋23＋33＋43。
9 威尔斯（Wells）在 1986 年编写了一个小册子，对数字的那些令人着迷的特点进行了专门分析。
从以上这些数字的特点中我们可以看出，数字的确迷人。也许有人会问毕达哥拉斯学派中数字教义的起源是什么？究竟什么原因使毕达哥拉斯学派认为不仅万事万物都包含数，而且宇宙万物的本质也全部都是数？由于毕达哥拉斯没有任何文字形式的著作留存下来（如果有的话，可能也早已被湮灭在历史的长河中了），今天如果想准确回答这个问题十分困难。现存的有关毕达哥拉斯本人学说的资料，主要是来自于前柏拉图时期一些只言片语的记载，以及后期一些可信度不高、主要源于柏拉图和亚里士多德学派的相关哲学讨论。综合历史上所有有关的线索，我们可以认为，数字之所以令人困惑，但又使人着迷，其根本原因也许还在于毕达哥拉斯学派重视音乐的体验和对星空的观察。这两种活动虽然表面上毫无关联，但按毕达哥拉斯学派的观点，它们都与数学紧密联系。
要想理解数字、星空和音乐之间神秘的联系，以及这些联系之间的具体认识，就不得不从毕达哥拉斯学派利用小卵石、圆点来计数说起。例如，毕达哥拉斯学派把数字 1、2、3、4……个卵石排列成三角形，摆成如图 2-1 所示的形状。特别需要注意的是，图中第 4 个三角形是由前 4 个整数构成（共由 10 块卵石排列而成，每行卵石代表一个整数），它被称为四元体（Tetraktys，意思是 4 或四进制的）。在毕达哥拉斯学派的观念中，四元体是完美的代表，并且是构成事物的基本要素。有关毕达哥拉斯和四元体的故事，在历史上也曾有流传。古希腊讽刺作家卢西恩（Lucian，约公元前 120—前 80）就曾记录，毕达哥拉斯有一次请某人为他计数10，当这个人数着“1、2、3、4……”时，毕达哥拉斯打断了他：“看到没有？你把 10 当成了 4，这是一个完美的三角形，这也是我们的誓约符号。”新柏拉图派哲学家亚姆利库（Iamblichus，约公元 250—325）认为，毕达哥拉斯学派的誓约是真实存在的，其内容如下：
我以发现四元体的名义宣誓11，它是我们所有智慧的源泉，同时也是永恒的自然根源。
10 引自 Heath 的著述，1921 年。
11 亚姆利库，约公元 300 年（a）；加思里在 1987 年进行了讨论。
为什么毕达哥拉斯学派会如此推崇四元体？这也许是因为在公元前 6 世纪的毕达哥拉斯学派眼中，四元体似乎体现出了整个宇宙的全部本质特征。在几何学中（这是古希腊时期划时代思想革命的踏板和起点），数字 1 代表点 ，数字 2 代表线，数字 3 代表面，数字 4 代表三维四面体。以这种观点分析，四元体包含了空间中所有可见的维度12。
12 毕达哥拉斯学派认为，点流动产生了线，线流动产生了平面，平面运动产生了立体，这样就产生了可见的世界。——译者注
但这只是开始。四元体在量化研究音乐时，也出乎意料地得到了应用。人们普通认为毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派发现了用连续的数字分割弦可以产生谐音及协和音程的奥秘，这在任何一首弦乐四重奏表演中都会有所体现。毕达哥拉斯发现，当两根相似的弦被同时弹响时13，如果弦的长度比是单比例的，就会发出令人愉悦的动听声音。例如，长度相等的弦（此时比例为 1∶1），产生的是同音；当比例为 1∶2 时，产生的是八度和音；当比例为 2∶3 时，发出的是纯五度和音；当比例为 3∶4 时， 产生的是纯四度和音。除了有这种“涵盖所有”的空间属性外，四元体还被看做构成和谐音阶的数学比例典型代表。发现空间和音乐之间这种奇妙联系是毕达哥拉斯学派的有力标志，并且这种发现让他们感觉像是科斯摩斯（kosmos，意为事物按序排列之美）的哈尔摩尼亚（Harmonia，古希腊神话中的守序之神）。
13 斯特罗迈耶、韦斯特布鲁克，1999 年；斯坦利，1687 年。
那么，天空和数字的关系又是怎样的呢？毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派在历史上又扮演了天文学家的角色，这个角色并不是十分关键，但也决非无足轻重。正是毕达哥拉斯学派首次提出了地球是球形的观点（也许是因为他们认为球形在数学上是最美的），也可能是他们首先宣称，行星、太阳和月亮都有各自独立的自西向东的运动，与它们绕恒星运动时的方向相反（这很明显）。喜欢夜晚星空的人肯定不会错过欣赏恒星星座最明显的两个特征——星座的形状和组成星座的恒星数量。事实上，我们认识的星座，正是通过星座包含的恒星数量，以及这些恒星形成的几何图案来区分的。这两个特征也是毕达哥拉斯学派关于数字绝对本质的教义的核心部分，四元体就是一个典型例子。毕达哥拉斯学派为“几何学中的图形、天空星座，以及音乐中的和音，都取决于数字”感到欣喜若狂。他们确信数字是组成宇宙最基础的因素，并且还是隐藏于这些存在背后的主宰法则，这也就是毕达哥拉斯所着重强调的“万物均取决于数”。
今天，我们可以从亚里士多德的两条评论中看出毕达哥拉斯学派是怎么把这条格言奉为圭臬的。第一条是在亚里士多德收集的专著《形而上学》中，他写道：“毕达哥拉斯学派致力于研究数学，正是他们让这门科学在历史上第一次得到了真正发展。并且通过深入的研究，他们逐渐形成一种观念，认为数学规律也是宇宙万物的规律。”在另一段中，亚里士多德生动地描述了毕达哥拉斯学派对数字的崇拜，以及四元体在他们的学说中担负的重要角色：“欧律托斯（Eurytus，他是毕达哥拉斯学派中研究语言的学生）解决了什么物体有什么样的数的问题（例如，这是人的数，那是马的数）。在他们把数字引入三角形或正方形结构之后，他利用小卵石模仿生物外形。”最后一句“三角形或正方形”既暗指四元体，也暗指毕达哥拉斯学派中另外一个令人着迷的结构——磬折形14。
14 gnomon，在几何学中，它指自平等四边形的一角除去一个相似形后所余的图形。——译者注
“磬折形”15一词起源于一个名叫“巴比伦”（Babylonian）的时间测量仪器，它主要用于天文学观测中，与日晷极为相似。这种仪器似乎是由毕达哥拉斯的老师、自然哲学家阿那克西曼德（Anaximander，约公元前 611—前 547）引入古希腊的。毫无疑问，在几何学上，学生受老师学术思想的影响很深，并将其研究成果应用于宇宙学（从整体上研究宇宙的学问），以进一步发扬光大。后来，“磬折形”被当做绘制角度的工具，有点像木匠使用的直角尺，也被用来表示直角。此时每增加一个磬折形，就会形成一个更大的正方形，如图 2-2 所示。值得关注的是，如果用 7 块卵石在一个 3×3 的正方形上增加一个磬折形，就会得到一个由 16 块卵石（4×4）组成的正方形。这个过程非常直观形象地说明了以下的特性：在由奇数 1,3,5,7,9…构成的数列中，任何一组连续的数（从 1 开始）之和都会是一个平方数。例如 1＝12, 1＋3＝4＝22, 1＋3＋5＝9＝ 32, 1＋3＋5＋7＝16＝42, 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52。毕达哥拉斯学派认为磬折形与其“包含”的正方形之间紧密的联系是通用知识的代表，这种“紧密的联系”是可以观察到的。这样，数字不仅可以被用来描述物理世界，也被当做人类精神和情感的基础。
15 Heath 在 1921 年对这个词在不同历史时期的确切含义进行了详细分析。士麦那（Smyrna，古代小亚细亚西海岸一城市，现为土耳其伊兹密尔）的数学家赛翁（Theon，约公元 70—135）在《数学，理解柏拉图的关键》（Mtahematics Useful for Understanding Plato）一书中对这个词有十分形象和生动的描写。
平方数及与其相关的磬折形也许还是大名鼎鼎的毕达哥拉斯定理的前身。这条著名的定理讲的是，在任何一个直角三角形中（如图 2-3 所示），如果分别以三角形的 3 条边为边长作正方形，那么以斜边为边长的那个正方形的面积，是以直角边为边长的两个正方形面积之和。卡通画《弗兰克和欧内斯特》（Frank and Ernest）直观、幽默地反映了这条定理（如图 2-4 所示）。回想一下图 2-1 中的那个磬折形，在一个 4×4 的正方形中增加一个平方磬折数 9＝32，就会得到一个新的 5×5 的正方形，结果怎么样？32＋42＝52，数字 3、4、5 可以代表直角三角形的边长。事实上，凡是具有这种特征的整数（例如对于 5、12、13，有 52＋122＝132）都被称为“毕达哥拉斯三元数组”。
很少有数学定理能像毕达哥拉斯定理那样以发现者的名字命名。在 1971 年，尼加拉瓜共和国挑选了 10 个公式，以“改变世界面貌的 10 个数学公式”的题目作为一组纪念邮票的主题，毕达哥拉斯定理作为其中的第二张被出版发行（如图 2-5 所示，该组邮票的第一张上绘的是“1＋1＝2”）。
你也许会有疑问，毕达哥拉斯是否真的是第一个明确描述这条著名定理的人？一些早期的希腊历史学家的确这么认为。古希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus，约 411—485）在评论《几何原本》时写道（由欧几里得（约公元前 325—前 265）所著，在几何学领域和数论领域具有非常巨大的影响力）：“如果我们听到有人详细叙述古代历史的话16，就会发现人们把这条定理归功于毕达哥拉斯本人，并且还说他专门献祭了一头公牛以庆祝这条定理的发现。”然而，事实上，毕达哥拉斯三元数组在古巴比伦楔形文字刻写板上就已经出现了，现存于美国哥伦比亚大学。这块名为“Plimton 322”的石板的历史大约可以追溯到汉谟拉比王朝时代（约公元前 1900—前 1600）。除此之外，以毕达哥拉斯定理为基础的几何学在古印度建造祭坛时也有应用。《百道梵书》（Sataphtha Brahmana，古印度的圣典）清楚地介绍了这些建设结构17，该书成书时间至少要比毕达哥拉斯早几百年。但是，无论是不是毕达哥拉斯本人第一个发现了这条定理，毫无疑问的是，在人类发现了把数字、形状和万物编织在一起的复杂联系后，毕达哥拉斯学派才得以从细节上更深入地研究次序的形而上哲学含义。
16 您也许已经注意到了，在普罗克洛斯的评论中，他并没有专门提到他本人是不是相信这一定理是否真的由毕达哥拉斯第一个发现。关于献祭公牛的故事出现在拉尔梯乌斯、波尔菲里，以及历史学家普鲁塔克等人的笔下。这个故事来自于阿波罗多罗斯（Apollodorus）的诗歌。然而，这些诗歌只提到了“那条著名的命题”，并没有说命题是什么。拉尔梯乌斯，公元 250 年；普鲁塔克，公元 75 年。
17 Renon 和 Felliozat，1947 年；van der Waerden，1983 年。
另外一个在毕达哥拉斯学派的世界里居于核心地位的观念是宇宙对立。因为对立的形式是早期爱奥尼亚（Ionian）科学传统中基础的准则，所以迷恋次序的毕达哥拉斯学派很自然地就吸纳了这种思想。亚里士多德曾提到，甚至有一位名叫阿尔克梅翁（Alcmaeon）的医生也认为万物都是成对出现，并且认识到两者之间处于一种神奇的平衡。他与毕达哥拉斯是同时代的人，当时也居住在克罗托（Croton），毕达哥拉斯那所著名的学校就座落于此。最重要的一组对立是有限（以奇数为代表）和无限（以偶数为代表）。有限是一种力量，把次序以及和谐引入到无序、放纵和无穷之中。从微观的角度讲，整个宇宙和人类生命的复杂性都可以被认为是由一系列对立事物（在某种程度上和谐统一）组成并支配的。这种黑与白交织在一起形成的关于世界本质的认识论，在亚里士多德的
《形而上学》一书中被总结为了“对立表”：
有限　　　　
对立表所反映出的哲学思想18并不仅仅局限于古希腊，中国古代阴阳的观念也表现了同样的思想。在中国阴阳的观念里，阴代表负面的和黑暗的，阳代表光明的和积极的。借助天堂和地狱的概念（或者干脆就像美国总统声明的那样：“不与我们站在一起，那他就是恐怖主义分子”），可以很容易理解这种对立的观念，并且它在基督教教义中得到了延续和传承。如果能更进一步的话，我们还可以说生命的意义是被死亡所阐明，而知识的力量正是被无知所衬托，这是不变的真理。
18 这种宇宙起源论基于一种观点，该观点认为现实存在来自于结构（被认为是有限的）对物质（被认为是无限的）的决定性影响。
当然，即使在毕达哥拉斯学派中，也不是所有人的研究都直接与数字相关。毕达哥拉斯学派组成了一个结构紧凑的社会组织，他们倡导素食，虔诚地信奉灵魂可以转世重生，并能够恒久不灭。同时，他们还神秘地禁止食用豆子，对此有几种解释。其中一种是他们把吃豆子与吃活的灵魂相提并论。还有一种解释是吃豆子后会放屁，而这被认为是呼吸已停止的证明。在《人体的哲学》（Philosophy for Dummies）19一书中，作者这样总结毕达哥拉斯学派的教义：“万物都由数组成，不要吃豆子，因为它们会把你引入歧途20。”
19 莫里斯（Morris），1999 年。
20 “引入歧途”的原文是“they'll do a number on you”，一语双关。——编者注
现存关于毕达哥拉斯最古老的故事与他信奉灵魂转世有关21。这个最富有诗意的故事是公元前 6 世纪科洛封（Colophon）的诗人色诺芬尼（Xenophanes）所讲述的：“据说，毕达哥拉斯曾经有一次在路上遇到一条正被打得遍体鳞伤的狗，毕达哥拉斯十分怜悯它，他呵止道：‘停，别打它了，我认识这条狗，它身体里的灵魂是我的一位朋友，从它的叫声里我能听懂他的声音。’”
21 Joost-Gaugier，2006 年。
毕达哥拉斯的思想，不仅体现在继他之后的希腊哲学课程中，而且一直延续到了欧洲中世纪大学的课程里。在当时的大学中，7 门学科被划分为“三课程”（trivium）和“四学科”（quadrivium），三课程是指辩证法、修辞和语法，四学科是毕达哥拉斯学派最钟爱的几个主题——几何、算术、天文和音乐。根据毕达哥拉斯学派理论，天空中的星辰在其运行轨迹上演奏最华丽动听的乐章，而这只有毕达哥拉斯才能听到。在毕达哥拉斯的时代，天空中“星球发出的和谐音乐”极大激发了那个时代诗人和科学家的灵感。著名的天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，），在发现了行星运动规律之后，就选择了用“世界的和谐音”（Harmony of the World）作为他最具影响力的一篇论文的题目。根据毕达哥拉斯学派的思想，开普勒甚至还进一步为不同的行星进行了细微“调音”（正如演奏家古斯塔夫·霍尔斯特在 3 个世纪后所做的那样）。
以本书关注的焦点来分析，如果把毕达哥拉斯学派哲学思想中那层神秘的外衣剥去的话，我们就会发现其学说的主体部分，在数学、数学本质以及数学与物理世界和人类精神之间的关系等方面具有重大影响22。毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派是人类认识宇宙、探索宇宙秩序的先行者，被认为是理论数学的创始人。与他们的前辈（主要是巴比伦人和埃及人）不同的是，毕达哥拉斯学派在研究数学时，更侧重于把数学作为一门抽象的学问来看待，任何出于实用性目的的分析，都不是他们思考的重点。毕达哥拉斯学派是不是还建立了作为科学研究工具的数学体系？这个问题十分棘手，难以给出明确的回答。毕达哥拉斯学派的确把万事万物都和数字联系在了一起，但是事实上，他们研究的重点是数字本身，而不是现象或现象背后的原因。对科学研究而言，这并不是一条特别能创造丰硕成果的研究道路。与此同时，毕达哥拉斯学派教义的基础，是对普遍存在的自然规律的绝对信仰。这种已经成为现代科学核心支柱的信仰，也许还是古希腊悲剧所反映的主人公那不可抗拒的悲剧性命运的根源。直到进入文艺复兴时期后，人们仍然坚信这种规则体系能够解释万物，而且在还未找到任何具体证据之前，这种信仰仍在与日俱增。只有伽利略、笛卡儿、牛顿在归纳基础上把这种信仰转化成了可证明的命题。
22 关于毕达哥拉斯学派的贡献及其影响，赫夫曼（Huffman）在 1999 年、Riedweg 在 2005 年、Joost-Gaugier 在 2006 年、赫夫曼在 2006 年在斯坦福哲学百科全书中有非常全面的讨论。
毕达哥拉斯学派的另一项重大贡献是清楚地认识到他们自己的“数字宗教”是不切实际的。对毕达哥拉斯学派而言，这种认识有点残忍，但却是事实。整数 1,2,3,4…并不足以构建完整的数学体系，更不用说用它们去解释宇宙了。看看图 2-6 中的正方形，如果把它的边长定义为 1，把对角线的长度设为 d，根据毕达哥拉斯定理，将正方形分成两个直角三角形，利用其中任何一个三角形就可以很轻松地计算出这条对角线的长度。根据定理可知，正方形的对角线（也就是直角三角形的斜边）的平方，等于三角形两条直角边的平方和，d2=12+12，即 d2=2。只要理解了正数的平方，就会明白数的平方根是什么（例如，如果 x2=9，那么正的 x 为
=3）。此时，d2=2，那么就意味着 d= ，也就是说，正方形对角线长度与边长长度之比等于数字
。这是一个真正令人震惊的发现，它足以摧毁毕达哥拉斯学派结构严谨的离散数字的哲学体系。毕达哥拉斯学派的一位信徒23（也许是来自梅塔蓬图姆的希帕苏斯，他大约生活在公元前 5 世纪前半叶）成功证明了 2 的平方根不能表示成两个整数的比值。换句话说，尽管我们有无穷多的整数可供选择，但是如果想从中找出两个数，使其比等于
，这种努力从一开始就注定不可能成功。能表示为两个整数之比的数（例如 3/17、2/5、1/10、6/1）被称为有理数。毕达哥拉斯学派证明了
不是有理数。事实上，在这个发现之后不久，人们就认识到
也不是有理数。更进一步的话，那些不是完全平方数的数字（如 16、25），其平方根都不是有理数。该发现带来的后果是戏剧性的。毕达哥拉斯学派证明了在无穷多的有理数之外，还不得不增加同样无穷多的的一类新数，也就是今天我们所称的无理数。无理数的发现对以后数学分析发展的重要性，怎么强调都不过分。但是，无理数使 19 世纪的人类认识到了存在“可数的”极限和“不可数的”极限24。在无理数的发现之后，毕达哥拉斯学派迅速被推向了风口浪尖，铺天盖地的哲学批判几乎要将其淹没，哲学家亚姆利库（Iamblichus）25记载了那位发现了无理数，并将其特性告之于“那些不值得分享理论的”的人，他“受到排挤和痛恨，不仅被禁止与毕达哥拉斯学派日常联系，甚至于连他的坟墓都已经被提前修建好了，好像（他们）先前的这位同道已经被排除在人类范畴之外了。”
23 Fritz，2005 年。
24 在这本书里我不打算讨论有关无限的概念以及康托和（Dedekind）等人的研究，Aczel（2000 年）、Barrow（2005 年）、Devlin（2000 年）、Rucker（1995 年）、华莱士（2003 年）对这部分内容有十分精彩的分析。
25 亚姆利库，大约公元 300 年左右（a、b）。
事实上，也许比发现无理数更重要的，是具有开拓精神的毕达哥拉斯学派在数学证明上的坚持，这种证明步骤从一些假设出发，完全基于逻辑推理，这样，任何一个数学命题的正确性都可以确定无疑地得到证实。在古希腊人之前，甚至是数学家们，也没有料到有人会有兴趣（哪怕是一点）进行上述这种劳心的研究，而这种研究早已为他们带来了新发现。如果数学秘诀能在实践中应用，例如把土地合理地分成几块，就已经足以证明其有效性了。而另一方面，古希腊人想弄清楚为什么数学会在这个过程起作用。这个证明题也许是由米利都（Miletus）的哲学家泰勒斯（Thales，约公元前 625—前 547）第一次提出的。毕达哥拉斯学派中有一部分人想把这种实践（证明）变成探知数学真理的无可挑剔的完美工具。这一证明在逻辑上是重大突破，巨大意义不可估量。以假设为起点的证明迅速奠定了数学坚实的基础性地位，这远比同时代哲学家的其他学科讨论更可靠。一条严格的证明需要一系列严谨的、没有任何漏洞的推导步骤，但是一旦其过程完全成立，那么与此相关的数学表达的正确性将不容置疑。甚至是阿瑟·柯南·道尔，这位世界上最有名的侦探的创造者，也承认数学证明的特殊地位。在他的小说《血字的研究》中，夏洛克·福尔摩斯就曾声称，他的结论“像欧几里得的数学命题那样绝对可靠”。
至于数学是一种发现还是一种发明，对于毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派，这并不是一个问题。他们认为数学是真实的，不可改变，无处不在，并且比脆弱的人类大脑可能想到的所有事物都更加值得崇拜。毕达哥拉斯学派完全把宇宙嵌入到了数学之中。事实上，对毕达哥拉斯学派而言，上帝不是一位数学家26，数学才是上帝。
26 请参阅 Netz 在 2005 年的研究。
毕达哥拉斯学派哲学的重要性不仅在于其真实的、内在的价值，通过创造条件，拓展研究范畴，它为下一代哲学家（主要是柏拉图）创造条件，毕达哥拉斯学派在西方思想史上占据有极其重要的地位。
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