同学们一定知道德国有一个数学神童，在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：&计算1＋2＋3+&&＋100＝？&.这可难为初学算术的学生，但是他却在几秒后将答案解了出来，他把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋99，3＋98，&&，49＋52，50＋51&而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：&101&50＝5050.我想现在同学们一定想起他是谁了吧？他就是德国的大数学家高斯&(Gauss，)，他和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有&数学王子&之称.
有很多题目都与高斯做的这个求和题类似，现在，就让我们来共同探索一下其中的规律.
一、规律总结
如果我们把高斯解的这个题一般化，那就是求1+2+3+&&+n的和，把这组和首尾的数字对应相加，就可以得到个（n+1），所以1+2+3+&&+n=.
我们还可以假设S=1+2+3+&&+n，再倒过来写一遍就是
S=n+(n－1)+&&+1，两式相加可以得到
2S=（n+1）+（n+1）+&&+（n+1）
=n（n+1）&&&&&&&两边同时除以2得
S=&&&即：1+2+3+&&+n=&&&&&&&&&&
用类似的方法我们也可以求出：1+2+3+&&+（n－1）=.
上面两个公式同学们可以记住，计算时不妨直接应用，这样我们在探索规律时就可以把主要精力放在思考问题上，而不是花费在复杂的计算上.
　　二、典型例题
例1&&足球比赛时要进行单循环的淘汰赛，2个球队要进行1场比赛，3个球队要进行3场比赛，4个球队要进行6场比赛，&&，n+1个球队要进行多少场比赛？
解析：假设n+1个球队进行的比赛场数为S，则可以得到
球队数&&&&&&&比赛场数
2&&&&&&&&&&& 1
3&&&&&&&&&&& 3=1+2
4&&&&&&&&&&& 6=1+2+3
5&&&&&&&&&& 10=1+2+3+4
6&&&&&&&&&& 15=1+2+3+4+5
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　由规律可以得到n+1个球队需要进行的比赛场数为S=1+2+3+&&+n=.
例2&&在一条直线上有n个点A1，A2&&&An-1，&An.这n个点一共可以构成多少条线段？
解析：点A1和点A2可以构成线段A1A2，点A1和点A3可以构成线段A1A3，&&，点A1和点An可以构成线段A1An，一共是（n－1）条；点A2和点A3，点A2和点A4，&&，点A2和点An，可以构成的线段一共有（n－2）条，依次类推，n个点可以构成的线段有：（n－1）+（n－2）+&&+2+1=.
评注：例1中的球队我们也可以把它看作一个一个线段上的点，按照例2那样用画弧的方法，一边画弧，一边按照例1那样记数，很快就能找到答案的！其实，只要大家能够灵活运用所掌握的方法，探索规律的题目也是很简单的！
例3&&我们知道1条可以将一个平面分成2部分，2条直线可以将一个平面分成4部分，3条直线最多可以将一个平面分成7部分，4条直线最多可以将一个平面分成11部分，你能探索出n条直线最多可以将一个平面分成几部分吗？
解析：&&&&&&&&&&直线条数&&&&&&&&&分成的平面部分
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1&&&&&&&&&&&&&&&&& 2=1+1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2&&&&&&&&&&&&&&&&& 4=(1+2)+1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3&&&&&&&&&&&&&&&&& 7=(1+2+3)+1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 4&&&&&&&&&&&&&&&& 11=(1+2+3+4)+1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
n&&&&&&&&&&&&&&&& S=(1+2+3+&&+n)+1=+1
三角形边数
　　第n个图形三角形的边数一共有多少？
解析：如果我们把后一个图形看作是在前一个图形的基础上在下面补充几个三角形，那么探索起其中的规律来就很容易得到问题的答案.
图形编号&&&&&&&&&&&&&三角形边数
①&&&&&&&&&&& 3
②&&&&&&&&&&& 9=3+3&2=3&(1+2)
③&&&&&&&&&& 18=9+3&3=3&(1+2+3)
④&&&&&&&&&& 30=18+3&4=3&(1+2+3+4)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
n&&&&&&&&&&&&& S=3&(1+2+3+&&+n)=&
以上只是探索规律中求和的一种类型，实际上同学们只要注意总结，善于分类，深入研究，做一个有心人，你一定能够在探索规律中有出色表现的.
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2016届高考数学（理）热点题型和提分秘籍：专题25 数列求和（含解析）（新人教A版）
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2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题25 数列求和 理（含解析）新人教A版
【高频考点解读】
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
【热点题型】
分组转化法求和
【例1】 设数列{a满足a＝2＋a＝8且对任意nN*，函数f(x)＝(a－a＋1＋a＋2)x＋a＋1－a＋2满足f＝0.
(1)求数列{a的通项公式；
(2)若b＝2求数列{b的前n项和S
【提分秘籍】
常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的可以分项数为奇数和偶数时分别使用等差数列或等比数列的求和公式．
在等差数列{a中已知公差d＝2是a与a的等比中项．
(1)求数列{a的通项
(2)令b＝a记T＝－b＋b－b＋b－…＋(－1)求T
错位相减法求和
【例2】 已知首项都是1的两个数列{a(bn≠0，n∈N*)满足a＋1－a＋1＋2b＋1＝0.
(1)令c＝求数列{c的通项公式；
(2)若b＝3－1求数列{a的前n项和S
【解　(1)因为a＋1－a＋1＋2b＋1＝00(n∈N*)，
所以－＝2即c＋1－c＝2.
所以数列{c是以首项c＝1公差d＝2的等差数列故c＝2n－1.
(2)由b＝3－1知a＝c＝(2n－1)3－1
于是数列{a前n项和S＝1·3＋3·3＋5·3＋…＋(2n－1)·3－1
3Sn＝1·3＋3·3＋…＋(2n－3)·3－1＋(2n－1)·3
相减得－2S＝1＋2·(3＋3＋…＋3－1)－(2n－1)·3＝－2－(2n－2)3所以
S＝(n－1)3＋1.
【提分秘籍】
(1)一般地如果数列{a是等差数列是等比数列{an·bn}的前n项和时可采用错位相减法求和一般是和式两边同乘以等比数列{b的公比然后作差求解；(2)在写出“S与“qS的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S－qS的表达式．
数列{a满足a＝1＋1＝(n＋1)a＋n(n＋1)N*.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设b＝3，求数列{b的前n项和S
裂项相消法求和
【例3】 正项数列{a的前n项和S满足：S－(n＋n－1)S－(n＋n)＝0.
(1)求数列{a的通项公式a；
(2)令b＝数列{b的前n项和为T证明：对于任意的nN*，都有T＜
【提分秘籍】
利用裂项相消法求和时应注意抵
【举一反三】
已知等差数列{a的公差为2前n项和为S且S成等比数列．
(1)求数列{a的通项公式；
(2)令b＝(－1)－1求数列{b的前n项和T
【解　(1)因为S＝a＝2a＋＝2a＋2
S4＝4a＋＝4a＋12
由题意得(2a＋2)＝a(4a1＋12)
来源：解得a＝1
所以a＝2n－1.
(2)b＝(－1)－1＝(－1)－1
＝(－1)－1
当n为偶数时
中华资源库 ＝－＋…＋－＝1－＝
当n为奇数时
Tn＝－＋…－＋＝1＋＝
【高考风向标】
满足，且（），则数列的前10项和为
【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和.
【答案】(I) ; (II) .
所以数列的前项和为.
【2015高考四川，理16】设数列的前项和，且成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.
【答案】；（2）10.
【解析】，有，
又因为成等差数列，即.
所以，解得.
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
等差数列{a的通项公式为a＝2n＋1其前n项和为S则数列的前10项的和为(　　)
【答案　解析　因为＝n＋2所以的前10项和为10×3＋＝75.
已知函数f(n)＝且a＝f(n)＋(n＋1)则a＋a＋a＋…＋a等于(　
【答案　数列a＋2＋2k＋20共有十项且其和为240则a＋…＋a＋…＋a的值为(　　)
【答案　【解析　a＋…＋a＋…＋a＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－＝240－110＝130.
已知数列{a满足a＝1＋1＝2(n∈N*)，则S＝(　　)
【答案　解析　a＝1＝＝2又＝＝2.
＝2.a1，a3，a5，…成等比数列；a成等比数列
∴S2 016＝a＋a＋a＋a＋a＋a＋…＋a＋a
＝(a＋a＋a＋…＋a)＋(a＋a＋a＋…＋a)
＝＋＝3·2－3.故选
5．已知数列{a：＋＋＋＋＋＋…＋若b＝那么数列{b的前n项和为(　　)
【答案　解析　a＝＝
∴bn＝＝＝4
6．在等差数列{a中若此数列的前10项和S36，前18项和S＝12则数列{|a的前18项和T的值是________
来源：答案　60
7．在数列{a中＝1＋1＝(－1)(an＋1)记S为{a}的前n项和则S＝________．
答案　－1 005解析　由a＝1＋1＝(－1)(an＋1)可得a＝1
a2＝－2＝－1＝0该数列是周期为4的数列
所以S＝503(a＋a＋a＋a)＋a＝503×(－2)＋1＝－1 005
8．等比数列{a的前n项和S＝2－1
则a＋a＋…＋a＝________．
答案　(4－1)解析　当n＝1时＝S＝1
当n≥2时＝S－S－1＝2－1－(2－11)＝2－1
又a1＝1适合上式．
＝2－1＝4－1
∴数列{a是以a＝1为首项以4为公比的等比数列．
＋a＋…＋a＝＝(4－1)．
9已知数列{a的前n项和是S且S＋＝1(nN*)．
(1)求数列{a的通项公式；
(2)设b＝(1－S＋1)(nN*)，令T＝＋＋…＋求T
＝＋＋…＋
10．设等差数列{a的前n项和为S且S＝4S＝2a＋1.
(1)求数列{a的通项公
(2)设数列{b的前n项和为T且T＋＝λ(λ为常数)令c＝b2n(n∈N*)，求数列{c的前n项和R
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提问者采纳
akn=a1十（kn-1）d=2d十（kn-1）d=（kn十1）d=akn=a1×3^（n-1）=2d 3^（n-1）kn十1=2×3^（n-1）kn=2×3^（n-1）-1
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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& 2014届高三数学最后一课试题拆解：15
2014届高三数学最后一课试题拆解：15
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资料概述与简介
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =(
,则的半径为(
【解析】设半径为,由割线定理有,解得.故选D.
6.如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,
且,设,则＝(
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作(
【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D.
9.如图甲,四边形是等腰梯形,.由4个这样的
等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,
则四边形中度数为 (
【解析】,从而,选A.
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠
压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑
直径为10mm,若所用钢珠的直径为26 mm,则凹坑深度为(
　A.1mm 　　
C.3mm 　　
【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成角,则离心率.故选A.
13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________
【解析】圆;圆或椭圆.
14.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC＝,
【解析】由已知得,,
15.如图,为的直径,弦、交于点,
【解析】连结,则,又,
16.如图为一物体的轴截面图,则图中R的值
【解析】由图可得,解得.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:是的两条切线,是切点,是
上两点,如果,试求的度数.
【解析】连结,根据弦切角定理,可得
19.(本小题满分12分)
已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
点E．求证：(1)△ABC≌△DCB
(2)DE·DC＝AE·BD．
【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB
∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD
(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC
∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB
∴△ADE∽△CBD
∴DE:BD＝AE:CD，
∴DE·DC＝AE·BD.
又, ∴,命题得证.
21.(本小题满分12分)
如图,是以为直径的上一点,于点,
过点作的切线,与的延长线相交于点是
的中点,连结并延长与相交于点,
延长与的延长线相交于点.
(1)求证:；
(2)求证:是的切线；
(3)若,且的半径长为,求和的长度.
是的切线，．
，是的切线．
的半径长为，．．
解得． ．，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（负值舍去）．．
［或取的中点，连结，则．易证，22.(本小题满分14分)
如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线将一个面积为的图形分成两部分,这两部分的面积分别为,,如果,那么称直线为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点(如图2),则直线是的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点,再过点作直线,交于点,连接(如图3),则直线也是的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4，点是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线.请你画一条的黄金高为．
　 ,,,所以，设直线与交于点．所以．所以
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綪诺言°_以
提出2/16,能看懂么?提出后,求和符号后面展开的话就是一个等比无穷级数,按高中知识理解的话就是等比数列了.如果不提出2/16,而只是提出一个2的话,也是可以的,你再动动手,最好展开写,多写上几项,就能看明白.
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