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高中数学资料：对数的运算法则
14:29:49 来源：新东方在线
　　对数是的重点，为了使同学们了解对数及其运算，新东方在线小编整理了对数的运算法则，供同学们参考学习。　　(来源：新东方在线论坛)
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虽然课本上有很多关于数学文化的经典内容，但是因为高考对此没有要求，所以一直以来都是大部分老师和学生所忽略的对象。在这样的情况下出现很多学生不知道毕达哥拉斯，欧拉，欧几里得，罗巴切夫斯基等等的现象，也就不足为奇了。鉴于数学文化在增强学生数学学习兴趣的重要作用以及2017年高考数学对数学文化的要求，今天我们以几个重要数学家为例进行简要说明。 “
给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。” ——伽利略 对数在高中数学的学习中一直是同学们头疼的对象。相信如果同学们如果对对数产生的背景及对数的强大功能有所认识的话，你一定会产生一定要搞定它的冲动。相面我们就一起来看看吧。16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急。对数发明之前，人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉，而且德国数学家斯蒂弗尔（M.Stifel，约）在《综合算术》（1544年）中阐述了一种如下所示的一种对应关系：该关系可被归纳为苏格兰贵族纳皮尔在此基础上经过对运算体系的20多年研究，在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。法国数学家拉普拉斯说 “ 对数的发明使天文学家的寿命延长了一倍。”这里有一个问题：纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，这是为什么呢？造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿开始使用。直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义他指出：“对数源于指数”。对数的发明先于指数，成为数学史上的珍闻。现在你看到下面的公式是不是倍感亲切呢？ “数缺形时少直观，形少数时难入微。” ——华罗庚数形结合是高中数学最重要的四大思想方法之一，在解题过程中简直是手到擒来。法国数学家笛卡尔对数形结合的运用更是出神入化，发展出了一门新的数学学科——解析几何学。笛卡尔的主要数学成果集中在他的“几何学”中。在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 这样一来，处理圆锥曲线问题中用到的韦达定理，几何法等重要方法就成了再自然不过的事情了，你是不是觉得圆锥曲线变得简单了起来？
“一尺之锤，日取其半，万世不竭” ——庄子
极限的思想在高中数学的学习中也占有相当重要的地位，解题过程中所用到的特殊值，特殊位置体现。早在先秦时代庄子就提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，其中就包含了朴素的极限思想。刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。在割圆术中，刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆术，是探求圆周率数值的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”。这是我国古代关于圆周率的研究的一个光辉成就。 99%的学生想考名校，但只有1%的学霸知道怎么做！ 数学提分专家李俊老师教你轻松搞定中高考数学题，开启学霸学习模式。更多直播课，网络公开课请添加我的微信（长按复制）详细咨询。
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教学目标& 1．理解的概念，掌握的运算性质． (1) 了解式的由来和含义，清楚式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与运算之间的互逆关系． (2) 会利用指数式的运算推导运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述运算法则，并能利用运算性质完成简单的运算． (3) 能根据概念进行指数与之间的互化． 2．通过概念的学习和运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力． 3．通过概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神．教学建议教材分析 (1) 既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当 时， ．所以指数式 中的底数，指数，幂与式 中的底数，，真数的关系可以表示如下：
(2) 本节的教学重点是的定义和运算性质，难点是的概念． 首先作为一种运算，由 引出的，在这个式子中已知一个数 和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对 的全面认识．此外作为一种运算除了认识运算符号“ ”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于与指数在概念上相通，使得法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注． 运算的符号的认识与理解是学生认识的一个障碍，其实 与+， 等符号一样表示一种运算，不过运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难．教法建议 （1）对于概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数 和真数 的要求，其次对于的性质 及零和负数没有的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和式的互化． （2）对于运算法则的探究，对层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识． （3）对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个式中字母的取值范围．最后还要让学生认清运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了计算的优越性．教学设计示例的运算法则教学目标& 1．理解并掌握性质及运算法则，能初步运用的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力． 3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．教学重点，难点 重点是的运算法则及推导和应用 难点是法则的探究与证明．教学方法 引导发现法教学用具 投影仪教学过程&一.&&&& 引入新课&&& 我们前面学习了的概念，那么什么叫呢?通过下面的题目来回答这个问题． 如果看到 这个式子会有何联想? 由学生回答(1) (2)
&(3) & (4) ． 也就要求学生以后看到符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究的运算法则．二．的运算法则(板书) 与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看： ， ， ． 然后直接提出课题：若 是否成立?&& 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举 而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出
可提示学生利用刚才的反例，把 5改写成 应为 ，而32=2 ，还可以让学生再找几个例子， ．之后让中国学习联盟胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有 成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意 都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设 则 ，由指数运算法则 得
， 即 ．& (板书) 法则出来以后，要求学生能 从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个式都有意义为使用前提条件)． (2)能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的等于这两个正数的的和． (3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得 ． (条件同前) (4)能否利用法则完成下面的运算：例1：计算 (1) && (2) &&& (3)
由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：
． 可由学生说出 ．得到大家认可后，再让学生完成证明． 证明：设 则 ，由指数运算法则得
． 教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论? 有的学生可能会提出把 看成 再用法则，但无法解决 计算问题，再引导学生如何回避 的问题．经思考可以得到如下证法 ．或证明如下 ，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．(两个正数的商的等于这两个正数的的差)请学生完成下面的计算 (1) && (2) ． 计算后再提出刚才没有解决的问题即 并将其一般化改为 学生在说出结论的同时就可给出证明如下： 设 则
， ．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究． 将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则 (1) 了解法则的由来．(怎么证) (2) 掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述) (3) 法则使用的条件．(使每一个都有意义) (4) 法则的功能．(要求能正反使用)三．巩固练习例2．计算 (1)
(3) & (4) (5) &&&&&&& (6) 解答略 对学生的解答进行点评．例3．已知
，用 的式子表示 (1)
．由学生上黑板写出求解过程．四．小结 1．运算法则的内容 2．运算法则的推导与证明 3．运算法则的使用五．作业&略六．板书设计&二．运算法则& 例1&&&&&&&&&&&&&&&&&& 例31. 内容(1)(2)(3)& 例2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 小结2. 证明3. 对法则的认识 (1)条件 && (2)功能&探究活动试研究如下问题． （1）已知 求证： 或
（2）若 都是正数且至少有一个不为1，且
，则 之间的关系是_____________________．答案： （1）证明略 （2） 或 ．
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