求数列通项公式的方法总结_百度文库
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求数列通项公式的方法总结
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&&数​列​通​项​公​式​的​多​种​求​法
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数列通项公式
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
数列通项公式求法
数列通项公式等差数列
对于一个数列{ an }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a1到第n项 an的总和，记为Sn 。
那么 ， 通项公式为
，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：
将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关
的项 ，最终左边余下an ,而右边则余下a1和 n-1 个d,如此便得到上述通项公式。
此外， 数列前 n 项的和
，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。
值得说明的是，
，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。
数列通项公式等比数列
对于一个数列 {an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比 q ；从第一项a1 到第n项an 的总和，记为Tn 。
那么， 通项公式为
(即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：
a2=a1 * q,
a3= a2 * q,
a4= a3 * q,
an=an-1 * q,
将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an , 右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。
此外， 当q=1时 该数列的前n项和
当q≠1时 该数列前n 项的和
数列通项公式一阶数列
数列通项公式概念
不妨将数列递推公式中同时含有an 和an+1的情况称为一阶数列，显然，等差数列的递推式为
an=an-1 + d , 而等比数列的递推式为 an =an-1 * q ； 这二者可看作是一阶数列的特例。故可定义一阶形式为： an+1 = A *an + B ········☉ , 其中A和B 为常系数。那么，就是A=1 的特例，而就是B=0 的特例。
数列通项公式思路
基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元
思路一： 原式复合 （ 等比形式）
可令an+1 - ζ = A * (an - ζ )········① 是原式☉变形后的形式，即再采用待定系数的方式求出 ζ 的值， 整理①式 后得an+1 = A*an + ζ - A*ζ , 这个式子与原式对比可得，
ζ - A*ζ = B
即解出 ζ = B / (1-A)
回代后，令 bn =an - ζ ,那么①式就化为bn+1 =A*bn , 即化为了一个以（a1 - ζ )为首项，以A为的，可求出bn的通项公式，进而求出 {an} 的通项公式。
思路二： 消元复合（消去B）
由 an+1 = A *an + B ········☉ 有
an = A* an-1 +B ··········◎
☉式减去◎式可得 an+1 - an = A *（ an - an-1）······③
令bn = an+1 - an 后， ③式变为bn = A*bn-1 等比数列，可求出bn 的通项公式，接下来得到 an - an-1 =
为关于n的函数）的式子， 进而使用叠加方法可求出 an
数列通项公式二阶数列
数列通项公式概念
类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2 、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：
an+2 = A * an+1 +B * an , （ 同样，A，B常系数）
数列通项公式求法
基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合： 令 原式变形后为这种形式 an+2 - ψ * an+1 = ω (an+1 - ψ * an)
将该式与原式对比 ，可得
ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B
通过解这两式可得出 ψ与ω的值，
令bn = an+1 - ψ*an , 原式就变为bn+1 = ω *bn 等比数列，可求出bn 通项公式bn= f (n) ，
即得到 an+1 - ψ*an = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有an+1和an 两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。
数列通项公式常见类型
数列通项公式累加法
递推公式为
，且f(n)可以求和
例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通项公式
解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）
∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=
数列通项公式累乘法
递推公式为
且f(n)可求积
例：数列{an }满足
，且a1=4，求an
an = 2n(n+1)
数列通项公式构造法
将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列
适当的进行运算变形
例：{an} 中，a1=3且 an+1 = an2, 求an
解：ln an = ln an2 = 2 ln an
∴{ln an}是等比数列，其中公比q = 2，首项为ln3
∴ln an = (2n-1) ln3
倒数变换法（适用于an+1 = A*an / (B*an + C),其中，A、B、C∈R）
例：{an}中，a1=1，an+1 = an / ( 2an + 1 )
解：1 / an+1 = ( 2an+1 ) / an = 1/an +2
∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2
∴an = 1 / (2n-1)
待定系数法
A.递推式为an+1 = p*an + q（p，q为常数），可以构造递推数列{an + x}为 以p为公比的等比数列，
即an+1 + x=p*(an+x)，其中 x = q / (p-1) （或者可以把设定的式子拆开，等于原式子）
例：{an}中a1=1，an+1 = 3an+4,求an
解：an+1 + 2 = 3(an+2)
∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3
∴an = 3n - 2
B.递推公式为an+1 = p*an + qn（p，q是常数）
常规变形，将两边同时除以qn+1
得到an+1 / qn+1 = (p / q)*( an/qn)+1/q
再令bn = an / qn,
可以得到bn+1 = k*bn + m（其中k=p/q , m=1/q）
之后就用上面A中提到的方法来解决
C.递推公式为an+2 = p*an+1+q*an,（p，q是常数）
可以令an+2 =x2 , an+1 = x , an = 1
解出x1和x2，可以得到两个式子
an+1 - x1 * an = x2 * (an - x1 * an-1)
an+1 - x2 * an =x1* (an - x2* an-1)
然后，两式子相减，左边可以得出来 （k为系数）
右边就用等比数列的方法得出来
例：{an}中，a1=1, a2=2, an+2 = (2/3)an+1=(1/3) an
解：x2 = 2x/3 = 1/3
x1=1,x2=-1/3
可以得到方程组
an+1 - an = - (1/3)* (an - an-1)
an+1 +(1/3)* an = an + (1/3)*an-1
解得an = 7/4 - 3/4×(-1/3)^(n-1)
D.递推式an+1 = p* an + an +b（a，b，p是常数）
可以变形为an+1 + xn+1 +y = p*(an + xn + y)
然后和原式子比较，可以得出x，y，
即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列
例：{an}中，a1=4， an=3an-1 + 2n-1 (n≥2)
解：原式= an + n+1= 3 [an-1 + (n-1)+1]
∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6
∴an = 2×3n - n - 1
递推式为an+1 = (A*an+B) / (C*an+D) （A，B，C，D是常数）
令an+1 = an = x,原式则为x = (Ax+B) / (Cx+D)
(1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列
例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (2an-1)/(4an+6),求an
解：x = (2x-1) / (4x+6)
解得x0 = - 1/2
1/(an+1/2)=1/[(2an-1-1)/(4an-1+6) +1/2]=1/[an-1 + 1/2] +1
∴{1/(an + 1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5
∴an=5/(5n-3) -1/2
(2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an - x1)/(an - x2)}为等比数列（x1,x2的位置没有顺序，可以调换）
例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (an+2)/(2an+1)
解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [an-1 - 1]/[an-1 + 1]
则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3
∴an = [1 + (-1)n-1 (1/3)n] / [1 - (-1)n-1 (1/3)n]
(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列
例：{an}中，a1 = 2,满足an+1 = an-1 / an (n≥2)
解：a1 = 2 , a2 = 1/2 , a3 = -1 , a4 = 2 , a5 = 1/2 ……
所以an = 2（n MOD 3 = 1），1/2（n MOD3 = 1），－1（n MOD 3 = 0）
（准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示）
数列通项公式连加相减
例：{an}满足a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan = n(n+1)(n+2)
解：令bn = a?+ 2a?+ 3a?+……+ nan = n(n+1)(n+2)
nan = bn - bn-1 = n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an = 3（n+1）[1]
．豆丁网[引用日期]
企业信用信息数列的通项与递推公式_百度百科
数列的通项与递推公式
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数列的通项与递推公式是按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。
数列的通项与递推公式通项公式
等差数列的：
（d为公差）
等比数列的通项公式：
（q为公比）
通项公式定义
如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式
简单的说 就是一个数列的规律，有了通项公式就可以写出数列
数列的通项与递推公式递推公式
等差数列的递推公式：
（d为公差）
等比数列的递推公式：
（q为公比）
递推公式概念
递推公式的概念：可以通过给出(按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…简记为{an}，)的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是，二者缺一不可．----还需要一个结论。就是一个规律。
企业信用信息求数列通项公式的十种方法_百度文库
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求数列通项公式的十种方法
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&&1​.​求​数​列​通​项​的1​种​方​法​,​
​
.​四​种​基​本​数​列​：​等​差​数​列​、​等​比​数​列​、​等​和​数​列​、​等​积​数​列​及​其​广​义​形​式​
​
.​累​加​和​累​乘​,​这​二​种​方​法​是​求​数​列​通​项​公​式​的​最​基​本​方​法​。​
​
.​求​数​列​通​项​的​方​法​的​基​本​思​路​是​：​把​所​求​数​列​通​过​变​形​,​代​换​转​化​为​等​差​数​列​或​等​比​数​列​。​
​
.​数​列​的​本​质​是​一​个​函​数​,​其​定​义​域​是​自​然​数​集​的​一​个​函​数​。
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