证明y xlnx的导数+ylny≥(x+y)ln((x+y)÷2)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-07 15:39 标签： 证明xy xlnx x e y
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不等式证明的方法探索
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证明xlnx+ylny≥(x+y)ln((x+y)÷2)
证明xlnx+ylny≥(x+y)ln((x+y)÷2)
要导数常规解法
由定义域，可得：x&0，y&0设f(t)=tlntf'(t)=lnt+1f''(t)=1/t&0所以f(t)是凸函数根据凸函数定义，对任意x,y&0，有[f(x)+f(y)]/2&=f[(x+y)/2]，当且仅当x=y时，等号成立所以xlnx+ylny&=(穿沪扁疚壮狡憋挟铂锚x+y)ln[(x+y)/2]
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其他1条回答
通过函数的凹凸性来证明：
凸函数定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1和x2和任意的实数λ∈(0,1)总有：
f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
如果取λ=1/2，则有f((x1+x2)/2)≤1/2f(x1)+1/2f(x2)
即有：2f((x1+x2)/2)≤f(x1)+f(x2)
原题：xlnx+ylny≥(x+y)ln((x+y)÷2)可以调整为xlnx+ylny≥2*(x+y)/2 ln((x+y)÷2)
因此，只要f(x)=xlnx是一个凸函数，即可得到结论。默认定义域是x&0
根据定理：若f为在区间I上的二阶可导函数，则再I上f为凸函数的充要条件：f′′(x)≥0
若f′′(x)在x&0区间内，满足f′′(x)&0，则f(x)是一个凸函数
f′(x)=lnx+1
f′′(x)=1/x
f′′(x)=1/x&0 恒成立，因此f(x)=xlnx是一个凸函数成立
因此f(x)满足： 2
f((x1+x2)/2)≤f(x1)+f(...
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2a &nbsp，每一行都不是很懂.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值; &nbsp，我丢下书本很久了1 为什么由（Ⅰ）可得 &/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=/zhidao/pic//zhidao/wh%3D600%2C800/sign=e0a441f1ddf9d72aa040c/fadab4bfd4b31c://c.hiphotos.jpg" />解答得详细点，能得到b-a/&nbsp://c.baidu.jpg" esrc="http.hiphotos，非常感谢已知函数f（x）=ln（1+x）-x
提问者采纳
ln（1+x）-x娶不到最大值;-(b-a)/(b-a)/(a+b) &lt，第二步是利用函数的基本公式变换，用到了那个公式，所以＜0第二个问题第一点
0&a&2b &2b&#47，符号不改变;n)
所以ln(1+ (b-a)/b; 2a
＞0第二个问题第二点,所以b-a&n &0;2a;2a第六行也是相同的道理第一个问题; a+b)他可能写错了，好像在数学书必修3那本上有;b;ln(1+1&#47,和上面一个相同的道理第五行应该是ln(2a&#47,这个你应该能明白吧;0;2,前面有个负号就变成了-ln(1+ (b-a)&#47，后面的小于是因为0&lt，另外这些都用到了ln中的一个公式 1&#47，第七行就是把第五第六的代入第九行第一步是利用第八行的变了一下,同时除以2a大于0 ;2a)&gt，所以b-a/a&lt，而0&2a)&lt，然后就得出了小于ln2，你把它移项通分一下就能得到(a+b)&#47，写成2b了，当x=0时才取到最大值0
为什么 0&2b&#47;(a+b) &2还有后面为什么无端化出ln2
0&a&b,所以0&a+b&b+b,同时除以a+b可以得到2b&#47;(a+b)&1,b&#47;(a+b)小于1这个知道吧，所以2b&#47;(a+b)&2,，所以1&2b&#47;(a+b)&2,ln在区间(1,+无穷大）上单调增，所以ln2b&#47;(a+b)&ln2兄弟如果觉得还满意的话求赏个分吧
提问者评价
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＜ln2=Σ&Σ&lt:1;(2k)]由t＜1，设(b+a)/[1/=&gt、y/(2k)]
＜Σ&lt:1,+oo&gt。方法二:1，在用极限法则得到得到证明。首先;(2k-1)-1/t^(2k-1)&#47,+oo&gt,+oo&=&gt，由函数g(x)的凸性得到原式＞0然后;2=x,约去2t&k;(x-y)lnx+(x-y)ln(1-t)+(x+y)lnx+(x-y)ln(1+t)-2xlnx
&lt:1、(b-a)/(1-t)ln(1-t)+(1+t)ln(1+t)＜2tln2
利用ln(1+x)泰勒展开;2=y;(2k)+tΣ&=&k;(2k)]&lt只答第二题，方法一：
(x-y)ln(x-y)+（x+y)ln(x+y)-2xlnx＜2yln2&[1/k:1，最后一个不等式显然成立。
不详述;(2k-1)-1/t^(2k-1)*[1/(2k-1)-1&#47：利用泰勒展开;t^(2k-1)&#47,并化简;k;x=t只需证明,+oo&=&gt,+oo&-Σ&k，所以：化为一元函数求单调性
我知道答案，我是说有几点我不懂。解答得详细点，我丢下书本很久了1 为什么由（Ⅰ）可得
ln（1+x）-x＜02 为什么0＜a＜b，能得到b-a&#47; 2a
＞0-，和 -1＜a-b&#47; 2b
＜0(两个分别解释，如果不清楚，可看第二张图片第四行）剩下第五行的，每一行都不是很懂，
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出门在外也不愁已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax^2+bx（Ⅱ）若a=0,b=1时,求证：f（x）-g（x）≤0对于x∈（-1,+∞）恒成立；（III）证明：若0＜x＜y,则xlnx+ylny＞(x+y)ln((x+y)/2)第三小题如何利用第二小题的结论证明
爱你°軿鹺
1.h(x)=f(x-1)-g(x)=lnx-(1/2)ax&#178;-2x,x>0h'(x)=1/x-ax-2=-(ax&#178;+2x-1)/xi)当a=0,h'(x)=-(2x-1)/x知x∈(1/2,+∞),h'(x)
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扫描下载二维码圈圈的 利用函数的凹凸性,证明不等式
王者刘忻4aK
(1)构造指数函数f(t)=e^t,则f'(t)=e^t>0,f''(t)=e^t>0.故f(t)为下凸函数,依Jensen不等式得[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2](x≠y时为严格不等式)∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].(2)构造函数f(t)=tlnt (t>0),则f'(t)=lnt+1,f''(t)=1/t>0,故f(t)为下凸函数,故依Jensen不等式得[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2](x≠y时,为严格不等式)∴xlnx+ylny>2·[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2].(3)构造幂函数f(t)=t^n,则f'(t)=nt^(n-1),f''(t)=n(n-1)t^(n-2)>0,故f(t)为下凸函数,依Jensen不等式得[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]∴(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n.
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第一张图的答案。第二张图的答案。
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