高等数学函数，求级数的和函数，这里怎么得到x＝0时，S(x)＝1/2的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-04-15 03:04 标签： 高等数学函数
高数题目：幂级数和函数：求其和函数：∑（1到无穷）x^（2n-1）／(2n-1)_百度知道
高数题目：幂级数和函数：求其和函数：∑（1到无穷）x^（2n-1）／(2n-1)
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你可能喜欢高数无穷级数求和的疑问【高分】Σ(n from 0 to ∞)[x^(2n)] / [(2n)!]令和函数为S(x),则S(x)=1+x^2/2!+x^4/4!+...+x^(2n)/(2n)!+...那么,第一项的”1“是在x≠0的情况下算出来的,因为0的0次幂没有意义.但是,答案却提供了S(0)=1,定义域不是x≠0么,怎么现在又能用了?
当n=0时,默认取的是级数中的常数项,这算是个不成文的规定吧.幂级数的定义域中是包含x=0的.其实幂级数是：1+x^2/2!+x^4/4!+...+x^(2n)/(2n)!+...这个定义域中当然是有x=0的.我们把它写成Σ(n from 0 to ∞)[x^(2n)] / [(2n)!]是一种简单写,但是如果为了0这一个点,把它写成分段的,也不值得,所以默认了,x=0时,其实就是等于这个常数.
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你说得有道理，只能说极限 S(0) = 1.可以补充定义S在x=0处的值，使之连续。
扫描下载二维码高数 两道道关于幂级数的题1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域f（x）=Ln（1+x-2x&#178;）2.将函数∫（0到x）sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑（n从0到无穷）[（-1）^n]/（2n+1）!的和.符号那里下标不太好打用括号里的说明了,应该能明白吧,如果有问题请再留言.步骤详细些……最好是用图的那种……谢谢了答案好像有点问题……不过方法了解了谢谢
搏击队员SB19
f（x）=ln（1+x-2x&#178;）=ln[(1-x)(1+2x)]=ln(1-x)+ln(1+2x)显然,收敛域为：|x|≤1|2x|≤1所以x∈(-1/2,1/2)我们知道：1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n n=0,1,2..两边积分：∫1/(1-x)dx=∫（1+x+x^2+...+x^n)dx n=0,1,2...-ln(1-x)=x+1/2x^2+1/3x^3+...+1/(n+1)*x^(n+1) n=0,1,2...则ln(1-x)=-∑x^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...同理：1/(1+x)=1-x+x^2+...+*(-1)^n*x^n n=0,1,2..则1/(1+2x)=1-2x+(2x)^2+...+*(-1)^n*(2x)^n n=0,1,2..两边积分：∫1/(1+2x)dx=∫（1-2x+(2x)^2+...+(-1)^n*(2x)^n)dx n=0,1,2...那么：1/2*ln(1+2x)=x-1/2(2x)^2+1/3(2x)^3+...+(-1)^n/(n+1)*(2x)^(n+1) n=0,1,2...则ln(1+2x)=2∑(-1)^n*(2x)^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...则：ln(1-x)+ln(1+2x)=∑[(-1)^n*2^(n+2)-1]x^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...对∫（0到x）sint/t dt求导得sinx/x而sinx的x幂级数为：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...则sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-2)/(2k-1)!+...再积分,即可得：∫（0到x）sint/t dt=x-x^3/3*3!+x^5/5*5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)*(2k-1)!+...=∑(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)*(2k-1)!k=1,2,3...收敛域为-1
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