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祸事，祸端铝矿惦记，惦念祸害
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出门在外也不愁浅淡“找次品问题”中多维目标的落实——丁国忠
来自《小学数学教师》
“找次品问题”是数学中一类经典的智力问题，吸引着众多数学爱好者孜孜不倦地寻求一般性的解决方法。“找次品问题”又细分为许多类型，有的类型解决起来相当复杂。人教版《数学》五年级下册的“数学广角”选择了比较简单的一类作为例题，即“n个从外表看完全相同的零件，已知其中一个是次品，次品比合格品重一些。现有一架标准天平，使用这架天平，最少用几次就一定能找出这个次品？”这里，“次品比合格品重一些”是已知的；若这一条件未知，解决起来的繁难程度将大大增加。
　　对于这一问题，一般性的解决方法是把这n个零件尽可能平均分成3份，其中至少有2份的数量是同样多的（对于任何一个不小于3的自然数n，若n是3的倍数，如n=3m，则可分为m，m，m；若比3的倍数多1，如n=3m+1，则可分为m，m，m+1；若比3的倍数多2，如n=3m+2，则可分为m+1，m+1，m）。把数量同样多的2份放在天平两端进行称量，最多存在两种可能性：天平平衡或天平不平衡。如果是第一种情况，那么次品在天平外的那份中；如果是第二种情况，那么次品在下沉的一端。不管是哪种可能性，接下来都是把包含次品的那一份零件按照上述方法再尽可能平均分成3份，然后一步一步依次往下称量……
　　具体到教材中的一个典型问题“9个零件中有一个次品（次品重一些），至少称几次就一定能找出这个次品”，用上述方法解决的过程如下。
　　第一步，把9个零件平均分成3份，数量分别是3个，3个，3个（为叙述方便，下文中记为［3，3，3］，表示分成3份，每份都是3个）。
　　第二步，在天平两端分别放上任意2份进行第一次称量（为叙述方便，下文中记为3┳3，表示天平两端各有3个零件），存在两种可能性：平衡或不平衡。
若平衡，则次品在天平外的3个中，再把它们分成［1，1，1］，进行第二次称量1┳1。同样存在两种可能性：平衡或不平衡。
　　（1）若平衡，则次品是天平外的那个。
　　（2）若不平衡，则次品是下沉一端的那个。
若不平衡，则次品在下沉一端的3个中，再把它们分成［1，1，1］，进行第二次称量1┳1。同样存在两种可能性：平衡或不平衡。
　　（1）若平衡，则次品是天平外的那个。
　　（2）若不平衡，则次品是下沉一端的那个。
　　这样，不管每次称量的结果是哪种可能性，都只用2次称量就确保把次品找出来了。
　　以上过程虽然叙述起来比较繁琐，但如果把结论直接告诉学生，并把零件总数改成18个，20个，……让学生举一反三，强化训练，相信掌握起来也非难事。
　　但同时我们应该深入地思考一个问题：本节课的教学目标是什么？仅仅是让学生被动地接受一种被前人证明是最便捷的解法，然后通过反复操练，以解决所有同类问题吗？如果是这样的话，岂不又落入类似“应用题分类型、套公式”的教学误区了吗？
　　事实上，任何一个解决数学问题的过程都是一次极富挑战、极具魅力的数学探究之旅。在这一过程中，数学知识的获得、数学技能的提高、数学思想的熏陶、数学活动经验的建立都在以潜移默化的方式悄悄地发生。而我们的数学教学，就应该经常地为学生创造主动探究的平台，激发学生学习数学的兴趣，全方位地提高学生的数学素养，而不是“培养”一批又一批的“做题机器”。
　　“找次品问题”就为落实“基本的数学知识、基本的数学技能、基本的数学思想、基本的数学活动经验”这一多维目标提供了很好的载体。在解决这一问题的过程中，学生可以进一步理解什么是随机事件，理解和掌握基本的逻辑推理和化归的思想方法。与此同时，如何清晰地表达数学思维的过程，如何理解解决问题策略的多样化和优化，如何运用比较-猜想-验证的策略发现数学结论，如何把复杂问题转化为简单问题，如何把具体问题推广为一般问题，都是在解决这一问题的过程中需要考虑的。这些蕴含在解决问题过程之中的隐性的“形成性能力”，或许恰恰是在过去的数学教育中容易被忽视的。教师在日常教学中能否重视这些能力的培养，直接决定了学生综合能力的高低。并且，这些能力不局限于促进数学学习，它甚至可以延伸至其他学科，乃至未来学习、生活和工作的方方面面。
　　在设计本节课之前，首先要对本节课涉及的数学知识、数学思想方法进行整理，这样才能在教学设计时有的放矢。
一、明确所要解决的问题　　解决问题的第一个步骤就是要使学生了解已知的信息是什么，问题是什么，并尝试根据这些信息寻求可行的解决方案。
　　1. 需要一架什么样的天平？
　　熬节课中，首先涉及的数学概念是随机事件（必然事件和不可能事件是特殊的随机事件）。例如，2个零件中有1个较重的次品，只要把这2个零件放在天平两端，天平一定不平衡（换一种说法，也就是不可能平衡）。如果3个零件中有1个较重的次品，任意取2个放在天平两端，天平有可能是平衡的，也有可能是不平衡的。
　　由此，我们需要考虑一个问题：本节课上我们唯一能利用的工具应该是一架什么样的天平？
　　首先，它没有砝码，只能通过零件之间的称量进行比较。
　　其次，它只能以一种抽象的数学化的形式存在于头脑中，而不是一架实物天平，我们可以把它看成是一个天平的模型。因为一旦拿一架实物天平进行实验，就不会出现”假如平衡……“”假如不平衡……“的情况，而只会出现其中的一种，要么平衡，要么不平衡。正如我们都知道投掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，但当我们实际进行一次投掷时，结果只会是其中一种。
　　2. 什么叫”一定能找出次品“？
　　在进行第一次”虚拟“称量时，只要天平外还有多余零件，天平就存在平衡和不平衡两种可能性。在接下来的第二次、第三次……称量时，每种可能性下面又会继续衍生出不同的可能性。只有每一条”可能的路径“都能最终把这个次品找出来，才叫”一定能找出次品“或”保证找到次品“。
　　3. 什么叫”至少称几次就一定能找出次品“？
　　在称量时，第一次在天平两端各放几个，第二次在天平两端各放几个……方法可以多种多样，代表了不同的解决方案，每一种方案都能确保把次品找出来。在这些方案中，能不能找到一种最优方案，使得称量的次数最少呢？这是学生在解决了”保证找到次品“以后面临的第二个问题。还是以9个零件的问题为例，第一次称量可以1┳1，也可以2┳2，也可以3┳3，还可以4┳4，接下来的每一次称量也可以根据个人爱好灵活选择。在众多方案中，哪种是称量次数最少的呢？这种方案中每次称量有什么特点呢？有没有普遍适用性呢？
二、理解并掌握逻辑推理的思想方法　　前面已经讨论过，要解决“保证找出次品”的问题，方案多种多样，有的繁琐些，有的便捷些。无论哪种方案，都需要用到逻辑推理。逻辑推理是贯穿本节课始终的思想方法。
　　1. 本节课中逻辑推理的基本形式是什么？
　　众所周知，三段论是逻辑推理的基本形式，即用大前提、小前提共同推出结论。本节课所用到的逻辑推理就是三段论。具体到“找次品问题”，大前提就是“次品必定在天平两边或天平外”。由小前提“称量时天平平衡”可推出结论“次品在天平外”；由小前提“称量时天平不平衡”可推出结论“次品在下沉一端”。
　　在每次称量时，称量的结果有时“一定不平衡”，有时“有可能平衡，有可能不平衡”，其判断的标准就是看称量时天平外有没有剩余零件：若天平外没有剩余零件，则一定不平衡；反之，则存在两种可能性。每次称量时，学生都需要先判断称量的结果是什么，然后进行推理。这样，通过判断-推理-再判断-再推理……的过程，直到每一条“可能的路径”都把次品找出来。
　　2. 如何清晰地表示逻辑推理的过程？
　　为了使别人明白自己是怎么解决问题的，学生需要清晰地、有条理地表示出逻辑推理的过程。最为直接的是口头表述。但当零件总量比较多时，步骤相应增加，很容易表述不清。毕竟里面有太多的“如果平衡，那么……”“如果不平衡，那么……”。也可以采用文字表述的方式（本文在前面“9个零件”的问题中采用的就是这种方式），但由于前后步骤之间的层层套迭关系，表述起来也显得冗长且繁琐。而使用直观图或流程图，配以相应的文字说明，可以比较简洁而又清晰地表示出逻辑推理的整个过程，让人一目了然。
　　不管学生使用哪种表示方式，最重要的是要把各种可能性都考虑到。在实际教学中，学生最容易出现的问题是在某次称量以后，存在两种可能性，在接下来的推理过程中，只顾及其中一种可能性而忘了另一种可能性。
　　三、经历比较-猜想-验证的过程
　　如上所述，同样是解决9个零件的问题，可以有不同的方案。如何在众多方案中找到一种最优方案呢？这就需要学生对不同的方案进行比较，发现把这堆零件平均分成3份，并且在接下来的每次称量中也采用这一方式，所用的次数是最少的。
　　仅凭一个特例就说明这一猜想正确，显然太过武断，这就需要学生进一步验证。例如，可以让学生以不同的方案解决8个零件的问题（零件数量可以随意设定，如15个、27个，但最好不要取太小的数，因为当零件数量很少时，无法体现这种方案的优越性），看看猜想是否合理。
　　至于从理论上解释为什么这样的方案是最优方案，需要用到许多概率论知识，显然超出了小学生的接受能力。但教师可以用更通俗的方式试着解释：次品所在的位置无外乎天平左端、天平右端和天平外这三个地方，而要使称量的次数最少，就要使次品在这三个地方的机会尽量均等。这样，不管次品在三个地方中的任何一处，问题都转化成“从总数的三分之一（左右）里面继续找次品”。例如，要从9个零件中找出次品，第一次称量时，如果天平两端各放2个，假如天平平衡，接下来就要从天平外的5个零件里找次品；如果天平两端各放4个，假如天平不平衡，接下来就要从下沉一端的4个零件里找次品；如果天平两端各放3个，不管天平平衡或不平衡，接下来都是从3个零件里找次品。很显然，从3个零件里找次品比从4个、5个零件里找次品要相对容易一些。
四、利用化归，寻找模式　　学生掌握了这种最优方案以后，就可以利用化归的方法解决零件数量更多的问题。例如，要从100个零件中找次品，第一步，把100分成［33，33，34］，经过第一次称量33┳33，若平衡，化归为从34个零件中找次品；若不平衡，化归为从33个零件中找次品。第二步，把34分成［11，11，12］，把33分成［11，11，11］。第三步，把11分成［4，4，3］，把12分成［4，4，4］。第四步，把4分成［1，1，2］，把3分成［1，1，1］。第五步，把2分成［1，1］。这样，最少用5次称量就一定能把这个次品找出来。
　　在此基础上，可以进一步引导学生寻求找出次品需要称量的最少次数和零件总数之间关系的模式，即教材第137页的表格。
　　可以让学生通过观察这一表格思考：为什么当零件数量从3到9，再到27……以“&3”的速度递增时，保证找出次品的最少称量次数却只以“+1”的速度递增？还可以让学生反向思考：如果最少用15次就保证能从一堆零件里找出较重的那个次品，零件数量至多可以是多少个？由于315=，可知零件至多可以是个。通过数据之间的强烈反差，使学生惊叹于数学的神奇力量，从而进一步产生探索未知数学世界的兴趣。
　　基于以上分析，在对本节课进行教学设计时，可以把各个教学重点、难点分散在不同的教学环节，依次突破。需要注意的是，由于本节课的容量比较大，在40分钟内难以完成，因此应根据实际情况灵活调整课时。
　　下面是笔者设计的一个简单预案，仅为反映上文所提到的若干教学要点。
　　环节一，从2个零件里找出1个较重的次品。
　　当遇到一个较难解决的复杂问题时，我们可以尝试着先解决一个同类型的简单问题，再在此基础上进一步推广，这是解决问题的一个重要策略。在本节课的“找次品问题”中，零件数量是2个的情形是最简单的，但正由于它是最基本的一种情形，在解决更复杂问题时会经常遇到。设计这一环节的直接目标是让学生理解在这种情形下，称量的结果是一个必然事件，即天平一定是不平衡的，下沉一端的那个即为次品。
　　环节二，从3个零件里找出1个较重的次品。
　　从3个零件里找出1个较重的次品，方案只有一个，即任取其中2个，分别放在天平的两端，存在平衡或不平衡两种可能的结果。若平衡，天平外的那个就是次品；若不平衡，下沉一端的那个就是次品。这个环节包含了最基本的逻辑推理过程。不管零件的数量、称量的方案如何改变，这一逻辑推理的基本思想和方法总是不变的。
　　环节三，从5个零件里找出1个较重的次品。
　　这一环节旨在鼓励学生用个性化的方法表示逻辑推理的过程，如口头表述、文字叙述、画直观图、画流程图。教学时，教师先不要提出“最少称量几次”的要求，只要求学生设计一种方案，保证找出次品，并用合适的方式把这种方案表示出来就可以了。由于零件的数量比较少，解决的方案也相对比较简单，但要让学生有条理地把头脑中的思路完整地表达出来，并非易事。教师可在两方面加以引导。第一是引导学生必须做到“完整地表述”，即把每一次称量中的各种可能性都考虑到。第二是在学生个性化描述的基础上，以教师示范的方式，逐渐引导学生选择较为简洁、清晰、直观、易于理解的表示方式。
　　环节四，从9个零件里找出1个较重的次品。
　　当零件总数越来越多时，方案的多样化程度也越来越显著。这一环节的教学目标是让学生对各种方案进行比较，找出称量次数最少的最优方案，形成初步的猜想。由于在前面的环节中学生已经基本掌握了清晰而又完整地表示逻辑推理过程的方法，因此本环节的教学重点应放在发现最优方案的特点上。根据笔者的经验，要让学生准确地归纳出“每次称量时把含有次品的零件尽量平均分成3份，所用次数最少”的结论，并不是一件容易的事，需要教师不断地引导。
　　环节五，从8个零件里找出1个较重的次品。
　　在环节四中，通过教师的引导，学生已经形成初步的猜想。可这样的猜想是否合理，是否具有普遍意义呢？在这一环节中，需要对这一猜想进行进一步的验证。在8个零件的问题中，教师可以指定几种方案让学生进行推理。例如，第一次称量时，可以1个1个地称，2个2个地称，也可以3个3个地称，4个4个地称。通过比较，引导学生发现，所用次数最少的方案就是3个3个称的方案，完全符合“把含有次品的零件尽量平均分成3份”的特点。
　　在小学阶段，由于知识所限，只能通过个别例子对形成的猜想进行验证，而无法给出严格的证明。教学时，教师可以用通俗的方式给学生解释原理，关于这一点，前文已有表述。
环节六，从25个零件里找出1个较重的次品。
　　在用更多的实例对猜想进行验证以后，就可以让学生在解决类似问题时直接应用这种最优方案，并初步感受化归的数学思想方法。把25分成［8，8，9］，第一次称量8┳8，若平衡，则转化成“从9个零件里找出次品”；若不平衡，则转化成“从8个零件里找出次品”。而在前两个环节中，我们已经解决了“8个零件”和“9个零件”的问题，结论都是“最少需要称量2次”。这样，通过化归的过程，把一个较复杂的问题转化成相对简单的问题，直接就可以得出“要确保从25个零件里找出一个较重的次品，最少需要称量3次”的结论，而无需把接下来从8个、9个零件中找次品的推理过程再重复一遍。
　　环节七，从243个零件中找出1个较重的次品。
　　在上一环节中，学生已经能够初步运用化归的数学思想方法，把问题化难为易。这一环节，旨在让学生发现找出次品所用的最少称量次数与零件总数之间的关系。通过化归，可以把“243个零件”的问题，依次转化为“81个零件”“27个零件”“9个零件”“3个零件”的问题，进而得出结论：至少用5次称量就可以保证找出次品。因为243=35，学生很容易就能发现其中的模式：如果零件数量在3n-1～3n之间，最少用n次称量就可找出次品。
　　需要注意的是，这一环节最为重要的并不是让学生记住这样一个结论，而是让学生经历这一结论的发现过程。
&&&&以上教学环节的设计未必科学（尤其是每个环节中的零件数量，完全可以灵活调整），在实践过程中也许还会存在这样或那样的问题。笔者只是想借助“找次品问题”这一载体传达一个朴素的想法：我们的数学教学，不仅要使学生获得数学知识、数学结论，更为重要的是让学生经历数学探究和发现的过程，掌握解决数学问题的基本思路，提高数学表达和交流的能力，在数学知识、数学技能、数学思想和数学活动经验等多个维度都有所收获，进而把提高数学素养的教育目标落到实处。
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简单的找次品问题
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简单的找次品问题
1.通过观察、猜测、实验、推理等活动，指导学生体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
2.引导学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的策略问题，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重、难点
尝试用数学方法解决实际生活中的简单问题。
第1课时简单的找次品问题
例1：这里有5瓶钙片，其中一瓶少了3片，设法把它找出来。
5→(2，2，1)&
【情景导入】
出示天平教具，提问：这是什么？（天平）你知道天平的作用吗？它的工作原理是什么？
【新课讲授】
1.自主探索。
（1）出示教材第111页例1：这里有3瓶钙片，其中有一瓶少了3片，你能用什么方法把它找出来吗？
（2）独立思考。老师鼓励学生大胆设想，积极发言。
方案：打开瓶子数一数，用手掂掂，用天平称。（板书课题：找次品）
2.自主探索用天平找次品的基本方法。
（1）引导学生探索利用天平找次品的方法：大家猜猜，怎样利用天平找出这瓶少了的钙片，我们可以拿出3个学具，代替钙片，想象一下，怎样才能找出少了的那瓶？
（2）独立思考，有一定思维结果的时候小组交流。
（3）全班汇报：
①一个一个地称重量（利用砝码），最轻的就是少了的那一瓶；
②利用推理：在天平两端各放一瓶，根据天平是否平衡来判断哪一瓶是少的。如果天平平衡，说明剩下的一瓶就是少的；如果天平不平衡，说明上扬的一端是少的。
（4）小结并揭示课题。
①综合比较几种方法（数一数，掂一掂，盘秤称，天平称……），哪一种更加快速，准确？
②在生活中常常有这样一些情况，在一些看似完全相同的物品中混着一个重量不同的，轻一点或是重一点。利用天平能够快速准确地把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
3.如果这里有5瓶钙片，其中1瓶少了3片，请你设法把它找出来。
4.学生思考，讨论，交流并汇报。
汇报：（1）先拿两瓶放在天平两端，如果天平平衡，说明这两瓶都是合格的，再拿两瓶放在天平两端，如果天平还是平衡，说明这两瓶还是合格的，那剩下的一瓶就是不合格的。
（2）先拿两瓶放在天平两端，如果天平两端平衡，说明这两瓶都是合格的，再拿两瓶放在天平两端，如果天平不平衡，说明上扬的一端就是不合格的。
（3）先把5瓶分成2瓶一组，在天平两端各放两瓶，如果天平平衡，说明这四瓶都是合格的，那剩下的一瓶就是不合格的。
（4）先把5瓶分成2瓶一组，在天平两端各放两瓶，如果天平不平衡，说明上扬的一端就是不合格的，把上扬的那一端的两瓶再放在天平两端，天平上扬的一端就是不合格的。
第一种方案，每一份是1个，至少需要称2次就一定能找出来。
第二种方案，每一份是2个，至少需要称2次就一定能找出来。
【课堂作业】
1.完成教材第112页“做一做”。学生在小组中讨论交流，共同完成。
2.完成教材第113页练习二十七的第1~6题。
答案：1.第5瓶
2.（2）3次（3）能（4）有可能
3.小明5岁，爸爸29岁。
4.3次&&&&5.略&&&&6.能
【课堂小结】
这节课我们学习了找次品，通过这节课的学习，你的收获是什么？
本节课中教者还力图渗透一些基本的学习方法，观察、比较、分析、猜测等方法始终贯穿整节课。如果单单让学生获得一些有关找次品的知识似乎意义不大，而日常生活中的很多问题也不可能在一节课中一一认识，只有具备了一双善于发现的眼睛和一颗乐于探索的心，才能更多更好地学会找次品的方法，从而认识更广的生活世界。
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概率论中找次品的问题。
，求第四个次品在第五次测试中被发现的概率，随机抽取一个测试？有点想不通四个次品，六个正品。？答案是求恰好第五个是次品然后前四个中三个次品一个正品的概率，为什么不考虑第五个是不是次品？他怎么设第五个是次品就直接求了呢
这个为什么不乘六分一答案是c4 3除以c 10 4 两种算法，第二种就是我说的这个，第一种是算每个是次品的概率
提问者采纳
那么前4次取到3个次品一个正品的概率是C(4;C(10这个题目的答案是
求恰好第五个是次品然后前四个中三个次品一个正品的概率
乘以第五次找到的是次品的概率,3)*C(6;6,1)&#47，第五次取到次品的概率是1&#47,4)！ 如果每次拿到每个物品的概率是一样的，乘起来就是答案了
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故第四个次品在第五次测试中被发现的概率应该乘以第五次测试时抽到是次品的概率1&#47，那么在第五次测试时。若要使第四个次品在第五次测试中被发现；所以在第五次测试时答案错误了;6，只剩下（4+6-4）=6件产品了,抽到正品的概率是5&#47，其中只有1件次品和5件正品，则前四次中必有3个次品和1个正品被测试出;6;6！因为这是一个不放回的抽样测试，抽到第四件次品的概率是1&#47
这个题可以这样考虑:四个次品、六个正品排成一排，总共占十个位置，次品之间无区别，正品之间无区别，只要次品的位置排定，剩余位置自然就是正品；所以总的排法就是次品的排法；次品的排法共有: C(10，4)=210种。 三个次品排在前四个位置，第四个次品排在第五个位置，排法共有: C(4，3)×1=C(4，3)=4种，所以，第四个次品在第五次抽到的概率为: C(4，3)/C(10，4)=4/210=2/105。
设第5个是次品 没说不算概率 它是可能发生的个数除以总个数 分子分母就考虑前5个
分母是10个里选5个c5 10
分子是正品4个选3个乘以次品6个选1个
c3 4＊c1 6
分子除以分母就出来了
恩。。。。他求的是第四个次品在第五次是发现的概率。那第五次一定就是次品啦！而且前面一定已经有三个次品啦。你想下。第五个不是次品。前四个是次品的话。不符合条件的。对不。这种题就是这么想的。
如你所说，如果第五个不是次品的话，那你的问题就有问题 就不应该问第四个次品在第五次测试中被发现的概率
这是条件概率。题意是已知第五个为次品。
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