等差数列的前n项和
等差数列的前n项和
& 等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．
通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．
理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．
一、问题情景
在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101&50＝5050．
受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．
高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？
二、建立模型
数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．
等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？
对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，　　　　　　　　　　　　　　　　
依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．　　　　
由此得到等差数列的前ｎ项和公式
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？
（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？
学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用
［例　题］
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．
（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
注：恰当选用公式进行计算．
已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．
解：由题意知
注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．
（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，
日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．
解：根据题意，从年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．
那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为
答：从年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．
已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为 ，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？
［练　习］
一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？
已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝ｎ2＋
ｎ＋4，求这个数列的通项公式．
求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．
四、拓展延伸
数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？
已知等差数列5，4 ，3
，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．
分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝
ｎ2＋（ａ1－ ）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝
x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．
解：由题意知，等差数列5，4 ，3 ，…的公差为－ ，所以
于是，当ｎ取与 最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．
分析2：因为公差ｄ＝
－＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．
这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．
对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．
就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。
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2.3 等差数列的前n项和
第2课时 高一数学必修五第二章
《数列》 复习巩固 1. an＝a1＋(n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2.等差数列前n项和公式: 复习巩固 知识新授 当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数. 2、若数列{an}的前n和Sn＝pn2＋qn，
那么数列{an}是等差数列吗？ {an}是等差数列
Sn＝pn2＋qn. 若Sn＝pn2＋qn＋r呢？ 例2 设等差数列 的前n项和为Sn，求当n为何值时Sn 取最大值.
(2）当ak≥0，ak＋1≤0时，Sk为最大;
当ak≤0，ak＋1 ≥ 0时，Sk为最小. 3、求等差数列中Sn的最值问题：
(1）利用Sn的解析式由配方法确定Sn的
最值; 《学海》第5课时三层练习6题 3、在等差数列{an}中： 例3 已知一个等差数列的前12项之和 为354，且前12项中偶数项的和与奇数 项的和之比为32：27，求这个等差数 列的公差. 例4《学海》34页第4题
练习：已知一个等差数列共有偶数项，
其中偶数项之和为30，奇数项之和为
24，末项与首项之差为10.5，求这个
等差数列的首项、公差和项数. 首项为 ，公差为
项数为8. 作业：P46习题2.3 A组：5；B组2，3，4 ； 《学海》第6课时 课后作业 * * * * * *
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2007年高考第一轮复习数学：3.4
等差数列与等比数列的综合问题
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等差数列与等比数列的
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如果一个数列｛an｝的前n项和为Sn=p*(n的平方)+q*n+r 这个数列一定是等差数列吗？（pqr为常数 p不等于0）
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如果它是 它的首项与共差分别是什么 求解释 谢谢结论是：r=0 &====& ｛an｝是等差数列。当 r≠0 时，除去第一项外，其余各项仍成等差数列，但整个数列不再是等差数列。证明：r=0 时，Sn=pn^2+qn ，则 a1=s1=p+q ，n&=2 时，an=Sn-S(n-1)=pn^2+qn-[p(n-1)^2+q(n-1)]=2pn-p+q ，所以 an-a(n-1)=2p ，因此 ｛an｝是首项为 p+q ，公差为 2p 的等差数列。热心网友
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Sn=pn^2＋qn＋r,(p,q,r为常数,P不等于零）判断数列是否为等差数列?写出证明过程
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设{an}的前n项和为Sn=pn²＋qn＋r,则{an}是等差数列的充要条件是：r=0 当n≥2时,an=Sn-S(n-1)=pn²＋qn＋r - [p(n-1)²＋q(n-1)＋r]=2pn-p+q而a1=S1=p+q+r,故r=0时,{an}的通项公式为an=Sn-S(n-1)=2pn-p+q,才是等差数列
能不能有个具体的过程...
r不是0时，{an}从第2项起才是等差数列
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所以An为等差数列...
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