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管理类综合数学推导过程方法及思路
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　　“记忆力”这个事情在学习中占有举足轻重的地位，就拿会计专硕的考研来说，英语二要过关，单词量是要首当其中解决的一个问题，好像记忆力好，背单词就非常容易解决；管综中逻辑有很多需要记住的结论，看起来好像也需要强大的记忆力才能搞定；数学基础需要记的东西相对要少，但仔细一看，好像很多题目中涉及的方法和技巧也需要记住，感觉上只要记住这些方法了，题目就一定能够做出来。
　　其实不然。知识想要学得好，靠的并不是单纯的记忆，而是在充分理解它们的基础上再进行记忆才会有事半功倍的效果。数学更是这样的一个学科，学习过程中对于每个知识点不仅要知其然，更要知其所以然。下面就和大家谈谈如何把数学学透彻。
　　很多学生在学习数学的时候抱怨说：明明都把公式记住了，老师上课讲的题目怎么做也记住了，为什么自己做题的时候还是做不出来？这样的学生就犯了死记硬背的错误。管综考试数学基础部分一个很重要的特点就是灵活性强，这个特点就要求学生在学习这门课程时，需要活学活用，那就不能死记硬背。数学中的每个公式的存在大多数都是为了解决某个或者某类问题，在学习这些公式的时候需要知道公式是为什么产生的，它是如何产生的，产生之后该公式又有什么变式，变式又有什么样的用处。虽然这个过程不会在考试中直接考查，但是一定会考查这里面涉及到的数学思想。例如，一元二次方程的求根公式。相信看这篇文章的同学只要初中的数学知识还记得一点的话，应该都会记得这个公式是什么，而管综数学基础部分的题目也一定会考到这个公式，但是在这里多问一句：这个公式是怎样得到的？不知道有多少人能回想起来。
　　该公式是通过“配方”这种数学处理思路推导出来的。一般在学习一元二次方程ax^2+bx+c=0的求解方法之前，肯定已经学过一元一次方程ax+b=0的解法；当遇到二次方程时，直接求解这条路是走不通的，因此需要想办法将其化为一次方程求解。从二次变为一次，一个很重要的运算方式就是开方运算，那就将一元二次方程中的一元二次代数式进行配方处理，即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2)，一个式子的平方等于另外一个式子，就可以将等式右边进行开方运算，即成功的将一个一元二次方程化为一元一次方程，再对化简出来的一次方程求解就得到二次方程的求根公式了。
　　它的推导过程考试一定不会直接考，但是推导过程中用到的数学方法和处理方式考试时一定会用到。一方面它用到了数学中常用的一种处理方式：只会一次方程的解，那就想办法将二次方程转化为一次方程就可求解了，即学会用已有的知识去解决未知的问题(如果不是我们掌握的形式，那就想办法转化成想要的形式)，这也是我们在学习任何新知识时最常用的一种处理方式，更是考试中需要的一种能力；另一方面，也用到了代数求解问题中一种常用的处理方法——配方。配方这种方法在考试时经常遇到，例如用配方求最值、用配方将方程转化成非负代数式和为零的形式来求多个未知数的取值问题。
(责任编辑：张婵)&
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四六级英语拓展已知 a∝F ,a∝1/m 如何推导出a ∝F/m （请详细推导.实际上就是牛顿第二定律的推导过程,并告诉我这方面的推导知识会在数学哪一册数学到）
∵a∝F ,a∝1/m∴a随F增大而增大,随1/m增大而增大而F、1/m都是正数所以a随F*1/m的增大而增大所以a ∝F/m 另：数学上没有“∝”符号的应用,至少中学数学没有
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衣带渐宽终不悔
为伊消得人憔悴
23:33 by SeasonLee, ... 阅读,
自从笔者的一文发布以后，得到众多网友的肯定和赞赏，你们的支持是笔者写blog的源动力。而同时也由于笔者的水平所限，有网友指出在《百姓网编程题后序》中存在着不严谨的数学证明过程，而这些确实是笔者粗心的过失，实在感到十分羞耻。为了不给读者造成误解，笔者决定撰写本文来对《百姓网编程题后序》中的数学证明给出补充，以消除读者心中的疑念。
本文假设读者有一定的离散数学()基础，特别是对数学逻辑()和集合论()有一定的认识，否则本文会让你难于理解。由于大陆与港台在专用术语的翻译上存在一定差异，在一些大陆专用的中文术语中，我都会在后面加上英文的对照版本以及相应的wiki link，港台的读者可以通过wiki link来消除你对该中文术语的困惑。
在这里笔者要感谢国家。感谢网友ff1在《百姓网编程题后序》中指出的错误，没有您的意见反馈，笔者不会知道在文中所犯下的错误。同时希望您能在本文中继续给出您宝贵的意见。感谢wukegui同学在数学证明上给我的帮助，您让我学回很多遗忘已久的数学知识。感谢，先生和mikster对本文的review和意见。
限于笔者水平，本文中的疏漏和错误在所难免，欢迎批评和指正。同时也希望能与您进行更多深入的交流，请联系我或者。
正确还是错误？
笔者曾在《百姓网编程题后序》一文中简单证明过以下等价关系对于集合成立。
A & (B & C)
(A & B) & (A & C)
A & (B & C)
(A & B) & (A & C)
(A & B) & C
(A & C) & (B & C)
(A & B) & C
(A & C) & (B & C)
但是，以上等价命题都是成立的吗？
否。对于红色字体的2个命题，它们的等价命题并不成立，而另外2个黑色字体的等价命题是成立的。
为了证明等价命题不成立，我们只要能找到一个反例就可以了。
&&对于命题A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C)，考虑以下集合图。
在图中，集合A有一部分属于B，而另一部分属于C，在这种特殊情况下，(A & B)不成立，(A & C) 也不成立，而A & (B & C)却是成立的，所以等价关系A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C)是错误的。
&&对于命题(A & B) & C &hA (A & C) & (B & C)，考虑以下集合图。
在图中,A,B,C完全不存在子集的关系，但是(A & B) & C确实成立。而等价命题(A & B) & C &hA (A & C) & (B & C)是错误的。
重要推论和定律
下面是笔者自命名的表达式和推论，是不会在数学书籍或者文献中出现的，这些表达式名称是作为本文的数学约定，仅仅为了帮助读者的理解，将使用下划线来做标识，而数学定律均使用加粗字体来表示。
元在本文中，应该理解为维(dimension)或者变量(variable)，它是对应于查询语句中的一个字段名称。
一元单项式，即 x & 10或者y & 5，而不含&或者&。
一元多项式，即 一个&或者一个&或者两者或者多个&、&组成的关于x的表达式，即(x&10&x&5) & ( x & 6 & x & 9)。
一元多项并集式，即 一个&或者多个&组成的关于x的表达式，即 x & 10 & x & 5。
一元多项交集式，即 一个&或者多个&组成的关于x的表达式，即& x & 6 & x & 9。
下面是推论:
A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C)& 对于任意集合都成立。& (推论1)
(A & B) & C &hA (A & C) & (B & C)& 对于任意集合都成立。& (推论2)
A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C) 当且仅当B,C均为一元多项式(B、C不能描述同一个元)的时候成立，我们在下面称之为推论3。
(A & B) & C &hA (A & C) & (B & C) 当且仅当A,B均为一元多项式(A、B不能描述同一个元)的时候成立，我们在下面称之为推论4。
为什么A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C)对于A,B,C为任意集合时不成立，而当且仅当B,C均为一元多项式时就成立？
首先回答&A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C)对于A,B,C为任意集合时不成立&，其实在例图1中已经给出例子，也就是当A有一部分属于B，而另一部分属于C的时候，正如例图1中所示，A不属于B也不属于C，但是A却是B与C并集的子集。
然后&A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C) 当且仅当B,C均为一元多项式&，其实这里不难理解B、C实际需要满足什么条件。如果B只作一维上(假设是x维)的约束，而C作另外一维上(假设是y维)的约束，那么A要属于B、C的并集，A只需要满足x维上的约束或者满足y维上的约束。
为帮助读者的理解，请考虑以下特例：
x&10 & x & 30& & (x &0 & x &= 15) & (x&15 & x & 40)
x&10 & x & 30不是x &0 & x &= 15的子集，也不是x&15 & x & 40的子集，但是x&10 & x & 30却是这两者的并集的子集。
就是说对于ab & mn & pq的分拆，不管是ab& & mn& & ab & pq还是ab& & mn& & ab & pq，最终的布尔表达式都是FALSE，但事实上应该是TRUE的。
所以A & (B & C) &hA (A & B) & (A & C) 并不是一个真命题，请慎用！同理(A & B) & C &hA (A & C) & (B & C)也不是一个真命题。
接下来，我将使用到一些集合论中的法则(你可以在《》一书中找到)。其中符号AC& 表示A的绝对补集()。
幂等律(Idempotent Laws):
结合律(Associative Laws):
A & (B & C) = (A & B) & C
A & (B & C) = (A & B) & C
分配律(Distributive Laws)：
A & (B & C) = (A & B) & (A & C)
A & (B & C) = (A & B) & (A & C)
重补集律(Complementation Law)：
(AC& )C& =& A&
德&摩根律(De Morgan&s Laws):
(A & B)C = AC & BC
(A & B)C = AC & BC
子集的逆否律(读者可以使用归纳法把这个证明出来):
A & B &hA BC & AC
子集算法推导过程(了解过的朋友请跳过这一节)
由于推论3和推论4无法适用于集合的所有情况，所以在以下算法中，我们需要对查询表达式作特殊的处理，进行若干变换，最终转化成适用于推论3和推论4的多个表达式，再使用一元多项交集式与一元多项并集式的子集判断算法，以完成完整的子集判断。
我们要把任意的查询表达式化为(a & b & c &&.) & (d & e & f &&.) &&..这样多个交集所组成的并集，把它称为标准式。注意对于式子中的a,b,c,d&&都是一元单项式。
如 (x & 10 & y & 5) & z & 0:
的标准式为： (x & 10 & z & 0) & (y & 5 & z & 0)&&&&&&&&&&&&&　　&&&&&&& 　　　　　　　　分配律
假设集合A表示成 (a&b) & (c&d)，集合B表示成 (m&n) & (p&q)，要判断A & B ，则：
(a&b) & (c&d) & (m&n) & (p&q)
[(m & n) & (p & q)]C & [(a & b) & (c & d)]C&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　逆否律
(mC & nC )&(pC& & qC)&(aC& & bC)&(cC& & dC)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　　　　德&摩根律
(mC & pC )&(mC & qC)&(nC& & pC)&(nC& &qC)& (aC& &bC)&(cC& &dC)&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　分配律&
[mC & pC & (aC & bC )&(cC & dC )] & [mC & qC & (aC & bC )&(cC & dC)] & [nC & pC & (aC & bC )&(cC & dC ) ]& [nC & qC & (aC & bC )&(cC& dC )]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　推论1
展开由于上式中是多项取逻辑与的关系，下面我们只考虑其中一项：&
mC & pC & (aC &bC )&(cC &dC )
mC & pC & (aC & bC ) & (cC & dC )
(mC & pC & aC & bC )& (mC & pC & cC & dC )&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　推论1
(a & b & m & p) & (c&d & m&p )&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　逆否律
因此结合步骤1和步骤2，
我们可以把原式:
(a&b) & (c&d) & (m&n) & (p&q)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　
(a & b & m & p) & (c&d & m&p ) & (a&b & m&q ) & (c&d & m&q ) & (a&b & n&p ) & (c&d & n&p ) & (a&b & n&q ) & (c&d & n&q )&&&&&&& 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
我们着重考虑上面式子的一项a & b & m & p，因为a、b、m、p都是一元单项式。
假设a&b和m&p都是关于x,y的二元多项表达式。我们可以很轻松的合并元x,y：
a & b & m & p
[(x的多项交集式)&(y的多项交集式)] & [(x的多项并集式)&(y的多项并集式)]
下面X1表示x的x的多项交集式，用Y1表示y多项交集式,X2表示x的多项并集式，用Y2表示y的多项并集式。
a & b & m & p
X1&Y1 & X2&Y2
(X1&Y1 & X2) & (X1&Y1 & Y2 )&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 使用推论3和推论4
//Y1 & X2，Y1与X2并不是描述同一个元，所以不存在子集关系。
(X1 & X2)& && (Y1 & X2) & (X1 & Y2)& && (Y1 & Y2)
(X1 & X2)& && (Y1 & Y2)
根据步骤1、2、3，集合A：(a&b) & (c&d)，集合B：(m&n) & (p&q)，
[(a&b) & (c&d)] & [(m&n) & (p&q) ]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
可以先化简为：
(a & b & m & p) & (c&d & m&p ) & (a&b & m&q ) & (c&d & m&q ) & (a&b & n&p ) & (c&d & n&p ) & (a&b & n&q ) & (c&d & n&q )&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
再利用合并相同元的并集和交集：
[(X1 & X2)& && (Y1 & Y2)] & [(V1 & V2)& && (W1 & W2)] & [(J1 & J2)& && (K1 & K2)] &&...&[(E1 & E2)& && (F1 & F2)]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　　　　　　　　　　　　　　　　
上式的X1,Y1,V1,W1,J1,K1&&E1,F1均为一元多项交集式，而X2,Y2,V2,W2,J2,K2&&E2,F2均为一元多项并集集式。
浅谈一元多项交集式与一元多项并集式的子集判断。
在上一节中，我们把集合A与集合B的子集关系化简为：由一元多项交集式与一元多项并集式的子集关系，任意与或组合，形成的布尔表达式。
在下面我将浅谈一元多项交集式与一元多项并集式的子集判断。
一元多项交集式：集合A:x & 10 & x & 15 & x & 30&&
一元多项并集式: 集合B: x&10 & x&15 & x& 30&&
简单来讲集合A是表示一个区间，而集合B是表示多个区间，要判断 A & B，只需要遍历集合B中的所有区间，看是否能找到一个包含集合A的区间，如果找到则 A & B成立，如果找不到则A & B不成立。
下面使用伪代码(其实是python代码):
#集合A只包含一个区间a_interval = set_A[0]is_sub_set = Falsefor interval in set_B:
#a_interval 在 interval 里面
if is_sub_interval(a_interval, interval) == True:
is_sub_set = True
1.主要由于推论3和推论4无法适用于集合的所有情况，所以在本文中，需要对查询表达式进行若干变换，最终转化成适用于推论3和推论4的多个表达式，再使用一元多项交集式与一元多项并集式的子集判断算法，以完成完整的子集判断。
2.推导过程比较繁琐，其实你只需要关注标准式--中间式--最终式之间的关系即可，推导过程只为了证明数学上的完备。
3.由于本文用到的算法比我在上篇中的算法要复杂多，限于本人水平和时间，暂时未能提供完整的程序代码。有兴趣的读者可以尝试把自己算法实现出来，并发布出来让大家参考参考。
其实在下面的评论中，已经有不少更好的解法，下面我简单的说说。
mikster使用了多维空间的思想来描述了这道题，下面引用他本人的原话：
实际上是高维空间里的覆盖问题，离散化后逐个检查是朴素做法，复杂度取决于每次排除后的分裂速度。逆波兰是将空间立方体化的手段而已。如果高维线段树空间和速度都不好，所以朴素做法还是最好的，但是看起来还是不能满足要求
我比较怀疑这个问题的下限。
而另外一位朋友就使用了更为巧妙的中点检测法，对所有的区间作验证，有兴趣的朋友可以去看看：
A:(age&21)and(level&1)
B:(age&20)or(level&0)
首先 把每个字段分段
age :分成 [0 ,20 ,21] 三段
level :分成 [0, 1] 两端
这很容易实现
然后 每段取中点 作为测试值
age: [10,20.5,22]
level: [0.5,2]
然后 age*level 产生测试用例
放到A和B里测试
如果存在一个值属于A却不属于B......
怎么样 暴力吧
这叫乱拳打死老师傅
想想看 效率反而可能是最高的组合数学里的卡特兰数的推导过程C(n,2n)/(2n+1)
这是一种定义明白吗
就像我们定义f(x)=x*x
也可定义F(X)=F(X-1)*F(X-2)但是你能推导出上面式子吗?
答案肯定是不能
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数学的推导过程怎么用英语写，有没有相关的手册呢？
如题。。。写英文论文的过程中，遇到一些数学过程需要描述，比如对某个函数从哪儿到哪儿的积分，然后又是微分啥的，这种有么有相关的参考手册呢？能否分享一下？
能够给我一本电子书之类的呢？我学习一下。。。:hand:
一般这种程度的教材都是属于高中阶段，很少会有电子版本
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